Body, pˇrímky a roviny v prostoru

(1)

Stereometrie

Michal Zamboj

Pedagogická fakulta

2022

www.karlin2.mff.cuni.cz/~zamboj/

(2)

Body, pˇrímky a roviny v prostoru

Základní objekty v prostoru: body, pˇrímky, roviny Definice

Ctyˇri body (a více) v prostoru ležící v jedné rovin ˇe nazývámeˇ komplanární.

Množina všech pˇrímek prostoru, které leží v jedné rovin ˇe a jsou všechny vzájemn ˇe rovnob ˇežné, nebo procházejí jedním bodem se nazývásvazek pˇrímek.

Množina všech rovin prostoru, které mají spoleˇcnou jednu pˇrímku, nebo jsou všechny vzájemn ˇe rovnob ˇežné se nazývá svazek rovin.

Množina všech pˇrímek prostoru, které procházejí jedním bodem se nazývátrs pˇrímek.

Množina všech rovin prostoru, které procházejí jedním bodem se nazývátrs rovin.

Michal Zamboj Stereometrie

(3)

Vzájemná poloha dvou pˇrímek

Definice (Vzájemná poloha dvou pˇrímek) Dv ˇe pˇrímky jsou vzájemn ˇe

totožné- mají-li spoleˇcné alespo ˇn dva (t.j. pak všechny) body

r ˚uznob ˇežné- mají-li spoleˇcný práv ˇe jeden bod

rovnob ˇežné- nemají-li spoleˇcný žádný bod a leží v jedné rovin ˇe

mimob ˇežné- nemají-li spoleˇcný žádný bod a neleží v jedné rovin ˇe

(4)

Vzájemná poloha dvou pˇrímek

(5)

Vzájemná poloha dvou pˇrímek

(6)

Vzájemná poloha dvou pˇrímek

(7)

Vzájemná poloha dvou pˇrímek

(8)

Vzájemná poloha dvou pˇrímek

(9)

Vzájemná poloha dvou pˇrímek

(10)

Pˇríˇcka mimob ˇežek

Definice (Pˇríˇcka mimob ˇežek)

Pˇríˇcka mimob ˇežekje pˇrímka, která protíná ob ˇe mimob ˇežky.

Pˇríklad (Sestrojte pˇríˇcku mimob ˇežekp,qdaným bodemA.)

1 α=pA

2 Q∈α∩q

3 ←→

AQ∩p=P

4

←→ PQ

(11)

Pˇríˇcka mimob ˇežek

Pˇríklad (Sestrojte pˇríˇcku mimob ˇežekp,qdaným sm ˇerem−→ s.)

1 α=p−→

s (volíme sm ˇerem−→

s libovolnou r ˚uznob ˇežku s pˇrímkoup)

2 Q∈α∩q

3 k = (Q−→

s)∩p=P (k je pˇrímka procházející bodemQve sm ˇeru−→

s)

4

←→ PQ

(12)

Vzájemná poloha pˇrímky a roviny

Definice (Vzájemná poloha pˇrímky a roviny) Pˇrímka bud’ leží v rovin ˇe, nebo jsou vzájemn ˇe

r ˚uznob ˇežné- mají-li spoleˇcný práv ˇe jeden bod rovnob ˇežné- nemají-li spoleˇcný žádný bod V ˇeta (Kritérium rovnob ˇežnosti pˇrímky a roviny)

Pˇrímka je rovnob ˇežná s rovinou, ve které neleží, práv ˇe tehdy, když je rovnob ˇežná alespo ˇn s jednou její pˇrímkou.

(13)

Vzájemná poloha pˇrímky a roviny

(14)

Vzájemná poloha pˇrímky a roviny

(15)

Vzájemná poloha dvou rovin

Definice (Vzájemná poloha dvou rovin) Dv ˇe roviny jsou vzájemn ˇe

totožné- mají-li spoleˇcné všechny body

r ˚uznob ˇežné- mají-li spoleˇcnou pˇrímku -pr ˚useˇcnice rovnob ˇežné- nemají-li spoleˇcný žádný bod

V ˇeta (Kritérium rovnob ˇežnosti dvou rovin)

Dv ˇe r ˚uzné roviny jsou rovnob ˇežné práv ˇe tehdy, když jedna rovina obsahuje dv ˇe r ˚uznob ˇežky, které jsou s druhou rovinou rovnob ˇežné.

(16)

Kolmost dvou pˇrímek

Definice (Kolmost dvou mimob ˇežek)

Dv ˇe mimob ˇežky jsou na sebe kolmé práv ˇe tehdy, jsou-li na sebe kolmé pˇrímky vedené libovolným bodem prostoru rovnob ˇežn ˇe s danými mimob ˇežkami.

Pˇríklad

Na obrázku je rovnob ˇežný pr ˚um ˇet krychle do roviny.

a) Dopl ˇnte neviditelné hrany.

b) Urˇcete dvojici vzájemn ˇe mimob ˇežných pˇrímek mimob ˇežných k libovolné hran ˇe.

c) Sestrojte pˇríˇcku kolmou k oboum ze zvolené dvojice mimob ˇežek.

(17)

Kolmost dvou pˇrímek

(18)

Kolmost pˇrímky a roviny

Definice (Kolmost pˇrímky a roviny)

Pˇrímka je kolmá k rovin ˇe, je-li kolmá ke všem pˇrímkám roviny.

V ˇeta (Kritérium kolmosti pˇrímky a roviny)

Pˇrímka je kolmá k rovin ˇe práv ˇe tehdy, když je kolmá ke dvoum r ˚uznob ˇežným pˇrímkám roviny.

(19)

Osa mimob ˇežek

Definice (Osa mimob ˇežek)

Osa mimob ˇežek (nejkratší pˇríˇcka)je pˇríˇcka kolmá k oboum mimob ˇežkám.

Pˇríklad (Sestrojte osu (nejkratší pˇríˇcku) mimob ˇežeka,b)

• vedeme libovolným bodem pˇrímkyarovnob ˇežkub^′∥b

• sestrojíme kolmicik k rovin ˇe urˇcenéa,b^′ a najdeme pˇríˇcku mimob ˇežeka,bdaným sm ˇerem (urˇceným pˇrímkouk).

nebo užitím kolmosti pˇrímek a rovin.

(20)

Kolmost dvou rovin

Definice (Kolmost dvou rovin)

Dv ˇe roviny jsou na sebe kolmé jsou-li k sob ˇe kolmé jejich kolmice.

V ˇeta (Kritérium kolmosti dvou rovin)

Dv ˇe roviny jsou na sebe kolmé práv ˇe tehdy, když existuje pˇrímka jedné roviny kolmá na alespo ˇn dv ˇe r ˚uznob ˇežné pˇrímky druhé roviny.

Pˇríklad

Formulujte co nejjednodušší podmínku pro kolmost roviny ke dvoum r ˚uznob ˇežným rovinám.

(21)

Pravoúhlý (kolmý) pr ˚um ˇet

Definice (Kolmý pr ˚um ˇet)

Kolmý pr ˚um ˇetB^′ boduBdo rovinyρje pr ˚useˇcík kolmicek vedené daným bodemBk rovin ˇeρa rovinyρ.

Kolmý pr ˚um ˇetB^′ boduBna pˇrímkupje pr ˚useˇcík rovinyκ vedené daným bodemBkolmé k pˇrímcepa pˇrímkyp.

Kolmý pr ˚um ˇetp^′ pˇrímkypdo rovinyρ, které nejsou vzájemn ˇe kolmé, je pr ˚useˇcnice rovinyκobsahující danou pˇrímkupkolmé k rovin ˇeρa dané rovinyρ.

Kolmý pr ˚um ˇet pˇrímky do roviny, která je na ní kolmá je jejich pr ˚useˇcík.

(22)

Odchylka dvou pˇrímek

Definice (Odchylka dvou mimob ˇežek)

Odchylka dvou mimob ˇežných pˇrímek je odchylka r ˚uznob ˇežných pˇrímek vedených libovolným bodem prostoru rovnob ˇežn ˇe k daným mimob ˇežkám.

(23)

Odchylka dvou pˇrímek

Pˇríklad

Urˇcete odchylku dvou mimob ˇežných hran Louvru.

(24)

Odchylka dvou pˇrímek

Pˇríklad

(25)

Odchylka dvou pˇrímek

Pˇríklad

(26)

Odchylka pˇrímky a roviny

Definice (Odchylka pˇrímky a roviny)

Není-li pˇrímka kolmá k rovin ˇe, je odchylka pˇrímky a roviny rovna odchylce pˇrímky a jejího pravoúhlého pr ˚um ˇetu do této roviny.

(27)

Odchylka dvou rovin

Definice (Odchylka dvou rovin)

Odchylka dvou rovin je odchylka jejich pr ˚useˇcnic s rovinou, která je k ob ˇema rovinám kolmá.

V ˇeta

Odchylka dvou rovin je odchylka kolmých pˇrímek k daným rovinám.

(28)

Vzdálenost bodu od roviny

Definice (Vzdálenost bodu od roviny)

Vzdálenost bodu od roviny je rovna vzdálenosti bodu od jeho kolmého pr ˚um ˇetu do dané roviny.

(29)

Vzdálenost dvou pˇrímek

Definice (Vzdálenost dvou pˇrímek)

Vzdálenost dvou totožných a dvou r ˚uznob ˇežných pˇrímek je nulová.

Vzdálenost dvou rovnob ˇežných pˇrímek je vzdálenost libovolného bodu jedné pˇrímky od druhé pˇrímky.

Vzdálenost dvou mimob ˇežek je délka nejkratší pˇríˇcky mimob ˇežek.

(30)

Vzdálenost dvou rovin

Definice (Vzdálenost dvou rovin)

Vzdálenost dvou totožných a dvou r ˚uznob ˇežných rovin je nulová.

Vzdálenost dvou rovnob ˇežných rovin je vzdálenost libovolného bodu jedné roviny od druhé roviny.

(31)

Geometrické t ˇelesa

Definice (Geometrické t ˇeleso)

Geometrické t ˇelesoje omezený prostorový útvar, jehož hranicí je uzavˇrená plocha.

T ˇelesa d ˇelíme na

1 • konvexní

• nekonvexní

2 • hranatá

• oblá

(32)

Mnohost ˇeny

Definice (Mnohost ˇen a konvexní mnohost ˇen)

Mnohost ˇenje geometrické t ˇeleso, jehož hranici tvoˇrí mnohoúhelníky. Je-li dané t ˇeleso konvexní, nazýváme jej konvexní mnohost ˇen.

(33)

Mnohost ˇeny - Eulerova v ˇeta

V ˇeta (Eulerova v ˇeta pro mnohost ˇeny)

Necht’ S je poˇcet st ˇen, H je poˇcet hran a V je poˇcet vrchol ˚u konvexního mnohost ˇenu, pak platí:

S−H+V =2.

χ=S−H+V nazýváme Eulerova charakteristika.

D ˚ukaz

Všechny st ˇeny, které nejsou trojúhelníky, rozd ˇelíme na trojúhelníky.

(34)

Mnohost ˇeny - Eulerova v ˇeta

V ˇeta (Eulerova v ˇeta pro mnohost ˇeny)

Necht’ S je poˇcet st ˇen, H je poˇcet hran a V je poˇcet vrchol ˚u konvexního mnohost ˇenu, pak platí:

S−H+V =2.

χ=S−H+V nazýváme Eulerova charakteristika.

D ˚ukaz

Všechny st ˇeny, které nejsou trojúhelníky, rozd ˇelíme na trojúhelníky.

Každému n-úhelníku pro n>3tak pˇridáme n−3hran a jedna n-úhelníková st ˇena se zm ˇení na n−2st ˇen.

Charakteristika se nezm ˇení

χ= (S−1+n−2)−(H+n−3)+V =2

(35)

Mnohost ˇeny - Eulerova v ˇeta

D ˚ukaz

Odebereme jeden trojúhelník:

χ= (S,H,V)→ χ^′= (S−1,H,V) χ=χ^′+1

Máme 2 možnosti jak odebírat další trojúhelníky:

1) Odebereme△který má s již odebranými spoleˇcnou jednu hranu 2) Odebereme△který má s již odebranými spoleˇcné dv ˇe hrany

(36)

Mnohost ˇeny - Eulerova v ˇeta

D ˚ukaz

1) Odebereme△který má s již odebranými spoleˇcnou jednu hranu

Hodnotaχ^′se nezm ˇení:

χ^′= (S−1,H,V)→ χ^′= (S−2,H−1,V)

(37)

Mnohost ˇeny - Eulerova v ˇeta

D ˚ukaz

χ^′= (S−1,H,V)→

χ^′= (S−2,H−1,V) = (S^′,H^′,V^′) Stejn ˇe tak pro další odebrané trojúhelníky podle tohto pravidla.

(38)

Mnohost ˇeny - Eulerova v ˇeta

D ˚ukaz

χ^′= (S^′,H^′,V^′)→ χ^′= (S^′−1,H^′−1,V^′) Stejn ˇe tak pro další odebrané trojúhelníky podle tohto pravidla.

(39)

Mnohost ˇeny - Eulerova v ˇeta

D ˚ukaz

2) Odebereme△který má s již odebranými spoleˇcné dv ˇe hrany

χ^′= (S^′,H^′,V^′)→

χ^′= (S^′−1,H^′−2,V^′−1) Stejn ˇe tak pro další odebrané trojúhelníky podle tohto pravidla.

(40)

Mnohost ˇeny - Eulerova v ˇeta

D ˚ukaz

Pokraˇcujeme až kým nezbyde poslední trojúhelník:

V posledním kroku dostáváme:

χ^′= (S^′,H^′,V^′) = (1,3,3) χ^′=1−3+3=1 χ=χ^′+1=2

Pozn. Pozor na nekonvexní a d ˇeravé t ˇelesa!

(41)

Mnohost ˇeny - Eulerova v ˇeta

Pˇríklad

Spoˇct ˇete Eulerovu charakteristiku nekonevexního t ˇelesa.

(42)

Mnohost ˇeny - Eulerova v ˇeta

Pˇríklad

Spoˇct ˇete Eulerovu charakteristiku nekonevexního t ˇelesa s dírou.

(43)

Platónská t ˇelesa

Definice (Platónská t ˇeleso)

Pravidelný konvexní mnohost ˇen, z jehož každého vrcholu vychází stejný poˇcet hran a jehož st ˇeny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky nazývámeplatónske t ˇeleso.

V ˇeta (Platónská t ˇelesa)

Existuje práv ˇe 5 platónských t ˇeles.

D ˚ukaz

V každém vrcholu se stˇretnou alespo ˇn 3 st ˇeny - mnohoúhelníky.

P∢ve vrcholu je<2π.

(44)

Platónská t ˇelesa

D ˚ukaz

Pro 3 rovnostranné△v jenom vrcholu - ˇctyˇrst ˇen.

S=4,H =6,V =4

(45)

Platónská t ˇelesa

D ˚ukaz

Pro□- krychle.

(46)

Platónská t ˇelesa

D ˚ukaz

Dále využijeme Eulerovu v ˇetu:

pro 4△máme H=4V

2 ;S=4V

3 →S=8,H=12,V =6- osmist ˇen pro p ˇetiúhelníky máme H=3V

2 ;S=3V

5 →S=12,H=30,V =20- dvanáctist ˇen

pro 5△máme H=5V

2 ;S=5V

3 →S=20,H=30,V =12- dvacetist ˇen

(47)

Platónská t ˇelesa

D ˚ukaz

Pro 4 rovnostranné△- osmist ˇen.

(48)

Platónská t ˇelesa

D ˚ukaz

Pro p ˇetiúhelníky - dvanáctist ˇen.

S=12,H=30,V =20

(49)

Platónská t ˇelesa

D ˚ukaz

Pro 5 rovnostranných△- dvacetist ˇen.

(50)

Platónská t ˇelesa

M ˚užeme-li vepsat platónské t ˇeleso do jiného tak, že v každé st ˇene opsaného t ˇelesa leží práv ˇe jeden vrchol vepsaného t ˇelesa, nazýváme je vzájemn ˇe duální (zám ˇena pojmu vrchol a st ˇena).

ˇctyˇrst ˇen↔ ˇctyˇrst ˇen krychle↔osmist ˇen dvanáctist ˇen↔dvacetist ˇen

(51)

Platónská t ˇelesa

ˇctyˇrst ˇen↔ ˇctyˇrst ˇen

(52)

Platónská t ˇelesa

krychle↔osmist ˇen

(53)

Platónská t ˇelesa

dvanáctist ˇen↔dvacetist ˇen

(54)

Platónská t ˇelesa

Keplerovo Mysterium Cosmographicum (1596)

(55)

Polopravidelné mnohost ˇeny

Wentzel Jamnitzer, Perspectiva corporum regularium (1568)

(56)

Jehlanový prostor a plocha, jehlan

Definice (Jehlanový prostor / jehlanová plocha)

Množina všech pˇrímek procházejících daným bodemV a protínajících mnohoúhelník / obvod mnohoúhelníkam, který leží v rovin ˇeρneprocházející bodemV, se nazývájehlanový prostor / jehlanová plocha.

V -vrcholJPr resp. JPl

mnohoúhelníkm-ˇrídicí mnohoúhelníkJPr resp. JPl

pˇrímky plochy procházející vrcholy mnohoúhelníka -hranyJPr resp. JPl

množina všech pˇrímek plochy, které protínají stranu ˇrídicího mnohoúhelníka -st ˇenaJPr resp. JPl.

(57)

Jehlanový prostor a plocha, jehlan

Definice (Jehlanový prostor / jehlanová plocha)

Je-lim n-úhelník -n-boký jehlanový prostor resp. plocha.

m(ne)konvexní, pak JPr a JPl jsou (ne)konvexní

Pˇrímka, která prochází vrcholem jehlanové plochy se nazývá vrcholová pˇrímka.

Rovina, která prochází vrcholem jehlanové plochy se nazývá vrcholová rovina.

(58)

Jehlanový prostor a plocha, jehlan

Definice (Jehlan)

Jehlanje pr ˚unik jehlanového prostoru a prostorové vrstvy urˇcené rovinouρˇrídicího mnohoúhelníka a vrcholovou rovinou ρ^′∥ρ.

podstava a boˇcní st ˇeny, podstavní a boˇcní hrany a vrcholy.

Vzdálenost vrcholu od roviny podstavy -výškajehlanu.

Sjednocení boˇcních st ˇen -plášt’jehlanu.

Rozložení plášt ˇe a podstavy do roviny -sít’jehlanu.

(59)

Jehlanový prostor a plocha, jehlan

Definice (Jehlan)

Jehlan se nazývákolmý, má-li podstava stˇredSa leží-li vrchol V na kolmici k rovin ˇe podstavy vztyˇcené vS.SV jeosa jehlanu. Jinak je jehlankosý.

Jehlan se nazývápravidelný, je-li kolmý a jeho podstava je pravidelnýn-úhelník. Jinak je jehlannepravidelný.

Necht’ rovinaσ protíná boˇcní hrany a je rovnob ˇežná s rovinou podstavy jehlanu. Pr ˚unik jehlanu a prostorové vrstvy urˇcené rovinamiρaσ se nazývá komolý jehlan.

(60)

Hranolový prostor a plocha, hranol

Definice (Hranolový prostor / hranolová plocha) Množina všech pˇrímek sm ˇeru−→

s protínajících mnohoúhelník / obvod mnohoúhelníkam, který leží v rovin ˇeρr ˚uznob ˇežné se sm ˇerem−→

s, se nazýváhranolový prostor / hranolová plocha.

−

→s -ˇrídicí (vrcholový) sm ˇerHPr resp. HPl

mnohoúhelníkm-ˇrídicí mnohoúhelníkHPr resp. HPl

pˇrímky plochy procházející vrcholy mnohoúhelníka -hranyHPr resp. HPl

množina všech pˇrímek plochy, které protínají stranu ˇrídicího mnohoúhelníka -st ˇenaHPr resp. HPl.

(61)

Hranolový prostor a plocha, hranol

Definice (Hranolový prostor / hranolová plocha)

Je-lim n-úhelník -n-boký hranolový prostor resp. plocha.

m(ne)konvexní, pak HPr a HPl jsou (ne)konvexní

Pˇrímka, která je rovnob ˇežná s ˇrídicím sm ˇerem hranolové plochy se nazývásm ˇerová pˇrímka.

Rovina, která je rovnob ˇežná s ˇrídicím sm ˇerem hranolové plochy se nazývásm ˇerová rovina.

(62)

Hranolový prostor a plocha, hranol

Definice (Hranol)

Hranolje pr ˚unik hranolového prostoru a prostorové vrstvy urˇcené rovinouρˇrídicího mnohoúhelníka a rovinouρ^′∥ρ;ρ^′ ̸=ρ.

2podstavy a boˇcní st ˇeny, podstavní a boˇcní hrany a vrcholy.

Vzdálenost rovin podstav -výškahranolu.

Sjednocení boˇcních st ˇen -plášt’hranolu.

Sjednocení plášt ˇe a podstav -sít’hranolu.

(63)

Hranolový prostor a plocha, hranol

Definice (Hranol)

Hranol se nazývákolmý, je-li ˇrídicí sm ˇer kolmý k rovin ˇe podstav. Jinak je hranolkosý.

Hranol se nazývápravidelný, je-li kolmý a jeho podstava je pravidelnýn-úhelník. Jinak je hranolnepravidelný.

Hranol, jehož podstavou je rovnob ˇežník se nazývá rovnob ˇežnost ˇen.

Rovnob ˇežnost ˇen, jehož st ˇeny jsou kosoˇctverce se nazývá klenec.

Kolmý hranol, jehož podstava je obdélník se nazývákvádr.

(64)

Rez t ˇelesa ˇ

Definice ( ˇRez plochy / t ˇelesa rovinou)

Rez plochy / t ˇelesa rovinouˇ σje pr ˚unik plochy / t ˇelesa a rovinyσ.

(65)

Rezy jehlan ˚u ˇ

K zobrazení ˇrezu jehlanu m ˚užeme využít stˇredovou kolineaci v rovin ˇe (papíru, tabule, obrazovky...) . Samotný prostorový ˇrez je kolineace mezi dv ˇema rovinami v prostoru. U obou platí:

• Zobrazujeme rovinu podstavy (ˇrídicí mnohoúhelník) do roviny ˇrezu (výsledný ˇrez).

• Stˇred kolineace je vrchol jehlanové plochy.

• Osa kolineace je pr ˚useˇcnice roviny podstavy a roviny ˇrezu.

Pozn.: Má-li jehlan n ˇejaké další vlastnosti, m ˚užeme je využít.

(66)

Rez jehlanu ˇ

(67)

Rezy hranol ˚u ˇ

K zobrazení ˇrezu hranolu m ˚užeme využít osovou afinitu v rovin ˇe (papíru, tabule, obrazovky...) . Samotný prostorový ˇrez je afinita mezi dv ˇema rovinami v prostoru. U obou platí:

• Zobrazujeme rovinu podstavy (ˇrídicí mnohoúhelník) do roviny ˇrezu (výsledný ˇrez).

• Sm ˇer afinity je ˇrídicí sm ˇer hranolové plochy.

• Osa afinity je pr ˚useˇcnice roviny podstavy a roviny ˇrezu.

Pozn.: Má-li hranol n ˇejaké další vlastnosti, m ˚užeme je využít. Napˇr:

Rezy dvou rovnob ˇežných st ˇen rovinou jsou rovnob ˇežné.ˇ

(68)

Rez hranolu ˇ

(69)

Rez hranolu ˇ

Pˇríklad (Sestrojte ˇrez kolmého hranolu rovinou procházející bodyK^′,L^′,M^′;K^′ ∈BCGF,L^′∈CDHG,M^′ ∈DAEH)

Rešení - viz soubor na webu. Dohledáme samodružné bodyˇ afinity, pak osu afinity a zobrazíme podstavní vrcholy v afinit ˇe.

(70)

Antijehlan a antihranol

antihranol

antijehlan

(71)

Obsah, povrch a objem

Definice (Obsah)

ObsahSrovinného útvaru je kladné ˇcíslo pˇriˇrazené útvaru tak, že platí:

1 shodné útvary mají stejný obsah

2 skláda-li se útvar z n ˇekolika disjunktních útvar ˚u, pak je jeho obsah souˇctem obsah ˚u t ˇechto útvar ˚u

3 obsah ˇctverce o stran ˇe 1j(cm,mm, . . .)je 1j²(cm²,mm², . . .)

Definice (Povrch)

(72)

Obsah, povrch a objem

Definice (Objem)

ObjemV prostorového útvaru je kladné ˇcíslo pˇriˇrazené útvaru tak, že platí:

1 shodné útvary mají stejný objem

2 skláda-li se útvar z n ˇekolika disjunktních útvar ˚u, pak je jeho objem souˇctem objem ˚u t ˇechto útvar ˚u

3 objem krychle o stran ˇe 1j(cm,mm, . . .)je 1j³(cm³,mm³, . . .)

(73)

Obsah, povrch a objem

V ˇeta (Cavalieriho princip)

Necht’ t ˇelesa T₁a T₂leží mezi dv ˇema rovnob ˇežnými rovinami ρ1aρ2, oznaˇcmeρkaždou rovnob ˇežnou rovinuρ∥ρ₁ležící meziρ₁aρ₂.

Protíná-li rovinaρt ˇelesa T₁a T₂ve dvou útvarech o obsazích S₁a S₂, pak platí:

• Jestliže pro každou takovou rovinuρje S₁=S₂, mají t ˇelesa T₁a T₂stejný objem.

• Jestliže pro každou takovou rovinuρje S₁=k·S₂, kde k je konstanta, je objem t ˇelesa T₁k -násobkem objemu t ˇelesa T .

(74)

Povrch a objem hranolu a jehlanu

Necht’v - výška,Sp - obsah podstavy,S_pl - obsah plášt ˇe Viz soubor cavalieriho princip.

Hranol

• Povrch hranolu:S=2Sp+S_pl

• Objem hranolu:V =Sp·v - odvození pro kosý hranol - cavalieriho princip

Jehlan

• Povrch jehlanu:S=Sp+Spl

• Objem jehlanu:V =¹₃Sp·v - odvození naskládáním do hranolu

• Povrch komolého jehlanu:S=S_p₁+S_p₂+S_pl

• Objem komolého jehlanu:V = ¹₃(Sp1+p

Sp1Sp2+Sp2)·v

(75)

Kuželový prostor a plocha, kužel

Definice (Kuželový prostor / kuželová plocha)

Množina všech pˇrímek procházejících daným bodemV a protínajících kruh / kružnicik, který / která leží v rovin ˇeρ neprocházející bodemV, se nazývá(kruhový) kuželový prostor / kuželová plocha.

V -vrcholKPr resp. KPl

kružnicek -ˇrídicí kružniceKPr resp. KPl

pˇrímky plochy procházející vrcholem a ˇrídicí kružnici - povrchová pˇrímka (površka)KPr resp. KPl

(76)

Kuželový prostor a plocha, kužel

Definice (Kuželový prostor / kuželová plocha)

Pˇrímka, která prochází vrcholem kuželové plochy se nazývá vrcholová pˇrímka.

Rovina, která prochází vrcholem kuželové plochy se nazývá vrcholová rovina.

Definice (Kužel)

Kuželje pr ˚unik kuželového prostoru a prostorové vrstvy urˇcené rovinouρˇrídicí kružnice a vrcholovou rovinouρ^′∥ρ.

Vzdálenost vrcholu od roviny podstavy -výškakuželu.

Kuželová plocha je rozvinutelná plocha, t.j. množinu všech površek lze rozvinout do roviny - povrchové úseˇcky pak tvoˇrí plášt’kuželu.

Sjednocení plášt ˇe a podstavy -sít’kuželu.

(77)

Kuželový prostor a plocha, kužel

Definice (Kužel)

Kužel se nazývákolmý, leží-li vrcholV na kolmici k rovin ˇe podstavy vztyˇcené v stˇredu podstavyS.SV jeosakuželu.

Jinak je kuželkosý.

Kužel se nazývárovnostranný, je-li kolmý a osový ˇrez je rovnostranný trojúhelník.

Necht’ rovinaσ protíná površky a je rovnob ˇežná s rovinou podstavy kuželu. Pr ˚unik kuželu a prostorové vrstvy urˇcené rovinamiρaσ se nazývá komolý kužel.

Necht’ jsou dány dv ˇe r ˚uznob ˇežné pˇrímky, které nejsou

(78)

Kuželový prostor a plocha, kužel

Definice (Kužel)

Obecnou kuželovou plochulze definovat nad libovolnou kˇrivkou neprocházející vrcholem. Je-li kˇrivka uzavˇrená, m ˚užeme analogicky definovatobecný kužel.Napˇr. eliptický, parabolický, hyperbolický kužel . . . .

(79)

Válcový prostor a plocha, válec

Definice (Válcový prostor / válcová plocha) Množina všech pˇrímek sm ˇeru−→

s protínajících kruh / kružnicik, který / která leží v rovin ˇeρr ˚uznob ˇežné se sm ˇerem−→

s, se nazývá(kruhový) válcový prostor / válcová plocha.

−

→s -ˇrídicí (vrcholový) sm ˇerVPr resp. VPl kružnicek -ˇrídicí kružniceVPr resp. VPl

pˇrímky plochy procházející ˇrídicí kružnicí -povrchové pˇrímky (površky)VPr resp. VPl

(80)

Válcový prostor a plocha, válecl

Definice (Válcový prostor / válcová plocha)

Pˇrímka, která je rovnob ˇežná s ˇrídicím sm ˇerem válcové plochy se nazývásm ˇerová pˇrímka.

Rovina, která je rovnob ˇežná s ˇrídicím sm ˇerem válcové plochy se nazývásm ˇerová rovina.

Definice (Válec)

Válecje pr ˚unik válcového prostoru a prostorové vrstvy urˇcené rovinouρˇrídicí kružnice a rovinouρ^′∥ρ;ρ^′ ̸=ρ.

Vzdálenost rovin podstav -výškaválcu.

Válcová plocha je rozvinutelná plocha, t.j. množinu všech površek lze rozvinout do roviny - povrchové úseˇcky pak tvoˇrí plášt’válce.

Sjednocení plášt ˇe a podstav -sít’válce.

(81)

Válcový prostor a plocha, válecl

Definice (Válec)

Válec se nazývákolmý, je-li ˇrídicí sm ˇer kolmý k rovin ˇe

podstavy.SV, kdeSje stˇred podstavní kružnice jeosaválce.

Jinak je váleckosý.

Válec se nazývárovnostranný, je-li kolmý a osový ˇrez je ˇctverec.

Necht’ jsou dány dv ˇe rovnob ˇežné pˇrímky. Rotací jedné pˇrímky (tvoˇricí) kolem druhé (osy) vzniknerotaˇcní válcová plocha, z ní pak dle definicerotaˇcní válec.

Obecnou válcovou plochulze definovat nad libovolnou kˇrivkou

(82)

Povrch a objem válcu a kuželu

Necht’v - výška,s- délka površky kuželu,S_p - obsah podstavy, S_pl - obsah plášt ˇe

Vzorce odvodíme „analogicky“ jako u hranolu a jehlanu.

Analogií se myslí limitní proces pˇrechodu mnohoúhelníku do plochy omezené ˇrídicí kˇrívkou. Podraz je v tom, že by se nám nemuselo podaˇrit rozumn ˇe naskládat tˇri kuželové plochy do válcové plochy.

Válec

• Povrch obecného válce:S=2Sp+Spl

• Povrch rotaˇcního válce:S=2πr(r+v)

• Objem obecného válce:V =Sp·v

• Objem rotaˇcního válce:V =πr²·v

(83)

Povrch a objem válcu a kuželu

Kužel

• Povrch obecného kuželu:S=Sp+Spl

• Povrch rotaˇcního kuželu:S=πr(r+s)

• Objem obecného kuželu:V =¹₃Sp·v

• Objem rotaˇcního kuželu:V = ¹₃πr²·v Komolý kužel

• Povrch obecného komolého kuželu:S=Sp1+Sp2+Spl

• Povrch rotaˇcního komolého kuželu:S=π(r₁²+r₂²+s(r1+r2))

• Objem obecného komolého kuželu:

V = ¹₃(S_p₁+p

S_p₁S_p₂+S_p₂)·v

(84)

Kulová plocha a koule

Definice (Kulová plocha (sféra))

Kulová plochaje množina všech bod ˚u, které mají od boduS vzdálenostr.

Definice (Koule)

Kouleje množina všech bod ˚u, které mají od boduSvzdálenost nejvýšer.

Pozn. nebo ˇcást prostoru omezeného kulovou plochou.

(85)

Povrch a objem koule

r- polom ˇer koule Koule

• Povrch koule:S=4πr²

• Objem koule:V = ⁴₃πr³

Kulový vrchlík / úseˇc / výseˇc:r₁- polom ˇer podstavy úseˇce,v - výška úseˇce

• Obsah kulového vrchlíku:S=2πr·v

• Objem kulové úseˇce:V =¹₆π(3r₁²+v²)·v

• Objem kulové výseˇce:V = ²₃πr²·v

Kulový pás / vrstva:r₁,r₂- polom ˇery podstav,v - výška pásu

• Obsah kulového pásu:S=2πr·v