Již v této fázi vidíme, že se pracuje se zlogaritmovanými proměnnými, tím dosáhneme hned dvou důsledků. Prvním důsledkem je snazší interpretace modelu, druhým je zajištění stan-dardních statistických vlastností modelu, respektive pátého předpokladu modelu o homos-kedasticitě náhodné složky, což je důsledek transformace vysvětlované proměnné. Proměnná produkce je hodnotou finanční a obdobně, jako je tomu u příjmů osob, je zlogaritmování standardní záležitostí. Výstup modelu s nejvyšší vysvětlenou variabilitou, tedy při dmax = 3000, vidíme v tabulce 2.2. Model je statisticky významný, stejně tak je významná vysvětlující proměnná na všech standardních hladinách významnosti. Reziduální složka je dle výstupu v pořádku, přesto graf reziduální složky tohoto modelu by ukazoval na nevysvětlenou funkční závislost.
Tabulka 2.2: Výstup z odhadu MNČ naivního modelu (vlastní zpracování)
Dep. Variable: produkce R-squared: 0.426
Model: OLS Adj. R-squared: 0.423
Method: Least Squares F-statistic: 118.2
Date: Mon, 08 Nov 2021 Prob (F-statistic): 6.18e-21
Time: 22:03:44 Log-Likelihood: -68.628
No. Observations: 161 AIC: 141.3
Df Residuals: 159 BIC: 147.4
Df Model: 1
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
intercept 7.6718 0.390 19.653 0.000 6.901 8.443 log(P OIdmax) 0.4964 0.046 10.872 0.000 0.406 0.587
Omnibus: 2.137 Durbin-Watson: 1.984 Prob(Omnibus): 0.343 Jarque-Bera (JB): 2.196
Skew: -0.265 Prob(JB): 0.333
Kurtosis: 2.785 Cond. No. 115.
2.4 Rozšířený model o více proměnných, best subset selection
Tato sekce navazuje na naivní model v tom smyslu, že budeme postupně přidávat proměnné a pro každou z nich odhadovat parametrdmax. Protože parametr nebude stejný napříč sadou j vysvětlujících proměnných, mluvme o proměnné dmax,j. Pokud bychom odhadování para-metrů opakovali a po každém kole vždy přidávali na proměnných modelu, mluvili bychom o postupné jednorázové optimalizaci, pak bychom také mohli přidat rozměr k, značící kolo opakování. Později, jakmile budeme znát odhady parametrůdmax,j, přidáme prvek best sub-set selection regrese, kdy z předpřipravené sady regresorů budeme vybírat ty nejvhodnější.
Provádění uvedeného přístupu je mnohem více výpočetně náročné, než standardní MNČ, protože před každým odhadem modelu je nutné vytvořit novou sadu proměnných dle zvy-šujících se hodnotdmax,j. Odhadujeme-li například 10 druhů POI bodů a 40 vzdáleností, je nutné celkem 400 krát vytvořit matici vysvětlujících proměnných pro každé kolo postupné jednorázové optimalizace. Samozřejmě lze celý postup optimalizovat a značně zjednodušit výpočetní náročnost, avšak to není hlavním předmětem práce.
První stupeň modelu
Nejprve přidáme do modelu proměnnoupopulace města, protože se jedná o nejsilnější faktor ovlivňující produkci. Teprve poté odhadujeme parametrydmax,j, pokud bychom postupovali bez této silné proměnné, byly by jednotlivé parametry více zkreslené. Očekávali bychom hodnoty vyšší, neboť by se model snažil využít širšího počtu bodů v okolí a nahradit chybějící
populační proměnnou. Oproti modelu výše, který využil zjednodušené funkce 2.1, použijeme navíc vzdálenostní funkci 2.3. Dle obrázku 2.4 a z logiky problému není pochyb, že se zvyšující se vzdáleností klesá váha bodu. Očekáváme proto od zavedení funkce další zkvalitnění modelu.
V následující tabulce 2.3 vidíme nejlepší hodnotydmax,j z pohledu vysvětlené variability pro různé modely, které se liší v přidané proměnnéj. Funkcewznačí, že proměnná byla vytvořena dle vzdálenostní funkce 2.3. Ve druhém sloupci tabulky si lze všimnout, že nejoptimálnější vzdálenostní parametr se liší napříč různými proměnnými. Ve třetím sloupci je zachycena adjustovaná vysvětlená variabilita modelu a ve čtvrtém je P hodnota přidané proměnné j.
Je zjevné, že proměnné se značně liší ve všech třech parametrech. Zatímco některé proměnné je nejlepší volit s nízkým poloměrem okolních bodů, jiné je vhodnější volit spíše s poloměrem vysokým. Rozdělení skupiny bodů POI do podskupin se zdá také jako dobrá volba, protože u všech proměnných je vyšší statistická významnost, což automaticky nezaručuje, že je vyšší i adjustovaná vysvětlená variabilita. U některých proměnných je tento poměr značně nižší, například u proměnné Volný čas a Doprava, jinde naopak znatelně vyšší, třeba u proměn-ných Úřady a kanceláře nebo Banky a bankomaty. Poslední řádek tabulky zachycující model log(produkce) = β0 +β1log(w(Úřady a kanceláředmax)) +β2log(populace) by již mohl být jedním z kandidátů, neboť je velice jednoduchý a zároveň již vysvětluje hodně z variability vysvětlované proměnné. Podíváme-li se na první řádek tabulky, tak vidíme, že model počtu bodů POI sice vysvětluje relativně mnoho z variability, ale statistická významnost je slabší, než u všech dalších předkládaných proměnných. Problémem může být, že obě vysvětlující proměnné se snaží z modelu vysvětlit přibližně totéž a budou značně korelované. Proměnné dle typu POI naopak mohou cílit více na specifické aspekty lokality. Grafickou podobu vztahů lze nalézt v příloze A.1.
Tabulka 2.3: Hodnoty nejlepších parametrů vzdálenostní funkce pro jednotlivé proměnné j (vlastní zpracování)
Model log(produkce) dmax,j R2Adj Pj
β0+β1log(w(POIdmax)) +β2log(populace) 3250 0.428 0.104
Stejná analýza, jaká je doposavad v této sekci prezentována, akorát se zlogaritmovanými přidanými proměnnými, je uvedena v příloze, viz tabulka A.1 a grafická analýza A.2. V
porovnání s nezlogaritmovanými proměnnými se ve většině případů změnily parametrydmax,j, ve většině případů se zároveň vylepšila statistická významnost. Grafická analýza ukazuje ve druhém případě na značné nelinearity při měnících sedmax,j. Oba sety proměnných použijeme dále při výběru finálního modelu.
Druhý stupeň modelu
Doposavad jsme přešli od naivního modelu s vysvětlenou adjustovanou variabilitou kolem hodnoty 0.43, viz obrázek 2.4, k jednoduchým modelům dvou proměnných s nejvyšší hodnotou 0.52, tabulka 2.3, přesto šlo zatím pouze o kalibraci a analýzu vzdálenostních parametrů.
Zde již přecházíme z optimalizace vzdálenostních parametrů a vytváření setů proměnných k výběru nejlepší kombinace proměnných modelu. Uvažujeme čtyři aplikace metody best subset selection dle čtyř setů vysvětlujících proměnných:
1. Vysvětlující proměnné s jednotným dmax
2. Vysvětlující proměnné s jednotným dmax, zlogaritmované 3. Vysvětlující proměnné s variabilnímdmax,j
4. Vysvětlující proměnné s variabilnímdmax,j, zlogaritmované
Pro každý set jedenácti proměnných sestavujeme ideální podmnožinu vysvětlujících proměn-ných, přičemž pokaždé zahrnujeme v modelu úrovňovou konstantu. Počet vysvětlujících pro-měnných v algoritmu best subset selection volíme v rozmezí 1 a 8. Pro každý počet vysvět-lujících proměnných se vytváří všechny jejich možné kombinace, pro každou kombinaci se odhadne model a ten se vyhodnocuje. Vyhodnocujeme tři informační kritéria dle teoretické části, následně kontrolujeme další statistické vlastnosti modelů. V níže uvedených výsledcích zachycujeme vždy pouze nejlepší model dle informačních kritérií a nálezy dodatečné kontroly modelu. První představujeme výsledky modelů nezlogaritmovaných proměnných v tabulkách 2.4 a 2.5.
Tabulka 2.4 zachycuje nejlepší modely dle informačních kritérií s konstantní hodnotoudmax
rovnou 3000 metrů. V tomto případě všechna kritéria zvolily totožný model s celkem šesti vy-světlujícími proměnnými. Hodnota adjustované vysvětlené variability se posunula na hodnotu 0.552, většina statistických hodnot je v pořádku, avšak model je zatížen silnou multikolineari-tou v matici vysvětlujících proměnných. To nemusí být na překážku, pokud se cílí na predikční vlastnosti modelu, ale vypovídá to o tom, že nelze jasně interpretovat vztahy modelu.
Tabulka 2.4: Nejlepší modely dle informačních kritérií s konstantnídmax= 3000 metrů (vlastní zpracování)
Kritérium Počet proměnných Výstup R2Adj Poznámka
R2Adj 6 tabulka A.2 0.552 Silná multikolinearita
AIC 6 tabulka A.2 0.552 Silná multikolinearita
BIC 6 tabulka A.2 0.552 Silná multikolinearita
Tabulka 2.5 zachycuje méně omezený model, tedy za podmínky, že hodnoty dmax,j jsou va-riabilní. Tentokrát jsou modely dle informačních kritérií různé. Nejomezenější model dle kri-téria BIC má pouze 2 vysvětlující proměnné, byť i tak je vysvětlená adjustovaná variabilita na úrovni 0.550, čímž o mnoho nezaostává za modelem z tabulky 2.4. Zbylé dva modely využívají celkem 7, respektive 6 proměnných. Hodnoty R2Adj jsou na úrovni 0.569 a 0.568, problémem všech tří modelů je opět silná multikolinearita. Modely nejsou otestované na pre-dikční schopnosti, ale jde vidět, že uvolnění vzdálenostní podmínky pomohlo ve vysvětlené variabilitě.
Tabulka 2.5: Nejlepší modely dle informačních kritérií s variabilnídmax,j (vlastní zpracování) Kritérium Počet proměnných Výstup R2Adj Poznámka
R2Adj 7 tabulka A.3 0.569 Silná multikolinearita
AIC 6 tabulka A.4 0.568 Silná multikolinearita
BIC 2 tabulka A.5 0.550 Silná multikolinearita
Dále následují výsledky modelů se zlogaritmovanými proměnnými v tabulkách 2.6 a 2.7.
Obecně lze říci, že se hodnoty R2Adj lehce snížily, ale zato nejsou modely zatíženy silnou multikolinearitou. Jako první opět představujeme modely, kde hodnotadmax je fixována pro všechny proměnné. Dle kritériíR2Adja AIC je nejlepší model s pěti proměnnými s hodnotou R2Adj rovnou 0.526, zatímco přísnější kritérium BIC volí model s pouze jednou proměnnou a R2Adj rovnou 0.503.
Tabulka 2.6: Nejlepší modely dle informačních kritérií s konstantní dmax = 3000 metrů a zlogaritmovanými proměnnými (vlastní zpracování)
Kritérium Počet proměnných Výstup R2Adj Poznámka
R2Adj 5 tabulka A.6 0.526
AIC 5 tabulka A.6 0.526
BIC 1 tabulka A.7 0.503
V tabulce 2.7 vidíme zlepšení hodnot R2Adj dle všech kritérií oproti tabulce 2.6. Model dle kritéria R2Adj volí celkem 6 proměnných a hodnotaR2Adj je při 0.539, je však diskutabilní, zda můžeme akceptovat záporný koeficient u proměnné populace. Dle kritéria AIC volíme 4 proměnné a hodnota R2Adj klesá téměř neznatelně na hodnotu 0.537, proti odhadnutým koeficientům v tomto případě není námitky. Poslední model má R2Adj rovno 0.519, byl odhadnut dle BIC kritéria.
Z výše uvedených čtyř tabulek vyplývají dvě věci. Modely s nezlogaritmovanými proměnnými mají problém s multikolinearitou, což stěžuje především interpretační hledisko modelu. Zda má tento faktor vliv i na přesnost odhadů lze testovat. Dále, modely s variabilními hodno-tamidmax,j vykazují vyšší výkonnost oproti modelům s konstantní hodnotoudmax, pokud je měřítkemR2Adj. Modely poslední tabulky 2.7 jsou zajisté kandidáty na finální model, přímo pak modely dle kritérií AIC a BIC. Otestujme poslední dva modely v další sekci.
Tabulka 2.7: Nejlepší modely dle informačních kritérií s variabilnídmax,j a zlogaritmovanými proměnnými (vlastní zpracování)
Kritérium Počet proměnných Výstup R2Adj Poznámka
R2Adj 6 tabulka A.8 0.539 Záporný koeficient u populace
AIC 4 tabulka 2.9 0.537
BIC 2 tabulka A.9 0.519
2.5 Testování konečného modelu
Modely, které jsou kandidáty na finální model otestujeme z pohledu stability a predikčních schopností. Postupujeme tak, že nejprve data rozdělíme na takzvaný trénovací a testovací vzorek v poměru 80:20. Na trénovacím vzorku odhadneme model a získáme informace o in-sample charakteristikách, poté predikujeme hodnoty na testovacím vzorku a získáváme out-of-sample charakteristiky, které slouží k ohodnocení predikčních schopností. Postup od rozdělení dat opakujeme vícekrát, v našem případě 1000 krát, takže získáme vždy jiný tré-novací a testovací set. To slouží k tomu, abychom vyloučili vliv náhody při rozdělení dat.
Výsledky ze všech běhů agregujeme a můžeme zhodnotit modely. Uvedený postup je jedním z vícero typů křížové validace, také můžeme říci, že jde o jednu z bootstrapových metod. Mezi sledované charakteristiky patří histogramy odhadnutých koeficientů u proměnných a přesnost modelu v původních v původních jednotkách vysvětlované proměnné. Pro odlogaritmování využíváme vždy nově spočteného koeficientu α, dle vzorce 1.37, abychom systematicky ne-podhodnocovaly odhady. Metrikou výkonnosti je odmocnina z průměrné čtvercové chyby, tedy RMSE, při testovacím vzorku.
Tabulka 2.8: Out-of-sample RMSE tří vybraných modelů, bootstrapové, 1000 běhů (vlastní zpracování)
Kritérium Počet proměnných Model R2Adj Poznámka RMSE
BIC 2 tabulka A.9 0.519 67779
AIC 4 tabulka 2.9 0.537 68061
R2Adj 7 tabulka A.3 0.569 Silná multikolinearita 95678
Tabulka 2.8 zachycuje celkem tři modely, první dva jsou již zmíněnými kandidáty na finální model. Třetí model je uveden pro kontrolu, abychom měli srovnání i s dalším modelem. Ten měl v předchozí analýze vůbec nejvyšší hodnotuR2Adj, přesto jde vidět z pohledu na RMSE, že značně zaostává v predikčních schopnostech mimo trénovací vzorek. Hodnota 95678 je o 41% vyšší, než nejlepší model. Je to potvrzením, že vysokéR2Adjv trénovacím vzorku nutně neznamená i vysokou predikční schopnost mimo trénovací vzorek. Můžeme říct, že model je takzvaně přefitovaný (anglicky overfitted). Modely o dvou i čtyřech proměnných vykazují téměř totožnou výkonnost, tedy RMSE okolo 68 tisíc jednotek produkce.
Máme-li vybrat jeden ze dvou modelů, které jsou si téměř totožné ve výkonnosti a nevykazují
Tabulka 2.9: Model best subset selection dle AIC s variabilnídmax,j, zlogaritmované proměnné (vlastní zpracování)
Dep. Variable: log_produkce R-squared: 0.549
Model: OLS Adj. R-squared: 0.537
Method: Least Squares F-statistic: 47.41 Date: Thu, 18 Nov 2021 Prob (F-statistic): 4.91e-26
Time: 20:58:54 Log-Likelihood: -49.329
No. Observations: 161 AIC: 108.7
Df Residuals: 156 BIC: 124.1
Df Model: 4
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Ubytovánílog 0.0621 0.028 2.214 0.028 0.007 0.118 Vzdělánílog 0.2386 0.070 3.393 0.001 0.100 0.377 Zdravotnictvílog -0.1591 0.072 -2.220 0.028 -0.301 -0.018 Úřady a kancelářelog 0.4198 0.091 4.634 0.000 0.241 0.599 intercept 10.5638 0.128 82.477 0.000 10.311 10.817
Omnibus: 3.805 Durbin-Watson: 1.180 Prob(Omnibus): 0.149 Jarque-Bera (JB): 3.861
Skew: -0.366 Prob(JB): 0.145
Kurtosis: 2.800 Cond. No. 30.8
žádné statistické problémy, musíme pokračovat dle subjektivních kritérií. Někdy je rozhodo-vání řízeno například zadavateli problému a dalšími zainteresovanými stranami. V tomto případě se přikloníme k modelu se čtyřmi proměnnými, viz tabulka 2.9. Jedná se o model, kde vysvětlovanou proměnnou je logaritmus produkce poboček. Vysvětlujícími proměnnými jsou zlogaritmované proměnné Ubytování, Vzdělání, Zdravotnictví a Úřady a kanceláře. Při-čemž jsou vyšší vážené počty POI proměnných Ubytování, Vzdělání a Úřady a kanceláře asociovány s vyšší produkcí. Naopak vážený počet POI proměnné Zdravotnictví je asocio-ván s nižší produkcí poboček. Reziduální složka modelu je přibližně normálně rozdělená a všechny proměnné modelu jsou statisticky významné na hladině významnosti α = 0.05. Je zjevné, že vysvětlující proměnné jsou navzájem značně korelované, přesto by multikolinea-rita neměla být pro účely predikce značnou překážkou. Pro vysokou korelaci však nebudeme schopni přesně odlišit kauzální vztahy proměnných. Tento problém lze ilustrovat náhledem na výstupy modelů, které jsme představili výše, variabilita zahrnutých proměnných je příliš vysoká.
Při provedení 1000 běhů jsme vykreslili také histogramy odhadů koeficientů modelu, viz obrázek 2.5. Ty slouží k ověření, že se koeficienty neotáčejí ve svém znaménku. Získáváme tak informaci analogickou k testům o jednotlivých koeficientech modelu. Typicky si nepřejeme, aby více než 5% odhadů bylo s opačným znaménkem, než u odhadů plného modelu tabulky
2.9. Pouze v případě proměnné bodů zájmu zdravotnictví některé odhady překračují nulovou hodnotu, ale podíl těchto bodů s opačným znaménkem je 0.2%, znatelně méně, než 5%.
Tímto uzavíráme modelovací část, dále následuje zmínka o kauzalitě a poté již začíná druhá praktická část.
(a) Intercept (b) Ubytování (c) Vzdělání
(d) Zdravotnictví (e) Úřady a kanceláře
Obrázek 2.5: Histogramy odhadnutých koeficientů finálního modelu, bootstrapové, 1000 běhů (vlastní zpracování)
2.6 Kauzální vztahy proměnných
Vzhledem k vysoké korelaci mezi vysvětlujícími proměnnými je velmi obtížné soudit na kauzální vztahy modelu. Respektive je velice obtížné zjistit hlavní příčiny a činitele produkce.
Nepomáhá ani fakt, že již z definice dat se jedná o nenáhodný vzorek poboček. Nemůžeme ani říci, že se jedná o reprezentativní vzorek v rámci různých poboček bankovních domů České republiky. Můžeme ale říci, že se jedná o populaci poboček jedné z bank. Pokud máme vyhodnotit, jak si stojí daná banka mezi ostatními domy, lze model použít.
Pokud se podíváme na to, jak nová pobočková síť vzniká, tak se nejedná o náhodné rozmis-ťování. I bez modelu určitá osoba musela volit vhodné lokality a velikosti pro pobočky, stejně tak počet personálu. Postupně se síť formovala a optimalizovala vzhledem k výkonnosti. Po-kud by byla pobočka příliš velká vzhledem k okolí, nebo měla příliš zaměstnanců, postupně by se redukovala, popřípadě by se přemístila. Tyto procesy se zcela jistě nedějí náhodně, ale jsou ovlivněny okolím. A to jsme se snažili odhadovat. Můžeme mluvit o potenciálu, či atraktivitě lokality, o něčem nepřímo měřitelným. Ať jsme použili jakýkoliv model ze stovek potencionálních kandidátů, všechny se pravděpodobně snažili tuto neměřitelnou hodnotu za-chytit. Nemá cenu se dívat na přesné hodnoty odhadnutých koeficientů, je lepší sledovat směr a korelace s dalšími proměnnými. Neměřitelné rozměry by pravděpodobně mohla zachytit i metoda hlavních komponent, v této práci ji vynecháváme.
3. Analýza pobočkových sítí napříč ČR
V této části využíváme finálního modelu k predikci pro libovolnou pobočku v rámci ČR napříč různými bankovními domy. Pro analýzu jsme se zaměřili na deset největších bankovních domů z pohledu počtu poboček. Česká republika je relativně malou ekonomikou a relativně velkým počtem bank. I mezi těmito deseti největšími bankovními domy jsou velké rozdíly v počtu poboček a klientů, proto v následující analýze preferujeme srovnání podobně velkých bank.
Naopak příliš nekomentujeme rozdíly mezi nejmenšími a největšími bankami, protože zvolená metrika může systematicky zvýhodnit banku s velkým počtem poboček a podhodnotit banku s malým počtem poboček. Metrikou je kumulativní predikovaná výkonnost. Sestaví se tak, že pro veškeré pobočky predikujeme nejprve očekávanou výkonnost dle modelu z předchozí kapitoly. Pro zvolenou oblast pak v rámci každé sítě pobočky seřadíme od nejvýkonnější a vytvoříme kumulativní výkonnost. Takto spočtenou výkonnost porovnáváme napříč bankami a pro dané oblasti.
Porovnání bankovních sítí je zachyceno napříč celou ČR a dle jednotlivých krajů. Pro kaž-dou zvolenou oblast předkládáme dva výstupy, jedním je graf a druhým je tabulka. Grafy zobrazují kumulativní výkonnost na vertikální ose a počet poboček na horizontální ose. Je dobré připomenout, že pobočky jsou seřazené od nejlepší po nejhorší. Grafy jsou proto tvo-řeny pro každou pobočkovou síť jednou rostoucí, konkávní křivkou. Křivky jsou dlouhé dle počtu poboček v dané oblasti. Tabulky zachycují tytéž informace, ale jen pro určitý počet poboček, například nejlepších pět, deset a podobně. Rozdílem je, že z tabulky lze snadněji dopočíst procentuální rozdíl mezi produkcemi bankovních domů. Každou oblast popisuje i krátký text, který se nejprve soustředí na obecný deskriptivní popis počtu poboček v oblasti, poté na největší rozdíly v grafickém srovnání a ke konci na největší relativní rozdíly hodnot v tabulkách.
Ke konci kapitoly nabízíme návrh na postup optimalizace jedné z bank, využíváme přitom jak predikcí, tak modelu lineárního programování, který jsme představili ke konci teoretické části. Jedná se tak o kombinaci ekonometrie a operačního výzkumu.
3.1 Celorepublikové srovnání
V celorepublikovém srovnání si lze všimnout nejprve značných rozdílů v počtu poboček mezi jednotlivými bankami, viz obrázek 3.1. Největšími bankami v počtu poboček jsou především Česká spořitelna a Komerční banka s více jak 300 pobočkami. Středními bankami v počtu poboček jsou ČSOB, MONETA, Raiffeisenbank a UniCredit s více jak 100 pobočkami. Mezi malé můžeme započíst zbylé banky, tedy Fio banku, Equa bank, mBank a nejmenší Air Bank.
Samozřejmě vynecháváme veškeré banky mimo tuto desítku největších bank, kterých jsou v ČR řádově desítky.
Obrázek 3.1: Porovnání kumulativní výkonnosti pobočkových sítí v České republice (vlastní zpracování)
Na obrázku 3.1 můžeme banky rozdělit dle křivek do dvou skupin. První skupinu tvoří po-stupně od nejlepších Česká spořitelna, Komerční banka, Raiffeisenbank a ČSOB. Tyto čtyři banky tvoří křivky s vyšší kumulativní výkonností a interpretujeme, že se jedná o relativně lépe postavené bankovní sítě z pohledu očekávané výkonnosti. Častěji jsou tyto bankovní domy na místech, kde je očekávaná produkce vyšší. Skupinu poboček s nižší trajektorií kři-vek tvoří Fio banka, mBank, UniCredit, MONETA, Equa bank a Air Bank.
Podíváme-li se na tabulku 3.1, můžeme přímo porovnat obě skupiny bank co do kumulativní výkonnosti. Rozdíly jsou značné. Například pro nejlepších sto poboček můžeme odečíst z
Podíváme-li se na tabulku 3.1, můžeme přímo porovnat obě skupiny bank co do kumulativní výkonnosti. Rozdíly jsou značné. Například pro nejlepších sto poboček můžeme odečíst z