Úvod do theorie grup [2. rozšířené vydání]

(1)

Úvod do theorie grup [2. rozšířené vydání]

16. O cyklických grupách

In: Otakar Borůvka (author): Úvod do theorie grup [2. rozšířené vydání]. (Czech). Praha:

Přírodovědecké vydavatelství, 1952. pp. 137--143.

Persistent URL:http://dml.cz/dmlcz/401422

Terms of use:

Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain theseTerms of use.

This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the projectDML-CZ: The Czech Digital Mathematics Libraryhttp://project.dml.cz

(2)

grupu €>³. Použijte této deformace a dokažte pomocí první a třetí věty o isomorfismu grup, že grupa D obsahuje invariantní podgrupy řádů 4, 12.

16. O CYKLICKÝCH GRUPÁCH.

16.1. Definice.

Libovolná grupa @ se nazývá cyklická, když v ni existuje prvek, t. zv*

základní, který se vyznačuje tím, íe každý prvek v @ je jeho mocninou.

Když @ je cyklická grupa a a její základní prvek, pak grupu (S ozna

čujeme zpravidla symbolem (a).

Z prvního vzorce (1) odst. 11.3 plyne, že kaSdá cyklická grupa jest abelovská.

16.2. R á d c y k l i c k ý c h g r u p .

Uvažujme o libovolné cyklické grupě (a). Jsou-li mocniny aⁱ⁹ a*

prvku a s každými dvěma různými mocniteli i, j různé, pak grupa (a) má řád 0, neboť obsahuje nekonečně mnoho prvků

..., or², a-¹, a°, a¹, a², .... (1) Protože každý prvek grupy (a) je některou mocninou prvku a, není

v grupě (a) jiných prvků než jsou tyto a vychází, že se grupa (a) skládá z prvků (1). Předpokládejme nyní, že mocniny prvku a s některými různými mocniteli i, j jsou rovné, takže a¹ = a*, i 4= j- Z této rovnosti plyne a~"^š. a* = a~*. a^š9 t. j . a*-* = 1. Protože jedno z čísel i —j, j — i je přirozené a mocniny prvku a s těmito mocniteli jsou rovny \>

vidíme, že existují přirozená čísla x vyhovující rovnici ař = 1. Mezi těmito přirozenými čísly je jisté číslo nejmenší; označme je n, takže máme aⁿ = 1. Uvažujme o těchto prvcích grupy (a):

l,a,a\...⁹a*-K (2)

Především snadno zjistíme, že každé dva z nich jsou různé; skutečně, platí-li pro některé z nich rovnost a* = a\ jest jedno z obou čísel i — j⁹ j — i přirozené a menší než n a hoví rovnici a³⁵ = 1; ale to odporuje definici čísla n. Grupa (a) má tedy alespoň n prvků (2) a má tedy řád buď 0 nebo í> n. Dále snadno ukážeme, že grupa (a) jiných prvků nemá, takže její řád jest n. Za tím účelem uvažujme o libovolném

(3)

prvku oř grupy (a). Dělíme-li číslo x číslem n, obdržíme jistý podíl q a jistý zbytek r, tedy x = qn + r, a máme 0 <1 r <£ ^ _ i^ř takže a^r jest jedním z prvků (2). Ze vzorců (1) odst. 11.3 plynou rovnosti

am _^ae» + r^{= a}g»^{# a}r⁼ (^an)g . a^r == 1« . a^r = 1 . a^r = a^r a odtud vychází, že a^m je prvek a^r. Tím je zjištěno, že grupa (a) se skládá z prvků (2) a má tedy řád n. Dále plyne z naší úvahy, že součin

a*. a¹ libovolného prvku a* s libovolným prvkem a¹* grupy (a) je prvek

«*, kde k značí zbytek dělení čísla i + j číslem n,-.nebof'-a<. a*''= a^<+*V Shrneme-li své výsledky o cyklických grupách, dostaneme větu:

Řád n každé cyklické grupy (a) jest buďOa v tom případě se grupa (a) skládá z prvků (1); nebo n > 0 a pak se cyklická grupa (a) skládá zprvkfy

(2). Součin a*. aⁱ libovolného prvku a* s libovolným prvkem aš grupy (a) je v prvním případě prvek ai+í, kdežto v druhém případě prvek ak, kde k je zbytek dělení čísla i -f / číslem n* Ve druhém případě je n nejmenší přiro^

zené číslo takové, ze an == 1.

Všimněme si, že v obou případech jest aⁿ~"*' prvek inversní vzhledem k prvku a*.

16.3. P o d g r u p y c y k l i c k ý c h g r u p .

Uvažujme nyní o nějaké podgrupě 21 v cyklické grupě (a). Když se podgrupa 2Í skládá z jediného prvku 1, pak je cyklická a má základní prvek 1. Předpokládejme nyní, že podgrupa 21 obsahuje kromě prvku 1 některý prvek a*, kde i 4= 0. Protože podgrupa 21 obsahuje s prvkem a*

současně inversní prvek a~"^ť a protože jedno z obou čísel i, —i je přiro

zené, vidíme, že v podgrupě 21 existují mocniny prvku a, jejichž mocni™

tele jsou přirozená čísla. Mezi těmito mocniteli jest jeden nejmenší;

označme jej m, takže máme a^m e 21 a mocniny prvku a s přirozenými mocniteli menšími než m v poigrupě 2Í neexistují. Nechť a^x značí libo

volný prvek v 21. Dělíme-li číslo x číslem m, obdržíme jistý podíl q a jistý zbytek r, takže x = qm -+- r, a máme 0 „< r <I m — 1. Ze vzorců (1) v odst. 11.3 plynou rovnosti a* = a^qm+r = aQm . a^r a odtud vychází, že prvek a^r je součin prvku a-«^m s prvkem a^x. Protože a~^qm jest in

versní prvek vzhledem k prvku (a^m)q, který jako g~tá mocnina prvku a^m obsaženého v 2Í je rovněž v 2í, vidíme, že a~"^qm je prvek v 21, a protože

(4)

také a* je prvek v 2Í, jest i součin a~~^qm. oř, t. j . prvek a% obsažen v podgrupě 21. Odtud vzhledem k nerovnostem 0 ^ r <I m — l a k de

finici čísla m vychází r = 0 a máme a* = (a^m)^q. Každý prvek podgrupy 21 je tedy jistou mocninou prvku a^m, takže podgrupa 21 je cyklická a má základní prvek a^m. Touto úvahou jsme došli k výsledku, že každá podgrupa v cyklické grupě (a) je cyklická.

Protože cyklická grupa (a) jest abehvská, je v ni každá podgrupa invariantní.

IQA. Základní prvky.

Existují v cyklické grupě (a) kromě prvku a ještě další základní prvky 1 Nechť opět n značí řád grupy (a) a předpokládejme, že některý prvek a^p grupy (a) je základní. Pak zejména prvek a jest jistou mocninou prvku a^v, takže máme a = ď^q, kde q značí jisté celé číslo. Je-li n = 0, pak z této rovnosti plyne vq = 1, neboť v tom případě každé dvě mocniny prvku a s různými mocniteli jsou různé a odtud dále plyne v = q = 1 anebo v = q = — 1. Kromě prvku a může tedy jenom prvek a™¹ být základní a vidíme, že skutečně každý prvek a* grupy (a) jest—i-tou mocninou prvku a~^x. V případě n = 0 má tedy grupa (a) právě dva základní prvky: a, a"¹. Všimněme si, že jsou to jediné dva prvky v (a), jejichž mocnitelé mají s číslem n (= 0) největší společný dělitel 1, jinak řečeno, jejichž mocnitelé jsou s číslem n (= 0) nesoudělní. Uvažujme nyní o případu n > 0. Cyklická grupa (a) se skládá z prvků 1, a, a^%, ..., a*""¹. Značí-li r zbytek dělení čísla vq číslem n, takže vq = nq^f + r, kde q' je podíl a 9 <Lr <^n — 1, máme a^vq = a^f = a a odtud plyne r = 1, neboť a, a^r jsou z řady 1, a, a²,..., a*"¹, v níž každé dva prvky s různými mocniteli jsou různé. Máme tedy rovnost vq — nq^f = 1 a odtud plyne, že čísla v, n jsou nesoudělná. Značí-li naopak v libovolné celé číslo nesoudělné s n, pak existují celá čísla q, q^f taková, že vq —

— nq' = 1 (viz pozn. pod čarou na str. 77), a odtud plyne pro každé celé číslo i vztah i = v(qi) — n(qi), a máme a¹ = (a^v)^qi, takže ď je základním prvkem grupy (a). V případě n > 0 jsou tedy základními prvky grupy (a) právě ony mocniny prvku a, jejichž mocnitelé jsou s číslem n nesoudělní. Viděli jsme, že týž výsledek platí i v případě n = 0, takže naše výsledky můžeme shrnouti větou:

(5)

Základními prvky libovolné cyklické grupy (a) řádu n^>.0 jsou právt jenom mocniny prvku a, jejichž mocnitelé jsou s číslem n nesoudělní.

V případě n = O má tedy cyklická grupa (a) právě dva základní prvky, kdežto v případě n > 0 jich má tolik, tolik je v řadě 1,2,..., n čísel nesoudělných s n.

16.5. Určení všech cyklických grup.

16.5.1. Důležitým příkladem cyklické grupy řádu 0 je grupa ^; zřej

mě je ^ = (!)• Všechny podgrupy v ^se skládají, jak víme, ze všech celých násobků vždy nějakého nezáporného čísla n a jsou tedy, podle hořejšího výsledku, cykHcké grupy (n). Necht n ^ O a uvažujme o fak

torové grupě 31 (n). Připomeňme si, že když n = 0, pak se $](n) skládá z množin a< = {i}, kde i = ..., —2, —1, 0, 1, 2,..., a když n > 0, pak se skládá z prvků a⁰, .,., aⁿ-^l9 kde a% značí množinu všech prvků v p lišících se od čísla i jenom o nějaký celý násobek čísla n; v obou pří

padech má faktorová grupa $/(n) řád n. Snadno ukážeme, že fak

torová grupa $/(n) je cyklická a má základní prvek a^v Skutečně, podle definice násobení v jí]{n) je Hbovolná í-tá mocnina libovolného prvku Uj e 3](n) onen prvek v $l(n), který obsahuje číslo ij a tedy je zejmé

na Ei = a{. Tím je naše tvrzení dokázáno. Současně je tím zjištěno,, že existují cyklické grupy Hbovolného řádu n I> 0.

Avšak nejen každá faktorová grupa na grupě 3 J^e cykHcká, nýbrž, i naopak každá cyklická grupa je isomorfní s jistou faktorovou grupou na grupě p. Skutečně, uvažujme o Hbovolné cykHcké grupě (a). Pak ke každému prvku x € (a) existuje alespoň jedno celé číslo f takové, že a¹ = x a ovšem naopak, je-li f Hbovolné číslo celé, jest a¹ prvkem v (a).

Přiřadíme-li tedy ke každému prvku f € p prvek a1 € (a), obdržíme jisté zobrazení d grupy p na grupu (a). Když f, r\ jsou libovolné prvky v $ a df = x, drj = y, máme x = a^,y = a* a tedy xy = a*aⁿ = a^i+nr takže d(i + rj) = xy = dí-drj. Odtud plyne, že zobrazení d zachovává násobení v obou grupách 3> (a)* a tedy je homomorfismus. Vychází tedy především, že cyklická grupa (a) je homomorfní s grupou p. Podle první věty o isomorfismu grup tvoří množina všech vzorů v d jednotky grupy (a) invariantní podgrapu 21 v *?^a faktorová grupa na ^> vytvo

řená invariantní podgrupou ti, jest isomorfní s (a), t. j . >J/-H — («)-

(6)

Nechť n (]> 0) značí řád cyklické grupy (a). Pak také $/% má řád n a podgrupa 21 se tedy skládá ze všech celých násobků čísla n. Vychází

tedy, že cyklická grupa (a), řádu n^f jest isomorfní s faktorovou gru

pou na ^ vytvořenou podgrupou (n) v 3- Zejména je tudíž každá cyklická grupa řádu 0 isomorfní s grupou p/(0) a tedy také s grupou 3*

Zřejmě je každá grupa, která je isomorfní s nějakou cyklickou grupou řádu n (2> 0), opět cyklická a má tkán. Naše úvahy obsahují tedy tento výsledek:

Všechny cyklické grupy řádu n^>Q jsou representovány faktorovou grupou $l(n) na grupě%³ atovtomsmyslu,zekazdácyklickágrupa řádu n jest isomorfní se $/(n) a naopak, každá grupa isomorfní s touto fakto

rovou grupou je cyklická a má řád n*

16.5.2 Příklad.

Jako příklad cyklické grupy řádu n > 0 uveďme grupu skládající se z kořenů rovnice xⁿ = 1, při čemž násobení je násobení v aritmetickém smyslu. Kořeny této rovnice jsou*):

2ni éni 2Qi—-l)ni SQ = i , 8^ == 6 , 8% = e^f . . . , £fi—i = e

2ní

a tvoří tedy cyklickou grupu (eⁿ ). Body, jejichž.souřadnice jsou reálné s, imaginární části těchto kořenů, jsou vrcholy pravidelného ?i-úhelníka.

Na př. pro n = 6 máme vrcholy pravidelného 6-úhelníka (viz obr. 13).

2ni lOni

Základní prvky této grupy řádu 6 jsou e⁶ , e⁶ . 16.6. F e r m a t o v a věta pro grupy.

Pojem cyklické grupy má důležitý význam i pro grupy, které nejsou nutně cyklické. Uvažujme o libovolné grupě®. Nechť a značí libovolný prvek v @. Jednotlivé mocniny prvku a tvoří cyklickou podgrupu (a) v @.

Řádem prvku a rozumíme řád cyklické podgrupy (a). .Rád n prvku a je tedy buď 0 nebo nejmenší přirozené číslo x^t pro něž a* = 1; vždycky tedy platí aⁿ = 1.

*) Je-li x libovolné reální $Mo» pak e^ix, kde i == ]/— l, je definováno vzorcem

€4ge =- co«e + i siná?.

(7)

Obr. 13.

Dále snadno zjistíme, že řád n každého prvku a € @ je dělitelem řádu N grupy ©, t. j . že platí rovnost N = nd, kde d značí jisté celé číslo. Toto tvrzení je zřejmé, je-li N = 0. V případě N > 0 plyne z věty, že řád každé podgrupy v @ je dělitelem řádu grupy &. Z rovnosti N = nd plyne: a^N = a^ně = (aⁿ)d = l¹ = 1 a odtud vychází t. zv. Fermatova věta pro grupy:

V každé grupě libovolného řádu N je N-tá mocnina libovolného prvku jednotka grupy.

16.7. Vytvoření levých translací ryzími cyklickými per

mutacemi.

Své úvahy ukončíme poznámkou o vytvoření na př. levých translací nějaké konečné grupy ryzími cyklickými permutacemi.

Nechť & značí libovolnou konečnou grupu a nechť a je libovolný prvek v @. Jak jsme vyložili v odst. 15.2.1, je levá translace^at grupy © permu

tací grupy @ a je tedy vytvořena (viz odst. 4.4.5) konečným počtem ry

zích cyklických permutací, t. j . existuje rozklad O =-= {a, ..., m} grupy © takový, že každý jeho prvek a, ..., m je v^at invariantní a částečné permutace «t5",...,^at^ jsou ryzí cyklické permutace prvků a,..., m»

Libovolný prvek x rozkladu O se skládá z prvků cyklu: x,^atx} (at)ix$ ...,,

(8)

(ât)^k-~^lx, při čemž x značí libovolný prvek ? i a i nejmenší přirozené číslo takové, že (ât)^kx ==. x. Podle definice levé translaceât máme

mtx = ax, (âtfx = a²x,..., (ât)^k"^xx = a*-~% a z rovností (ât)^kx =

= a% = a?plyne a * - = l , Odtud vidíme, že náš cyklus jex, ax, a^%x, ..., a*-"%,a dále,že množina 1, a, a²,..., a*"¹ je polem cyklické podgrupy (a) v ©. Prvek i je tedy pravá třída prvku x vzhledem k cyklické pod- grupě (a). Odtud dále plyne, že O je pravý rozklad grupy © vytvořený cyklickou podgrupou (a).

O ryzích cyklických permutacích, které vytvořují libovolnou levou translaci^flt v nějaké konečné grupě @, platí tedy věta, že jejich cykly se skládají z těchže prvků jako pravé třídy vzhledem k cyklické podgrupě (a) v grupě ©.

16.8. Cvičeni

16.8.2. V každé konečné grupě sudého řádu existují prvky řádu 2.

16.8.4. Každá grupa, ji jíž řád je prvočíslo, je cyklická.

16.8.6. Rád každého prvku a libovolné faktorové grupy na nějaké konečné grupě © je dělitelem řádu každého prvku v © obsaženého v a.

Když řád prvku a je mocninou nějakého prvočísla p, pak v a existuje prvek a, jehož řád je rovněž mocninou prvočísla p.