Podobnost a shodnost
2.podzimnísérie Termínodeslání: 4.listopadu2013
Řekneme-li, že trojúhelníkyABCaX Y Zjsou podobné, znamená to, že jejich vrcholy si odpovídají v tomto pořadí.
Úloha1. (3body)
Alča jednou ve svém sešitě našla narýsované dva trojúhelníky, které se shodovaly ve velikostech všech vnitřních úhlů a v délkách dvou stran, ale přesto nebyly shodné. Nalezněte dva takové troj- úhelníky.
Úloha2. (3body)
V trojúhelníkuABCleží bodyD,Epo řadě na stranáchABaACtak, že trojúhelníkyABC,CBD a BEC jsou podobné. Dokažte, že pokud jsou přímkyBC aDE rovnoběžné, pak je trojúhelník ABCrovnoramenný.
Úloha3. (3body)
Na úhlopříčceBDrovnoběžníkuABCDje dán bodKtak, že přímkaAKprotne úsečkuBCv bodě X a přímkuCDv boděY. Dokažte, že|AK|2=|K X| · |K Y|.
Úloha4. (5bodù)
Na kružnici se středemOzvolme bodyA,Btak, aby platilo|
∢
AOB|= 60◦. Na kratším oblouku AB zvolme bodM. Dokažte, že spojnice středů úsečekBM a AO je kolmá na spojnici středů úsečekAM aBO.Úloha5. (5bodù)
Pepa si nakreslil konvexní čtyřúhelník ABCD, v němž současně platilo|
∢
CBD|= |∢
CAB| a|
∢
ACD|=|∢
ADB|. Dokažte, že z úsečekAC,ADaBCse mu podaří sestavit pravoúhlý trojú- helník.Úloha6. (5bodù)
Je dán lichoběžník ABCD (AB k CD). Středy kružnic opsaných trojúhelníkům ABC a ACD označme postupněO1 aO2, průsečík přímekADa BC označmeE. Dokažte, že přímky EO1 a EO2 jsou osově souměrné podle osy úhluAEB.
Úloha7. (5bodù)
Konvexní pětiúhelník ABCDE má strany AE a BC rovnoběžné a pro jeho vnitřní úhly platí
|
∢
ADE|=|∢
BDC|. OznačmeP průsečík úhlopříčekACaBE. Dokažte, že|∢
EAD|=|∢
BDP| a|∢
CBD|=|∢
ADP|.Úloha8. (5bodù)
Osa stranyACtrojúhelníkuABCprotne stranuBCv boděM. Dále nechťKje průsečík osy úhlu AM B a kratšího oblouku AB kružnice opsané trojúhelníkuABC. Dokažte, že přímka spojující středy kružnic vepsaných trojúhelníkůmAM KaBM Kje kolmá na osu úhluAK B.
