Konstituˇcní modelování Numerické modelování v aplikované geologii David Mašín

(1)

Konstituˇcní modelování

Numerické modelování v aplikované geologii

David Mašín

Ústav hydrogeologie, inženýrské geologie a užité geofyziky Pˇrírodov ˇedecká fakulta

Karlova Univerzita v Praze

Pˇrednášky pro obor Geotechnologie

David Mašín (Karlova Univerzita v Praze) Konstituˇcní modelování Geotechnologie 1 / 65

Úvod

V této ˇcásti pˇrednášky se seznámíme se základy matematického modelování mechanického chování geomateriál ˚u - tzv. konstituˇcní modelování.

Nejprve si shrneme nejd ˚uležit ˇejší aspekty chování zemin: jde o opakování látky z pˇredm ˇetu mechanika zemin, ovšem vid ˇeno z perspektivy matematického modelování.

Poté si postupn ˇe probereme jednotlivé pˇrístupy k modelování zemin a shrneme jejich výhody a nevýhody.

(2)

Obsah

1 Shrnutí chování zemin

2 Konstituˇcní modelování zemin

Parametry versus stavové prom ˇenné Pružnost

Elasto-plasticita Hypoplasticita

Shrnutí chování zemin

Nevratnost chování zemin

Chování zemin je nevratné (neelastické).

(3)

Shrnutí chování zemin

Vliv pórovitosti a nap ˇetí na výsledky drénované triaxiální zkoušky

• Vliv pórovitosti

ε₁

p=

/p

e q

p

• Vliv nap ˇetí

ε

₁

ε

₁

e

p>

q_/p

p

Shrnutí chování zemin

Vliv pórovitosti a nap ˇetí interpretované pomocí mechaniky kritických stav ˚u

(4)

Shrnutí chování zemin

Mezní plocha stav ˚u

p’

e

q

isotropic NCL CSL

State Boundary Surface

K NCL

₀

Shrnutí chování zemin

Nelinární chování zemin

Nedrénovaná triaxiální zkouška na jílu, pracovní diagram

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

q/p [-]

ε_s [-]

experiment, london clay Mohr-Coulomb

Tuhost vs. smykové

pˇretvoˇrení v logaritmickém m ˇeˇrítku stiffness stiffness

0 5 10 15 20 25 30 35 40

1e-05 0.0001 0.001 0.01 0.1

G [MPa]

ε_s [-]

experiment, london clay Mohr-Coulomb

(5)

Shrnutí chování zemin

Závislost chování na sm ˇeru zat ˇežování

Stejná dráha nap ˇetí, ale rozdílná historie zat ˇežování

Tuhost versus pˇretvoˇrení

Atkinson et al. (1990)

Shrnutí chování zemin

Závislost tuhosti na úrovni nap ˇetí

Tuhost pˇri velmi malých pˇretvoˇreních G₀ na londýnském jílu

10 20 30 40 50 60

G [MPa]

(6)

Shrnutí chování zemin

Základní aspekty chování zemin které lze modelovat pomocí materiálových model ˚u:

Závislost chování na stˇredním nap ˇetí a pórovitosti Mezní plocha stav ˚u

Závislost chování na historii zat ˇežování Závislost tuhosti na úrovni nap ˇetí

Konstituˇcní modelování zemin

Outline

1 Shrnutí chování zemin

2 Konstituˇcní modelování zemin

Parametry versus stavové prom ˇenné Pružnost

Elasto-plasticita Hypoplasticita

(7)

Konstituˇcní modelování zemin Parametry versus stavové prom ˇenné

Parametry versus stavové prom ˇenné

Vždy musíme rozlišovat parametry a stavové prom ˇenné.

Parametry: materiálové konstanty závislé na typu zeminy, ale nezávislé na jejich stavu (napˇr. úhel vnitˇrního tˇrení v kritickém stavu).

Stavové prom ˇenné: prom ˇenné charakterizující stav (nap ˇetí, ˇcíslo pórovitosti...).

"Parametry" n ˇekterých model ˚u závisí na stavu, což není správný pˇrístup k modelování (napˇríklad úhel vnitˇrního tˇrení

Mohr-Coulombova modelu).

Konstituˇcní modelování zemin Parametry versus stavové prom ˇenné

Definice konstituˇcního modelu

Konstituˇcním (materiálovým) vztahem rozumíme matematickou závislost mezi deformací materiálu a jeho stavovými veliˇcinami.

Obecná formulace konstituˇcního modelu m ˚uže být zapsána jako:

∆σ = M∆

kde M je tzv. matice tuhosti.

Modely d ˇelíme dle toho, jak maticeM závisí/nezávisí na pˇrír ˚ustku deformace ∆ a na stavových prom ˇenných.

(8)

Konstituˇcní modelování zemin Pružnost

Pružnost

Pružnost: M nezávisí na ∆.

M konstantní b ˇehem zat ˇežování: lineární pružnost. Pokud M závisí na stavových prom ˇenných: nelineární pružnost.

Lineární pružnost: Young ˚uv modul E a Poissonovo ˇcíslo ν jako parametry:

M= E

(1+ν) (1−2ν)







1−ν ν ν

ν 1−ν ν

ν ν 1−ν

1−2ν







Zde tenzory nap ˇetí a pˇretvoˇrení jsou uvažovány jako vektory:

σ = [σ₁₁, σ₂₂, σ₃₃, σ₁₂, σ₁₃, σ₂₃] = [₁₁, ₂₂, ₃₃, ₁₂, ₁₃, ₂₃]

Pružnost

Fyzikální význam Youngova modulu E a Poissonova ˇcísla ν je takový, že pro triaxiální axisymetrickou kompresi platí

σ₁₁ = E₁₁ ν = − ₂₂ ₁₁

Izotropní lineární elasticita se n ˇekdy vyjadˇruje pomocí smykového modulu G a objemového modulu K, jež mají následující význam:

q = 3G_s p = K_v což lze zapsat pomocí maticového zápisu

∆p

∆q

=

K 0 0 3G

∆_v

∆_s

Lze ukázat, že vztah mezi G, K, E a ν je následující:

G = E

2(1 +ν) K = E

3(1− 2ν)

(9)

Pružnost

Obecn ˇe platí, že pro lineární izotropní pružnost vždy potˇrebujeme pouze dva parametry. Ostatní m ˚užeme dopoˇcítat.

Dalším pˇrípadem je oedometrický modul E_oed jako pom ˇer axiálního nap ˇetí a pˇretvoˇrení pˇri oedometrické zkoušce:

σ₁₁ = E_oed₁₁

Dá se ukázat, že

E_oed = E(1− ν) (1+ ν)(1− 2ν)

Shrnutí lineární pružnosti

Lineárn ˇe pružný model pˇredpovídá/nepˇredpovídá následující aspekty chování zemin:

(10)

Nelineární pružnost

Duncan-Chang ˚uv (1970) model: Pracovní diagram triaxiální zkoušky charakterizovaný pomocí hyperboly

σ = a+ b a = 1/E_T₀ b = 1/σ_u

Nelinérní elasticita

rozhoduje podmínka plastického zat ˇežování Deformace materiálu je elasto-plastická, pokud je stav na ploše plasticity a souˇcasn ˇe pˇrír ˚ustek pˇretvoˇrení sm ˇeˇruje k "pˇrit ˇežování"

Pro vyhodnocení podmínky plastického zat ˇežování je tˇreba definovat zkušební pˇrír ˚ustek nap ˇetí ∆σ^e

∆σ^e = M^e∆

(13)

Elasto-plasticita

Podmínka plastického zat ˇežování

(a) Stav nap ˇetí je na ploše plasticity a zkušební pˇrír ˚ustek ∆σ^e sm ˇeˇruje vn ˇe plochu plasticity ⇒ Dochází k elasto-plastickému pˇrit ˇežování.

(b) Stav nap ˇetí je na ploše plasticity a zkušební pˇrír ˚ustek ∆σ^e

sm ˇeˇruje dovnitˇr ˇci podél plochy plasticity ⇒ Odezva je elastická.

(c) Stav nap ˇetí je uvnitˇr plochy plasticity ⇒ Odezva je elastická.

Elasto-plasticita

Sm ˇer pˇrír ˚ustku plastického pˇretvoˇrení

Sm ˇer ∆^p je kolmý k ploše plastického potenciálu g. Tato plocha je funkcí nap ˇetí. Výpoˇcet pomocí gradientu.

∆~^p = ∂g

∂σ

U ideáln ˇe plastických model ˚u je plocha plastického pontenciálu v ˇetšinou volena tak, aby model pˇredpovídal dilatanci pˇri

zplastizování.

(14)

Elasto-plasticita

Sdružená a nesdružená plasticita

Pokud je funkce plastického potenciálu g(σ) shodná s podmínkou plasticity f(σ), hovoˇríme o tzv. sdružené plasticit ˇe (associated plasticity), v opaˇcném pˇrípad ˇe o nesdružené plasticit ˇe

(non-associated plasticity).

Elasto-plasticita

Podmínka konzistence

Velikost pˇrír ˚ustku plastických pˇretvoˇrení poˇcítaná z podmínky konzistence (po pˇrír ˚ustku pˇretvoˇrení musí pˇri elasto-plastickém zat ˇežování stav z ˚ustat na ploše plasticity).

(15)

Elasto-plasticita

Podmínka konzistence

Význam pˇrír ˚ustku plastického pˇretvoˇrení ∆ v elasto-plastickém konstituˇcním vzathu lze demonstrovat následovn ˇe:

∆σ = Mê : (∆ −∆^p) = Mê : ∆−Mê : ∆^p = ∆σê−Mê : ∆^p

∆σ^e nazýváme pružný prediktor pˇrír ˚ustku nap ˇetí a M^e : ∆^p plastický korektor.

Z obr je patrné, jakým zp ˚usobem je sestavena podmínka konzistence.

Elasto-plasticita

-0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 εv [-]

ε_s [-]

experiment ψ=2° ψ=10°ψ=5°

⇒ ψ ' 5^◦

(19)

Elasto-plasticita

Mohr-Coulomb ˚uv model - omezení

Mohr-Coulomb ˚uv model má dva základní nedostatky:

1 Císlo pórovitosti (ulehlost) nejsou uvažovány jako stavovéˇ prom ˇenní. Rozdílné parametry pro rozdílné relativní ulehlosti.

2 Lineárn ˇe elastické chování uvnitˇr plochy plasticity: nepˇredpovídá nelinární chování zemin.

Elasto-plasticita

Mohr-Coulomb ˚uv model - omezení

Jiný problém: linárn ˇe elastická matice tuhosti implikuje nezávislost objemových a smykových deformací.

∆p

∆q

=

K 0 0 3G

∆_v

∆_s

To vede k pˇrehodnocení smykové pevnosti zemin.

q

c simulation_u

simulation Mohr−Coulomb failure envelope

(20)

Elasto-plasticita

Mohr-Coulomb ˚uv model - shrnutí

Základní aspekty chování zemin které lze modelovat pomocí materiálových model ˚u vs. Mohr-Coulomb ˚uv konstituˇcní model:

(Ano/Ne)

Závislost chování na stˇredním nap ˇetí a pórovitosti (MC: constantní úhel vnitˇrního tˇrení a dilatance)

Mezní plocha stav ˚u (MC: pouze podmínka porušení)

Nelinární chování zemin (MC: konstantní modul pružnosti)

Závislost chování na historii zat ˇežování (MC: tuhost nezávislá na historii zat ˇežování)

Závislost tuhosti na úrovni nap ˇetí (MC: konstantní tuhost)

Plasticita se zpevn ˇením

Zemina se chová nelinárn ˇe daleko pˇredtím než je dosaženo finálního stavu porušení.

Isotropic loading-unloading

Drained triaxial test

Zemina si "pamatuje" pˇredchozí maximální zatížení.

(21)

Plasticita se zpevn ˇením

K pˇredpovídání tohoto fenoménu, plocha plasticity musí záviset na dalších stavových prom ˇenných (jako pˇrekonsolidaˇcní nap ˇetí nebo ˇcíslo pórovitosti).

Navíc k tomu, plocha plasticity je uzavˇrená v prostoru nap ˇetí (tímto zp ˚usobem jsou pˇredpovídány nevratné deformace pro dráhy nap ˇetí které nevedou k porušení).

Model Cam jílu

Základní model plastcity se zpevn ˇením: Model Cam jílu (Roscoe and Burland, 1968).

Založen na mechanice kritických stav ˚u. Pˇripome ˇnme experimentální základ:

εa

σa

φc

φp

ε_a ec

e

(22)

Model Cam jílu

Každý model plasticity se zpevn ˇením je tvoˇren následujícími komponenty: elastická matice tuhosti, plocha plasticity, zákon zpevn ˇení (nové oproti ideáln ˇe plastickým model ˚um), plastický potenciál.

Elasticita: isotropní elasticita, s parametry smykový modul G a parameter κ, který kontroluje objemový modul K = p(1 +e)/κ

p_c Critical state line

ln p 1+e

Isotr. normal compression line N

current state Isotr. unloading line

1 1

λ κ

Model Cam jílu

Plocha plasticity modelu Cam jílu má eliptický tvar. Její velikost je kontrolována pˇrekonsolidaˇcním nap ˇetím p_c.

M = 6 sinϕ_c 3− sinϕ_c

Pom ˇer poloos elipsy je kontrolován parametrem M, který je pro triaxiální kompresi vztažen ke kritickému úhlu vnitˇrního tˇrení dle

(23)

Model Cam jílu

Zákon zpevn ˇení modelu Cam jílu specifikuje závislost plochy plastcity na plastických objemových pˇretvoˇreních

∆p_c = p_c(1 +e) λ− κ ∆^p_v

Vývoj p_c je definován tak, aby sm ˇernice ˇcáry isotropní normální konsolidace byla definována parametrem λ

p_c Critical state line

ln p 1+e

Isotr. normal compression line N

current state

Isotr. unloading line

p

q q

εs p

ε_v

ε_s ε^p

εp

(26)

Omezení

Model Cam jílu pˇredpovídá nelineární chování normáln ˇe konsolidovaných jíl ˚u

0 20 40 60 80 100 120

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

q [kPa]

εs [-]

experiment, loose Modified Cam clay

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 εv [-]

εs [-]

experiment, loose Modified Cam clay

Model Cam jílu

Omezení

Problematiˇct ˇejší je ovšem pˇredpov ˇed’ chovánípˇrekonsolidovaných zemin.

0 50 100 150 200 250

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

q [kPa]

εs [-]

experiment, dense Modified Cam clay

-0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 εv [-]

εs [-]

experiment, dense Modified Cam clay

1 Úhel vnitˇrního tˇrení ve vrcholovém stavu pˇrehodnocen. ˇCasto je mén ˇe pˇresné využít model Cam jílu než model Mohr-Coulomb ˚uv!

2 Elastické chování uvnitˇr plochy plasticity – model nepˇredpovídá nelinearitu tuhosti.

(29)

Model Cam jílu

Shrnutí

Základní aspekty chování zemin, pˇredpov ˇed’ pomocí vs. Modelu Cam jílu:

(Ano/Ne/Cáste ˇcn ˇe)ˇ

Závislost chování na stˇredním nap ˇetí a pórovitosti (MCC: nicmén ˇe vrcholová pevnost pˇrehodnocena)

Mezní plocha stav ˚u

Nelinární chování zemin (MCC: Nelinearita pouze u normáln ˇe konsolidovaných zemin, není tuhost pˇri velmi malých pˇretvoˇreních) Závislost chování na historii zat ˇežování (MCC: V elastické oblasti není tuhost závislá na historii zat ˇežování)

Závislost tuhosti na úrovni nap ˇetí (MCC: Pouze objemová tuhost je závislá).

Model Cam jílu

Alternativy

Bez diskuse, modely ideální plasticity a plasticity se zpevn ˇením založené na jedné ploše plasticity nejsou schopné pˇredpovídat n ˇekteré zásadní aspekty mechanického chování zemin.

Alternativou jsou pokroˇcilé elasto-plastické modely založené na kinematickém zpevn ˇení. Ty jsou ovšem ˇcasto komplikované pro implementaci a využití.

Druhou alterantivou jsou hypoplastické modely. Základy hypoplasticity budou nyní probrány.

(30)

Konstituˇcní modelování zemin Hypoplasticita

Základy hypoplasticity

Hypoplasticita se odlišuje od elasto-plasticity tím, že ned ˇelí pˇretvoˇrení na vratnou a nevratnou ˇcást.

I pˇresto pˇredpovídá základní aspekty chování zemin, jako je nelinearita, nevratnost chování a porušení.

Podmínka plastického zat ˇežování je nahrazena rovnicí nelineární v ∆

∆σ = E₁∆− E₂|∆|

s moduly E₁ > E₂ > 0 (1D verze).

Pˇri pˇritížení (∆ > 0), tuhost E = E₁ − E₂

Pˇri odlehˇcení, tuhost E = E₁ + E₂ Vyšší tuhost pˇri odlehˇcení než pˇri pˇritížení, bez nutnosti plastického pˇretvoˇrení.

Základy hypoplasticity

Modelování nelinearity

Nelineární chování je modelováno uvažováním E₁ a E₂ jako funkcí stavových prom ˇenných.

První krok je zohledn ˇení závislosti tuhosti na nap ˇetí

∆σ = E₁∆− E₂|∆| ∆σ = C₁σ∆−C₂σ|∆|

(31)

Základy hypoplasticity

1D hypoplasticita pro smyk

Jednoduchý 1D hypoplastický model pro smyk:

∆τ = E

∆γ −

τ τ_max

|∆γ|

Když τ = 0 a pˇritížení (∆γ > 0), pak je tuhost E.

Když τ = τ_max a pˇritížení, pak je tuhost 0 (pˇredpov ˇed’ porušení).

Když τ = τ_max a odlehˇcení, pak je tuhost 2E.

Základy hypoplasticity

2D hypoplastický model pro stlaˇcení a smyk

V pˇredchozím jsme definovali dva odd ˇelené modely, jeden pro kompresi a druhý pro smyk. Jejich kombinace pro 2D model m ˚uže být napˇríklad:

∆σ

∆τ

=

Lσ 0 0 L_τ

∆

∆γ

−

Nσ 0 0 N_τ

|∆|

|∆γ|

Tato formulace není sdružená, což znamená že smykové nap ˇetí nevede k objemovým deformacím a naopak.

Nakonec zohledníme sdružení smykových-objemových zm ˇen tímto zp ˚usobem:

(32)

Základy hypoplasticity

Skuteˇcné hypoplastické modely samozˇrejm ˇe musí být definovány v 3D prostoru. Obecná formulace modelu je pak následující:

∆σ = L∆+Nk∆k

Nejobtížn ˇejší ˇcást ve vývoji hypoplastických model ˚u je samozˇrejm ˇe volba modul ˚u L a N.

Princip volby L a N vychází z 1D postupu demonstrovaného výše.

Hypoplasticita jako model nelineárního chování zemin

Shrnutí

Pokroˇcilé hypoplastické modely pak mohou pˇredpovídat všechny d ˚uležité aspekty mechanického chování zemin:

Závislost chování na stˇredním nap ˇetí a pórovitosti.

Mezní plocha stav ˚u.

Nelinární chování zemin.

Závislost chování na historii zat ˇežování.

Závislost tuhosti na úrovni nap ˇetí.

(33)

Shrnutí

Chování zemin je komplikované a jednoduché modely jako model Mohr-Coulomb ˚uv nevystihují jeho chování dostateˇcn ˇe pˇresn ˇe.

Mohr-Colomb ˚uv model v podstat ˇe pˇredpovídá správn ˇe pouze tvar plochy plasticity. To je v poˇrádku pro výpoˇcty stability. Model je nicmén ˇe nevhodný pro pˇredpov ˇedi deformací.

Elasto-plasticita se zpevn ˇením a jednou plochou plasticity (Cam clay) je výborný koncept, ale není ve výsledku lepší než

Mohr-Coulomb pro kvantitativní pˇredpov ˇedi.

Pro správné pˇredpov ˇedi deformací geotechnických konstrukcí musíme zohlednit nelineární chování zemin. Pˇríkladem t ˇechto model ˚u jsou pokroˇcilé elasto-plastické modely a hypoplasticita.