V t´eto ˇc´asti naznaˇc´ım nˇekter´e postupy ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic.
2.4.1 Analytick´e postupy
Za ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice lze povaˇzovat kaˇzdou funkci, kter´a obsahuje pˇr´ısluˇsn´e de-rivace a vyhovuje tak dan´e diferenci´aln´ıc rovnici. V pˇr´ıpadˇe hled´an´ı ˇreˇsen´ı soustavy di-ferenci´aln´ıch rovnic, je dan´ym ˇreˇsen´ım soustava takov´ych funkc´ı, kter´e obsahuje patˇriˇcn´e derivace potˇrebn´eho ˇr´adu, kter´e vyhovuj´ı vˇsem rovnic´ım ˇreˇsen´e soustavy.
Reˇˇ sen´ı diferenci´aln´ıch rovnic lze rozdˇelit takto ([18], [11]):
• Obecn´e — Za obecn´e ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice povaˇzujeme takov´e ˇreˇsen´ı dfife-renci´aln´ı rovnice, kter´e obsahuje libovolnou integraˇcn´ı konstantu. Pˇriˇrad´ıme-li kaˇzd´e konstantˇe obecn´eho ˇreˇsen´ı ˇc´ıselnou hodnotu, pak dostaneme ˇreˇsen´ı partikul´arn´ı.
• Partikul´arn´ı — Partikul´arn´ı (ˇc´asteˇcn´e) ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice je ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice, kter´e z´ısk´ame pˇriˇrazen´ım urˇcit´e ˇc´ıseln´e hodnotˇe kaˇzd´e integraˇcn´ı konstantˇe obecn´eho ˇreˇsen´ı.
• Singul´arn´ı — Nˇekter´a ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice nelze z´ıskat z obecn´eho ˇreˇsen´ı. Ta-kov´a ˇreˇsen´ı, kter´a se vyskytuj´ı pouze u nˇekter´ych rovnic, oznaˇcujeme jako singul´arn´ı (v´yjimeˇcn´e)..
V pˇr´ıpadˇe ˇreˇsen´ı jednoduch´ych diferenci´aln´ıch rovnic lze z´ıskat partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı di-ferenci´aln´ıch rovnic analyticky. V pˇr´ıpadˇe sloˇzitˇejˇs´ıch diferenci´aln´ıch rovnic je zpravidla analytick´e ˇreˇsen´ı pˇr´ıliˇs obt´ıˇzhn´e, proto se pouˇz´ıv´a numerick´e ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic.
2.4.2 Numerick´e metody
Numerick´e ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic se pouˇz´ıv´a tehdy, pokud by nalezen´ı analytick´eho ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice (resp. soustavy diferenci´aln´ıch rovnic) bylo obt´ıˇzn´e, nebo v pˇr´ıpadech, kdy nalezen´ı analytick´eho ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice nen´ı moˇzn´e. Numerick´e metody lze rozdˇelit na jednokrokov´e a v´ıcekrokov´e1. Mezi bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´e jednokrokov´e metody patˇr´ı napˇr. metoda Eulerova, metody Runge-Kutta a metody s vyuˇzit´ım Taylorova poly-nomu.
Eulerova metoda
Eulerova metoda je nejjednoduˇsˇs´ı numerickou metodou pro ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ıch rovnic ([20], [13]). Lze ji povaˇzovat za metodu prvn´ıho ˇr´adu.
Chceme ˇreˇsit diferenci´aln´ı rovnici s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y0 =f(t, y(t)), y(t0) =y0.
Pouˇzij´ı se prvn´ı dva ˇcleny Taylorova rozvoje, kter´e reprezentuj´ı line´arn´ı aproximaci hle-dan´eho ˇreˇsen´ı okolo bodu (t0, y(t0)). Pro jeden krok v´ypoˇctu plat´ı vztah
yn+1 =yn+hf(tn, yn),
kde konstanta hreprezentuje krok v´ypoˇctu. Eulerova metoda je metodou explicitn´ı.
1Dalˇs´ı moˇzn´e dˇelen´ı je na implicitn´ı a explicitn´ı.
Metody Runge-Kutta
Metody Runge-Kutta tvoˇr´ı celou rodinu numerick´ych integraˇcn´ıch metod. Bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´a metoda je oznaˇcov´ana RK4, tedy metoda Runge-Kutta 4. ˇr´adu (RK4, ??). ˇReˇs´ıme defe-renci´aln´ı rovnici s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami a krokemh.
y0 =f(t, y(t)), y(t0) =y0
Pak je metoda RK4 pro tento probl´em d´ana rovnicemi yn+1 = yn+1
Taylor˚uv polynom aproximuje hodnoty funkce f(x), kter´a m´a v dan´em bodˇe a derivaci, pomoc´ı polynomu, jehoˇz koeficienty z´avis´ı na derivac´ıch funkce v tomto bodˇe ([23]). Je definov´an vztahem kde nultou derivac´ı je myˇslena samotn´a funkce, tedyf(0)=f.
V´ıcekrokov´e metody
V´ıcekrokov´e metody z´ısk´avaj´ı hodnotuyn+1z pˇredchoz´ıch hodnotyn−iproloˇzen´ych nˇejak´ych interpolaˇcn´ım polynomem. ˇR´ad metody v tomto pˇr´ıpadˇe odpov´ıd´a ˇr´adu interpolaˇcn´ıho po-lynomu. Obecn´y vzorec v´ıcekrokov´e metody lze zapsat takto:
yn+1=
Kapitola 3
Veden´ı
Veden´ı jsou obecnˇe vzato urˇcit´e pˇrenosov´e prvky slouˇz´ıc´ı k pˇrenosu energie (tepeln´a ˇci elek-trick´a, atd.) nebo informace na nˇejakou delˇs´ı vzd´alenost. Z toho plyne i praktick´a realizace takov´ehoto veden´ı. Zpravidla je veden´ı tvoˇreno soustavou dvou ˇci v´ıce nˇejak´ych vodiˇc˚u, a to rovnobˇeˇzn´ych, pro kter´e plat´ı, ˇze d´elka vodiˇc˚u je mnohon´asobnˇe vˇetˇs´ı neˇz pˇr´ıˇcn´a vzd´alenost mezi nimi.
V t´eto pr´aci se omez´ım pouze na anal´yzu dvouvodiˇcov´eho veden´ı. Schema takov´eho dvouvodiˇcov´eho veden´ı je zn´azornˇeno na n´asleduj´ıc´ım obr´azku.
Obr´azek 3.1: Sch´ema dvouvodiˇcov´eho veden´ı
Po pˇripojen´ı takov´eho veden´ı ke zdroji promˇenn´eho elektrick´eho napˇet´ı prot´ek´a veden´ım promˇenn´y elektrick´y proud a v okol´ı takov´ychto vodiˇc˚u se vytvoˇr´ı elektrick´e pole ´umˇern´e prot´ekaj´ıc´ımu napˇet´ı a magnetick´e pole ´umˇern´e prot´ekaj´ıc´ımu proudu. Vzhledem k tomu, ˇ
ze se jedn´a o promˇenn´e elektrick´e napˇet´ı, je tˇreba uv´aˇzit, ˇze prot´ekaj´ıc´ı napˇet´ı a proud mˇen´ı svou velikost v z´avislosti na vzd´alenosti od zdroje elektrick´eho napˇet´ı, ukazuje se, ˇze ˇs´ıˇren´ı energie pod´el veden´ı je v podstatˇe vlnov´y proces.
3.1 Prim´ arn´ı parametry veden´ı
Na obr´azku 3.1 je zn´azornˇeno dvouvodiˇcov´e veden´ı na jedn´e stranˇe zakonˇcen´e zdrojem napˇet´ı, na stranˇe druh´e pak pasivn´ım prvkem. Vodiˇce mohou b´yt libovoln´eho pˇr´ıˇcn´eho pr˚uˇrezu, ˇci jakkoli uspoˇr´ad´any, nicm´enˇe pˇredpokl´ad´a se, ˇze pˇr´ıˇcn´e rozmˇery vodiˇc˚u a jejich vzd´alenost jsou mnohon´asobnˇe menˇs´ı, neˇz d´elka veden´ı. Veden´ı je definov´ano prim´arn´ımi
parametryR0,G0,L0,C0, kter´e budou diskutov´any d´ale.
3.1.1 Mˇern´y elektrick´y odpor R0
Mˇern´y elektrick´y odpor R0[Ωm−1] je celkov´y ˇcinn´y odpor obou vodiˇc˚u na jednotku d´elky.
Prot´ek´a-li veden´ım jednotkov´e d´elky proud i, kter´y vyvol´av´a na vodiˇc´ıch pod´eln´y ´ubytek napˇet´ı ∆u0 = ∆u10+ ∆u20, je mˇern´y odpor
Vyjadˇruj´ı se j´ı ztr´aty zp˚usoben´e svodem dielektrika. Pokud ∆i0reprezentuje pˇr´ıˇcn´y svodov´y proud na jednotku d´elky veden´ı pˇri napˇet´ıu=konst., pak je mˇern´a pˇr´ıˇcn´a vodivost
Mˇern´a indukˇcnost L0[Hm−1] je indukˇcnost jednotkov´e d´elky veden´ı. Prot´ek´a-li veden´ım proudi, proch´az´ı plochou mezi vodiˇci jednotkov´e d´elky vlastn´ı magnetick´y tok Φ0 a mˇern´a indukˇcnost je n´aboj akumulovan´y na jednotkovou d´elku veden´ı pˇri napˇet´ıu, pak mˇern´a kapacita je
C0= τ