ANALÝZA MĚSÍČNÍCH MODELŮ GRAVITAČNÍHO POLE ZEMĚ Z MISIE GRACE

(1)

Katedra geodézie a důlního měřictví

ANALÝZA MĚSÍČNÍCH MODELŮ

GRAVITAČNÍHO POLE ZEMĚ Z MISIE GRACE

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Autor: Bc. Nikola Lukáčeková

Vedoucí diplomové práce: Prof. Ing. Jan Kostelecký, DrSc.

Ostrava 2018

(2)

(3)

(4)

Poďakovanie:

Touto cestou by som sa rada poďakovala hlavne vedúcemu diplomovej práce Prof. Ing.

Jánovi Kosteleckému, DrSc., ktorý mi poskytol materiály, odbornú pomoc a cenné rady po celú dobu spracovania diplomovej práce.

(5)

nemeckej misie GRACE (Grace Recovery and Climate Experiment), zameranej predovšetkým na štúdium detailnej štruktúry a časových variácii gravitačného poľa Zeme.

Výsledky z misie sú vyjadrené pomocou Stokesových parametrov. Časová variabilita gravitačného poľa je založená na transformácii mesačných modelov gravitačného poľa na model geoidu a následnej analýze z hľadiska časového vývoja. Zobrazenie gravitačných zmien, spôsobených predovšetkým globálnym vodným cyklom a hydrológiou krajiny.

Kľúčové slová: geoid, mesačné modely gravitačného poľa, misia GRACE, časové variácie, Stokesové parametre

(6)

(Gravity Recovery and Climate Experiment), focusing in particular on studying the detailed structure and time variations of Earth gravity field. The mission results are expressed using Stokes parameters. The seasonal variation of the gravity field is based on transformation of the monthly gravity field models into geoid model and analysis in terms of time development. Visualization of gravity changes caused mainly by the global water cycle and landscape hydrology.

Keywords: geoid, monthly gravity field models, mission GRACE, seasonal variation, Stokes parameters

(7)

1 TEÓRIA ... 2

1.1 Gravitácia ... 3

1.1.1 Gravitačné pole Zeme ... 3

1.1.2 Určenie priebehu geoidu ... 4

1.1.3 Výskum gravitačného poľa Zeme ... 7

1.1.4 Pôsobenie gravitačného poľa na dráhu umelej družice Zeme ... 7

1.1.5 Stokesove parametre ... 8

1.1.6 Matematická reprezentácia ... 10

2 DRUŽICOVÁ MISIA GRACE ... 12

2.1 Misia GRACE a spôsob merania ... 13

2.1.1 Satellite-to-Satellite Tracking ... 16

2.2 Aplikácie GRACE ... 18

2.3 Zníženie presnosti určovania časových variácii v roku 2004 ... 20

2.4 Pokračovateľ misie GRACE-FO ... 21

2.4.1 GRACE Follow-On a spôsob merania ... 21

3 OBRÁTENÁ ÚLOHA DRUŽICOVEJ GEODÉZIE ... 23

3.1 Dynamická metóda družicovej geodézie ... 23

4 MODELY GRAVITAČNÉHO POĽA ZEME ... 24

4.1 Definícia jednotlivých parametrov ... 24

4.2 Inštitúcie, spracovávajúce merania GRACE ... 25

4.2.1 Služby ICGEM ... 26

4.3 Spracovanie dát ... 27

4.3.1 Transformácia gravitačného poľa na geoid... 28

5 ANALÝZA ČASOVÝCH VARIÁCIÍ GEOIDU ... 29

5.1 Analýza časových variácii na základe rozdielu veľkosti výšok geoidu medzi dvoma obdobiami ... 29

(8)

5.2.1 Grafické vyhodnotenie maximálnych hodnôt rozdielu ... 39

5.3 Vyjadrenie sezónnych variácií využitím amplitúd a fáz ročného člena vzhľadom k zvolenému fixovanému obdobiu ... 43

5.3.1 Grafické vyhodnotenie sezónnych variácií formou amplitúd a fáz ... 44

6 ČASOVÉ RADY A ICH ANALÝZA ... 53

6.1 Analýza dát ... 53

6.2 Zhodnotenie grafického výstupu ... 54

6.2.1 Výsledné grafy ... 56

7 ZÁVER ... 68

ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY ... 69

ZOZNAM POUŽITÝCH SKRATIEK ... 73

ZOZNAM OBRÁZKOV ... 74

ZOZNAM TABULIEK ... 77

ZOZNAM PRÍLOH ... 78

PRÍLOHY ... 79

(9)

2018 1

ÚVOD

Údaje, ktoré nám GRACE poskytuje, výrazne zlepšujú naše znalosti o gravitácii Zeme a ďalších aspektoch globálnych zmien. Umožňuje nám v časových obdobiach spravidla jedného kalendárneho mesiaca, využívať modely gravitačného poľa Zeme, vyjadrené prostredníctvom Stokesových parametrov.

Úlohou diplomovej práce je transformácia týchto modelov na model geoidu a následne realizovať ich analýzu z hľadiska časového vývoja, využitím niekoľkých metód.

Zvolené varianty zahŕňajú zhodnotenie hodnôt rozdielu medzi dvoma obdobiami získaním odchýlok vo veľkosti výšok geoidu, vyjadrenie maximálnych hodnôt odchýlok pre sledované obdobie, zhodnotenie sezónnych variácií využitím amplitúd a fáz ročného členu, vzhľadom k zvolenému fixovanému obdobiu. Na záver sú vyjadrené časové rady znázorňujúce meniace sa odchýlky v oblastiach Amazonky, Grónska, Indie, Indonézie, Sibíru, Blízkeho Východu, Slovenska, Strednej Európy, Thajska a Západnej Antarktídy.

Výstupné hodnoty sú spracované v grafickom softwari Golden Surfer 14.

Na základe grafických výsledkov je možné skúmať odchýlky vo výškach geoidu, ktoré sú spôsobené predovšetkým presunom, preskupovaním vodných hmôt nad zemou, pod zemou alebo na jej povrchu, v dôsledku hydrologického cyklu. Analýza mesačných modelov je využiteľná v oblasti hydrológie, oceánografie, glaciológie, geofyziky a hlavne geodézie.

(10)

2018 2

1 TEÓRIA

Pre stručný popis, v prvej polovici 21. storočia boli uskutočnené tri experimentálne misie družicovej geodézie, ktoré sa zamerali na štúdium gravitačného poľa Zeme. [3]

Jednou z prvých týchto misií bola CHAMP. Družica bola vypustená dňa 15.júla 2002 z ruského kozmodrómu Pleseck na nízku kruhovú dráhu blízku polárnej, do počiatočnej výšky 450 km, zameraná na podrobný výskum gravitačného ako aj magnetického poľa Zeme. CHAMP ukončila svoju misiu v roku 2011. Na sledovanie detailnej štruktúry a tiež časových variácií gravitačného poľa Zeme sa zameriavala druhá misia GRACE. Vypustená na podobnú kruhovú dráhu vo výške 450 km nad Zemou, Američanmi dňa 17. marca 2002.

Zložená z dvojice identických družíc A, B vzdialených od seba približne 220 km. Misii GRACE a jej spôsobu fungovania sa budeme bližšie venovať v práci. Posledným experimentom bolo vypustenie družice GOCE. Relatívne krátkodobá, pričom nebolo predpokladané, že sledovala sezónne variácie gravitačného poľa. GOCE slúžila od roku 2009 - 2013, udržiavaná na dráhe vo výške 250 km. [1], [3]

Inverzná metóda, na ktorej boli založené tieto nové satelitné misie je podložená na druhom Newtonovom zákone pohybu, ktorý hovorí o monitorovanom zrýchlení satelitu a o silách pôsobiacich na satelit. Modely dlhodobého statického zemského gravitačného poľa majú značne lepšiu kvalitu ako doterajšie publikované riešenia. Vedci sa tiež pokúsili získať časovo premenlivý gravitačný signál z orbitálnych dráh satelitov CHAMP a GRACE.

Diplomová práca sa zameriava na riešenie dvojice identických družíc GRACE. Údaje zozbierané za niekoľkoročné obdobie, umožnili výskumníkom získať priemernú hodnotu ročného vnútrozemského hydrologického signálu, kde vo významných geografických oblastiach zistili značné hydrologické odchýlky. [13]

(11)

2018 3

1.1 Gravitácia

Čo je to? Nemôžme ju vidieť. Nemôžme ju cítiť. Nemôžme sa jej dotknúť. Ale je s nami.

V skutočnosti je všade okolo nás. [9] Gravitácia je Newtonovo jablko, vec Einsteinových teórií ale je to predovšetkým zákon, ktorý sa všetci naučíme poslúchať a riadiť už od nášho prvého dychu života. Hovoríme o vzájomnej príťažlivosti, ktorá ťahá dve hmoty dohromady.

Udržuje nás pevne na Zemi. [6] S gravitáciou sa poznáme, pretože každý jeden deň žijeme s jej vplyvmi. To znamená, že ak necháme spadnúť objekt padne na Zem a my vieme, že gravitácia je dôvodom. Napriek tomu, že gravitačná sila je v prírode, v porovnaní s inými silami akými je elektrina či magnetizmus slabá, jej účinky sú však ďaleko rozsiahlejšie a dramatickejšie. Gravitácia riadi všetko od pohybu oceánskych slapov, až po expanziu celého vesmíru. [9]

Počas 20. storočia geofyzici vyvíjali techniky pre vyhľadávanie ložísk nerastov a podzemné útvary pomocou priestorových zmien v gravitačnom poli Zeme, ktoré položili moderný základ pre vedu geodézie. Geodézia je štúdium tvaru Zeme a spolieha sa na získanie exaktných meraní zemskej, oceánskej topografie povrchu ako aj gravitačného poľa. [6]

1.1.1 Gravitačné pole Zeme

Gravitačné pole Zeme je charakterizované pomocou tzv. gravitačného potenciálu V, pričom ide o skalárnu veličinu, ktorá je funkciou len v polohe. Ak zderivujeme tento potenciál v príslušnom smere, získame vektor gravitačnej sily. Potenciál je najčastejšie vyjadrený pomocou rozkladu do guľových funkcií

𝑉(𝑟, 𝛷, 𝜆) =𝐺𝑀

𝑟 [1 + ∑ ∑ (𝑎_𝑒 𝑟)

𝑙

𝑃_𝑙𝑚(sin𝛷)(𝐶_𝑙𝑚cos𝑚𝜆 + 𝑆_𝑙𝑚sin𝑚𝜆)

𝑙

𝑚=0

∞

𝑙=2

]

( (1.1) pričom 𝑉(𝑟, 𝛷, 𝜆) je gravitačný potenciál a je funkciou geocentrických sférických súradníc 𝑟, 𝛷, 𝜆. Pridružené Legendreové funkcie označujeme ako 𝑃_𝑙𝑚(sin𝛷). Amplitúdy kosínusového a sínusového člena, resp. Stokesové parametre značíme 𝐶_𝑙𝑚, 𝑆_𝑙𝑚. Hodnota l je stupeň a m je rád, pričom vyjadrujú delenie Zeme na sektory, obmedzené poludníkmi a rovnobežkami. Súčet naprieč l prebieha do nekonečna avšak v konkrétnom prípade sa obmedzuje na pomerne nízke l, m. [2], [3]

Súbory parametrov 𝐶_𝑙𝑚, 𝑆_𝑙𝑚 potom tvoria tzv. model gravitačného poľa. Parametre sa určujú aplikovaním Gaussovej metódy najmenších štvorcov, riešením dynamickej úlohy družicovej

(12)

2018 4 geodézie. Úloha vychádza z nelineárneho, funkčného vzťahu a to medzi pozorovaním a parametrami gravitačného poľa. V prípade analyzovanej družice GRACE ide o určovanie polohy technológiou GPS. Ďalej sú merané vzdialenosti medzi oboma družicami A,B a jej časové zmeny. [2], [3]

Časové variácie gravitačného poľa môžeme sledovať niekoľkými spôsobmi. V prípade prvej možnosti ide o vyjadrenie zmien hodnôt Stokesových parametrov. Parametrov je však kvantum a výsledok by tak nebol inštruktívny. Názornejšie je vyjadrenie zmien prostredníctvom kolísania priebehu plochy geoidu, pretože tieto zmeny reagujú na zmenu hmôt. Takýmto znázornením sa budeme zaoberať v nasledujúcich kapitolách. [2], [3]

1.1.2 Určenie priebehu geoidu

Globálnym geoidom rozumieme v uvedenom prípade plochu geoidu, ktorá reprezentuje geoid na celom povrchu Zeme. Daný je súborom Stokesových parametrov do určitého konečného stupňa 𝑙_𝑚𝑎𝑥 a rádu 𝑚_𝑚𝑎𝑥, pričom je do určitej miery ,,filtrovaný“. Geoid je označovaný ako ekvipotenciálna plocha konštantného tiažového potenciálu, približujúca sa k strednej hladine mora. Tvar elipsoidu sa vypočítal prostredníctvom hypotetického ekvipotenciálneho gravitačného povrchu. Existuje však zásadný rozdiel medzi týmto matematickým a skutočným modelom. Napokon aj ten najlepšie sofistikovaný matematický geoid nám môže len značne priblížiť skutočný tvar zeme. [30]

Obr. 1.1 Model Zeme [30]

(13)

2018 5

Obr. 1.2 Elipsoid, geoid a záujmový bod [29]

Presný model geoidu slúži predovšetkým ako referenčný povrch ale rovnako na transformáciu medzi výškami. Exaktnosť merania výšky GPS vychádza z mnohých faktorov. "Nedokonalosť" zemského povrchu patrí k jedným z týchto faktorov. Výšku je možné merať niekoľkými spôsobmi, pričom GPS využíva výšku nad referenčným elipsoidom (h), čo najlepšie sa približujúcej k povrchu Zeme. Ako môžeme vidieť na obrázku vyššie. Výška, ktorá je definovaná nad imaginárnym povrchom označovaný ako geoid, určovaný zemskou gravitáciou sa nazýva výška ortometrická (H). Napokon výška geoidu (N) predstavuje rozdiel medzi elipsoidom a geoidom. [30]

Začneme výrazom pre gravitačný potenciál V, z ktorého budeme vychádzať 𝑉(𝑟, 𝛷, 𝜆) =𝐺𝑀

𝑟 𝑓(𝑟, 𝛷, 𝜆). (1.2)

Geoid je vyjadrený ako ekvipotenciálna plocha konštantného tiažového potenciálu W

𝑊 = 𝑉 + 𝑄, (1.3)

kde 𝑄 predstavuje potenciál odstredivej sily 𝑄 = 1

2𝜔²𝑟²cos²𝛷 = 𝑄(𝑟, 𝛷), (1.4) 𝜔 je rýchlosť rotácie Zeme. Po dosadení do vzťahu (1.3) môžeme napísať formálne výraz

𝑊 =𝐺𝑀

𝑟 [𝑓(𝑟, 𝛷, 𝜆)]. (1.5)

(14)

2018 6 Geoid ako plochu konštantného potenciálu budeme označovať 𝑊_{𝐺𝐸𝑂𝐼𝐷}. Analogicky tak prepíšeme vzťah (1.5) na uvedený tvar

𝑊_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑} = 𝐺𝑀

𝑟_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑} [𝑓(𝑟_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}, 𝛷, 𝜆)]. (1.6) Pre polohový vektor teda platí

𝑟_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑} = 𝐺𝑀

𝑊_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑} [𝑓(𝑟_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}, 𝛷, 𝜆)]. (1.7) Výraz pre polohový vektor nám poukazuje, že pri známej hodnote 𝑊_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑} je nevyhnutné určovať 𝑟_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑} iteračným postupom. [3]

Do určitej miery by sme mohli zvoliť ľubovoľnú hodnotu 𝑊_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}. Avšak ak chceme vyhovieť obvyklej definícií o geoide, ktorá hovorí, že geoid je hladinová plocha, zhodujúca sa s priebehom hladín oceánov, s odstránenou dynamickou topografiou oceánov a slapov, môžeme 𝑊_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑} určiť v rámci definovania dĺžkového mierkového faktoru 𝑅₀. [3]

𝑅₀ = 𝐺𝑀 𝑊_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}

(1.8) Z uvedenej definície je zrejme, že 𝑅₀ predstavuje polomer gule s potenciálom 𝑊_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}. Vzťah pre polohový vektor (1.7) tak môžeme napísať v tvare

𝑟_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑} = 𝑅₀[𝑓(𝑟_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}, 𝛷, 𝜆)] (1.9) a na koniec

𝑅₀= 𝑟_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}[𝑓(𝑟_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}, 𝛷, 𝜆)]⁻¹. (1.10) Ak sa nám použitím metódy družicovej altimetrie alebo GPS podarí „zmapovať“ približný priebeh strednej hladiny mora a oceánov, respektíve 𝑟_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}, môžeme následne stanoviť mierkový faktor 𝑅₀ a z tejto hodnoty pomocou vzťahu (1.8) získať 𝑊_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}. [3]

Aktuálna hodnota tiažového potenciálu globálneho geoidu sa pohybuje v hodnote:

𝑊_{𝑔𝑒𝑜𝑖𝑑}= 62 636 856.0 ± 0.5 𝑚². 𝑠⁻² (1.11) Vďaka novodobým geodetickým satelitným misiám je možné v krátkom časovom intervale, mesačných vyhodnoteniach vytvárať modely globálneho geoidu. Na základe týchto modelov je možné odhadnúť časové zmeny povrchu geoidu. Zmeny sú vyvolané predovšetkým hydrologickými vplyvmi.

(15)

2018 7 Druhý spôsob riešenia problému je prostredníctvom „výškových anomálií“ N

𝑁 =𝑇

𝛾 +𝐷𝑔𝑏

𝛾 𝐻 (1.12)

kde N predstavuje výšku geoidu nad referenčným elipsoidom, T je rušivý potenciál, 𝛾 je normálne tiažové zrýchlenie na elipsoide, Dgb je Bouguerová anomália a H je výška hladiny mora na výpočtovom bode. [2]

1.1.3 Výskum gravitačného poľa Zeme

Oblasť diaľkového skúmania gravitačného poľa sa neustále rozširuje a prispôsobuje tak aby poskytovala čo najlepšie nové informácie o Zemi a jej zložitých komplexných systémoch.

Účelom rozšírenia modernej satelitnej technológie bolo monitorovanie priestorových a časových variácií v globálnom gravitačnom poli Zeme. Schopnosť monitorovania zemského geoidu vedcom umožňuje lepšie pochopiť zmeny, predovšetkým hydrologického charakteru na povrchu našej planéty, vrátane straty ľadovej hmoty v dôsledku meniacej sa klímy a stúpajúcej hladiny mora. [7]

Hmota nachádzajúca sa vo vnútri a na povrchu Zeme nieje rozložená rovnomerne.

Nepravidelné rozloženie hmoty na našej planéte spôsobuje nehomogenity v gravitačnom poli. Gravitácia je silnejšia v oblastiach s vyššou hmotnosťou v Zemi než na miestach s menšou hmotnosťou. Takéto monitorovanie zmien v gravitačnom poli a jeho skúmanie nám umožňuje experiment GRACE. [6]

1.1.4 Pôsobenie gravitačného poľa na dráhu umelej družice Zeme

Ako môže gravitačné pole ovplyvňovať dráhu umelej družice? Ak sa na to pozrieme z geodetickej stránky, hovoríme o podstatne značnom vplyve na dráhu tejto družice, pretože ak budeme riešiť obrátenú úlohu kozmickej geodézie, kedy je poloha satelitu známa z pozorovaní, môžeme definovať jej parametre. Na základe týchto parametrov dokážeme charakterizovať gravitačné pole. [17]

Z geofyziky je nám známy vzťah pre potenciál V V = −𝐺(𝑀 + 𝑚)

𝑟 ≅ −𝐺𝑀

𝑟 . (1.13)

Nazývame ho gravitačný potenciál. Definuje vonkajší potenciál pre hmotný bod so známou hmotnosťou, homogénnu guľu alebo homogénnu guľu, ktorá sa skladá z guľových vrstiev s hmotnosťou M. Avšak Zem je možné aproximovať guľou len približne, preto tento vzťah

(16)

2018 8 doplníme o poruchový potenciál R. Hovoríme o reálnom poli Zeme a pre gravitačný potenciál tak bude platiť

𝑉 = − (𝐺𝑀

𝑟 + 𝑅). (1.14)

Pre vyjadrenie pohybového zákona budeme vychádzať z Newtonovho zákona gravitácie 𝑟̈ =𝜕𝑉

𝜕𝑟+ ∆𝐹, (1.15)

pričom vo vzťahu nebudeme uvažovať zložku pre nekonzervatívne sily.

Po spresnení rovníc a vykonaní derivácie môžeme napísať diferenciálnu rovnicu, ktorá platí v inerciálnom súradnicovom systéme, reprezentovaným Medzinárodným nebeským referenčným rámcom ICRF

𝑟_{𝐼𝐶𝑅𝐹}̈ = 𝜕𝑉

𝜕𝑟 = −𝐺𝑀

𝑟³ 𝑟_{𝐼𝐶𝑅𝐹}+ 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑅_{𝐼𝐶𝑅𝐹}. (1.16) Poruchový potenciál pre gravitačné pole Zeme 𝑅_{𝐼𝑇𝑅𝐹} je nutné previesť zo súradnicového systému terestrického do súradnicového systému inerciálneho, ktorý vieme vyjadriť rozvojom do sférických funkcií

𝑅_{𝐼𝑇𝑅𝐹} =𝐺𝑀

𝑟 ∑ ∑ (𝑎_𝑒 𝑟)

𝑙

𝑃_𝑙𝑚(sin𝜙)(𝐶_𝑙𝑚cos𝑚𝜆 + 𝑆_𝑙𝑚sin𝑚𝜆),

𝑙

𝑚=0

∞

𝑙=2

(1.17)

pričom 𝑟, 𝜙, 𝜆 definujú sférické súradnice, polohový vektor r, geocentrická šírku 𝜙 a zemepisnú dĺžku 𝜆. Ľubovoľný dĺžkový faktor označíme ako 𝑎_𝑒, vo všeobecnosti je z neho volená veľká poloos referenčného elipsoid a Stokesové parametre, označíme 𝐶_𝑙𝑚, 𝑆_𝑙𝑚 kde 𝑙 ∈< 2, ∞), 𝑚 ∈< 0, 𝑙 >. 𝑃_𝑙𝑚 definuje Legendreovu funkciu.

1.1.5 Stokesove parametre

Stokesové parametre predstavujú bezrozmerné veličiny, ktoré popisujú vonkajšie gravitačné pole vesmírneho telesa. Odvíjajú sa na základe dvoch indexov, zložených zo stupňa a rádu.

Najväčšia hodnota Stokesových parametrov pre Zem, súvisí so sploštením. Stokesové parametre sú určované na základe pozorovaní z porúch dráh umelých družíc, obiehajúcich okolo definovaného telesa. [31] V súčasnosti sa parametre globálneho gravitačného modelu zvyčajne zostavujú z orbitálnych dát numerickou integráciou satelitných obežných dráh, pomocou aproximačného modelu, pričom parametre tohto modelu sa môžu potom zlepšiť iteráciou, z rozdielov medzi vypočítanými a pozorovanými dráhami. [26] Stokesové parametre delíme na tri skupiny bezrozmerných parametrov. Hodnotu rádovo nižšiu

(17)

2018 9 predstavujú parametre teserálne a sektorálne. Približne o dva rády. Naopak hodnotu najvyššiu dosahuje parameter zonálny, súvisiaci s pólovým sploštením Zeme 𝐶₂₀ =

−484,17 . 10⁻⁶. [17]

 Zonálne koeficienty m = 0

 Sektorálne koeficienty 𝑙 = 𝑚, 𝑚 ≠ 0

 Teserálne koeficienty 𝑙 ≠ 𝑚, 𝑚 ≠ 0

Na obrázkoch nižšie sú znázornené príklady jednotlivých typov Stokesových parametrov.

Obr. 1.3 Zonálne koeficienty 𝑙 = 6, 𝑚 = 0 [16]

Obr. 1.4 Teserálne (Mozaikové) koeficienty 𝑙 = 16, 𝑚 = 9 [16]

Obr. 1.5 Sektorálne 𝑙 = 9, 𝑚 = 9 [16]

(18)

2018 10 1.1.6 Matematická reprezentácia

Globálny model gravitačného poľa alebo jednoducho globálny model, predstavuje v geodézií matematickú funkciu, ktorá je aproximáciou gravitačného potenciálu Zeme, v priestore mimo nej. Z takto približne definovaného gravitačného potenciálu je možné počítať všetky súvisiace funkcie gravitačného poľa, akými je napríklad gravitačný potenciál, gravitačný vektor, gravitácia. Funkcie gravitačného poľa, napríklad výška geoidu, gravitačné anomálie, gravitačná porucha, ktoré plnia v geodézii mimoriadny význam, môžeme počítať len s ohľadom na definovaný referenčný systém. Odstredivú časť je možné modelovať jednoducho, zároveň veľmi presne a je tiež súčasťou referenčného systému.

Náročnou úlohou je modelovanie približného gravitačného potenciálu. Z tohto dôvodu je vhodná matematická reprezentácia, takzvaný súbor základných funkcií, ktorý umožňuje aproximovať harmonickú funkciu mimo Zeme. [26]

Existuje mnoho matematických reprezentácií pre takýto model. Avšak sférické harmonické funkcie sú základnými funkciami, prakticky výhradne používané v praxi. Respektíve ide o ortogonálne súbory z riešení Laplaceovej rovnice, reprezentované v súbore sférických súradníc. Znamená to, že gravitačný potenciál môže byť vyjadrený súčtom stupňa a rádu sférickej harmonickej expanzie, v akomkoľvek bode (r, Φ, 𝜆) na a pod zemským povrchom, nasledovne:

𝑉( 𝑟, Φ, 𝜆) =𝐺𝑀 𝑟 ∑ (𝑅

𝑟)

𝑙

∑ [𝐶_𝑙𝑚𝑌_𝑙𝑚^𝑐 (Φ, 𝜆) + 𝑆_𝑙𝑚𝑌_𝑙𝑚^𝑐 (Φ, 𝜆)]

𝑙

𝑚=0

∞

𝑙=0 (1.18)

𝑌_𝑙𝑚^𝑠 (Φ, 𝜆) = 𝑃_𝑙𝑚(sinΦ)sin𝑚𝜆 𝑌_𝑙𝑚^𝑠 (Φ, 𝜆) = 𝑃_𝑙𝑚(sinΦ)cos𝑚𝜆

Označenie:

(𝑟, 𝛷, 𝜆) - sférické geocentrické súradnice výpočtového bodu (polomer, zemepisná šírka, zemepisná dĺžka)

R - referenčný polomer

GM - gravitačná konštanta a hmotnosť Zeme l, m - stupeň a rád sférickej harmonickej funkcie 𝑃_𝑙𝑚 - Legendreové funkcie (normalizované)

𝐶_𝑙𝑚, 𝑆_𝑙𝑚 - Stokesové koeficienty (normalizované) a Legendreové funkcie sú normalizované tak, že:

(19)

2018 11 1

4𝜋 ∫ ∫ [𝑃_𝑙𝑚(sin𝛷)cos𝑚𝜆]²𝑑𝜆𝑑𝛷 = 1

𝜋

𝛷=0 2𝜋

𝜆=0

(1.19)

Takýmto vyjadrením je globálny model daný parametrami GM, R a normalizovanými koeficientmi 𝐶_𝑙𝑚, 𝑆_𝑙𝑚 až do hornej hranice max. stupňa. Takýto rozvoj potenciálu sférických harmonických funkcií je reprezentovaný vo frekvenčnej oblasti, spájajúcej priestorové a spektrálne oblasti potenciálu. Horná hranica max. zo súčtu vládne krátkym vlnovým dĺžkam, reprezentovaným modelom. To znamená, že vyššie max. predstavuje vyššie priestorové rozlíšenie modelu. Teda aby sa zlepšil model, je potrebné zvýšiť presnosť parametrov 𝐶_𝑙𝑚, 𝑆_𝑙𝑚. [26]

Sektorálne Teserálne Zonálne Teserálne Sektorálne

Obr. 1.6 Matematická reprezentácia Stokesových koeficientov [27]

(20)

2018 12

2 DRUŽICOVÁ MISIA GRACE

Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE) je medzinárodná skupinová geodetická misia zložená z dvojice identických družíc na rovnakej obežnej dráhe. Navrhnutá pre mapovanie zemského gravitačného poľa s cieľom získať dlhodobé dáta s vysokou presnosťou pre vytvorenie nových modelov. Okrem toho GRACE poskytuje informácie o rozložení teploty a celkový obsah vodnej pary v atmosfére. Dvojica satelitov bola zostavená spoločnosťou Astrium. Misia bola vypustená na obežnú dráhu 17. marca 2002 na základe spoločného projektu medzi National Aeronautics and Space Administration (NASA) a Helmholtz Centre Potsdam - German Research Centre for Geosciences (GFZ), vedecké výskumne centrum pre geovedy s podporou partnerských inštitúcií obidvoch popredných agentúr, naplánovaná na 5 rokov. [7] Jej trvanie však bolo prekročené trojnásobne dlhšie ako sa plánovalo a svoju misiu ukončila až minulý rok dňa 27.októbra 2017. Po 15 rokov úspešnej prevádzky, opotrebovaním batérií umiestnených na palube satelitov výskumníci v Spojených štátoch a Nemecku súhlasili s ukončením misie. Vzhľadom na nízku obežnú dráhu oba satelity postupne klesali až napokon postupne bezpečne zhoreli v atmosfére po doslúžení ich batérií. [19]

Obr. 2.1 Dvojica satelitov GRACE A, B [10]

1𝜇𝑚/𝑠

(21)

2018 13 Dôležitým cieľom misie bolo štúdium gravitačného poľa a jeho časové zmeny vo vzdialenosti medzi dvoma družicami. Toto monitorovanie bolo umožnené pomocou špeciálneho mikrovlnného merania medzi oboma družicami GRACE A/B, obiehajúcimi okolo Zeme. Umožnilo nám odhaliť množstvo podrobností o gravitačnom poli Zeme a ďalších dôležitých aspektoch globálnej zmeny. [9]

2.1 Misia GRACE a spôsob merania

Ako je možné aby satelit v priestore vykonal takéto presné meranie gravitácie? Ako súvisí meranie vzdialenosti medzi oboma satelitmi s gravitáciou? Keď sa začneme detailnejšie zaoberať tým, ako skutočne takéto exaktné meranie gravitácie funguje, môžeme jednoznačne lepšie chápať princíp misie GRACE a jej meranie gravitácie vo vesmíre. [9]

Experiment Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE) predstavoval aplikáciu novej technológie, nevyhnutnej pre získavanie informácií o globálnej hmotnostnej redistribúcii. GRACE bola zložená z dvojice identických družíc vzdialených od seba približne 220 km obiehajúcich na nízkej polárnej obežnej dráhe vo výške 450 km nad Zemou, každých 90 minút. [9]

Obr. 2.2 Misia GRACE a spôsob merania [11]

(22)

2018 14 Misia je zameraná predovšetkým na detailnú štruktúru gravitačného poľa a jeho časové zmeny. Dráhy dosahujú až centimetrovú presnosť a to vďaka sledovaniu družice z družice (Satellite-to-Satellite Tracking ).

Tab. 2.1 Prieskum

K - Band - System: Vzdialenosť,

Relatívna rýchlosť:

Presnosť: < 𝟏𝝁𝒎 GPS – Prijímač: Poloha: Presnosť: 2-3 cm

Akcelerometer: Negravitačné zrýchlenie:

Presnosť: 3.𝟏𝟎^−𝟏𝟎𝒎/𝒔^𝟐

Princíp je založený na meraní vzájomnej rýchlosti dvojice satelitov pomocou času letu mikrovlnného signálu medzi oboma družicami, s presnosťou 1 mikrometer za sekundu.

Značne presné meracie zariadenie, ktorým sú tieto satelity vybavené známe ako mikroakcelerometer, slúži na elimináciu negravitačného zrýchlenia s presnosťou 3.10^-

10m/s². Princíp merania môžeme vidieť na (Obr. 2.3). Meraná je vzdialenosť medzi družicami a jej časové zmeny. Geocentrická poloha týchto satelitov je meraná nezávisle na základe GPS. Poznáme polohový vektor rA a rB. Z relatívneho merania poznáme s a ds/dt. [2]

Obr. 2.3 Princíp misie GRACE [1]

(23)

2018 15 Priestorové odchýlky, ku ktorým dochádza v gravitačnom poli Zeme, sú spôsobené premenlivým rozložením hmôt. Rovinaté oblasti, údolia, hory naopak hlboké oceánske zákopy. Z tohto dôvodu boli pozorované zmeny rozdielu medzi satelitmi. Samozrejme, určite nedošlo k tak dramatickým variáciám ako napríklad medzi Zemou a Mesiacom.

Vzdialenosť medzi oboma satelitmi slúžila ako zdroj dát. [1]

GRACE sa líšila od väčšiny satelitných misií pre pozorovanie Zeme, akými bola napríklad Terra a Aqua, pretože na palube neniesla sadu nezávislých vedeckých prístrojov.

Nevykonávala merania elektromagnetickej energie, ktoré sa odrážali spätne od zemského povrchu. Naopak tieto dva satelity pôsobili spoločne ako primárny nástroj. Zmeny vzdialenosti medzi dvojicou týchto družíc sa následne využívali na určovanie zmien gravitačného poľa. [9]

Obr. 2.4 Dvojica satelitov nad oceánskou oblasťou [9]

Dvojica týchto identických satelitov obletela Zem približne 15 krát za deň a ich pozícia sa menila vplyvom reakcie na zmeny v gravitačnom poli Zeme. Keď sa dvojica týchto identických satelitov pohybovala nad oceánskou oblasťou, vzdialenosť medzi nimi sa nezmenila. Na (Obr. 2.5) môžeme vidieť situáciu, keď vodiaci satelit GRACE A narazí na zmenu gravitácie spôsobenú vplyvom hustej koncentrácie zemskej hmoty a odtiahne sa od koncového satelitu GRACE B, nachádzajúceho sa stále nad vodnou oblasťou. [9]

GRACE A GRACE B

(24)

2018 16

Obr. 2.5 Reakcia satelitu GRACE A na zmenu v gravitácií [9]

Obr. 2.6 Reakcia satelitu GRACE B na zmenu gravitácie [9]

Napokon na (Obr. 2.6)môžeme vidieť pozíciu, ktorá nastáva vtedy, keď sa vodiaca družica A pohybuje spätne ponad vodu zatiaľ čo koncová mení svoju pozíciu vplyvom reakcie na väčšiu ťažnú silu nad pevninou. [9]

2.1.1 Satellite-to-Satellite Tracking

Existujú dva typy základných konfigurácií Satellite-to-Satellite Tracking, ďalej SST. Ide o sledovanie družice umiestnenej na nízkej obežnej dráhe z družice umiestnenej na vysokej dráhe. Označuje sa ako SST (high-low). [17]

GRACE A GRACE B

(25)

2018 17 Druhým typom je sledovanie družice z družice, pričom obidve sú umiestnené na nízkej obežnej dráhe. Označuje sa ako SST (low-low). Obe tieto dráhy sú rovnaké, kruhové, nízke a družice sa pohybujú za sebou. Tieto dva typy uvedených metód boli využité a rovnako vyskúšané. Používajú sa k určovaniu dráhy, predovšetkým (high-low) na určovanie parametrov gravitačného poľa a ich časových variácií hlavne (low-low) režim. Na princípe (high-low) dnes pracuje väčšina altimetrických družíc, s družicami NAVSTAR GPS. [17]

Princíp (low-low) SST, na ktorom je založená dvojica satelitov GRACE A, B umožňuje určiť časové variácie potenciálu. Vyplýva z toho, že (low-low) SST je oveľa citlivejšia pre určovanie časových variácií, respektíve diferenciálnych hodnôt ako metóda (high-low) SST.

Priestorové rozlíšenie družíc GRACE A, B je až pod 1000 km, čo umožňuje zistiť variácie vo výškach geoidu, napríklad predovšetkým pre oblasť Amazonky, kde sú tieto zmeny výrazné hlavne v dôsledku hydrologických procesov. Na (Obr. 2.7)je uvedený princíp tejto metódy. [17]

Obr. 2.7 Princíp SST - Satellite-to-Satellite Tracking (low-low) [17]

Môžeme si tak jednoduchšie predstaviť ako dve družice, umiestnené na nízkych obežných dráhach, vo výške približne 450 km a vzdialenosti 220 km od seba, pri obiehaní Zeme reagujú na tiažové anomálie, v oblasti nad ktorou sa pohybujú. Reakcia je zaznamenaná zmenou vzdialenosti medzi oboma satelitmi ako sme už uviedli vyššie. Zmeny vzdialenosti

(26)

2018 18 medzi družicami je z tohto dôvodu nutné merať veľmi exaktne, na dopplerovskom princípe.

Na základe meraní je možné spresniť parametre gravitačného poľa, prípadne určovať jeho zmeny. [17] Relatívna rýchlosť meraná na spojnici oboch družíc je daná rozdielom medzi geocentrickými rýchlosťami

𝜌̇ = ( 𝑟₂̇ − 𝑟₁̇ ), (2.1) ktoré je možné nájsť pomocou integrácie pohybových rovníc.

𝜌̇ = 𝜌(𝑡₀)

|𝜌(𝑡₀)| ∫ ∑[(−1)^𝑖𝐴_𝑖∆𝑇_𝑖+ 𝑓_𝑖̇ ]𝑑𝜏.

2

𝑖=1 𝑡

𝑡=𝑡0

(2.2)

Definícia veličín použitých vo vzťahoch:

A - matica rotácie medzi súradnicovými systémami

∆T - predstavuje poruchový potenciál 𝐶_𝑙𝑚, 𝑆_𝑙𝑚 - určované parametre

𝑓̇- hodnota závislá od určenia dráh zúčastnených družíc i - index pre dve družice

𝜌 - vzdialenosť medzi družicami

𝑡₀ - čas, platný pre začiatočné podmienky

Ak túto rovnicu linearizujeme, dostaneme rovnicu opráv neznámych gravitačných potenciálov a rovnako pre opravu začiatočných podmienok integrácie dráhy.

Možnosti pre získanie 𝐶_𝑙𝑚, 𝑆_𝑙𝑚 je niekoľko, no postup určenia parametrov gravitačného poľa zo získaných zmien vzdialenosti medzi oboma satelitmi je možné považovať za priamejší ako zložité sprostredkované sledovania satelitov zo Zeme. [17]

2.2 Aplikácie GRACE

Merania z GRACE umožnili nové zistenia v oblasti hydrológie, oceánografie, glaciológie, geofyziky no hlavne geodézie. Aplikácie zahŕňajú prepočet koeficientov gravitačného poľa na geoid, prepočet koeficientov gravitačného poľa na zistenie zmien objemu alebo prepočtom týchto koeficientov na zmenu hmotnosti. [17]

Diplomová práca za zaoberá zmenou výšok geoidu zistených presunom hmôt, predovšetkým presunom vody či snehu. [20]

(27)

2018 19 Na základe satelitov bolo možné vôbec po prvý krát s vysokou presnosťou merať pri pohľade z vesmíru veľkosť ľadovcov topiacich sa v oblasti Grónska. Ak sa zmení hmotnosť ľadovca v Grónsku, dôjde rovnako ku zmene gravitácie v tejto oblasti. [8]

Pomocou satelitov GRACE bolo možné merať gravitačné pole Zeme. Zmeny v gravitačnom poli umožňujú vedcom získavať informácie zodpovedajúce hmotnostným zmenám a tým odpoveď na klimatické zmeny. Na obrázku uvedenom nižšie, môžeme vidieť ako dochádza k takejto variabilite v hmotnostnom rozložení .

Obr. 2.8 Variácie v kontinentálnych úložiskách vody [24]

 P - zrážanie

 E - vyparovanie

 R - odtok

 ∆S - zmeny v akumulácii vody

∆S = P − E − R (2.3)

Gravitačné pole je premenlivé v dôsledku nehomogénneho rozloženia hmoty vo vnútri našej planéty, vďaka čomu má Zem tvar, ktorý sa zreteľne líši od gule. Tvar geoidu však ustavične podlieha časovým variáciám. V čase doby ľadovej pokrýval Škandináviu a oblasť severnej Ameriky približne 1,5 km široký ľadovec. Každým rokom sa topil. Kôra je čoraz menej zaťažená a postupne dochádza k jej zdvíhaniu. Spôsobuje to predovšetkým prúdenie látky v

(28)

2018 20 zemskom plášti. Satelity GRACE nám umožnili túto hypotézu o rovnovážnom rozložení hmôt v zemskej kôre exaktne odhaľovať rovnako ako zmeny výšok geoidu. Výskumníci niekoľkých inštitúcii, na základe skúmaných neustále sa meniacich vzdialenosti medzi satelitmi dokázali vytvoriť model gravitačného poľa Zeme. [8]

Dvojica satelitov poskytovala dáta kvázi každých 30 dní. Získané údaje slúžili k vytvoreniu globálnych mesačných modelov, ktoré sú niekoľkonásobne presnejšie než doterajšie modely. Pomocou zistených zmien v gravitačnom poli môžu vedci posudzovať zmeny klímy na našej planéte. [8] Variabilita v hmotnostnom rozložení je spôsobená predovšetkým presunom vodných hmôt nad zemou, pod zemou alebo na jej povrchu, v dôsledku globálneho hydrologického cyklu akým je sneh, ľad, úložiska podzemnej vody, vlhkosť pôdy, povrchová voda.

Viac než jedna štvrtina sveta je populácia ľudí závislá od podzemnej vody. Tvorí hlavný zdroj ich pitnej vody. Napriek tomu sú globálne pozorovania tohto kritického zdroja vysoko variabilné. [12]

Sledované zmeny gravitácie tiež umožnili lepšie chápať vnútorné sily Zeme, ktoré spôsobujú pohyb tektonických dosiek a dochádza tak k zemetraseniam alebo vulkanickým erupciám.

[9]

Vedci sa neustále posúvajú vpred a veríme, že onedlho bude možné z výsledkov dlhších časových rad definovať dlhodobé zmeny, hlavne pre hydrologické štúdie.

2.3 Zníženie presnosti určovania časových variácii v roku 2004

S misiou GRACE sme neboli detailne oboznámený až do čias, keď boli výskumníci z JPL4 informovaný kvôli dráhovej rezonancii z GRACE, ku ktorej došlo v priebehu septembra 2004. Užívatelia týchto údajov ostali v nemalom prekvapení, keď počas roku 2004 došlo k značnému zníženiu presnosti určovania časových variácií gravitačného poľa a to približne na štvrťroka. Exaktnosť bola znížená približne o viac ako jeden rád, pričom nešlo ani o úbytok meraní ani o zmenu v postupe merania či zmenu presnosti a spracovania.

Predpokladaným vinníkom bola rezonancia 61/4, do ktorej sa táto dvojica družíc dostala v priebehu jesenného obdobia v roku 2004. Na základe dôkladných analýz boli zistené zmeny nie len u GRACE ale rovnako u GOCE. Nešlo len o družice obiehajúce okolo Zeme. Dnes už výskumníci, vedia že ak sa GRACE dostane do rezonancie, hustota priemetu dráhy smerom k zemskému povrchu sa výrazne zníži. Meraniami dochádza k vzniku takzvaných

(29)

2018 21 dutín, čo ma vplyv na exaktnosť parametrov gravitácie, ktoré by z týchto meraní boli odvodené. Rezonancia, ktorá znižuje akosť týchto výsledkov, prichádza postupne tým ako sa družice čo raz viac prepadajú atmosférou. [15]

2.4 Pokračovateľ misie GRACE-FO

GRACE-FO je pokračovateľ v pôvodnej misii GRACE. Misia bude pokračovať v úspešnom meraní ako jej predchodca a jej predpokladané vypustenie je naplánované na 28. apríla 2018 na palube rakety SpaceX Falcon 9 v Kalifornii. Dvojica satelitov bude pokračovať v svojej misii na sledovanie zmien gravitačného poľa a jeho časových variácií. Sledovanie zmien spôsobených vplyvom pohybu podzemnej vody, množstvom vody vo veľkých jazerách a riekach, zmenami v ľadových vrstvách, zvyšovanie hladiny mora. Na základe týchto výsledkov sa výskumníci môžu opäť posunúť vpred a získať tak lepší pohľad na dôsledok klimatických zmien a ďalekosiahle výsledky pre svetovú populáciu. [21]

2.4.1 GRACE Follow-On a spôsob merania

Dvojica satelitov bude umiestnená na nízkej obežnej dráhe 490 km nad povrchom Zeme tak, že obidva satelity nasledujú za sebou vo vzdialenosti 220 km. Neustále vysielajúce mikrovlnné signály, umožňujú merať ich vzdialenosť. Vzhľadom k tomu, že dvojica satelitov bude obiehať Zem, v miestach silnejšej gravitácie alebo v oblasti s väčšou koncentráciou v hmote, bude opäť dochádzať k ich ovplyvňovaniu. To znamená, že vodiaci satelit sa v oblasti s vyššou gravitáciou odtiahne od koncového a naopak, keď touto oblasťou bude prechádzať koncový satelit bude priťahovaný k vodiacemu satelitu. Zmena takejto vzdialenosti by však bola pre naše oči nepostrehnuteľná ale na základe nového značne exaktného nástroja nazývaného laserový interferometer (LRI) vyvinutý americko-nemeckou spoločnosťou, GRACE-FO bude detegovať aj nepatrné zmeny vo vzdialenosti medzi satelitmi. Tento nový prístroj je určený na to, aby merania boli ešte presnejšie než u predchádzajúcich misií. Spoločnosť GRACE využila technológiu mikrovlnného zariadenia na určovanie vzdialenosti medzi satelitmi s presnosťou na 0,002 milimetra. Toto zariadenie bude stále tvoriť základ GRACE-FO. Pomocou (LRI) je však možné dosiahnuť presnosť až 50 násobnú. [22]

(30)

2018 22

Obr. 2.9 GRACE-FO, modrá - mikrovlnné meranie, červená - využitie LRI [22]

Na meranie negravitačného zrýchlenia, ktoré je spôsobené napríklad atmosférickým odporom, tlakom slnečného žiarenia, sú oba satelity vybavené vysoko presným meracím zariadením, nazývaným akcelerometer. Satelitné prijímače GPS umožnia určiť presnú polohu satelitov, s presnosťou menšou ako centimeter. Dáta získané zo satelitov budú následne opäť využívané na vytvorenie máp gravitačného poľa, ktoré výskumníkom poskytnú podrobnosti ako sa hromadí a pohybuje voda po celej planéte. [21]

(31)

2018 23

3 OBRÁTENÁ ÚLOHA DRUŽICOVEJ GEODÉZIE

Nasledujúca kapitola sa zaoberá metódami, ktoré sa využívajú pri satelitných pozorovaniach. Rozlišujeme priamu a obrátenú úlohu satelitnej geodézie. Priama úloha je založená na určovaní priestorovej polohy, s uvážením vplyvu všetkých možných veličín.

Naopak obrátená úloha najskôr definuje parametre ovplyvňujúce polohu satelitov a to využitím štúdia ich pohybu. Takouto úlohou sa zaoberáme v práci. Výsledky sledovania družíc umožňujú ich analýzu. Určované sú parametre gravitačného poľa Zeme, opísané Stokesovými koeficientmi, súradnice staníc, parametre definujúce oceánsku topografiu, slapy (príliv, odliv), parametre matice transformácie medzi súradnicovým systémom inerciálnym a terestrickým alebo tiež označované ako parametre orientácie Zeme (EOP).

Výsledky takto definovaných parametrov umožňujú vykonať ďalšie postupy. Môžeme definovať priebeh geoidu v globálnej miere, tiažnicové odchýlky, vymedziť terestrický systém, určiť variácie časovo premenlivého gravitačného poľa Zeme a definovať rozmerový dĺžkový faktor Zeme R0. [11]

Existujú dve metódy satelitnej geodézie. Delia sa na základe priestorového a časového využitia ich pohybu. Rozlišuje metódu dynamickú a metódu geometrickú. Práca je založená na metóde dynamickej. [11]

3.1 Dynamická metóda družicovej geodézie

Družice sa pohybujú pod vplyvom gravitačných a negravitačných síl. Parametre, ktoré charakterizujú súradnice pozorovaných staníc, gravitačné pole budeme riešiť inverznou úlohou. [11] Vyriešením tejto úlohy stanovíme jednotlivé Stokesové parametre 𝐶_𝑙𝑚, 𝑆_𝑙𝑚 a môžeme tak získať súbor, ktorý potom nazývame model gravitačného poľa Zeme.

Stanovenie jedného súboru Stokesových parametrov do určitého stupňa m a rádu l si vyžaduje dlhšiu sériu pozorovaní. Dnes je tento optimálny časový interval jeden mesiac.

Následne tieto modely potom nazývame ako mesačné modely. Vedci sa však neustále posúvajú dopredu a pokúšajú o zlepšenie týchto intervalov na kratšie časové série. [2]

(32)

2018 24

4 MODELY GRAVITAČNÉHO POĽA ZEME

Pod týmto názvom rozumieme súbor parametrov, ktoré charakterizujú gravitačné pole Zeme. Respektíve hovoríme o globálnom modely, ktorý je aproximáciou jej gravitačného poľa. Tento model pozostáva z gravitačnej časti, podľa Newtonovho zákona o príťažlivosti dvoch ľubovoľných hmotných bodov a odstredivej časti, dôsledkom rotácie Zeme. Takýto model je matematická funkcia, ktorá umožňuje vypočítať rôzne funkcionality gravitačného poľa, vo všetkých bodoch na Zemi a mimo nej. Zvyčajne sú globálne modely reprezentované ako súbory sférických harmonických koeficientov. Okrem gravitačných meraní na zemskom povrchu už od roku 1958 vychádzajú informácie o globálnom gravitačnom poli Zeme, hlavne z meraní umelých satelitov. [26] V úplnej všeobecnosti modely gravitačného poľa Zeme zahŕňajú:

 Stokesové parametre: - Geopotenciálne harmonické koeficienty - Harmonické slapové koeficienty

- Harmonické topografické koeficienty

 Súradnice sledovaných staníc, z ktorých boli pozorovania vykonané a ich časové variácie voči ITRF,

 Parametre transformačnej matice charakterizujúce prevod medzi terestrickým a inerciálnym súradnicovým systémom,

 Parametre referenčného elipsoidu,

 GM - Geocentrické gravitačné konštanty. [11]

4.1 Definícia jednotlivých parametrov

 Harmonické geopotenciálne koeficienty - definujú vnútorné gravitačné pole telesa a popisujú rozvoj gravitačného potenciálu do guľových funkcií.

 Harmonické slapové koeficienty - definujú celosvetové oceánske slapy (príliv, odliv).

 Harmonické topografické koeficienty - popisujú oceánsku topografiu, odľahlosť medzi hladinou oceánu a geopotenciálnou plochou geoidu. [11]

 Parametre transformačnej matice - parametre orientácie Zeme (EOP - Earth's Orientation Parameters), ktoré opisujú prevod medzi súradnicovou sústavou

(33)

2018 25 terestrickou ITRS a inerciálnou ICRS (oprava parametrov nutácie, akými je nutácia sklonu ekliptiky 𝑑𝜀 a nutácia v ekliptikálnej dĺžke 𝑑𝜓), oprava UTC času na rotačný čas UT1 a nakoniec súradnice CIO ležiace v blízkosti pólu okamžitej rotácie oproti osiam terestrickej sústavy.

[𝐼𝐶𝑅𝐹] = 𝑃. 𝑁(𝜓, 𝜀). 𝑅(𝑈𝑇1). 𝑊(𝑥_𝑝, 𝑦_𝑝). [𝐼𝑇𝑅𝐹] (4.1) kde P, N, R a W sú príslušné transformačné matice. [14]

4.2 Inštitúcie, spracovávajúce merania GRACE

Modely vytvárané z misie GRACE, pokrývajú krátke časové obdobia obvykle v intervale jeden mesiac. Tieto modely vo forme Stokesových parametrov, v rozličných dátových formátoch spolu s doplnkovou dokumentáciou sú poskytované na http://icgem.gfz- potsdam.de/series.

Výsledky misie GRACE publikujú:

 CSR - Center of Space Research, Texas, USA (lmax = 60, cyklus zhromažďovania údajov je približne 30 dní)

 JPL - Jet Propulsion Laboratory, Pasadena, Kalifornia, USA (lmax = 60 alebo 90, obdobie zhromažďovania je približne 30 dní)

 CNES/GRGS - Toulouse, Francúzsko (lmax = 50, cyklus zhromažďovania je len 10 dní)

 DMT-1 - TU Delft, Holandsko (lmax = 120, obdobie zhromažďovania dát je približne 30 dní)

 AIUB - Astronomical Institute University of Berne, Švajčiarsko (lmax = 60, cyklus zhromažďovania dát je 30 dní)

 ITG - University Bonn, Nemecko (lmax = 120, cyklus zhromažďovania je približne 30 dní)

 GFZ - GeoForschungs Zentrum, Potsdam, Nemecko SRN (lmax = 90, obdobie zhromažďovania dát je približne 30 dní)

Pre analýzu sú použité filtrované mesačné modely produkované CSR (Center of Space Research, Texas, USA), s maximálnou hodnotou stupňa a rádu l, m = 96. Modely obsahujú

(34)

2018 26 parametre Stokesových koeficientov usporiadané podľa názvu. Údaje popisujú dátum začiatku a konca spracovania satelitných meraní.

Obr. 4.1 Ukážka poskytovaných modelov

4.2.1 Služby ICGEM

Jednou z úloh geodézie je určovanie parametrov gravitačného poľa Zeme. Slúžia ako referencie pre samotnú geodéziu a poskytujú dôležité informácie o Zemi pre všetky geovedy.

Z tohto dôvodu je dôležité aby sa modely gravitačného poľa sprístupnili aj verejnosti ako produkt geodézie. Navyše je dôležité aby priestorová štruktúra a časová variabilita globálneho gravitačného poľa boli k dispozícií širokej verejnosti graficky sugestívnym spôsobom. Medzinárodné centrum pre globálne modely krajiny bolo založené v roku 2003.

[28]

Obr. 4.2 Poskytnuté dáta mesačných modelov gravitačného poľa Zeme

Funkciou tohto medzinárodného centra je poskytovanie globálnych modelov Zeme. Jedná sa o jednu z piatich služieb, ktorej činnosti koordinuje Medzinárodná služba gravitačného poľa (IGFS) s Medzinárodnou asociáciou geodézie (IAG) a ďalšie služby. Ide predovšetkým o webovú službu:

 Zhromažďuje a archivuje všetky existujúce globálne modely gravitačných polí, zahŕňajúce riešenia zo špecializovaných časových období, akými sú napríklad mesačné riešenia z družicovej misie GRACE.

 Zabezpečuje ich dostupnosť na webe v štandardizovaných formátoch.

(35)

2018 27

 Interaktívna vizualizácia modelov (zvlnenie geoidu a gravitačné anomálie).

 Vizualizácia mesačných modelov z družicovej misie GRACE.

 Webové rozhranie pre získanie prístupu ku globálnym modelom gravitačných polí.

 Webové vizualizácia gravitačného poľa, ktorá umožňuje modelovanie ich odchýlok a tiež časové variácie.

 Webové služby pre výpočet rôznych funkcií modelov gravitačného poľa.

 Webové stránky pre výukové programy o sférických harmonických koeficientoch a teória ich výpočtu.

 Od roku 2016 poskytuje novú službu na identifikovanie digitálnych objektov (DOI) pre dátovú sadu modelov (koeficienty). [28]

4.3 Spracovanie dát

Na spracovanie úlohy bolo využitých niekoľko programov, ktoré boli pre diplomovú prácu poskytnuté pánom prof. Ing. Janom Kosteleckým, DrSc. Na základe programov, programovaných Ing. Ivanem Peškem CSc., tak bolo možné vykonať jednotlivé dôležité výpočty a napokon vykresliť vyhodnotené dáta vo forme gravitačných máp. Výpočtové programy sú využiteľné aj pre ďalšie varianty výpočtov v závislosti na vstupných dátach.

[4]

Zoznam použitých výpočtových programov:

 „uprava_modelu.exe“

 „harmonic_synth_input_data1.exe“

 „harmonic_synth_v02_JK-synth.exe“

 „data_surfer.exe “

 „max_surfer.exe“

 „geoid_trendJK.exe“

 „Golden Surfer 14“

„uprava_modelu.exe“ - definovaný program bol využitý pre spracovanie jednotlivých mesačných modelov tak aby z nich mohla byť následne vykonaná konverzia na normalizovaný tvar. Výstupný súbor vyzerá nasledovne: „MEGM-YYYYY.dat“. Hodnoty

„YYYYY“ vo výstupnom súbore, predstavujú stred dátového intervalu Modifikovaného Juliánskeho Dátumu. Na základe tohto súboru boli mesačné modely vytvorené.

(36)

2018 28

Obr. 4.3 Ukážka výstupných súborov

4.3.1 Transformácia gravitačného poľa na geoid

Prvým cieľom diplomovej práce bolo vyjadriť zmeny výšok geoidu v rámci špecifikovaného, vopred stanoveného časového obdobia. Jednotlivé zmeny sa následne zobrazili formou grafického výstupu, na základe ktorého bolo možné previesť ich analýzu.

Aby však bolo možné tento výpočet dosiahnúť vyžadovalo si to vopred vykonať niekoľko dôležitých výpočtov.

V prvom kroku sa vykonala konverzia mesačných dátových modelov na normalizovanú podobu. Údaje obsahovali hodnoty stupňa, rádu l, m a hodnoty Stokesových koeficientov 𝐶_𝑙𝑚, 𝑆_𝑙𝑚. Po vykonaní konverzie bolo potrebné ešte previesť transformáciu ale tentokrát parametrov gravitačného poľa na plochu geoidu. Tieto výpočty boli prevedené využitím definovaných poskytnutých programov. [4], [2]

„harmonic_synth_input_data1.exe“ - program slúžil pre vymedzenie poľa bodov, pre ktoré mali byť výšky geoidu počítane. [2]

„harmonic_synth_v02_JK-synth.exe“ - program pracuje tak, že umožňuje počítať Legendreove pridružené funkcie do zvoleného stupňa l a rádu m. Výsledné hodnoty, tak obsahujú množinu výšok jednotlivých bodov geoidu nad referenčným elipsoidom GRS80.

Na základe programu bol teda prevedený výpočet výšok geoidu, priradených jednotlivým mesačným modelom gravitačného poľa Zeme, pre definovanú množinu bodov. [4], [2]

Obr. 4.4 Ukážka vypočítaných výšok geoidu

(37)

2018 29

5 ANALÝZA ČASOVÝCH VARIÁCIÍ GEOIDU

Časové variácie, respektíve zmeny výšok geoidu je možné vyhodnotiť niekoľkými metódami. Práca sa zameriava na uvedené riešenia.

 Rozdiel medzi dvoma obdobiami na základe rozdielu veľkosti výšok geoidu.

 Vyjadrenie maximálnych a minimálnych hodnôt odchýlok pre sledovaný, časovo vymedzený úsek.

 Vyjadrenie sezónnych variácií pomocou amplitúd a fáz ročného člena oproti zvolenému fixovanému obdobiu.

 Vyjadrenie približných odchýlok pre vybrané oblasti (Amazonka, Blízky Východ, Grónsko, India, Indonézia, Sahara, Sibír, Stredná Európa, Slovensko, Thajsko, Západná Antarktída).

5.1 Analýza časových variácii na základe rozdielu veľkosti výšok geoidu medzi dvoma obdobiami

Na analýzu časových variácii bol využitý spracovateľský program, ktorého pôvod bol spomenutý už v kapitole 4. Program umožnil vykonať potrebné výpočty, na základe ktorých potom bola vykonaná analýza a ich zhodnotenie.

„data_surfer.exe “ - program pracuje tak, že počíta hodnoty medzi dvoma súbormi respektíve časovými modelmi, pre ktoré majú byť počítane hodnoty rozdielu.

Výsledok výpočtu, ktorý bol následne transformovaný a spracovaný v grafickom software Golden Surfer 14 je uvedený na (Obr. 5.1). Prvý a druhý stĺpec je tvorený hodnotami zemepisných súradníc a tretí stĺpec obsahuje rozdiely veľkosti výšok v jednotkách (mm). V štvrtom stĺpci môžeme vidieť rok a mesiac, teda medzi ktorými mesiacmi bol rozdiel počítaný. Výsledný súbor slúži na vykreslenie gravitačných máp za pomoci zvoleného grafického softwaru, kde bol využívaný grafický software Golden Surfer 14. Všetky výstupne dáta z programov sú uvedené v prílohách na DVD.

(38)

2018 30

Obr. 5.1 Ukážka vypočítaných výšok geoidu

5.1.1 Grafické vyhodnotenie polročných variácií

Mapy sú spracované po polročných variáciách a to v intervale od roku 2002 až do roku 2016, kedy bolo realizovaných 149 mesačných modelov inštitúciou CSR - Center of Space Research, Texas, USA. Niektoré mesačné modely z posledných rokov neboli v pravidelných mesačných intervaloch. Z tohto dôvodu, nie všetky mapy boli vyhotovené v rovnakých mesiacoch. Mapy sú následne analyzované porovnaním polročných zmien v príslušných mesiacoch. Výsledné, spracované mapy môžeme vidieť na obrázkoch uvedených nižšie.

(39)

2018 31

Obr. 5.2 Zmeny výšok geoidu za obdobie Máj 2002 - November 2002, Apríl 2002 - Október 2002

(40)

2018 32

(41)

2018 33

Obr. 5.12 Zmeny výšok geoidu za obdobie Jún 2012 - November 2012, Január 2012 - August 2012

(42)

2018 34

Obr. 5.15 Zmeny výšok geoidu za obdobie Júl 2015 - December 2015, Apríl 2015 - December 2015

Obr. 5.16 Zmeny výšok geoidu v priebehu obdobia Január - Marec 2016

V dôsledku nedostatočných dátových súborov mesačných modelov, sú údaje v roku 2016 vyhodnotené nie v polročnom ale len v trojmesačnom zhodnotení rozdielu. Niektoré gravitačné mapy sú z tohto dôvodu vyhotovené pre porovnanie v iných mesiacoch ako je Máj - November. Pre znázornenie hodnôt rozdielu je vyhotovená tabuľka, ktorá zobrazuje rok, mesiac, zemepisné súradnice, oblasť kde došlo k výrazným zmenám a hodnoty

Južná Afrika

Amazonka

(43)

2018 35 maximálnych a minimálnych rozdielov výšok medzi zvolenými obdobiami. Názorná ukážka je uvedená v (Tab. 1) a (Tab. 2).

Obr. 5.17 Zmeny veľkosti výšok geoidu v priebehu obdobia Máj 2002 - Január 2016

Na (Obr. 5.17) môžeme vidieť, že k značným dlhodobým zmenám dochádza k úbytku ľadovej

hmoty predovšetkým v oblasti Grónska a Západnej Antarktídy, čo je spôsobené vplyvom globálneho otepľovania. Ďalšie pozorované zmeny v jednotlivých gravitačných mapách sú zhodnotené na základe výsledkov v (Tab. 5.1) a (Tab. 5.2).

Grónsko Západná Antarktída

(44)

2018 36

Tab. 5.1 Zistené oblasti s maximálnymi a minimálnymi polročnými rozdielmi výšok geoidu

Oblasť Rok Mesiac Hodnota 𝝀[°] 𝝋[°] ∆N[mm]

Amazonka 2002 Máj-November Min. 300 -10 -22

Nigéria 2002 Máj-November Max. 10 10 12

India 2005 Máj-November Max. 75 15 12

Thajsko 2005 Máj-November Max. 100 15 12

Amazonka 2012 Január-November Min. 300 -10 -32

Kuba 2012 Jún-November Max. 280 20 14

Thajsko 2013 Máj-November Max 100 15 12

India 2014 Máj-November Max 75 15 8

Amazonka 2015 Apríl-December Min. 300 -10 -32

India 2015 Apríl-December Max. 75 15 6

Východosibírske more 2016 Január-Marec Min. 140 75 -6

Amazonka 2016 Január-Marec Max. 300 -10 10