THORALF SKOLEM IN MEMORIAM

THORALF SKOLEM IN MEMORIAM

P A R T R Y G V E NAGELL

Uppsala, Sweden

La m o r t subite et inattendue de Thoralf Skolem a frappd les mathdmaticiens scan- dinaves d'une douleur profonde. I1 est dgcdd~ ~ Oslo le 23 mars 1963 dans sa 76 e a n - nde, en train de prdparer sa quatri~me visite dans les ]~tats-Unis.

Thoralf Albert Skolem naquit le 23 mai 1887 s Sandsvaer, canton situd dans le d~-

p a r t e m e n t Buskerud dans le sud de Norv~ge. Son p~re, descendant d'une famille de pay-

sans, dtait instituteur dans l'dcole primaire. Apr~s avoir passd Son baccalaurdat ~ l']~cole

Cathddrale de Kristiania (d~s 1925 Oslo), dans le printemps 1905, Thoralf Skolem cora-

l -

H T R Y G V E N A G E L L

menqa ses ~tudes ~ la Facult4 des Sciences de l'Universit~ de Kristiania. I1 y passa des examens partiels dans les disciplines suivantes : mathdmatiques (sujet principal), mdca- nique rationnelle, astronomic, physique, chimie, zoologic et botanique, pour obtenir (en 1913) le degrd de licencid ~s sciences; son examen complet, a y a n t re~u la plus h a u t e dis- tinction possible, rut rapport~ au Roi de :Norv~ge. P e n d a n t la p~riode 1909-1914 il 4tait math4maticien assistant chez l'dminent physicien Kristian Birkeland, professeur s l'Uni- versitd de Kristiania. I1 participa s l'exp4dition de Birkeland ~ K h a r t o u m , au Soudan, p o u r ~tudier la lumi~re zodiacale 1913-1914.

Voici les faits les plus importants de son curriculum vitae depuis 1914. P e n d a n t la pdriode 1914-16 : dtudes h l'Universit4 de G6ttingen. 1916-18 : charg~ de cours en math~- matiques ~ l'Universitd de Kristiania: 1918-1930 : maitre de conferences (docent) ~ la m~me universitd. P e n d a n t la p~riode 1924-26 : chargd de cours ~ l'~cole supdrieure de commerce s Oslo. 1926 docteur ~s sciences ~ l'Universit~ d' Oslo; sa th~se, (( Einige S~tze tiber ganzzahlige LSsungen gewisser Gleichungen und Ungleichungen ~, fur publide dans les Mathem. Annalen, t. 95 (1925). E n 1930 il fur attach~ ~ l ' I n s t i t u t Christian Michelsen, Bergen, en qualitd de professeur de recherche en mathdmatiques. ]~tant, dans cette position, libdr~ de routes les charges d'enseignement, d'examens et d'administration, il a pu se livrer enti~rement ~ ses recherches scientifiques. Il y resta jusqu' ~ 1938 quand il retourna l'Universit~ d'Oslo, appelg s une chaire ordinaire de mathdmatiques. I1 prit sa retraite en 1959.

Skolem a ~t~ un des r~dacteurs des Acta Mathematica depuis 1938. I1 a r~dig~ le Norsk Matematiak Tidsskrift (Oslo) de 1930 s 1952. I1 a aussi ~td m e m b r e de la rddaction des journaux suivants : The J o u r n a l of Symbolic Logic (depuis 1949) et Mathematica Scandinavica (depuis 1953).

La m o r t pr~maturde de Skolem signifie une perte tr~s sensible pour les sciences mathdmatiques. A l'~ge de 75 arts, Skolem ~tait encore plein de vitalit4 et d'activit~. On sait qu'il avait alors en preparation un bon nombre de travaux.

L a production math~matique de Skolem a une extension imposante quoiqu'il ait commencd de publier relativement tard. Celle-ci embrasse plus de 170 t r a v a u x dont la p l u p a r t traite des sujets a p p a r t e n a n t aux disciplines suivantes : alg~bre, th~orie des nombres, logique m a t h d m a t i q u e et fondement des mathdmatiques. Dans cette derni~re discipline il rut un des grands pionniers. C'est surtout ~ cause de ses remarquables t r a v a u x dans ce domaine qu'il s'~tait acquis une rdputation de s a v a n t d'~lite.

D'aiUeurs il a aussi donn4 de belles contributions s la g~om~trie algdbrique, ~ la md-

canique rationnelle, s la th4orie des ensembles, ~ la topologie alg~brique, ~ la th4orie des

groupes, s la th4orie des treillis, ~ la combinatorique, h la thdorie des s~ries de Dirichlet.

T H O R A L F S K O L E M I N M E M O R I A M I I I

D a n s ses oeuvres il donne des preuves extra-ordinaires d'originalit~ et de fantaisie fertile. I1 ~tait doud d ' u n e intelligence pdndtrante et d ' u n e clartd d'esprit q u ' o n ne t r o u v e pas souvent. I1 a v a i t l'esprit critique et ~ la fois constructif et poss~dait une capacit4 souveraine ~ maitriser et utiliser des ressources vari~es.

I1 ne saurait ~tre question en quelques lignes de d~crire l'ceuvre scientifique de Skolem, celle.ci d t a n t t r o p dtendue. Nous nous bornerons ~ faire quelques r~flexions sur les ten- dances de ses recherches principales.

La moiti~ des t r a v a u x de Skolem traite des questions de la th~orie des nombres, en premier lieu des probl~mes c o n c e r n a n t les dquations diophantiennes. Skolem a donng des contributions r e m a r q u a b l e s ~ plusieurs branches de ce domaine. Nous nous contenterons d ' u n e courte d~scription de son r~sultat le plus i m p o r t a n t . E n g~n~ralisan~ u n proc~d~ que j ' a v a i s appliqud dans plusieurs m~moires, il a ddveloppd une m d t h o d e ing~nieuse p o u r traiter des classes tr~s 4tendues d'~quations diophantiennes. I1 consid~re des syst~mes d'dqua- tions du t y p e

N ( g 1 X 1 + O~ 2 X 2 ~ - . . . + O~ n X n ) = h, ]

/ , ( x 1, x 2 . . . xn) = O, (i = 1, 2 . . . m ) , I

(1) off ~1, ~2 . . . . , ~n signifient des n o m b r e s d ' u n corps algdbrique K et N la n o r m e dans co corps; h e s t u n n o m b r e entier rationnel; l e s / , sont des p o l y n o m e s ~ coefficients entiers rationnels. I1 s'agit de rdsoudre ce systbme en n o m b r e s entiers rationnels xs, x2, ... , xn.

E n v e r t u de la thdorie des unitds algdbriques il est dvident que le probl~me d q u i v a u t rdsoudre u n certain syst~me d ' d q u a t i o n s exponentielles, off les inconnues sont les e x p o s a n t s us, u2, .... Ur des puissances e~ 1, u~ ~2 . . . er r, ~1, e2,..., er signifiant u n syst~me f o n d a m e n t a l u fixe d'unit~s dans K; Ul, u2 . . . . , u r d o i v e n t ~tre des entiers rationnels. S i p est un n o m b r e premier, on m o n t r e ais~ment que les fonctions f~ (Xs, x~ . . . x~) p e u v e n t ~tre d~veloppdea dans des s~ries de puissances p - a d i q u e s de la forme

~ a (~) u s~ u s" u~r

s l , . . . , s r 1 2 9 9 9

qui sont convergentes p o u r routes les valeurs enti~res p - a d i q u e s de us, Uz, ..., Ur; & cause de la sym~trie p a r r a p p o r t a u x conjugu~s, les coefficients a (~) sont ici n~cessairement rationnels. Maintenant, si les dquations

~ a (~) u s~ u s~ u~ sr = 0 (p), (2)

s l , . . . , s r 1 2 9 9 9

p o u r 1

sont ind~pendantes entre eUes, on p e u t m o n t r e r que le syst~me (2)

n ' a d m e t q u ' u n n o m b r e fini de solutions Us, u~ . . . u, en n o m b r e s p-adiques. P a r conse-

quent, dans ce cas le n o m b r e de solutions du syst~me (1) est aussi limitd. L a m d t h o d e

p e r m e t dans un assez g r a n d n o m b r e de cas de reconnaitre s'il y a des solutions ou non, et,

dans le cas affirmatif, de ddterminer effectivement t o u t e s les solutions p a r un n o m b r e fini

I V T R Y G V E N A G E L L

d'opdrations. Skolem a ensuite propos~ des g~n~ralisations dans plusieurs directions. I1 a illustr6 sa mdthode par de nombreux r~sultats partieuliers. Cependant il n ' a pas poursuivi ses recherches, et ainsi il reste un domaine vaste ~ explorer.

I1 a aussi publi~ une monographie tr~s apprdci~e sur la th~orie des ~quations dio- phantiennes.

Aucune discipline mathdmatique n'est aussi difficile que celle qui s'occupe des fonde- ments; elle exige une extra-ordinaire puissance d'abstraction. Skolem a joud un rSle tr~s important dans ]e d~veloppement de cette brancbe des mathdmatiques. Ddjs a v a n t 1915 il avait obtenu des r~sultats remarquables; entre autres, il a ~tabli les faits suivants : 1 ~ la relativit~ des notions et des thdor~mes de la thdorie des ensembles et 2 ~ rimpossibilit~ de caractdriser compl~tement les notions math~matiques par un nombre fini ou nombre infini d~nombrable d'axiomes. Dans ses raisonnements le cdl~bre th~or~me de LSwenheim- Skolem joue un r61e essentiel.

Les points de r u e de Skolem sur les sciences math~matiques s'accordent avec ceux de Poincard. Les math~matiques n'existent pas au del~ de l'homme, pas ind~pendamment de l'homme. Nous les crdons et nous ne les d~couvrons pas. Les d~finitions et les classifica- tions non-pr~dicatives doivent ~tre d~fendues. La ddfinition d ' u n objet math~matique doit

~tre faite par un nombre fini de roots. L'infini est virtuel et non pas actuel.

Apr~s la d~couverte des antinomies dans la th~orie des ensembles, la question sui- vante s'imposait aux mathdmaticiens : Comment faire pour ~tablir les matbdmatiques d'une mani~re qu'on ffit stir qu'aucun paradoxe ne pfit apparaitre? On sait que cela a donn~ lieu s plusieurs essais pour (( sauver )~ les math~matiques. L'essai de Zermelo, tout aussi peu que ceux de Fraenkel, v. Neumann etc., ne donnent aucune assurance. Le pro- gramme de Hilbert n ' a b o u t i t pas non plus. La thdorie de Russell et Whitehead souffle de certaines faiblesses qu'on ne saib pas comment dloigner. Dans l'intuitionisme de Brouwer on a la certitude d'avoir exclu ]'apparition de paradoxes; cette thdorie est, cependant, si radicale qu'elle ne peut pas ~tre r~alis~e sans la perte d'une grande partie de l'analyse ordinaire.

L'essai qui promet le plus est sans doute celui de Skolem. Dans un m~moire publi~

en 1923 il a montr~ que l'arithmdtique ordinaire peut ~tre ~tablie d'une manibre finitiste

en employant exclusivement des ddfinitions par rdcurrence et des d~monstrations par

induction complete sans se servir de quantificateurs. Cela dlimine

route possibilitd

d ' u n paradoxe. L'application du

peut ~tre ~vit~e. T o u s l e s ensembles

seront ddnombrables; la thgorie des nombres transfinis deviendra une fiction. De plus,

8kolem indique comment les fonctions arithm~tiques arbitraircs peuvent ~tre traitges de

]a mgme manigre.

THORALF SKOLEM IN MEMORIAM

L ' e x t e n s i o n d e la t h d o r i e d e S k o l e m h l ' a n a l y s e est possible, m a i s n ' a p a s encore ~t~

rdalisde. L a q u e s t i o n est s e u l e m e n t d e s a v o i r si n o u s a u r o n s une f o r m e d ' a n a l y s e qui e s t p l u s p a u v r e et m o i n s effective que l ' a n a l y s e classique. S k o l e m ~ t a i t p e r s o n n e l l e m e n t con- v a i n c u que cela n ' d t a i t p a s n~cessaire. Des recherches f u t u r e s v o n t ~claircir c e t t e question.

S k o l e m d t a i t tr~s degu d u m a n q u e d ' i n t d r S t p a r m i les m a t h ~ m a t i c i e n s p o u r les iddes f i n i t i s t e s , m a n q u e d ~ p e n d a n t d ' u n r e s p e c t exag~r~ d e l ' a n a l y s e classique. On se r a p p e l l e sa d d c l a r a t i o n a u CongrSs i n t e r n a t i o n a l des m a t h d m a t i c i e n s d a n s les U.S.A. en 1950 : ((We o u g h t n o t t o r e g a r d all t h a t ' s w r i t t e n in t h e t r a d i t i o n a l t e x t b o o k s a s s o m e t h i n g sacred.~) C e p e n d a n t , ces t e m p s d e r n i e r s l ' i n t d r ~ t p o u r (~ l ' a r i t h m ~ t i q u e r~cursive d e S k o l e m ~) a sen- s i b l e m e n t a u g m e n t 4 .

C o m m e la p l u p a r t des m a t h ~ m a t i c i e n s norv~giens S k o l e m d t a i t a u t o d i d a c t e . C ' e s t l ' ~ m i n e n t a l g d b r i s t e L u d v i g S y l o w (1832-1918) qui a eu la p l u s g r a n d e influence s u r 1'ori- e n t a t i o n scientifique de Skolem. Les cdl~bres t r a v a u x d ' A x e l T h u e (1863-1922) o n t ~veill~

son intdr~t p o u r les g q u a t i o n s d i o p h a n t i e n n e s .

S k o l e m s ' a d o n n a c o m p l ~ t e m e n t s sa science qui d t a i t p r a t i q u e m e n t son seul intdrSt.

I1 ne s ' i n t ~ r e s s a i t p a s b e a u c o u p ~ l ' e n s e i g n e m e n t . P o u r t a n t , ses cours, solides e t e x a c t s , f u r e n t tr~s appr~ci4s p a r ses ~l~ves. I1 n ' a p p a r t e n a i t p a s s c e u x qui a i m e n t ~ b r i l l e r p a r l'~loquence d a n s les conferences.

P e r s o n n e l l e m e n t , c ' d t a i t u n h o m m e p a i s i b l e e t m o d e s t e qui d d d a i g n a i t d e faire d e la r d c l a m e p o u r lui-mSme. I1 4fair d o u d d ' u n n a t u r e l tr~s gai e t d ' u n h u m o u r r a y o n n a n t . L a d r o i t u r e e t la noblesse de son c a r a c t ~ r o e t son a m a b i l i t ~ n a t u r e l l e a v a i e n t conquis la s y m p a t h i e de t o u s c e u x qui l ' a p p r o c h a i e n t .

T a b l e des t r a v a u x m a t h ~ m a t i q u e s de T h o r a l f S k o l e m

1., Une m~thode 6num6rative de la g~ometrie.

I, 1914 no. 12 (en collab.

avee Kr. Birkeland).

2. Om konstitutionen av den identiske kalkuls grupper (Sur la constitution des groupes du calcul identique).

1913,

3. Untersuehungen fiber einige Klassen kombinatoriseher Probleme.

1917 no. 6.

4. Untersuchungen fiber die Axiome des Klassenkalkuls und fiber Produktations- und Summations- probleme, welehe gewisse Klassen yon Aussagen betreffen.

I, 1919 no. 3.

5. Ludvig Sylow og hans videnskabelige arbeider (L.S. et son oeuvre scientifique).

1, Kristiania 1919.

6. Logiseh-kombinatorische Untersuchungen fiber die Erffillbarkeit oder Beweisbarkeit mathema- tischer S~tze nebst einem Theoreme fiber dichte Mengen.

I, 1920 no. 4.

7. Untersuchungen fiber die mSgliehen Verteilungen ganzzahliger LSsungen gewisser Gleiehungen.

Kristlania Vid. Selsk. Skr.

I, 1921 no. 17.

VI TRYGVE ~AGELL

8. Bericht fiber die nachgelassenen Sehriften L. Sylows. K r i s t i a n i a Vid. Selsk. S k r . I, 1921 no. 18.

9. ~ b e r ganzzahlige L6sungen einer Klasse u n b e s t i m m t e r Gleichungen. N o r s k M a t . F o r e n i n g s S k r i f t e r , serie I, nr. 10, Kristiania 1922.

10. Einige Bemerkungen zur axiomatisehen Begriindung der Mengenlehre. C . R . 5. S k a n d . M a t . K o n g r e s s 1922, Helsingfors.

11. Begrfindung der elementaren Arithmetik dureh die rekurrierende Denkweise ohne A n w e n d u n g scheinbarer Ver~nderlichen mit unendlichem Ausdehnungsbereieh. K r i s t i a n i a Vid. Selsk. S k r . I, 1923 no. 6.

12. Integrit~tsbereiche in algebraischen Zahlk6rpern. K r i s t i a n i a Vid. Selsk. S k r . I, 1923 no. 21.

13. E i n Verfahren zu beliebig angen/~herter Bestimmung elner Wurzel einer beliebigen algebraischen Gleiehtmg. 2Vorsk M a t . F o r e n i n y s Skrifter, serie I, nr. 15, Kristiania 1924.

14. Einige S~tze fiber ganzzahlige LSsungen gewisser Gleichungen u n d Ungleichungen. M a t h . A n n . , 95, 1925.

15. Uber die Dichte der Gitterpunkte in asymptotischen Umgebtmgen gewisser unendlieher Kurven- zweige. C . R . 6. S k a n d . M a t . K o n g r e s s 1925, Kobenhavn.

16. Lift om de viktigste diskussioner i den senere tid angaaende m a t e m a t i k k e n s grundlag (Discussions recentes sur les fondements de la math6matique). N o r s k M a t . T i d s s k r . , 8, Oslo 1926.

17. Elliptiske funktioners komplekse multiplikation (La multiplication eomplexe des fonctions ellipti- ques.) N o r s k M a t . T i d s s k r . , 8, Oslo 1926.

18. O m e n del kombinatoriske problemer (Sur quelques problbmes combinatoriques). N o r s k M a t . T i d s s k r . , 9, Oslo 1927.

19. A d d e n d a k la seconde 6dition de Netto : Lehrbuch der Combinatorik, Leipzig & Berlin 1927.

20. Zur Theorie der assoziativen Zahlensysteme. Oslo Vial. A k a d . S k r . I, 1927 no. 12.

21. Uber die mathematische Logik. N o r s k M a t . T i d s s k r . , 10, Oslo 1928.

22. ~ b e r die LSsung der u n b e s t i m m t e n Gleiehung a x 2 + by ~ + cz ~ - 0 in einigen einfachen Rationalit/~ts- bereichen. N o r s k M a t . T i d s s k r . , 10, Oslo 1928.

23. Geschlechter u n d ReziprozitKtss/~tze. N o r s k M a t . Forenings Skrifter, serie I, nr. 18, Oslo 1928.

24. ~ b e r einige Grundlagenfragen der Mathematik. Oslo Vid. A k a d . S k r . I, 1929 no. 4.

25. Uber die Grundlagendiskussionen in der Mathematik. C . R . 7. S k a n d . M a t . K o n g r e s s 1929, Oslo.

26. L5sung der Gleichung f ( x , y) = 0 in ganzen Zahlen x u n d y m i t beschri~nktem gemeimsamem Teller, wenn das Konstantglied fehlt. Festskrift f S r A . W i m a n , Uppsala 1930.

27. L5sung gewisser Gleichungssysteme in ganzen Zahlen oder ganzzahligen Polynomen mit beschr/~nk- t e m gemeinschaftlichem Teiler. Oslo Vid. A k a d . S k r . I, 1929 no. 12.

28. Einige Bemerkungen zu der Abhandlung von E. Zermelo : , ~ b e r die Definitheit in der Axiomatik*.

F u n d . M a t h . , 15, Warszawa 1930.

29. U b e r einige Satzfunktionen in der Arithmetik. Oslo Vid. A k a d . S k r . I, 1930 no. 7.

30. D e n matematiske logikk og aritmetikken (La logique math6matique et l'arithm6tique). C . R . Chr.

Michelsens I n s t . I, no. 2, Bergen 1931.

31. ~ b e r einige besondere Tripelsysteme m i t Anwendung auf die Reproduktion gewisser Quadrat- summen bei Multiplikation. N o r s k M a t . T i d s s k r . , 13, Oslo 1931.

32. ~ b e r die symmetrisch allgemeinen L5sungen im Klassenkalkul. F u n d . M a t h . , 18, Warszawa 1932.

33. Uber die symmetrisch allgemeinen LSsungen im identisehen Kalkul. Oslo Vid. A k a d . S k r . I, 1931 no. 6.

34. E n del kombinatoriske undersokelser samt en enkel bevismetode for kvadratiske resiprositets- satser. (Recherehes combinatoriques et d6monstration simple de la loi de r6ciprocit6 quadratique).

C . R . Chr. Michelsens I n s t . II, no. 2, Bergen 1932.

35. E i n elementares Verfahren zur I-Ierleitung der quadratischen Reziprozit/~tsgesetze in algebraischen ZahlkSrpern. Oslo Vid. A k a d . S k r . I, 1932 no. 2.

36. E i n einfacher Beweis der sogenannten Ziihlertransformationsformel der Jaeobisehen Symbole.

Oslo Vid. A k a d . A v h . I, 1932 no. 11.

T H O R A L F SKOLENI I N M E M O R I A M VII

37. Ludvig Sylow og hans betydning for m a t e m a t i k k e n (L. S. et la port6e de son oeuvre math~matique).

N o r s k M a t . T i d s s k r . , 14, Oslo 1932.

38. Ludvig Sylow und seine wissenschaftliehen Arbeiten. N o r s k M a t . F o r e n i n g s Skrifter, serie II, nr. 2, Oslo 1933.

39. E i n allgemeines quadratisehes Reziprozit~tsgesetz in denjenigen algebraischen ZahlkSrpern, worin 2 yell zerf~llt. Comment. M a t h . Helv., 5, 1933.

40. Undersokelser over potensrester og over logisk karakterisering av tallrekken (R6sidus de puis- sances. L'imposslbilit6 d ' u n e earact~risation de la suite des hombres naturels). C . R . Chr. Michel- sens I n s t . I I I , no. 4, Bergen 1933.

41. E i n kombinatorischer Satz m i t Anwendung auf ein logisches Entscheidungsproblem. F u n d . M a t h . , 20, Warszawa 1933.

42. Einige S/~tze fiber gewisse Reihenentwicklungen u n d exponentiale Beziehungen mit Anwendung auf Diophantische Gleichungen. Oslo Vid. A k a d . S k r . I, 1933 nr. 6.

43. ]~ber die Unm6glichkeit einer vollst/indigen Charakterisierung der Zahlenreihe mittels eines end- lichen Axiomensystems. N o r s k M a t . F o r e n i n g s Skrifter, serie II, hr. 10, Oslo 1933.

44. E n metode tfl behandling av ubestemte ligninger (Une m6thode pour traiter les 6quations ind~- termin~es). C . R . Chr. Michelsens I n s t . IV, no. 6, Bergen 1934.

45. U b e r die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlieh oder abz/~hlbar unendlieh vieler Aussagen m i t ausschliesslich Zahlenvariabeln. F u n d . M a t h . , 23, Warszawa 1934.

46. Den matematiske grunnlagforskning (Les recherches sur les fondements des math~matiques).

N o r s k M a t . T i d s s k r . , 16, Oslo 1934.

47. Uber die ganzzahlige L6sbarkeit einiger diophantischer Gleichungen. Oslo Vid. A k a d . S k r . I, 1934 no. 6.

48. L6sung gewisser Gleichungen in ganzen algebraischen Zahlen, insbesondere in Einheiten. Oslo V i d . A k a d . S k r . I, 1934 no. 10.

49. Ein Verfahren zur Behandlung gewisser exponentialer Gleiehungen und diophantischer Gleiehungen.

C . R . 8. S k a n d . M a t . K o n g r e s s 1934, Stockholm.

50. Om heltallig losbarhet av visse ligninger og ligningssystemer (R6solubilit6 en nombres entiers de eertaines ~quations et de syst~mes d'6quations). C . R . Chr. Michelsens I n s t . V., no. 2, Bergen 1935.

51. Einige S/~tze fiber p-adische Potenzreihen m i t Anwendung auf gewisse exponentielle Gleichungen.

M a t h . A n n . , 111, 1935.

52. Uber die Erffillbarkeit gewisser Zahlausdrficke. Oslo Vid. A h a d . S/or. I, 1935 no. 6.

53. E i n Satz fiber Z/~hlausdrfieke. A c t a Sci. M a t h . Szeged, 7, 1935.

54. E i n Satz fiber die Erffillbarkeit yon einigen Z/~hlausdrficken der F o r m (x)(Eyl, . . . , y n ) K l ( x , Yl, . . . . Yn) & (xl, x~, x 3 ) K 2 ( x 1, x~, xs). Oslo Vid. A k a d . A v h . I, 1935 no. 8.

55. Nogen additiv-tallteoretiske betraktninger (Consid6rations sur la th6orie additive des nombres entiers). Norslr M a t . T i d s s k r . , 17, Oslo 1935.

56. (Tber die Zurfiekffihrbarkeit einiger durch Rekursionen definierter Relationen auf * arithmetische *.

A c t a Sci. M a t h . Szeged, 8, 1937.

57. Utvalgte kapitler av den matematiske logikk (Parties ehoisies de la logique math6matique). C . R . Chr. Michelsens I n s t . VI, no. 6, Bergen 1936.

58. Eine Bemerkung zum Entscheidungsproblem. C . R . 8. Congr~s Internat. M a t h . 1936, Oslo.

59. Einige Reduktionen des Entscheidungsproblems. Oslo Vid. A k a d . A v h . I, 1936 no. 6.

60. U b e r gewisse Verb/~nde oder ~ lattices ,. Oslo Vid. A k a d . A v h . I, 1936 no. 7.

61. Ein Satz fiber ganzwertige Polynome. N o r s k e Vid. Selslr Forh., 9, no. 28, Trondheim 1936.

62. Uber die LSsbarkeit gewisser linearer Gleiehungen im Bereiehe der ganzwertigen Polynome.

N o r s k e Vid. Selsk. Forh., 9, no. 34, Trondheim 1936.

63. S~tze fiber ganzwertige Polynome. N o r s k e Vid. Selsk. Forh., 10, no. 4, Trondheim 1937.

64. U b e s t e m t e line,ere ligninger og ligningssystemer (Equations lin6aires ind6termin6es et syst~mes de telles 6quations). C . R . Chr. Michelsens I n s t . VII, no. 3, Bergen 1937.

VIII TRYGVE N A G E L L

65. ~ b e r die g a n z z a h l i g e L S s b a r k e i t einiger i n h o m o g e n e r q u a d r a t i s c h e r G l e i c h u n g e n m i t m e h r e r e n U n b e k a n n t e n . Oslo Vid. A k a d . Avh. I, 1937 n o . 9.

66. Z w e i S~tze fiber k u b i s c h e K o n g r u e n z e n . Norske Vid. SelsIc. Forh., i 0 , n o . 24, T r o n d h e i m 1937.

67. A n w e n d u n g e x p o n e n t i e l l e r K o n g m m n z e n z u m B e w e i s d e r U n l S s b a r k e i t g e w i s s e r d i o p h a n t i s c h e r G l e i e h u n g e n . 1Vorske Vid. A k a d . Avh. I , 1936 n o . 12, Oslo.

6 8 . F o r k l a r i n g til f o r a n s t ~ e n d e a v h a n d l i n g a v L. K a l m h r ( C o m m e n t a l r e & la n o t e p r ~ c 6 d e n t e de L.

K a l m h r ) . N o r s k Mat. Tideskr., 19, Oslo 1937.

69. P o l y n o m e r s a r i t m e t i s k e e g e n s k a p e r (Sur les propri~t~s a r i t h m ~ t i q u e s d e s p o l y n o m e s ) . C . R . Chr.

Michelsens Inst. V I I I , B e r g e n 1938.

70. ~ b e r elne E i g e n s e h a f t d e r M e n g e aller g r S s s t e n g e m e i n s a m e n Teller v o n P o l y n o m e n ffir g a n z e W e r t e d e r V a r i a b l e n . Norske Vial. SelMc. Forh., 11, n o . 16, T r o n d h e i m 1938.

71. DiophantischeGleiehungen. E r g e b n i s s e d e r M a t h e m a t i k u n d i h r e r G r e n z g e b i e t e , 5 , H e f t 4 , B e r l i n 1938.

72. L i t t o m de n a t u r l i g e t a i l s o p s p a l t n i n g i s u m m e n a v to k v a d r a t e r (Sur la d 6 e o m p o s i t i o n d ' u n n o m b r e n a t u r e l d a n s la s o m m e de d e u x earr6s). Norsk Mat 9 Tidsskr., 21, Oslo 1939.

73. L i t t o m p o l y n o m e r s o p s p a l t n i n g i s u m m e n a v to k v a d r a t e r (Sur la d ~ e o m p o s i t i o n d ' u n p o l y n o m e d a n s la s o m m e de d e u x carr~s). 1Vors]r Mat. Tidsskr., 21, Oslo 1939.

74. E i n e B e m e r k u n g fiber die I n d u k t i o n s s c h e m a t a i n d e r r e k u r s i v e n Z a h l e n t h e o r i e . Monatsh. M a t h . P h y s . , 48, L e i p z i g u n d W i e n 1939.

75. E i n e B e m e r k u n g fiber gewisse R i n g e m i t A n w e n d u n g a u f die P r o d u k t z e r l e g u n g y o n P o l y n o m e n . Nors]c Mat. Tidsslcr., 21, Oslo 1939.

76. ~ b e r die L S s b a r k e i t d e r G l e i c h u n g f l ( x ) F 1 ( x ) + . . . + f n ( x ) F n ( x ) = 1 , wo f l . . . f n g e g e b e n e g a n z - zahlige P o l y n o m e s i n d , in g a n z z a h l i g e n P o l y n o m e n F1, . . . , F n. Nors]ce Videns]c. Selsk. Forh., 12, n o . 1, T r o n d h e i m 19399

9 m 1 9

77. O m f u n k s ] o n e n e a v f o r m e n ~ = 0 fi(x)Pm(x - 4) h v o r alle fi(x) er p o l y n o m e r ogPm(x) = 1 eller 0 efter- sore x ~ - 0 eller m 0 ( m o d m) (Sur les f o n c t i o n s de la f o r m e . . . o h les ft(x) s o n t d e s p o l y n o m e s e t o h Pro(x) = 1 o u s e l o n q u e x - = 0 o u m 0 ( m o d m)). Nors]c Mat. Tidsskr., 22, Oslo 1940.

78. E n l i t e n s t u d i e i t r a n s f i n i t m e k a n i k k ( R e m a r q u e s u r u n e m 6 e a n i q u e t r a n s f i n i t e ) . 1Vorsk M a t . TidsIcr., 22, Oslo 1940.

79. E i n i g e S~tze fiber P o l y n o m e . Norske Vid. A k a d . Avh. I, 1940 n o . 4, Oslo .

80. N o g e n b e m e r k n i n g e r til L. R e i t a n s a r t i k l e r (Sur u n p r o b l ~ m e de la th6orie d e s n o m b r e s ) . N o r s k M a t . Tideskr., 22, Oslo 1940.

81. V e r a l l g e m e i n e r u n g e n d e r B e t t i - G u i d i e e s c h e n F o r m e l . Norske Vid. A k a d . Avh. I, 1940 n o . 1, Oslo.

82. E i n f a c h e r B e w e i s d e r U n m S g l i e h k e i t e i n e s a l l g e m e i n e n L S s u n g s v e r f a h r e n s fiir a r i t h m e t i s c h e P r o - b l e m e . Norske Vid. Selsk 9 Forh., 13, T r o n d h e i m 19409

83. S u r la port~e d u t h ~ o r ~ m e de L S w e n h e i m - S k o l e m . Les Entretiens de Zi~rich sur les fondement8 et la mdthode des sciences mathgmatiques, 6-8 Ddc. 1938, Zfirieh 19419

84. O m o r t o g o n a l t b e l i g g e n d e g i t t e r p u n k t e r p h k u l e f l a t e r (Les r ~ s a u x o r t h o g o n a u x s u r la s u r f a c e d ' u n e sphere). 1Vorsk M a t . Tidsskr., 23, Oslo 1941.

85. Die A n z a l d e r W u r z e l n d e r K o n g r u e n z x a + a x +b =-0 (rood p) ffir die v e r s e h i e d e n e n P a a r e (a, b).

Nors]ce Vid. Selsk. Forh., 15, n o . 43, T r o n d h e i m 1942.

86. ~ b e r die g a n z e n x, ffir w e l c h e e i n P o l y n o m P (ux, ux+ 1 .. . . . Ux+n) = 0 ist, w e n n u x e i n e g e g e b e n e l i n e a r e r e k u r r e n t e G l e i e h u n g b e f r i e d i g t . 1Vors]ce Vid. A]cad. Avh. I, 1941 n o . 15, Oslo.

87. U n l S s b a r k e i t y o n G l e i c h u n g e n , d e r e n e n t s p r e e h e n d e K o n g r u e n z fiir j e d e n M o d u l 15sbar ist.

s Vid. A]cad. Avh. I, 1942 n o . 4, Oslo.

88. E n s a m m e n h e n g m e l l o m k o n g r u e n s e n x 2 + y~ + z ~ + u 2 -= 0 (rood m) og l i k n i n g e n x a + y~ + z ~ + u ~ = m ( L a r e l a t i o n e n t r e la c o n g r u e n c e x z +y~ + z ~ + u ~ ~ 0 ( m o d m) e t l ' 6 q u a t i o n x 2 + y 2 +z2 + u ~ = m ) . Norsk Mat. Tidsskr., 25, Oslo 1943.

89. :Noen b e m e r k n i n g e r til f o r a n s t h e n d e a r t i k k e l a v E . H o f f - H a n s e n ( R e m a r q u e s k la n o t e p r 6 c ~ d e n t e de E . H o f f - H a n s e n ) . 1Vors]c M a t . Tidsskr., 25, Oslo 1943.

90. ~ b e r N e b e n k S r p e r t m d N e b e n r i n g e . Norske Vid. A k a d . Skr. I, 1944 n o . 6, Oslo.

T H O R A L F SKOLEM I N M E M O R I A M I X

91. U t v i d e l s e r a v e t p a r s e t n i n g e r a v C. S t S r m e r ( E x t e n s i o n s de q u e l q u e s t h 6 o r ~ m e s de C. S t b r m e r ) . 1Vorslc M a t . T i d s s k r . , 26, Oslo 1944.

92. R e m a r k s on r e c u r s i v e f u n c t i o n s a n d r e l a t i o n s . N o r s k e Vid. Selslc. F o r h . , 17, n o . 22, T r o n d h e i m 1944.

93. S o m e r e m a r k s o n r e c u r s i v e a r i t h m e t i c . 1Vorske Vid. Selslc. Forh., 17, no. 26, T r o n d h e i m 1944.

94. A n o t e o n r e c u r s i v e a r i t h m e t i c . 1Vorske Vid. Selsk. Forh., 17, no. 27, T r o n d h e i m 1944.

95. S o m e r e m a r k s o n t h e c o m p a r i s o n b e t w e e n r e c u r s i v e f u n c t i o n s . N o r s k e Vid. Selslc. Forh., 17, n r . 32, T r o n d h e i m 1944.

96. A t h e o r e m o n t h e e q u a t i o n $2 _ ~ 2 = 1 w h e r e ~, ~,~ a r e i n t e g e r s i n a n i m a g i n a r y q u a d r a t i c field.

1Vorslce Vid. A k a d . A v h . I, 1945 n o . l, Oslo.

97. A r e m a r k o n t h e e q u a t i o n ~ (~2 = 1, w h e r e (~, ~,~ b e l o n g to a t o t a l real n u m b e r field. N o r s k e V i d . Alcad. A v h . I, 1945 n o . 12, Oslo.

98. E n l o s n i n g s m e t o d e for d e n e k s p o n e n t i e l l e l i k n i n g A~ ~ . . . A ~ ~ - B~ ~ . . . B~ ~ = C. ( U n e m 6 t h o d e p o u r r 6 s o u d r e l ' ~ q u a t i o n e x p o n e n t i e l l e ...). Norslc M a t . T i d s s k r . , 27, Oslo 1945.

99. O n c e r t a i n e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s . N o r s k e Vid. Selslc. Forh., 18, n o . 18, T r o n d h e i m 1945.

100. O n t h e p r i m e d i v i s o r s of t h e v a l u e s of c e r t a i n f u n c t i o n s . N o r s k e Vid. Selsk. Forh., 18, n o . 19, T r o n d h e l m 1945.

101. D e n r e k u r s i v e a r i t m e t i k ( L ' a r i t h m 6 t i q u e r(~eursive). N o r s k M a t . T i d s s k r . , 28, Oslo 1946.

102. T h e d e v e l o p m e n t of r e c u r s i v e a r i t h m e t i c . C . R . 10. S k a n d . M a t . Kongress, 1946, K o b e n h a v n . 103. A p r o o f of t h e a l g e b r a i c i n d e p e n d e n c e of e a n d e r d p o s i t i v e i n t e g e r , w i t h a n o t h e r p r o o f of t h e

i r r a t i o n a l i t y of log x a n d a r c t g x for r a t i o n a l x. Norslc M a t . T i d s s k r . , 28, Oslo 1946.

104. O n t h e e x i s t e n c e of a m u l t i p l i c a t i v e b a s i s for a n a r b i t r a r y a l g e b r a i c field. Norslce Vid. Selslc. Forh., 20, n o . 2, T r o n d h e i m 1947.

105. A p r o o f of t h e a l g e b r a i c i n d e p e n d e n c e of c e r t a i n v a l u e s of t h e e x p o n e n t i a l f u n c t i o n . :Vorslce Vial.

Selslc. Forh., 19, no. 12, T r o n d h e i m 1947.

106. D e i k k e - s y m m e t r i s k e f u n k s j o n e r i a l g e b r a e n (Les f ~ n c t i o n s n o n - s y m 6 t r i q u e s d a n s l'Alg~bre).

1Vorslc M a t . T i d s s k r . , 29, Oslo 1947.

107. S o l u t i o n s of t h e e q u a t i o n a x y + b x + c y + d = 0 i n a l g e b r a i c i n t e g e r s . N o r s k e Vid. Alcad. A v h . I, 1946 no. 3, Oslo.

108. E n e g e n s k a p v e d de t e r n , e r e k v a d r a t i s k e f o r m e r og d e n s s a m m e n h e n g r e e d d e n k v a d r a t i s k e resi- p r o s i t e t s s a t s ( U n e propri~t6 d e s f o r m e s t e r n a i r e s q u a d r a t i q u e s e t s a liaison a v e e la loi d e r6ci- proeit~ q u a d r a t i q u e ) . 1Vorslc M a t . Tidsslcr., 30, Oslo 1948.

109. T w o g e n e r a l i z a t i o n s of a w e l l - k n o w n t h e o r e m o n p o l y n o m i a l s . 1Vorske V i d . Selslr Forh., 20, n o . 19 & 20, T r o n d h e i m 1948.

110. A p r o o f of t h e i r r e d u c i b i l i t y of t h e e y e l o t o m i e e q u a t i o n . N o r s k M a t . T i d s s k r . , 31, Oslo 1949.

I 11. R e m a r k s o n t h e r e p r e s e n t a t i o n of n a t u r a l n u m b e r s as s u m s of t h r e e or f o u r s q u a r e s . N o r s k e Vid.

Selsk. Forh., 21, n o . 39, T r o n d h e i m 1949.

112. P r o o f of a t h e o r e m o n 3-lattices. N o r s k e Vid. Selsk. Forh., 21, no. 44, T r o n d h e i m 1949.

113. O n t h e d i o p h a n t i n e e q u a t i o n a x ~ + by ~ + cz 2 + d u ~ = O. N o r s k e Vid. Selslc. F o r h . , 21, n o . 19, T r e n d - h e l m 1949.

114. S o m e t h e o r e m s o n i r r a t i o n a l i t y a n d l i n e a r i n d e p e n d e n c e . C . R . 11. S k a n d . M a t . K o n g r e s s 1949, T r o n d h e i m .

115. D e logiske p a r a d o k s e r og b o t e m i d l e n e m o t d e m (Les p a r a d o x e s Iogiques et les r e m ~ d e s c e n t r e ceux-ci). Norslr M a t . Tidsslcr., 32, Oslo 1950.

116. S o m e r e m a r k s o n t h e f o u n d a t i o n of s e t t h e o r y . Prec. Internat. Congress M a t h . 1950, C a m b r i d g e , Mass.

117. A r e m a r k o n t h e i n d u c t i o n s c h e m e . N o r s k e Vid. Selslc. F o r h . , 22, n o . 36, T r o n d b e i m 1950.

118. A n a r i t h m e t i c a l p r o p e r t y of t h e f u n c t i o n 2 7 . . . w h e r e t h e Pi a r e n a t u r a l p r i m e s a n d t h e g ( n ) p o l y - n o m i a l s w i t h i n t e g r a l coefficients. N o r s k e Vid. Selslc. F a r h . , 22, n o . 39, T r o n d h e l m 1950.

119. B e m e r k n l n g e r a n g g e n d e d e n u b e s t e m t e l i g n i n g x y + y z + z x = k, k h e l p o s i t i v , s a m t de a n a l o g e r e e d

X TRYGVE NAGELL

flere u k j e n t e ( R e m a r q u e s s u r l ' ~ q u a t i o n i n d ~ t e r m i n ~ e x y + yz + zx = ]r ]r n o m b r e n a t u r e l e t s u r d e s 6 q u a t i o n s a n a l o g u e s k p l u s i e u r s i n c o n n u e s ) . 1Vorsk M a t . Tidsskr., 33, Oslo 1951.

120. O n t h e a b s c i s s a of c o n v e r g e n c e for s o m e D i r i e h l e t ' s series. Norske Vid. Selslc. Forh., 24, n o . 11, T r o n d h e i m 1952.

121. O n t h e p r o o f of i n d e p e n d e n c e of t h e a x i o m s of t h e classical s e n t e n t i a l c a l c u l u s . Norske Vid. Selsk.

Forh., 24, no. 6, T r o n d h e i m 1952.

122. S o m e r e m a r k s o n s e m i - g r o u p s . Norske Vial. Selsk. Forh., 24 no. 9, T r o n d h e i m 1952.

123. T h e o r e m s of d i v i s i b i l i t y in s o m e s e m i - g r o u p s . 1Vorske Vid. Selslc. Farh., 24, n o . 10, T r o n d h e l m 1952.

124. A s i m p l e p r o o f o n t h e c o n d i t i o n of s o l v a b i l i t y of t h e d i o p h a n t i n e e q u a t i o n ax ~ +by2+cz e = 0 . Norske Vid. Selsk. Forh., 24, n o . 23, T r o n d h e i m 1952.

125. T h e o r y of d i v i s i b i l i t y in s o m e c o m m u t a t i v e s e m i - g r o u p s . N o r s k Mat. Tidsskr., 33, Oslo 1951.

126. E k s i s t e n s e n a v e n n te i k k e - p o t e n s r e s t m o d p m i n d r e e n n p (Sur l ' e x i s t e n e e d ' u n n o n - r ~ s i d u n - i ~ m e

< p m o d u l o p). N o r s k Mat. Tidsskr., 33, Oslo 1951.

127. E t e n k e l t b e v i s for l o s b a r h e t s b e t i n g e l s e n for d e n d i o f a n t i s k e l i g n i n g ax e +by e +cz ~ = 0 ( D ~ m o n s - t r a t i o n s i m p l e d e la c o n d i t i o n p o u r la r6solubilit~ de l ' ~ q u a t i o n d i o p h a n t i e n n e ax e + by ~ + cz ~ = 0).

N o r s k M a t . Tidsskr., 33, Oslo 1951.

128. T h e g e n e r a l c o n g r u e n c e of t h e 4 t h degree m o d u l o p , p p r i m e . Nors]c M a t . Tidsskr., 34, Oslo 1952.

129. O n a c e r t a i n c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e d i s c r i m i n e n t of a p o l y n o m i a l a n d t h e n u m b e r of i t s i r r e d u c i b l e f a c t o r s rood p. Nors]c Mat. Tidsskr., 34, Oslo 1952.

130. A r e m a r k o n a s e t t h e o r y b a s e d o n p o s i t i v e logic. Norske Vid. Selslc. Forh., 25, no. 2 2 , T r o n d h e i m 1953.

131. A n v e n d e l s e a v 3 - a d i s k a n a l y s e og * b i k r o p p e r * til b e v i s for n o e n s a t s e r ang~mnde v i s s e k u b i s k e u b e s t e m t e l i g n i n g e r ( A p p l i q u a t i o n de l ' a n a l y s e 3 - a d i q u e k la d ~ m o n s t r a t i o n de q u e l q u e s t h ~ o r ~ m e s s u r les ~ q u a t i o n s e u b i q u e s i n d ~ t e r m i n ~ e s ) . N o r s k M a t . Tidss]cr., 34, Oslo 1952.

132. A t h e o r e m o n s o m e s e m i - g r o u p s . Norske Vid. Selslr Forh., 25, no. 18, T r o n d h e i m 1953.

133. Sobre la n a t u r a l e z a del r a z o n a n i e n t o m a t e m a t i e o . Publ. del Instituto de mat. * Jorge J u a n ~, Gaceta Matemdtica I, 4, M a d r i d 1952.

134. C o n s i d e r a t i o n e s s o b r e los f u n d a m e n t o s de la m a t e m a t i e a . Rev. Mat. H i s p . - A m e r . (4), 12 (1952) et 13 (1953), M a d r i d .

135. O n t h e d i o p h a n t i n e e q u a t i o n ax ~ + bye+ cz ~ - O . Rend. M a t . e A p p l . V, 11, R o m a 1952.

136. T h e logical b a c k g r o u n d of a r i t h m e t i c . Bull. Soc. Math. Belg., 6, 1953.

137. R e s u l t a t e r i g r u n d l a g s f o r s k n i n g e n ( R 6 s u l t a t s d a n s les r e c h e r c h e s s u r les f o n d e m e n t s de la m a t h ~ - m a t i q u e ) . C . R . 12. Skand. Matem. Kongress 1953, L u n d .

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T H O R A L F S K O L E M I N M E M O R I A M XI

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I1 f a u t y a j o u t e r q u e S k o l e m a redig~ la p a r t i e m a t h ~ m a t i q u e d u livre de K r i s t i a n B i r k e l a n d : T h e norwegian Aurora Polaris Expedition 1902-1903, Vol. I, Section 2, K r i s t i a n l a 1914.

E n c o r e , il a publiC, c n collab, a v e c K r i s t i a n B i r k e l a n d , d e u x n o t e s s u r la lumi~re zodiacale d a n s le t o m e 159 (p. 464 et p. 495) d e s Comptes Rendus de l'Acad, d. Sciences, P a r i s 1914.