11.3 Spojitá zobrazení

(1)

11. Metrické prostory I

(pokraˇcování)

(2)

11.3 Spojitá zobrazení

(3)

11.3 Spojitá zobrazení

Definice

Necht’(P, ρ)a(Q, σ)jsou metrické prostory,f je zobrazení zP doQ,a∈P aM ⊂P.

(4)

11.3 Spojitá zobrazení

Definice

ˇRekneme, že

f jespojité v bodˇeavzhledem k množinˇeM, jestližea∈M a platí

∀ε∈R, ε >0∃δ ∈R, δ >0∀x ∈M :

ρ(x,a)< δ ⇒σ(f(x),f(a))< ε;

(5)

11.3 Spojitá zobrazení

Definice

ˇRekneme, že

f jespojité v bodˇeavzhledem k množinˇeM, jestližea∈M a platí

∀ε∈R, ε >0∃δ ∈R, δ >0∀x ∈M :

ρ(x,a)< δ ⇒σ(f(x),f(a))< ε;

f jespojité v bodˇea, jestliže je spojité vavzhledem kP,

(6)

11.3 Spojitá zobrazení

f jespojité naM, jestliže je spojité v každém bod ˇe b∈M vzhledem kM,

(7)

11.3 Spojitá zobrazení

f jespojité naM, jestliže je spojité v každém bod ˇe b∈M vzhledem kM,

f jespojité, jestliže je spojité naP.

(8)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.7 (charakterizace spojitosti)

Necht’(P, ρ)a(Q, σ)jsou metrické prostory, f :P →Q.

Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní.

(i) Zobrazení f je spojité.

(9)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.7 (charakterizace spojitosti)

(ii) Pro každou otevˇrenou množinu G v prostoru(Q, σ)je f⁻¹(G)otevˇrená v(P, ρ).

(10)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.7 (charakterizace spojitosti)

(ii) Pro každou otevˇrenou množinu G v prostoru(Q, σ)je f⁻¹(G)otevˇrená v(P, ρ).

(iii) Pro každou uzavˇrenou množinu F v prostoru(Q, σ)je f⁻¹(F)uzavˇrená v(P, ρ).

(11)

11.3 Spojitá zobrazení

Definice

Necht’(X, ρ)je metrický prostor,M ⊂X ax ∈X.

(12)

11.3 Spojitá zobrazení

Definice

Necht’(X, ρ)je metrický prostor,M ⊂X ax ∈X. ˇRekneme, žex jehromadným bodem množiny M, jestliže

∀ε∈R, ε >0: M ∩(B(x, ε)\ {x})6=∅.

Množinu všech hromadných bod˚u množinyM znaˇcímeM⁰ a nazýváme jiderivací množinyM. Body zM\M⁰

nazývámeizolovanými body množinyM.

(13)

11.3 Spojitá zobrazení

Definice

Necht’(X, ρ)a(Y, σ)jsou metrické prostory,f je

zobrazení zX doY,A⊂X a necht’a∈X je hromadným bodem množinyA.

(14)

11.3 Spojitá zobrazení

Definice

zobrazení zX doY,A⊂X a necht’a∈X je hromadným bodem množinyA. ˇRekneme, že prvekb∈Y jelimitou zobrazeníf v bodˇeavzhledem k množinˇeA, jestliže platí

∀ε ∈R, ε >0∃δ∈R, δ >0

∀x ∈A,x 6=a: ρ(x,a)< δ ⇒σ(f(x),b)< ε.

(15)

11.3 Spojitá zobrazení

Definice

zobrazení zX doY,A⊂X a necht’a∈X je hromadným bodem množinyA. ˇRekneme, že prvekb∈Y jelimitou zobrazeníf v bodˇeavzhledem k množinˇeA, jestliže platí

∀ε ∈R, ε >0∃δ∈R, δ >0

∀x ∈A,x 6=a: ρ(x,a)< δ ⇒σ(f(x),b)< ε.

Je-liA=X, ˇríkáme, žef má v bodˇealimitub.

(16)

11.3 Spojitá zobrazení

Oznaˇcení

Pokud limitaf v bodˇeavzhledem kAexistuje, pak ji znaˇcíme limx→a,x∈Af(x).

(17)

11.3 Spojitá zobrazení

Oznaˇcení

Pokud limitaf v bodˇeavzhledem kAexistuje, pak ji znaˇcíme limx→a,x∈Af(x). Místo limx→a,x∈Xf(x)píšeme jen limx→af(x).

(18)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.8 (Heineova v ˇeta)

Necht’(X, ρ)a(Y, σ)jsou metrické prostory, f je zobrazení z X do Y , A⊂ D(f), a∈A⁰, b ∈Y .

(19)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.8 (Heineova v ˇeta)

Necht’(X, ρ)a(Y, σ)jsou metrické prostory, f je

zobrazení z X do Y , A⊂ D(f), a∈A⁰, b ∈Y . Potom jsou následující dvˇe tvrzení ekvivalentní:

(i) limx→a,x∈Af(x) =b,

(ii) pro každou posloupnost{xn}prvk˚u množiny A\ {a}

splˇnujícílimxn =a platílimf(xn) = b.

(20)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.9 (spojitost složeného zobrazení v bodˇe)

Necht’(X, ρ),(Y, σ)a(Z, ω)jsou metrické prostory, f je zobrazení z X do Y a g je zobrazení z Y do Z . Necht’

A⊂X, a∈A, B ⊂Y , f(a)∈B a platí:

existujeδ∈R,δ >0, takové, že f(B(a, δ)∩A)⊂B,

(21)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.9 (spojitost složeného zobrazení v bodˇe)

existujeδ∈R,δ >0, takové, že f(B(a, δ)∩A)⊂B, f je spojité v bodˇe a vzhledem k A,

(22)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.9 (spojitost složeného zobrazení v bodˇe)

g je spojité v bodˇe f(a)vzhledem k B.

(23)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.9 (spojitost složeného zobrazení v bodˇe)

g je spojité v bodˇe f(a)vzhledem k B.

Pak zobrazení g◦f je spojité v bod ˇe a vzhledem k A.

(24)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.10 (spojitosti složeného zobrazení)

Necht’(X, ρ),(Y, σ)a(Z, ω)jsou metrické prostory, f :X →Y a g :Y →Z jsou spojitá zobrazení. Pak zobrazení g◦f :X →Z je spojité.

(25)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.11 (limita složeného zobrazení)

Necht’(X, ρ),(Y, σ)a(Z, ω)jsou metrické prostory, f je zobrazení z X do Y a g je zobrazení z Y do Z .

(26)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.11 (limita složeného zobrazení)

A⊂X, a∈A⁰, B⊂Y , b ∈B⁰, c ∈Z a platí:

existujeδ∈R,δ >0, takové, že f((A∩B(a, δ))\ {a})⊂B,

(27)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.11 (limita složeného zobrazení)

existujeδ∈R,δ >0, takové, že f((A∩B(a, δ))\ {a})⊂B, lim_x→a,x∈Af(x) =b,

(28)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.11 (limita složeného zobrazení)

lim_y→b,y∈Bg(y) = c.

(29)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.11 (limita složeného zobrazení)

Pokud dále platí jedna z podmínek

(P) existujeη∈R, η >0, takové, že pro každé x ∈B(a, η)∩A, x 6=a, platí f(x)6=b,

(30)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.11 (limita složeného zobrazení)

(S) zobrazení g je spojité v bod ˇe b vzhledem k B,

(31)

11.3 Spojitá zobrazení

Vˇeta 11.11 (limita složeného zobrazení)

(S) zobrazení g je spojité v bod ˇe b vzhledem k B, paklimx→a,x∈Ag◦f(x) = c.

(32)

11.3 Spojitá zobrazení

f(x,y) = x²y x⁴+y²

(33)

11.3 Spojitá zobrazení

f(x,y) = x²y x⁴+y²

(34)

11.3 Spojitá zobrazení

Definice

Necht’(X, ρ)a(Y, σ)jsou metrické prostory,f :X →Y. ˇRekneme, že zobrazeníf jehomeomorfismus, jestliže je prosté a na, je spojité af⁻¹ je také spojité. ˇRekneme, že prostory(X, ρ)a(Y, σ)jsouhomeomorfní, jestliže existuje bijekceg :X →Y, která je homeomorfismem.