PODOBNOST trojúhelníků
Mgr. Petra Toboříková
VOŠZ A SZŠ Hradec Králové
2013
Podobnost rovinných útvarů
V jakých oblastech života se setkáme s podobností?
• zeměpis
• stavitelství
• konstrukce
• fotografie
• plány domu
• mapy států
• technické výkresy…
Podobnost trojúhelníků
A B
C
A´
B´ C´
- stejný tvar, ale různá velikost
Podobnost trojúhelníků
Trojúhelníky ABC a A´B´C´ jsou podobné, existuje-li kladné číslo k tak, že pro délky jejich stran platí:
Píšeme: ABC A´B´C´
a k
a b k b c k c
číslo k se nazývá poměr nebo koeficient podobnosti
a k a
b k b
c k c
k > 1 …………. zvětšení 0 < k < 1 …….. zmenšení k = 1 …………. shodnost
ABC PQR
A
B C
P
Q
R
AC 2 QP BC
RP AB
QR
? ?
QR ? AB
QR 2 1
2 AB
QR
ABC QRP
Věty o podobnosti trojúhelníků
• V poměru všech tří stran věta sss
• ve dvou úhlech věta uu
• v poměru dvou stran a úhlu jimi sevřeném věta sus
Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se:
Příklady
1. Trojúhelníky ABC, KLM, PQR jsou dány délkami stran:
ABC: a = 6 cm, b = 4 cm, c = 3 cm
KLM: k = 12 cm, l = 8 cm, m = 5 cm
PQR: p = 9 cm, q = 6 cm, r = 4,5 cm
Určete dvojice podobných trojúhelníků a rozhodněte, zda se jedná o zvětšení nebo zmenšení.
Řešení:
ABC a KLM k : a = 12 : 6 = 2 l : b = 8 : 4 = 2
m : c = 5 : 3 = 1,66
nejsou podobné
KLM a PQR p : k = 9 : 12 = 0,75 q : l = 6 : 8 = 0,75 r : m = 4,5 : 5 = 0,9
nejsou podobné
ABC a PQR p : a = 9 : 6 = 1,5 q : b = 6 : 4 = 1,5
r : c = 4,5 : 3 = 1,5
jsou podobné k > 1 zvětšení
2. O obdélnících KLMN a EFGH víte, že jsou podobné.
Pro |KL| = 5 m, |LM| = 4 m, |EF| = 12,5 m určete poměr podobnosti a vypočítejte délku strany FG.
|EF| : |KL| = 15 : 5 = 2,5 k = 2,5
zvětšení
|FG| : |LM| = 2,5
|FG| = 2,5 . |LM|
|FG| = 2,5 . 4
|FG| = 10 m Řešení:
Řešení:
a´ : a = 4 a´ = 4 . 2,5 a´ = 10 dm
3. Obdélník O1 má strany o délkách a = 2,5 dm, b = 5 dm.
Vypočítejte rozměry podobného obdélníku O2, je-li poměr podobnosti k = 4.
Dále vypočítejte poměr obsahů obdélníků O2, O1.
b´ : b = 4 b´ = 4 . 5 b´ = 20 dm
obsahy:
S´ = a´. b´
S´ = 10 . 20 S´ = 200 dm2
S = a . b S = 2,5 . 5 S = 12,5 dm2 S´ : S = 200 : 12,5 = 16
Poměr obsahů podobných rovinných útvarů = k2
3 m
Řešení:
4. Stín rozhledny je dlouhý 18 m, stín nedalekého
dvoumetrového stromku je v tutéž dobu dlouhý 3 m.
Urči výšku rozhledny.
18 m
2 m
3 18 2
v
v
m 12 v
36 v
3
Rozhledna je vysoká 12 metrů.
Učebnice:
• str. 47/ příklad 2.6
• Str. 48/ příklad 2.7 a 2.9
Děkuji za pozornost
Původní dokumenty:
• MUŽÍKOVÁ, Kamila. Podobnost trojúhelníků.
Metodický portál : Digitální učební materiály
[online]. 10. 06. 2008, [cit. 2013-04-05]. Dostupný z WWW: <http://dum.rvp.cz/materialy/podobnost- trojuhelniku.html>. ISSN 1802-4785.
• MUŽÍKOVÁ, Kamila. Podobnost rovinných útvarů. Metodický portál : Digitální učební
materiály [online]. 14. 06. 2008, [cit. 2013-04-05].
Dostupný z WWW:
<http://dum.rvp.cz/materialy/podobnost- rovinnych-utvaru.html>. ISSN 1802-4785.
