Nechť(P, %)je metrický prostor aA⊂P

MATEMATICKÁ ANALÝZA 4 - LETNÍ SEMESTR 2019–2020 PŘEDNÁŠKA

LUBOŠ PICK

19. Metrické prostory III 19.1. Úplné prostory - pokračování.

Definice. Nechť(P, %)je metrický prostor aA⊂P. Řekneme, žeAjehustávP, jestližeA=P.

Poznámka. Množina A je hustá v metrickém prostoru P právě tehdy, když pro každéx∈P existuje posloupnost{xn} prvkůAsplňujícíxn→x.

Příklady. (a)QaR\Qjsou husté vR,

(b) množina všech polynomů na[a, b], kde[a, b]⊂R, je hustá vC([a, b], %_sup), (c) množinaAje hustá v diskrétním prostoruP právě tehdy, kdyžA=P. Věta 19.1(charakterisace hustých množin). Nechť(P, %)je metrický prostor aA⊂ P. Potom je A⊂P je hustá právě tehdy, když pro každou otevřenou neprázdnou množinu G⊂P platíG∩A6=∅.

Důkaz. ⇒ Předpokládejme že existuje otevřená neprázdná množinaG⊂Psplňu- jícíG∩A=∅. Potom jeP\Guzavřená a platíA⊂P\G. TudížA⊂P\G=P\G.

Množina Gje podle předpokladu neprázdná, a tedy P \G6=P. Odtud plyne, že A6=P, a tedyAnení hustá vP.

⇐ Předpokládejme, že A není hustá v P, tedy A 6= P. Potom je P\A ne- prázdná a otevřená a platí(P\A)∩A=∅. Odtud plyne tvrzení.

Věta 19.2 (průnik hustých množin). Nechť (P, %)je metrický prostor, G⊂P je otevřená hustá a H⊂P je hustá. Potom je G∩H hustá.

Důkaz. Zvolme otevřenou neprázdnou množinu G₁. Potom je G₁∩G otevřená a neprázdná. Tudíž je G1∩(G∩H) = (G1∩G)∩H neprázdná. Protože G1 byla zvolena libovolně, plyne odtud, že(G∩H)je hustá.

Poznámka. Tvrzení Věty 19.2 neplatí bez předpokladu otevřenosti alespoň jedné z množin. NapříkladQa R\Qjsou husté a disjunktní vR.

Poznámka. Nechť (P, %) je metrický prostor, n ∈ N a G₁, . . . , G_n jsou otevřené husté podmnožinyP. PotomTn

k=1G_kje otevřená a hustá. Toto tvrzení neplatí pro spočetný průnik. Například pro každér∈Qje množina Q\ {r} hustá a otevřená vQ, ale množina T

r∈Q(Q\ {r})je prázdná, a tedy není hustá vR.

Definice. Nechť (P, %) je metrický prostor a A ⊂ P. Řekneme, že A je řídká, jestližeP\Aje hustá.

1

Příklady. (a) Prázdná množina je řídká v libovolném metrickém prostoru, (b)Aje řídká v diskrétním prostoru právě tehdy, kdyžA=∅,

(c)Nje řídká vR, (d)Qnení řídká vR, (e) množina

A={f ∈C[a, b], −1≤f(x)≤1, x∈[a, b]}

je řídká v(C[a, b], %int), ale není řídká v(C[a, b], %sup).

Věta 19.3 (charakterisace řídkých množin). Nechť (P, %) je metrický prostor a nechťA⊂P. Potom jsou následující tři výroky ekvivalentní:

(a) A je řídká vP, (b) Int A

=∅,

(c) P\Aobsahuje hustou otevřenou množinu.

Důkaz. (a)⇒(b) Předpokládejme, že množina Int A

je neprázdná. Tato mno- žina je otevřená a platí

Int A

∩(P\A) =∅.

TedyP\Anení hustá, takže Anení řídká.

(b)⇒(c) Množina P\A je otevřená a splňuje P\A ⊂P \A. Dokážeme, že je hustá. Zvolme otevřenou neprázdnou množinu G a položmeH = G∩(P\A).

Předpokládejme, žeH=∅. PotomG⊂A, tedyG⊂Int(A), takžeInt(A)6=∅, což je spor. TedyH6=∅. Odtud plyne tvrzení.

(c)⇒(a) ProtožeP\Aobsahuje hustou otevřenou množinu, jeInt(P\A)hustá.

ProtožeInt(P\A) =P\A, jeP\Ahustá. Tedy jeAřídká.

Věta 19.4(vlastnosti řídkých množin). Nechť(P, %)je metrický prostor aA, B⊂ P. Potom

(a) je-li Ařídká aB ⊂A, pakB je řídká, (b) jsou-liA aB řídké, pak také A∪B je řídká, (c) množinaA řídká právě tehdy, když Aje řídká.

Důkaz. (a) PlatíB⊂A, a tedyP\A⊂P\B. MnožinaP\B je hustá, a tedyB je řídká.

(b) Platí

P\A∪B=P\(A∪B) = (P\A)∩(P\B).

Protože množinyA aB jsou řídké, jsouP\A a P\B husté a otevřené. Množina (P\A)∩(P\B)je hustá. MnožinaP\A∪B je hustá, tedyA∪B je řídká.

(c) Tvrzení plyne z toho, že,P\A=P\A.

Definice. Nechť P je množina a M⊂expP. Řekneme, že strukturaMje mno- žinový ideál, jestliže je uzavřená na podmnožiny a konečná sjednocení, amnoži- nový σ-ideál, jestliže je uzavřená na podmnožiny a spočetná sjednocení.

Poznámka. Z tvrzení (a) a (b) Věty 19.4 plyne, že systém všech řídkých podmno- žin každého metrického prostoru tvoří množinový ideál. Netvoří však množinový σ-ideál, protože například každá jednobodová množina obsahující některé racio- nální číslo je řídká vR, ale jejich spočetné sjednocení tvoří množinuQ, která již v Rřídká není (je tam dokonce hustá).

konec 1. přednášky (17.2.2020) Definice. Nechť (P, %) je metrický prostor, A ⊂ P a x ∈ P. Řekneme, že x je hromadný bod množiny A, jestliže existuje posloupnost {xn} prvků A, xn 6=x pro každén∈N, splňujícíxn→x. Množinu všech hromadných bodůAnazýváme derivací množiny Aa značíme A⁰. Řekneme, že Aje dokonalá, jestliže A ⊂A⁰. Každý bod množinyA\A⁰ nazývámeisolovaným bodemmnožinyA.

Příklad. Cantorovým diskontinuem nazýváme množinu definovanou předpi- sem

C=

∞

\

n=1

Fn, kde

F1= [0,1],

F₂= [0,¹₃]∪[²₃,1],

F₃= [0,¹₉]∪[²₉,¹₃]∪[²₃,⁷₉]∪[⁸₉,1], . . .

MnožinaC je nespočetná, uzavřená (kompaktní), dokonalá, řídká a míry 0.

Definice. Nechť(P, %)je metrický prostor aA⊂P. Řekneme, žeAjeprvní ka- tegorie, jestliže existuje posloupnost řídkých množin{A_n}splňujícíA=S∞

n=1A_n. Řekneme, že Aje druhé kategorie, jestliže není první kategorie. Řekneme, žeA jeresiduální, jestližeP\Aje první kategorie.

Příklady. (a)Qje první kategorie,

(b)R\Qje druhé kategorie a residuální vR, (c)(C([a, b]), %_int)je první kategorie.

Poznámka. Systém všech množin první kategorie v metrickém prostoru tvoří σ- ideál.

Věta 19.5 (charakterisace prostorů druhé kategorie). Metrický prostor (P, %) je druhé kategorie právě tehdy, když pro každou posloupnost{G_n} otevřených hustých množin platí T∞

n=1Gn6=∅.

Důkaz. ⇒ Předpokládejme, že pro nějakou posloupnost{Gn}otevřených hustých množin platíT∞

n=1Gn=∅. Potom je pro každén∈NmnožinaP\Gn uzavřená a řídká. Navíc platí

P =P\ ∅=P\

∞

\

n=1

G_n=

∞

[

n=1

(P\G_n), a tedy jeP první kategorie.

⇐ Předpokládejme, žeP je první kategorie. Potom existuje posloupnost říd- kých množin{A_n} splňujícíP =S∞

n=1A_n. Podle Věty 19.4(c) je pro každén∈N množina A_n řídká. Pro n ∈ N položme G_n = P \A_n. Pak je pro každé n ∈ N množinaG_n otevřená a hustá. Dále platí

∞

\

n=1

Gn =

∞

\

n=1

(P\An) =P\

∞

[

n=1

An =P\P =∅.

Definice. Řekneme, že metrický prostor(P, %)jeBaireův, jestliže je každá jeho neprázdná otevřená podmnožina druhé kategorie.

Věta 19.6(charakterisace Baireových prostorů). Nechť(P, %)je metrický prostor.

Pak jsou následující tři výroky ekvivalentní.

(a) P je Baireův,

(b) je-li {Gn} posloupnost otevřených hustých množin, pak je T∞

n=1Gn hustá, (c) je-li A⊂P residuální, pak jeA hustá.

Důkaz. (a)⇒(b) Předpokládejme, že množina T∞

n=1Gn není hustá. Pak podle Věty 19.1 existuje neprázdná otevřená množinaGsplňující

G∩

∞

\

n=1

G_n=∅.

Potom je pro každén ∈ Nmnožina G∩Gn otevřená a hustá v G. Potom je pro každén∈NmnožinaG\G_n uzavřená a řídká vG. Navíc platí

G=G\

∞

\

n=1

Gn=

∞

[

n=1

(G\Gn), a tedyGje první kategorie. Z toho plyne, žeP není Baireův.

(b)⇒(c) NechťA⊂Pje residuální množina. Potom existuje posloupnost{An} řídkých množin splňujícíP\A=S∞

n=1An. Pron∈NpoložmeGn=P\An. Potom je pro každén∈NmnožinaG_n otevřená a hustá a platí

∞

\

n=1

Gn=

∞

\

n=1

(P\An) =P\

∞

[

n=1

An ⊂P\

∞

[

n=1

An =A.

Podle (b) jeT∞

n=1Gn hustá, a tedy takéAje hustá.

(c)⇒(a) NechťAje neprázdná množina první kategorie. Potom je P\Aresi- duální, a tedy hustá. Podle Věty 19.1 neníAotevřená, a tedy P je Baireův.

Definice. Nechť (P, %) je metrický prostor, x ∈ P a r > 0. Množinu B(x, r) definovanou předpisem

B(x, r) ={y∈P;%(x, y)≤r}

nazývámeuzavřenou koulí se středem xa poloměremr.

Věta 19.7(Baireova). Nechť(P, %)je úplný metrický prostor. Potom jeP Baireův.

Důkaz. Předpokládejme, že{G_n}je posloupnost otevřených hustých množin a žeG je otevřená a neprázdná. Podle Věty 19.1 je množinaG∩G1otevřená a neprázdná.

Nechťx1∈G∩G1. Potom existujer1>0takové, žeB(x1, r1)⊂G∩G1. Množina B(x₁, r₁) je uzavřená. Podle Věty 19.1 je B(x₁, r₁)∩G₂ otevřená a neprázdná.

Obdobně jako výše naleznemex₂∈B(x₁, r₁)∩G₂ ar₂∈R,0< r₂< ¹₂r₁, takové, že

B(x2, r2)⊂B(x1, r1)∩G2⊂G∩G1∩G2.

Opakováním tohoto postupu dostaneme posloupnost uzavřených koulí{B(xn, r_n)}

splňující pro každén∈N

B(xn+1, rn+1)⊂B(xn, rn) a

lim diam(B(x_n, r_n)) = 0.

ProstorP je úplný, a tedy díky Cantorově větě nalezneme x∈P splňující x∈

∞

\

n=1

B(xn, rn)⊂(G∩

∞

\

n=1

Gn).

TedyG∩T∞

n=1Gn6=∅, takže podle Věty 19.1 jeT∞

n=1Gn hustá. Podle Věty 19.6

je tudížP Baireův.

Příklady. Dokažte, že

(a) (0,1)je Baireův, ale není úplný, (b) (0,1)∪ {2}je Baireův,

(c) (0,1)∪(Q∩(2,3))je druhé kategorie, ale není Baireův, (d) (C([0,1]), %int)není Baireův.

Poznámka. Pro neprázdný metrický prostorP platí

P je kompaktní ⇒ P je úplný ⇒ P je Baireův ⇒ P je druhé kategorie, přičemž žádnou z implikací není možné obrátit.

konec 2. přednášky (20.2.2020) Věta 19.8 (vnitřek podprostoru). NechťX je normovaný lineární prostor aY je jeho lineární podprostor. PotomIntY 6=∅ právě tehdy, kdyžX =Y.

Důkaz. ⇒ Předpokládejme, že pro nějaká y ∈ Y a r > 0 platí B(y, r) ⊂ Y. Zvolmex∈X a položmez=y+_2kxk^r x. Potomz∈B(y, r), a tedyz∈Y. Protože x=^2kxk_r (z−y), plyne z linearityY, že x∈Y. TedyX =Y.

⇐ Tato implikace je zřejmá.

Věta 19.9(algebraická dimenze Banachova prostoru). NechťX je Banachův pro- stor. Potom je jeho algebraická dimenze buď konečná, nebo nespočetná.

Důkaz. Předpokládejme, že {x_n} je spočetná nekonečná algebraická báze X. Pro n ∈N položme En = Lin({x1, . . . , xn}). Potom X =S∞

n=1En. Pro každé n ∈N je En uzavřená a podle Věty 19.8 platí Int(En) = ∅. Z Věty 19.3 plyne, že pro každén∈NjeEn řídká, neboťInt(En) = Int(En) =∅. Odtud plyne, žeX je první kategorie. ProtožeX je úplný, dostáváme díky Baireově větě (Věta 19.7) spor.

Poznámka. Nechť P je množina a V(x), x ∈ P, je výroková forma. Chceme-li dokázat výrok ∃ x ∈ P:V(x), můžeme postupovat následujícím způsobem. Na- lezneme na P metriku % takovou, že (P, %) je úplný a {x ∈ P, ¬V(x)} je první kategorie. Tento postup je důležitým příkladem nekonstruktivní důkazové techniky a nazýváme jejmetoda kategorií.

Věta 19.10 (existence spojité funkce bez derivace). Existuje funkcef ∈ C([0,1]), která nemá v žádném bodě ani jednu vlastní jednostrannou derivaci.

Důkaz. Položme

E⁺={f ∈ C([0,1]);∃x∈[0,1) takové, že existuje vlastníf₊⁰ (x)}

a pro každén∈Ndefinujme

E⁺_n ={f ∈ C([0,1]);∃x∈[0,1−¹_n]∀h∈(0,1−x) :|f(x+h)−f(x)| ≤nh}.

PotomE⁺ ⊂S∞

n=1E_n⁺. Zvolmen∈N. Dokážeme, žeE_n⁺ je uzavřená. Předpoklá- dejme, že {fk} je posloupnost prvkůE_n⁺ af ∈ C([0,1]) splňujícífk ⇒f na[0,1].

Potom pro každék∈Nexistujexk ∈[0,1−_n¹]splňující|fk(xk+h)−fk(xk)| ≤nh.

Podle Bolzanovy-Weierstrassovy věty nalezneme podposloupnost {xkj} posloup- nosti{xk}a x∈[0,1−_n¹]splňujícílim_j→∞xk_j =x. Zvolmeh∈(0,1−x). Potom pro každéj∈Nplatí

|f(x+h)−f(x)| ≤ |f(x+h)−f(xk_j+h)|+|f(xk_j+h)−fk_j(xk_j+h)|

+|fkj(x_kj+h)−f_kj(x_kj)|+|fkj(x_kj)−f(x_kj)|

+|f(xk_j)−f(x)|.

Zvolme ε > 0. Díky stejnoměrné konvergenci f_k k f a díky spojitosti f k němu naleznemej₀∈Ntakové, že pro každéj ∈N,j≥j₀, a pro každéy∈[0,1−¹_n]platí

|fk_j(y)−f(y)|< ε, |f(x+h)−f(xk_j +h)|< ε a|f(xk_j)−f(x)|< ε. Kombinací odhadů dostaneme

|f(x+h)−f(x)| ≤ε+ε+nh+ε+ε=nh+ 4ε, a tedy vzhledem k tomu, žeεbylo zvoleno libovolně

|f(x+h)−f(x)| ≤nh.

Odtud plyne, žef ∈E_n⁺, takžeE_n⁺je uzavřená. Dokážeme, žeE_n⁺je řídká. Vzhledem k uzavřenostiE⁺_n stačí dokázat, že C([0,1])\E⁺_n je hustá. Zvolme f ∈ C([0,1]) a ε >0. K němu nalezneme po částech lineární funkciϕna[0,1]splňujícíkf−ϕk< ε a funkci „tvaru pily“ pvC([0,1])splňujícíkpk< εa

∀x∈[0,1]∃h∈(0,1−x) :|p(x+h)−p(x)|> nh.

Položmeg=ϕ+p. Potomg6∈E_n⁺a

kf−gk ≤ kf −ϕk+kϕ−gk=kf−ϕk+kpk<2ε,

takže C([0,1])\E_n⁺ je hustá vC([0,1]). Tedy E⁺ je první kategorie. Obdobně lze dokázat, že i množina

E⁻ ={f ∈ C([0,1]);∃x∈[0,1) takové, že existuje vlastníf₋⁰ (x)}

je první kategorie, a tedy i E⁺∪E⁻ je první kategorie. Protože (C([0,1]), %_sup)je

úplný, plyne tvrzení z Baireovy věty.

Poznámka. Nechťg: R→Rsplňujeg(x) =|x|prox∈[−1,1]a gje 2-periodická naR. Položme

f(x) =

∞

X

n=0

3 4

n

g(4ⁿx), x∈R. Potomf je spojitá a v žádném bodě nemá derivaci.

Definice. Nechť (P, %)je metrický prostor a f:P → P. Řekneme, že f je kon- trakce, jestliže existujeγ∈[0,1)takové, že pro každéx, y∈Pplatí%(f(x), f(y))≤ γ%(x, y). Řekneme, žef jeneexpansivní, jestliže pro každéx, y∈P, x6=y, platí

%(f(x), f(y))< %(x, y).

Poznámka. Každá kontrakce je neexpansivní. Funkcesinna[0,^π₂]je neexpansivní, ale není kontrakce. Každé neexpansivní zobrazení je lipschitzovské (s konstantou 1), a tedy spojité.

Definice. NechťP je množina,f:P →P ax∈P. Řekneme, žexjepevný bod f, jestližef(x) =x.

Věta 19.11 (Banachova věta o kontrakci). Nechť (P, %) je úplný neprázdný met- rický prostor af:P →P je kontrakce. Potom f má právě jeden pevný bod.

Důkaz. Necvťγ∈[0,1)splňuje%(f(x), f(y))≤γ%(x, y)pro každáx, y∈P. Zvolme x₁∈P a předpokládejme, že pro nějakén∈N máme určenyx₁, . . . , x_n. Položme x_n+1 =f(x_n). Takto definujeme posloupnost {xn} prvků P. Dokážeme matema- tickou indukcí, že pro každén∈Nplatí

(1) %(x_n, x_n+1)≤γⁿ⁻¹%(x₁, x₂).

Pro n= 1je nerovnost (1) zřejmá. Předpokládejme, že (1) platí pro nějakén∈N. Potom

%(xn+1, xn+2) =%(f(xn), f(xn+1))≤γ%(xn, xn+1)≤γγⁿ⁻¹%(x1, x2) =γⁿ%(x1, x2).

Odtud a z trojúhelníkové nerovnosti plyne, že pro každám, n∈N,m > n, platí

%(xn, xm)≤%(xn, xn+1) +%(xn+1, xn+2) +· · ·+%(x_m−1, xm)

≤ γⁿ⁻¹+γⁿ+· · ·+γ^m−2

%(x₁, x₂)≤ γⁿ⁻¹

1−γ%(x₁, x₂).

Zvolmeε >0. K němu naleznemen0∈Ntakové, že γⁿ⁰⁻¹

1−γ%(x1, x2)< ε.

Potom pro každám, n∈N,m > n≥n0, platí

%(x_n, x_m)≤ γⁿ⁻¹

1−γ%(x₁, x₂)≤ γⁿ⁰⁻¹

1−γ%(x₁, x₂)< ε.

Tedy{xn}je cauchyovská. Díky úplnostiP naleznemex∈P splňujícílimxn=x.

Podle věty o limitě vybrané posloupnosti platí limxn+1 = x. Navíc pro každé n∈Nplatí%(f(xn), f(x))≤γ%(xn, x), a tedylimf(xn) =f(x), neboťlimxn =x.

Protože pro každén∈Nplatíf(xn) =xn+1, plyne z věty o jednoznačnosti limity, že f(x) =x, takžexje pevný bodf. Dokážeme jeho jednoznačnost. Předpokládejme, žey je pevný bod f. Potom

%(x, y) =%(f(x), f(y))≤γ%(x, y).

Protožeγ <1, platí%(x, y) = 0, a tedyy=x.

konec 3. přednášky (24.2.2020) Věta 19.12(o pevném bodu neexpansivního zobrazení). Nechť(P, %)je kompaktní neprázdný metrický prostor af:P →P je neexpansivní. Potom f má právě jeden pevný bod.

Důkaz. Definujme zobrazeníg:P →[0,∞)předpisem g(x) =%(x, f(x)).

Zvolmex, y∈P. Potom buďx=ynebo%(f(x), f(y))< %(x, y), v každém případě platí%(f(x), f(y))≤%(x, y), a tedy

g(x)−g(y) =%(x, f(x))−%(y, f(y))

≤%(x, y) +%(y, f(y)) +%(f(y), f(x))−%(y, f(y))

=%(x, y) +%(f(x), f(y))

≤%(x, y) +%(x, y) = 2%(x, y).

Ze symetrie dostaneme g(y)−g(x) ≤ 2%(x, y), a tedy |g(x)−g(y)| ≤ 2%(x, y).

Odtud plyne, žeg je lipschitzovské, a tedy spojité naP, takže nabývá naP svého minima. Existuje tudíž bodx₀∈Ptakový, že pro všechnay∈Pplatíg(x₀)≤g(y).

Předpokládejme, žeg(x₀)>0. Potomx₀6=f(x₀), a tedy

g(f(x₀)) =%(f(x₀), f²(x₀))< %(x₀, f(x₀)) =g(x₀),

což je spor s tím, že g nabývá minima v x0. Tedy g(x0) = 0, takže x0 je pevný bodf. Dokážeme jeho jednoznačnost. Předpokládejme, žex, y∈P jsou dva různé pevné bodyf. Potomf(x)6=f(y), a tedy

%(x, y) =%(f(x), f(y))< %(x, y),

což je spor.

Věta 19.13(o pevném bodu zobrazení, jehož mocnina je kontrakce). Nechť(P, %) je úplný neprázdný metrický prostor a f: P → P je zobrazení, pro které existuje n∈Ntakové, že že fⁿ je kontrakce naP, kdefⁿ=f◦f◦ · · · ◦f (n-krát). Potom f má právě jeden pevný bod.

Důkaz. Podle Banachovy věty o kontrakci má fⁿ v P právě jeden pevný bod, označme jejx₀. Potom

fⁿ(f(x0)) =f(fⁿ(x0)) =f(x0),

takže f(x₀) je pevný bod fⁿ. Z jednoznačnosti pevného bodu plyne f(x₀) = x₀, a tedy x₀ je pevný bodf. Dokážeme jeho jednoznačnost. Předpokládejme, žey je pevný bod f. Dokážeme matematickou indukcí, že potom pro každé k ∈ N je y pevný bodf^k. Pro k= 1tvrzení platí. Nechť pro nějakék∈Njey pevný bodf^k. Potom

f^k+1(y) =f(f^k(y)) =f(y) =y.

Speciálně je tedyypevný bodfⁿ. Z jednoznačnosti pevného bodu plyney=x0. 19.2. Separabilní prostory.

Definice. Metrický prostor(P, %)se nazýváseparabilní, jestliže existuje spočetná množinaA⊂P, která je hustá vP.

Příklady. (a)R,C,Rⁿ,Cⁿ jsou separabilní, (b)(C([0,1]), %_sup)je separabilní,

(c) diskrétní prostor je separabilní právě tehdy, když je spočetný.

Definice. Nechť(P, %)je metrický prostor aB je nějaký systém otevřených pod- množin P. Řekneme, že B je báze otevřených množin P, jestliže pro každou otevřenou množinuGexistujeB^∗⊂ Btaková, žeS

B^∗=G.

Věta 19.14 (charakterisace separabilních prostorů). Nechť(P, %)je metrický pro- stor. Potom P je separabilní právě tehdy, když existuje spočetná báze otevřených množin P.

Důkaz. ⇒ NechťD je spočetná hustá podmnožinaP. Položme B={B(x, r);x∈D, r∈Q, r >0}.

Potom D×Q je spočetná. Definujme F: D×Q → expP předpisem F(x, r) = B(x, r). PotomF(D×Q) =B, a tedyBje spočetná. PrvkyBjsou zřejmě otevřené množiny. Zvolme otevřenou množinu Ga položmeB^∗={H ∈ B;H ⊂G}. Zřejmě platí S

B^∗ ⊂ G. Dokážeme opačnou inkluzi. Zvolme x ∈ G. K němu nalezneme ε >0 splňující B(x, ε)⊂G. Díky hustotěD nalezneme y ∈B(x,^ε₄)∩D. Zvolme r∈(^ε₄,^ε₂)∩Q. Potom%(x, y)< r, takžex∈B(y, r). Pro každéz∈B(y, r)platí

%(x, z)≤%(x, y) +%(y, z)<ε 2 +ε

2 =ε,

a tedyB(y, r)⊂B(x, ε)⊂G. Odtud vyplývá, že B(y, r)∈ B^∗, a tudížx∈SB^∗. Platí tedyG=SB^∗, takžeBje báze otevřených množinP.

⇐ NechťB={Gn;n∈N} je spočetná báze neprázdných otevřených množin.

Pron∈Nzvolmexn∈Gna položmeD={xn;n∈N}. Pak jeDspočetná. Zvolme neprázdnou otevřenou množinuG. K ní naleznemen∈NsplňujícíGn⊂G. Potom xn∈G, a tedyG∩D6=∅. Podle Věty 19.1 jeD hustá. TedyP je separabilní.

konec 4. přednášky (27.2.2020) Poznámka. Nechť(P, %)je separabilní metrický prostor aA⊂P. Potom(A, %)je separabilní.

Věta 19.15(nutná podmínka separability).Nechť(P, %)je metrický prostor. Jestliže existují A ⊂P a δ >0 taková, že A je nespočetná a pro každá x, y∈ A, x6= y, platí%(x, y)≥δ, potomP není separabilní.

Důkaz. ZvolmeD ⊂P spočetnou. Protože{B(x,₂^δ);x∈A} je nespočetný systém po dvou disjunktních koulí, existujex∈AsplňujícíB(x,^δ₂)∩D=∅. Podle Věty 19.1

neníD hustá, takžeP není separabilní.

Definice. Označme

`^∞={{x_n}^∞_n=1, x_n∈R, n∈N, sup

n∈N

|x_n|<∞}

(prostor všech omezených posloupností reálných čísel) a k{xn}k∞= sup

n∈N

|xn|.

Označme dále

c₀={{xn}n=1∈`^∞, limx_n= 0}

(prostor všech posloupností reálných čísel s nulovou limitou).

Poznámka. Prostory (`^∞,k · k∞)a (c0,k · k∞)jsou Banachovy.

Věta 19.16(prostory `<sup>∞</sup>,c<sub>0</sub> a separabilita). (a) Prostor`^∞ není separabilní.

(b)Prostor c₀ je separabilní.

Důkaz. (a) NechťA, B∈expN,A6=B. Potom kχA−χBk`^∞ = 1, kde

(χA)_j=

(1 proj∈A 0 proj6∈A

ProtožeexpNje nespočetná, plyne z Věty 19.15, že `^∞ není separabilní. (b) Pro n∈Npoložme

D_n={{x_j}^∞_j=1∈c₀;x_j∈Qpro každéj ∈Na x_j = 0pro každéj > n}

a

D=

∞

[

n=1

Dn.

PotomDspočetná. Zvolme{yj}^∞_j=1∈c0a ε >0. K nim naleznemen0∈Ntakové, že |y_j| < ε pro každé j > n₀. Ke každému j ∈ {1, . . . , n₀} nalezneme r_j ∈ Q splňující|r_j−y_j|< ε. Položme

x_j=

(rj proj ∈ {1, . . . , n0}, 0 proj > n₀.

Potom{xj}^∞_j=1∈Dn₀ a

k{x_j}^∞_j=1− {y_j}^∞_j=1k_`^∞= sup

j∈N

|x_j−y_j|

= max{sup

j≤n0

|xj−yj|, sup

j>n₀

|xj−yj|}

= max{sup

j≤n0

|rj−yj|, sup

j>n₀

|yj|}

<max{ε, ε}=ε.

TedyD je tedy hustá vc0, takžec0 je separabilní.

Definice. Nechť(P, %)je metrický prostor,ε >0aA⊂P. Řekneme, žeAjeε-síť vP, jestliže

∀x∈P ∃y∈A:%(x, y)< ε.

Řekneme, žeP jetotálně omezený, jestliže pro každéε >0existuje konečnáε-síť vP.

Věta 19.17 (totální omezenost a omezenost). Nechť (P, %) je totálně omezený metrický prostor. Potom je P omezený.

Důkaz. Nalezneme m ∈ N a x1, . . . , xm ∈ P taková, že {x1, . . . , xm} je konečná 1-síť vP. OznačmeM = max{%(xi, xj);i, j∈ {1, . . . , m}}. Zvolmex, y∈P. K nim naleznemei, j∈ {1, . . . , m}, taková, že%(x, xi)<1a %(y, xj)<1. Potom

%(x, y)≤%(x, xi) +%(xi, xj) +%(xj, y)<1 +M+ 1 =M+ 2,

takžeP je omezený.

Věta 19.18 (totální omezenost a separabilita). Nechť (P, %) je totálně omezený metrický prostor. Potom je P separabilní.

Důkaz. Pro každén∈Nnalezneme konečnou_n¹-síťAnvP. PoložmeA=S∞ n=1An. Potom jeA spočetná. Zvolmex∈P a ε >0. Nalezneme n∈Nsplňující ¹_n < ε. K němu nalezneme y∈A_n takové, že %(x, y)< ¹_n. Potomy ∈Aa platí %(x, y)< ε.

TedyA je hustá, takžeP je separabilní.

Příklad. Položme

A={f ∈C([0,1]), sup

x∈[0,1]

|f(x)| ≤1}.

Potom(A, %_sup)je omezený úplný separabilní metrický prostor, který není totálně omezený.

Věta 19.19 (kompaktnost a totální omezenost). Nechť (P, %) je kompaktní met- rický prostor. Potom je P totálně omezený.

Důkaz. Předpokládejme, žeP není totálně omezený. Potom existujeε >0 takové, že pro každou konečnou množinuC⊂P je

P\ [

x∈C

B(x, ε)6=∅.

Zvolme x1 ∈ P a předpokládejme, že máme zvoleny prvky x1, . . . , xn pro nějaké n∈N. PotomP \Sn

i=1B(x_i, ε)6=∅. Nechť x_n+1 ∈P\Sn

i=1B(x_i, ε). Potom pro každéj, k∈N,j 6=k platí%(x_j, x_k)≥ε, takžeP není kompaktní.

Důsledek. Nechť(P, %)je kompaktní metrický prostor. Potom jeP separabilní.

konec 5. přednášky (2.3.2020) Věta 19.20(kompaktnost, totální omezenost a úplnost). Metrický prostor je kom- paktní právě tehdy, když je úplný a totálně omezený.

Důkaz. ⇒ Tato implikace vyplývá z Vět 15.13 a 19.19.

⇐ Jestliže P = ∅, pak je kompaktní. Předpokládejme, že P je neprázdný a zvolme{xn} ⊂ P. Pro každék ∈Nnalezneme konečnou ¹_k-síťDk. Díky tomu, že D1 je konečná, naleznemey1∈D1takové, že

A₁={n∈N;x_n ∈B(y₁,1)}

je nekonečná. Předpokládejme, že pro nějakék∈Nmáme určeny prvkyy₁, . . . , y_k a nekonečné množiny přirozených číselA₁, . . . , A_k. Díky tomu, žeA_k je nekonečná aD_k+1 je konečná, naleznemey_k+1∈D_k+1 takové, že

Ak+1={n∈Ak;xn ∈B(yk+1,_k+1¹ )}

je nekonečná. Potom{Ak}je teleskopická posloupnost nekonečných podmnožinN. Nalezneme rostoucí posloupnost přirozených čísel{nk}splňujícínk ∈Ak pro každé k ∈ N. Zvolme ε >0. K němu nalezneme k0 ∈ N takové, že _k²

0 < ε. Potom pro každák, `∈N,k≥k<sub>0</sub>,`≥k₀ platín_k, n_`∈A_k0, a tedy

%(x_nk, x_{n`</sub>)≤%(x<sub>nk</sub>, y<sub>k0</sub>) +%(y<sub>k0</sub>, x<sub>n`})< 1 k0

+ 1 k0

= 2 k0

< ε.

Odtud plyne, že{xn_k}je cauchyovská, a tedy díky úplnosti P konvergentní, takže

P je kompaktní.

Poznámka. Nechť (P, %)je totálně omezený metrický prostor aA⊂P. Potom je (A, %)totálně omezený.

Věta 19.21 (kompaktnost a otevřená pokrytí). Nechť (P, %) je metrický prostor.

Potom P je kompaktní právě tehdy, když pro každý systém G otevřených množin splňujícíP =S

G existuje konečný systémG^∗⊂ G takový, že P =S G^∗.

Důkaz. ⇒ Předpokládejme, že G je systém otevřených množin takový, že P = SG. Podle Důsledku jeP separabilní, a tedy podle Věty 19.15 nalezneme spočetnou báziBotevřených množin. Položme

S={H∈ B;∃G∈ G:H ⊂G}.

PotomS je spočetný systém otevřených množin. OznačmeS={Hn;n∈N} a pro každé n ∈ N nalezneme Gn ∈ G splňující Hn ⊂ Gn. Z vlastností báze plyne, že P = S

Hn. Pro n ∈ N položme Fn =P \Sn

k=1Hk. Potom {Fn} je teleskopická posloupnost uzavřených množin splňující

\Fn=P\[

Hn=∅.

Díky Větě 15.12 naleznemen∈N splňujícíF_n =∅. PotomP =Sn

k=1H_k, a tedy P =Sn

k=1G_k.

⇐ Předpokládejme, žeP není kompaktní. Potom podle Věty 15.12 nalezneme teleskopickou posloupnost{Fn} uzavřených neprázdných množin splňujícíTFn=

∅. PoložmeG={P\Fn;n∈N}. PotomG je systém otevřených množin splňující [G=[

(P\Fn) =P\\

Fn=P.

Pro každém∈Nplatí

m

[

n=1

(P\Fn) =P\

m

\

n=1

Fn=P\Fm6=P.

Tedy pro každý konečný systémG^∗⊂ G platíS

G^∗6=P.

19.3. Souvislé prostory.

Definice. Nechť(P, %)je metrický prostor a A⊂P. Řekneme, žeP jesouvislý, jestliže jej není možné zapsat ve tvaru sjednocení dvou disjunktních neprázdných otevřených množin. Řekneme, žeA jesouvislá, jestliže je metrický prostor(A, %) souvislý.

Příklady. Dokažte, že

(a) v každém metrickém prostoru jsou prázdná množina a každá jednoprvková množina souvislé,

(b) podmnožina diskrétního prostoru je souvislá právě tehdy, když je prázdná, nebo jednoprvková,

(c) má-li souvislý metrický prostor více než jeden prvek, pak je nespočetný.

Definice. Nechť(P, %)je metrický prostor aA⊂P. Řekneme, žeAjeobojetná, jestliže je otevřená a uzavřená.

Příklady. Dokažte, že

(a) v každém metrickém prostoru(P, %)jsou množiny∅a P obojetné, (b) v metrickém prostoru[0,1]∪(2,3)jsou množiny[0,1]i(2,3)obojetné, (c) každá podmnožina diskrétního prostoru je obojetná.

Věta 19.22(charakterisace souvislých prostorů). Nechť(P, %)je metrický prostor.

Potom jsou následující výroky ekvivalentní:

(a)P není souvislý,

(b) existují dvě uzavřené neprázdné disjunktní množiny F₁, F₂ splňující P = F₁∪F₂,

(c) existuje neprázdná obojetná množinaH⊂P splňujícíH 6=P, (d)existuje spojité surjektivní zobrazení f:P →({0,1}, %_diskr).

Důkaz. (a)⇒(b) NechťP=G₁∪G₂, přičemžG₁aG₂jsou neprázdné, otevřené a disjunktní. PoložmeF₁=G₁aF₂=G₂. PotomF₁aF₂mají požadované vlastnosti.

(b)⇒(c) PoložmeH=F₁. Potom H má požadované vlastnosti.

(c)⇒(d) Položmef =χH. Potomf⁻¹({0}) =P\H af⁻¹({1}) =H. Množiny f⁻¹({0})af⁻¹({1})jsou neprázdné a otevřené, takžef je surjektivní a spojité.

(d) ⇒ (a) Položme G1 = f⁻¹({0}) a G2 = f⁻¹({1}). Potom P = G1∪G2 a G1, G2 jsou disjunktní. Ze spojitostif plyne, žeG1a G2jsou otevřené. Ze surjek- tivityf plyne, žeG1a G2 jsou neprázdné. TedyP není souvislý.

konec 6. přednášky (5.3.2020) Věta 19.23(spojitý obraz souvislého prostoru). Nechť(P, %)je souvislý metrický prostor, (Q, σ)je metrický prostor a f:P →Qje spojité. Potomf(P)je souvislý.

Důkaz. Předpokládejme, žef(P)není souvislý. Nalezneme neprázdné otevřené dis- junktní množiny G1, G2 ⊂ Q splňující f(P) = G1∪G2. Potom P = f⁻¹(G1)∪ f⁻¹(G2), přičemžf⁻¹(G1)af⁻¹(G2)jsou neprázdné a disjunktní. Ze spojitostif plyne, žef⁻¹(G1), f⁻¹(G2)jsou otevřené, takžeP není souvislý.

Poznámka. Nechť(P, %)je metrický prostor,G⊂Pje otevřená,A⊂P aG∩A=

∅. Potom G∩A=∅.

Poznámka. Nechť (P, %) je metrický prostor, M ⊂ P a A ⊂ M. Potom A je otevřená (respektive uzavřená) v M právě tehdy, když existuje B ⊂ P otevřená (respektive uzavřená) vP splňujícíA=B∩M.

Věta 19.24 (souvislost uzávěru). Nechť(P, %)je metrický prostor,A⊂P je sou- vislá aA⊂B ⊂A. PotomB je souvislá. SpeciálněA¯ je souvislá.

Důkaz. Je-li B prázdná, nebo jednoprvková, potom je souvislá. Předpokládejme, žeB má alespoň dva body. Zvolme neprázdné disjunktní množinyG1,G2 otevřené vB a x∈G. Potomx∈A, a tedy nalezneme posloupnost{xn}prvků Asplňující xn→x. Díky otevřenostiGnaleznemen∈Ntakové, žexn∈G1. TedyG1∩A6=∅.

Obdobně lze dokázat, že G2∩A 6= ∅. Množiny G1∩A, G2∩A jsou disjunktní, neprázdné a otevřené v A. Protože A je souvislá, platí A\(G1∪G2)6= ∅. Tedy B\(G1∪G2)6=∅, a tudížB je souvislá.

Věta 19.25 (souvislost sjednocení). Nechť (P, %) je metrický prostor, I 6= ∅ a {Aα}α∈I jsou souvislé podmnožiny P. Označme A =S

α∈IA_α. Jestliže pro každá α, β∈I platíA_α∩A_β 6=∅, potom jeA souvislá.

Důkaz. Nejprve dokážeme, že pro každá α, β ∈ I je A_α ∪A_β souvislá. Zvolme α, β∈I ax∈A_α∩A_β. ZvolmeG₁, G₂ disjunktní neprázdné otevřené vA_α∪A_β.

Předpokládejme, žeG1∪G2=Aα∪Aβ. Bez újmy na obecnosti můžeme předpoklá- dat, žex∈G1. Zvolmey∈G2. Potomy∈Aα∪Aβ. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že y ∈Aα. Potom G1∩Aα a G2∩Aα jsou neprázdné disjunktní a otevřené vA_α, a tedyA_α není souvislá, což je spor.

V obecném případě předpokládejme, že existují disjunktní neprázdné G₁, G₂ otevřené vAsplňujícíG₁∪G₂=A. Naleznemeα,β ∈I(ne nutně různá) taková, že G₁ ∩A_α 6= ∅ a G₂∩A_β 6= ∅. Označme B = A_α∪A_β. Potom B je podle předcházejícího kroku souvislá, ale B ∩G₁, B∩G₂ jsou neprázdné, disjunktní a otevřené vB a platíB = (B∩G1)∪(B∩G2), což je spor.

Příklad. Položme

A=

(x, y)∈R²: y=p

1−x² , B=

(x, y)∈R²: y=−p

1−x² . Dokažte, žeA,B jsou souvislé aA∩B není souvislá.

Definice. Nechť (P, %)je metrický prostor. Řekneme, že množiny A, B ⊂P jsou oddělené, jestliže existují disjunktní otevřené množinyG₁, G₂ splňujícíA⊂G₁ a B⊂G₂.

Věta 19.26 (normalita metrických prostorů). Nechť (P, %) je metrický prostor a A, B⊂P jsou disjunktní uzavřené množiny. PotomAaB jsou oddělené.

Důkaz. Ke každému x ∈ A najdeme δ_x > 0 takové, že B(x,2δ_x)∩B = ∅ a ke každémuy∈B najdemeδ_y >0takové, žeB(y,2δ_y)∩A=∅. Položme

G₁= [

x∈E

B(x, δ_x), G₂= [

y∈F

B(y, δ_y).

PotomG₁, G₂jsou otevřené a platíA⊂G₁,B⊂G₂. Předpokládejme pro spor, že existujez ∈G₁∩G₂. K němu nalezneme x∈Aa y∈B taková, že %(x, z)< δ_x a

%(y, z)< δ_y. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládatδ_x≤δ_y. Potom

%(x, y)≤%(x, z) +%(z, y)≤δx+δy ≤2δy,

tedyx∈A∩B(y,2%y), což je spor.

Věta 19.27 (charakterisace souvislých množin). Nechť(P, %) je metrický prostor aM ⊂P. PotomM je nesouvislá právě tehdy, když existují disjunktní neprázdné oddělené množinyA, B⊂M takové, žeA∪B=M.

Důkaz. ⇒ Nalezneme disjunktní neprázdné množiny A, B otevřené vM takové, žeA∪B =M. Dále nalezneme otevřené množiny U, V ⊂P takové, žeA=M∩U a B = M ∩V. Položme Y = U ∪V, E = Y \V a F = Y \U. Potom E a F jsou disjunktní množiny uzavřené vY, A⊂E a B⊂F. Podle Věty 19.26 existují disjunktní G, H ⊂ Y otevřené v Y takové, že E ⊂ G a F ⊂ H, tedy A ⊂ G a B⊂H. Tvrzení plyne z toho, že podle výše uvedené poznámky jsouG, H otevřené i vP.

⇐ Tato implikace je zřejmá.

Definice. Nechť (P, %) je metrický prostor aA ⊂P. Řekneme, žeA je kompo- nentaP, jestližeAje maximální souvislá podmnožinaP.

Věta 19.28(charakterisace komponent). Nechť(P, %)je neprázdný metrický pro- stor. Potom

(a)komponenty P jsou neprázdné a uzavřené, (b)každý bod P je obsažen v některé komponentě, (c) komponenty jsou disjunktní.

Důkaz. (a) Jednoprvkové množiny jsou souvislé, a tedy prázdná množina nemůže být maximální. NechťAje komponentaP. Potom jeAsouvislá, a tedy podle Věty 19.24 jeAsouvislá. Z maximality plyne, žeA=A, takžeAje uzavřená.

(b)Zvolmex∈P a položme A=[

{B⊂P;B je souvislá ax∈B}.

Podle Věty 19.25 jeAsouvislá. Maximalita je zřejmá.

(c) ZvolmeAaBkomponentyP a předpokládejme, žeA∩B 6=∅. Potom podle Věty 19.25 je A∪B souvislá. Z maximality plyne, žeA∪B ⊂ A a A∪B ⊂ B,

takžeA=B.

konec 7. přednášky (9.3.2020)

Věta 19.29 (souvislé podmnožiny R). Množina A ⊂R je souvislá právě tehdy, když je to interval.

Důkaz. Nechť A ⊂R je neprázdná, a = infA, b = supA. Nechť A není interval s krajními body a a b. Potom existuje x ∈ (a, b)\ A. Množiny (−∞, x)∩A a (x,∞)∩Ajsou potom neprázdné, disjunktní a otevřené vA, tedy Anení souvislá.

Nyní předpokládejme, že A je interval a pro spor, že není souvislá. Pak máme neprázdné disjunktní množinyG, Hotevřené vAtak, žeG∪H =A. Zvolmex∈G, y∈H, můžeme předpokládatx < y. Položme

s= sup{t∈A: (x, t)⊂G}.

Množina G obsahuje pravé okolí xa H obsahuje levé okolí y. Odtud vidímex <

s < y, tedy s je vnitřní bod A. Jestliže s ∈ G, potom existuje δ > 0 tak, že (s−δ, s+δ)⊂G. Jestližes∈H, potom existuje δ >0 tak, že(s−δ, s+δ)⊂H.

V obou případech dostaneme spor s definicís.

Důsledek. Nechťf je spojité zobrazení intervaluI do metrického prostoru. Potom f(I) je souvislá množina.

Příklady. (a) ProstorRje souvislý.

(b) Prostor[0,1]∪(2,3)není souvislý a má dvě komponenty souvislosti.

Definice. Řekneme, že metrický prostor(P, %)jekřivkově souvislý, jestliže pro každé x, y ∈ P existuje spojité zobrazení γ: [0,1] → (P, %) takové, že γ(0) = x aγ(1) =y. Řekneme, že množinaA⊂P jekřivkově souvislá, jestliže je metrický prostor(A, %)křivkově souvislý.

Věta 19.30(souvislost souvislosti s křivkovou souvislostí). Každý křivkově souvislý metrický prostor je souvislý.

Důkaz. NechťP je křivkově souvislý. Předpokládejme pro spor, žeP je nesouvislý.

Máme neprázdné disjunktní otevřené množinyG, H⊂Ptak, žeG∪H=P. Zvolme x∈Ga y∈H a najděmeγ: [0,1]→(P, %)takovou, žeγ(0) =xa γ(1) =y. Buď A=γ([0,1]). Potom A je spojitý obraz intervalu, tedy podle Vět 19.23 a 19.29 je Asouvislá. AleA∩Ga A∩H jsou neprázdné disjunktní a otevřené vA, spor.

Příklady. (a) Graf spojité funkce na intervalu je křivkově souvislý.

(b) Podmnožina prostoruR² definovaná jako graf funkce f(x) =

(0 prox∈(−∞,0]

sin_x¹ prox∈(0,∞),

je příkladem souvislého metrického prostoru, který není křivkově souvislý.

Poznámky. (a) Spojitý obraz křivkově souvislého metrického prostoru je křivkově souvislý.

(b) Uzávěr křivkově souvislé množiny nemusí být křivkově souvislý.

(c) Sjednocení křivkově souvislých množin s neprázdným průnikem je křivkově souvislá množina.

Věta 19.31(souvislost v NLP). NechťX je normovaný lineární prostor. Potom (a)Každá konvexní množina v X je křivkově souvislá.

(b)Každá souvislá otevřená podmnožina G⊂X je křivkově souvislá.

(c) NechťG⊂X je otevřená. Potom komponenty Gjsou otevřené vX.

Důkaz. (a) Nechť A ⊂ X je konvexní a x, y ∈ A. Položme γ(t) = x+t(y −x), t ∈ [0,1]. Potom γ “parametrizuje” úsečku spojující x a y, tedy γ([0,1]) ⊂ A.

Spojitostγ je zřejmá.

(b) Zvolmex∈Ga definujmeH jako sjednocení všech otevřených křivkově sou- vislých podmnožinGobsahujících x. Podle předchozí poznámky (c) jeH křivkově souvislá, stačí ukázat, žeH=G. ZřejměH je otevřená vG. Dokážeme ještě, žeH je uzavřená vG. Nechťy∈G∩H. Najdeme otevřenou kouliB⊂Gse středem vy.

Potom B je křivkově souvislá podle bodu (a). Z definice H najdeme z ∈B∩H. Potom libovolný bodu∈B můžeme spojit křivkou sx, neboťuspojíme sezvB a z spojíme sxvH. Z maximality plyneB∪H ⊂H. Tím jsme dokázaliy ∈H pro každé y ∈G∩H, tedy H je uzavřená v G. Shrneme: H je neprázdná a obojetná vG, jelikožGje souvislý, mámeH =G.

(c) NechťH je komponenta Ga x∈H. Najděme kouli B ⊂Gse středem vx.

Potom B je souvislá podle bodu (a) a Věty 19.30,B ∪H je souvislá podle Věty 19.25, tedy z maximalityB⊂H. Bodxmá tedy okolíB ležící vH. Věta 19.32 (struktura otevřených podmnožin R). Je-li G ⊂ R otevřená, pak existuje spočetný disjunktní systém otevřených intervalůI takový, žeG=S

I∈II.

Důkaz. Uvažujme systém všech komponent G. Tyto komponenty jsou otevřené podle Věty 19.31, intervaly podle Věty 19.29, disjunktní podle Věty 19.28(c).

Věta 19.33 (aplikace souvislosti). Nechť G⊂Rⁿ je neprázdná souvislá otevřená množina af: G→Rje zobrazení splňující f⁰(x) = 0pro každé x∈G. Potom f je konstantní na G.

Důkaz. Zvolme x ∈ G a položme H = {y ∈ G:f(y) = f(x)}. Potom H je ne- prázdná, neboť obsahuje x. Dokážeme-li, že H je obojetná, máme ze souvislosti H =G, což dokazuje tvrzení. UzavřenostHvGje zřejmá, zbývá otevřenost. Nechť z∈HaBje otevřená koule se středem vzobsažená vG. Zvolmey∈Ba definujme funkcig: [0,1]→Rⁿ předpisemg(t) =f(z+t(y−z)). Potomg je spojitá na[0,1]

a g⁰(t) =f⁰(z+t(y−z))(y−z) = 0pro všechnat∈(0,1). Tedyg je konstantní a tudížf(y) =g(1) =g(0) =f(z) =f(x). K danému z∈H jsme našli jeho okolíB

ležící vH, tedyH je otevřená.

konec distanční 8. přednášky (12.3.2020)

20. Křivkový a plošný integrál

Lebesgueova míra je matematickým vyjádřením intuitivního pojmu objem (v dimenzi3) nebo povrch (v dimenzi2). Podobně chceme matematicky vyjádřit pojem délky nebo povrchu v dimenzi3.

20.1. Hausdorffovy míry.

Značení. Nechť k, n∈N, k≤n,A⊂Rⁿ. Proδ∈R, δ >0, položme H^k(A, δ) = infnX^∞

j=1

α_k(diamA_j)^k;

A⊂

∞

[

j=1

Aj⊂Rⁿ, diamAj≤δo , (2)

kde hodnotaα_k∈(0,∞)bude určena později. Položme dále H^k(A) = sup

H^k(A, δ);δ∈(0,∞) .

Z definice infima vyplývá, že pro každé δ1, δ2 ∈ Rsplňující 0 < δ1 < δ2 a každou A ⊂Rⁿ platí H^k(A, δ₁)≥ H^k(A, δ₂). Funkceδ 7→ H^k(A, δ) je tedy nerostoucí na (0,∞), a proto existuje limitalim_δ→0+H^k(A, δ), která se rovnáH^k(A).

Věta 20.1(Hausdorffova míra a vnější míra). Nechťk, n∈N, k≤n. Potom jeH^k vnější míra naRⁿ.

Důkaz. Pro každé δ > 0 platí H^k(∅, δ) = 0, a proto také H^k(∅) = 0. Pro každé A⊂B⊂Rⁿ aδ >0platí podle definiceH^k(A, δ)≤ H^k(B, δ). Odtud potom plyne H^k(A)≤ H^k(B).

K dokončení důkazu zbývá ověřit σ-subaditivitu H^k. Nechť Mi, i ∈ N, jsou podmnožiny Rⁿ. Zvolme ε > 0 a δ > 0. Pro každé i ∈ N nalezneme množiny Ai,j⊂R^k, j∈N, takové, že

• Mi ⊂S∞ j=1Ai,j,

• diamA_i,j< δ,

• P∞

j=1αk(diamAi,j)^k ≤ H^k(Mi, δ) +ε2⁻ⁱ.

Potom

H^k[^∞

i=1

Mi, δ

≤

∞

X

i=1

∞

X

j=1

αk(diamAi,j)^k

≤

∞

X

i=1

H^k(Mi, δ) +ε2⁻ⁱ

≤

∞

X

i=1

H^k(Mi) +ε.

Odtud plyne

H^k[^∞

i=1

Mi

≤

∞

X

i=1

H^k(Mi) +ε, a tedy také

H^k[^∞

i=1

Mi

≤

∞

X

i=1

H^k(Mi).

Definice. Nechťk, n∈N, k≤n. Množinovou funkci

A7→ H^k(A), A⊂Rⁿ,

nazývámek-dimenzionální vnější Hausdorffova míranaRⁿ.

Definice. Nechť (P, %)je metrický prostor. Řekneme, že množiny A, B ⊂P jsou vzdálené, jestliže splňují

inf{%(x, y); x∈A, y∈B}>0.

Definice. Nechť (P, %) je metrický prostor. Řekneme, že vnější míra γ na P je metrická, jestliže pro každé dvě dvě vzdálené množinyA, B⊂P platíγ(A∪B) = γ(A) +γ(B).

Věta 20.2 (vlastnosti vnější Hausdorffovy míry). Nechťk, n∈N, k≤n.

(a) Vnější míraH^k naRⁿ je metrická.

(b) Vnější míra H^k je translačně invariantní, tj. pro každou množinu A⊂Rⁿ a x ∈ Rⁿ platí H^k(A) = H^k(A+x), kde symbol A+x značí množinu {y+x;y∈A}.

Důkaz. (a) Mějme množinyA, B⊂Rⁿ, které jsou vzdálené, tj. čísloδ0= inf{%(x, y);x∈ A, y ∈B} je kladné. Nechť δ∈(0, δ0). Pro každou množinuM ⊂A∪B splňující diamM ≤δ, platí M ⊂Anebo M ⊂B. Pokud by totižM protínala množinu Ai množinuB, musel by její diametr být větší nežδ0.

Odtud plyne

H^k(A∪B, δ) =H^k(A, δ) +H^k(B, δ).

Limitním přechodemδ→0+dostaneme

H^k(A∪B) =H^k(A) +H^k(B).

(b) Zvolme A ⊂Rⁿ a x∈ Rⁿ. Vzhledem k tomu, že pro každéM ⊂Rⁿ platí diam(M) = diam(M+x), dostáváme takéH^k(A+x, δ) =H^k(A, δ)pro každéδ >0.

Odtud plyneH^k(A+x) =H^k(A).

Věta 20.3(metrická vnější míra a borelovské množiny). Nechťγje metrická vnější míra na metrickém prostoru (P, %). Potom je každá borelovská podmnožina P γ- měřitelná.

Důkaz. Systém γ-měřitelných množin tvoří σ-algebru. Stačí dokázat, že uzavřené množiny jsouγ-měřitelné, protože potom budou také všechny otevřené množinyγ- měřitelné, a tedy i všechny borelovské množiny budouγ-měřitelné. NechťF ⊂P je uzavřená. Při ověřováníγ-měřitelnosti množinyF je naším úkolem ukázat, že platí γ(T)≥γ(F∩T)+γ(T\F)pro libovolnou množinuT ⊂P. ZvolmeT ⊂P. Můžeme předpokládat, žeγ(T)<∞, jinak dokazovaná nerovnost zřejmě platí. Označme

P0=

x∈T; dist(x, F)≥1 a Pj=

x∈T;_j+1¹ ≤dist(x, F)< ¹_j , j∈N. PlatíT\F =S∞

j=0P_j, neboť vzhledem k uzavřenostiF má každý prvek množiny T \F od F kladnou vzdálenost. Množiny P_j, P_i, kde |j−i| > 1, jsou vzdálené.

Poněvadž jeγmetrická, dostáváme pro každém∈N∪ {0}vztahy

m

X

j=0

γ(P2j) =γ[^m

j=0

P2j

≤γ(T),

m

X

j=0

γ(P2j+1) =γ[^m

j=0

P2j+1

≤γ(T).

Dostáváme tedy, že řadaP∞

j=0γ(P_j)je konvergentní. Odtud a zeσ-subaditivityγ plyne

(3) 0≤ lim

m→∞γ [^∞

j=m+1

P_j

≤ lim

m→∞

∞

X

j=m+1

γ(P_j) = 0 Pro každém∈Njsou množiny Sm

j=0Pj aF ∩T vzdálené, takže pro každém∈N platí

γ(T\F) +γ(T∩F) =γ[^∞

j=0

Pj

+γ(T∩F)

≤γ[^m

j=0

Pj

+γ [^∞

j=m+1

Pj

+γ(F∩T)

≤γ[^m

j=0

P_j∪(F∩T)

+γ [^∞

j=m+1

P_j

≤γ(T) +γ [^∞

j=m+1

P_j . (4)

Z (3) a (4) pak dostaneme dokazovanou nerovnost γ(T\F) +γ(F∩T)≤ lim

m→∞

γ(T) +γ [^∞

j=m+1

P_j

=γ(T).

Důsledek(borelovské množiny a hausdorffovská měřitelnost). Nechťk, n∈N, k≤ n, aA⊂Rⁿ je borelovská množina. Potom jeA H^k-měřitelná.

Lemma 20.4 (Hausdorffova míra k-rozměrné krychle). Nechť k, n ∈ N, k ≤ n.

Potom0<H^k [0,1)^k× {0}^n−k

<∞.

Důkaz. Označme K = [0,1)^k × {0}^n−k. Nejprve ukážeme, že platí H^k(K) < ∞.

Zvolmeδ >0. Naleznemem∈Ntakové, že

√ k

m < δ. OznačmeI(j) =_j−1

m ,_m^j pro j∈ {1, . . . , m}. Položme

K(j1, . . . , jk) =

k

Y

i=1

I(ji)× {0}^n−k, (j1, . . . , jk)∈ {1, . . . , m}^k. Potom platí diamK(j1, . . . , jk) =

√ k

m < δ pro každé (j1, . . . , jk)∈ {1, . . . , m}^k a také

K=[

K(j1, . . . , jk); (j1, . . . , jk)∈ {1, . . . , m}^k . Potom

H^k(K, δ)≤αkm^k

√ k m

^k

=αk

√ kk

. Odtud plyneH^k(K)≤αk

√

k)^k <∞.

Nyní dokážeme H^k(K)>0. Nechťπ:Rⁿ→R^k je zobrazení definované předpi- sem π(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xk). Pro A⊂ Rⁿ definujme µ(A) = λ^k∗ π(A)

. Pro každou množinu A ⊂Rⁿ platí µ(A) ≤ (diamA)^k. Nechť {Aj}^∞_j=1 je posloupnost množin taková, žeS∞

j=1Aj=K. Potom

∞

X

j=1

αk(diamAj)^k ≥αk

∞

X

j=1

µ(Aj)≥αkµ(K) =αk>0.

Platí tedyH^k(K)>0.

Značení. Koeficient α_k zvolíme tak, abyH^k [0,1)^k× {0}^n−k

= 1.

Věta 20.5 (regularita Hausdorffovy míry). Nechť k, n ∈ N, k ≤ n, a A ⊂ Rⁿ. Potom existuje borelovská množinaB⊂Rⁿ taková, žeA⊂B aH^k(A) =H^k(B).

Důkaz. PokudH^k(A) =∞, stačí položit B =Rⁿ. Pokud H^k(A)<∞, nalezneme pro každé j ∈ N podle definice uzavřené množiny C_i^j ⊂ Rⁿ, i ∈ N, takové, že A⊂S∞

i=1C_i^j,diamC_i^j< ¹_j pro každéi∈Na P∞

i=1α_k(diamC_i^j)^k≤ H^k(A,¹_j) +¹_j. Potom pro každé j ∈ N platí, že F_j = S∞

i=1C_i^j je množina typu F_σ splňující H^k Fj,¹_j

<H^k A,¹_j

+¹_j. PoložmeB=T∞

j=1Fj. MnožinaB je typuFσδ, a tedy je borelovská, přičemž splňujeA⊂B. Dále pro každé j∈Nplatí

H^k A,¹_j

≤ H^k B,¹_j

≤ H^k F_j,¹_j

<H^k A,¹_j +1

j,

takžeH^k(A)≤ H^k(B)≤ H^k(A), a tedyH^k(A) =H^k(B).

Věta 20.6(Hausdorffova míra a vnější Lebesgueova míra). Nechťn∈NaA⊂Rⁿ. PotomHⁿ(A) =λ^n∗(A).

Důkaz. Prom∈NoznačmeQ_m systém všech množin tvaru

n

Y

i=1

_li

2^m,^li₂⁺¹m

, li∈Z, i= 1, . . . , n.

Dále označmeQ=S∞

m=1Qm. Platí následující pozorování:

(a) Pro každéQ₁, Q₂∈ QplatíQ₁⊂Q₂ neboQ₂⊂Q₁ neboQ₁∩Q₂=∅.

(b) Pro každém∈NplatíS

Qm=Rⁿ.