Metoda nejmenších čtverců (dále MNČ) (angl. Ordinary Least Squares OLS) je jednou ze základních metod používaných k odhadnutí parametrů β. Princip MNČ vychází z minimalizace součtu čtverců pro všechny proměnné. Existuje velká škála modifikací této základní metody, které svým upravením slouží například k optimalizaci kritérií nebo upřesnění pozorování. Cílem regresní analýzy je zjistit velikost vlivu jednotlivých vysvětlujících proměnných na vysvětlovanou proměnnou. Pro použití každé metody je však nutné splnit několik málo předpokladů.
8.1 Gauss-Markovy předpoklady pro použití MNČ
a) 𝐸(𝜀𝑡) = 0,
První předpoklad pro použití MNČ říká, že střední hodnota reziduální složky je rovna nule ve všech letech v testovaném období (Cipra, 2013, s. 40).
32 b) 𝑣𝑎𝑟(𝜀𝑡) = 𝜎2 < ∞,
Druhý předpoklad, jak rovnice napovídá říká, že rozptyl reziduální složky je roven 𝜎2. Zároveň platí, že rozptyl náhodné složky je konstantní a konečný pro všechna t5. Tento předpoklad je jinak nazýván jako homoskedasticita. V případě porušení tohoto předpokladu, tedy pokud rozptyl reziduální složky není konstantní a konečný nastává porušením tohoto předpokladu autokorelace (Cipra, 2013, s. 40).
d) 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑡𝑖, 𝜀𝑡) = 0,
Poslední předpoklad se vztahuje opět ke korelaci. Regresory se nesmí ve stejném čase korelovat s reziduální složkou pro všechna i7 i t. Splnění tohoto předpokladu je důležité kvůli konzistenci MNČ. Porušením tohoto předpokladu nastává multikolinearita (Cipra, 2013, s. 40).
8.2 Testování Gauss-Markových předpokladů
Z předchozí kapitoly vyplývá, že pro otestování modelu pomocí MNČ musí model nejprve splnit konkrétní podmínky. V případě, že model splňuje všechny Gauss-Markovy předpoklady klasické lineární regrese, tedy je nestranný, konzistentní a vydatný, je možné použít MNČ pro odhadnutí parametrů β.
8.2.1 Testování heteroskedasticity
Heteroskedasticita představuje porušení druhého Gauss-Markova předpokladu týkajícího se konečného a konstantního rozptylu. V případě, že model vykazuje různé rozptyly náhodné složky pro dané skupiny pozorování, lze hovořit o přítomnosti heteroskedasticity. Nejčastější příčiny vzniku heteroskedasticity jsou nepřesná měření, nevhodně specifikovaný model nebo například použití sdružených údajů. Důsledkem heteroskedasticity je nevydatný model. Způsobené vychýlení odhadovaného rozptylu
5 t = časový index z celkového časového souboru T
6 s = odhadnutá směrodatná odchylka reziduální složky
7 i = imaginární jednotka
33
náhodné složky ztrácí intervaly spolehlivosti a testování hypotéz na vypovídající hodnotě (Krkošková, Ráčková, Zouhar, s. 139-142).
K otestování na přítomnost heteroskedasticity v modelu byly použity hned dva statistické testy, a to Whitův test a Breusch-Paganův test. Vzhledem k výsledkům z obou testů (viz příloha č. 2) je možné přijmout nulovou hypotézu, tedy model vykazuje homoskedasticitu a splňuje druhý Gauss-Markův předpoklad.
8.2.2 Testování autokorelace
Třetím Gauss-Markovým předpokladem pro MNČ je podmínka, že náhodné složky jsou po dvojicích nezávislé, tedy nekorelované. V případě jeho porušení nastává tzv. autokorelace. Přítomnost autokorelace u časových řad není nic neobvyklého, zejména pak u měsíčních a čtvrtletních makroekonomických časových řad, které zpravidla vykazují obdobné trendové chování. Mezi nejčastější příčiny vzniku autokorelace lze řadit setrvačnost ekonomických veličin, nepřesné měření, nebo nevhodnou specifikaci modelu. V případě odhadnutí parametrů β, pokud byl porušen třetí Gauss-Markův předpoklad a v modelu se vyskytuje autokorelace, tak získané odhady MNČ jsou nestranné a nejsou vydatné, tj. nemají minimální rozptyl. Odhadnutý rozptyl a standardní chyby jsou tedy vychýlené, proto se nelze spolehnout na statistické testy, které v takovém případě ztrácí veškerou vypovídací schopnost (Krkošková, Ráčková, Zouhar, 2010, s.
109-111).
K otestování na přítomnost autokorelace byla použita Durbin-Watsonova statistika pro 16 pozorování na hladině významnosti 5 %. Hodnota Durbin-Watsonovy statistiky je pro výzkum předložené bakalářské práce 2,16481. Hodnoty ze statistické tabulky, které odpovídají pozorování předložené bakalářské práce jsou dd = 0,50223 a dh = 2,38813. Na základě tohoto pozorování nelze rozhodnout, zda je v modelu možné přijmout či zamítnout nulovou hypotézu o nepřítomnosti autokorelace, jelikož se hodnota Durbin-Watsonovy statistiky nachází v pásmu neprůkaznosti. Je však možné hovořit o inklinaci k pozitivní autokorelaci. V návaznosti na míru nejistoty ohledně přítomnosti autokorelace v modelu byl autorem proveden Breusch-Godfreyův test do 8 řádů zpoždění (viz příloha č. 4). Na základě tohoto statistického testu lze na 5% hladině významnosti zamítnout existenci autokorelace.
Model tedy splňuje třetí Gauss-Markův předpoklad.
34 8.2.3 Zjišťování multikolinearity
Čtvrtým Gauss-Markovým předpokladem je lineární nezávislost. V případě jejího porušení, tedy v situaci, kdy jsou sloupce v matici pozorování lineárně závislé, nastává multikolinearita. Nejčastější příčinou vzniku multikolinearity je stejně jako u autokorelace práce s ekonomickými, převážně makroekonomickými, časovými řadami, jelikož ty často vykazují obdobný trend. Mezi další příčiny vzniku multikolinearity lze zařadit použití zpožděných hodnot ať už u endogenních tak exogenních proměnných nebo zahrnutí nesprávného počtu tzv. nula-jednotkových proměnných8. V případě přítomnosti multikolinearity v modelu budou odhady stále nestranné i vydatné, model se však stane nestabilní vůči sebemenším změnám v matici (Krkošková, Ráčková, Zouhar, 2010, s. 91-93).
Zjišťování multikolinearity bylo provedeno pomocí matice korelačních koeficientů (viz příloha č. 5). Na základě výsledků lze konstatovat, že korelace dat je únosná u všech proměnných. Žádná z korelací nepřesahuje hladinu 0,9 v absolutní hodnotě, která by indikovala silnou multikolinearitu. Model tedy splňuje i čtvrtý Gauss-Markův předpoklad.
8.2.4 Normalita reziduí
Normalita reziduí představuje první Gauss-Markův předpoklad, který říká, že střední hodnota náhodné složky je rovna nule. Porušení tohoto předpokladu vede ke zkreslení bodového odhadu (Cipra, 2013, s. 57).
Model byl tedy otestován na normalitu reziduí. Z grafického znázornění (viz příloha č. 6) se lze předběžně přiklonit k tomu, zda přijmeme či zamítneme nulovou hypotézu normality reziduí. Avšak dle vypočtené hodnoty (viz příloha č. 7) je patrné, že nulovou hypotézu nelze zamítnout a, že střední hodnota náhodné složky je rovna nule.
Model tedy splnil i první Gauss-Markův předpoklad.