KatedramatematikyFakultaaplikovanýchvědZápadočeskáuniverzitavPlzni TESTOVÁNÍNORMALITYZEZAOKROUHLENÝCHDAT MichalFriesl

(1)

TESTOVÁNÍ NORMALITY ZE ZAOKROUHLENÝCH DAT

Michal Friesl

Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

(2)

Zaokrouhlená data

Model

• náhodný výběr X1, . . . ,Xn zF

• pozorujemezaokrouhlené hodnoty X₁^d, . . . ,X_n^d Úkol

• testovat H₀: F∈ {N(µ,σ²),µ∈R,σ >0}

• tj.nespecifikovanénormální rozdělení Přičemž nejspíš

• šířka intervalů není zanedbatelná vzhledem k rozptylu

• rozsah výběru nmalý

(3)

Příklad: Hodnocení kvality výuky

Studentské hodnocení předmětů

• k předmětu 3 až 5 tvrzení (Přednáška byla srozumitelná,. . . )

• pozorování: 0,1,. . . ,5(míra souhlasu studenta)

0 1 2 3 4 5

0 10 20

1 2

5 13

22 18 Přednášky byly zajímavé

0 1 2 3 4 5

0 5 10

8 9 Cvičení byla užitečná

(4)

Příklad: Hodnocení kvality výuky

Alespoň 15 odpovídajících u 2361 tvrzení, průměrně

• 41 odpovídajících (v 50 % méně než 27)

• průměrné hodnocení 4,05

• směrodatná odchylka0,95(v 50 % menší než 0,85) ⁰ ₂ ₃ ₄ ₅

0,02 0,04 0,06 0,08

Rozdělení průměrů

20 40 60 80 100

0 0,02 0,04 0,06

Rozdělení počtů odpovědí

20 40 60 80 100 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

0 1 2 3

0 0,02 0,04 0,06 0,08

Rozdělení směrod. odchylek

0 1 2 3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Zdroj dat: portal.zcu.cz — ZS 2011/12

(5)

Příklad: Vstupní test

Vstupní test znalostí studentů 1. ročníku z matematiky

• 10 příkladů

• pozorování: 0 1 . . . 10(počet správně zodpovězených)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

50 100 150

5 33

127131 160

90 48

2215 6 1 Fakulta A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

20 40 60

2 7 22

50 67

59 4641

26 42

17 Fakulta B

• směrodatné odchylky kolem 1,9, průměr kolem 4 až 6 bodů

Zdroj dat: stat.kma.zcu.cz/testik11/

(6)

Následuje

1. Diskretizované normální rozdělení

• odhady parametrů 2. Připomenutí χ² testu

• asymptotický při n→∞, ale přimalýchn?

3. Kolmogorovův-Smirnovův test a jeho varianty

• pro spojitá data, ale použít proseskupenáasloženouhypotézu?

4. Porovnání testů 5. Cenzorovaná data

• výsledky příkladů

(7)

Diskretizované normální rozdělení

Tvar rozděleníX_dzávisí i naµ (hlavně při menšíchσ)

• pravděpodobnosti a distribuční funkce N(µ, 1)pro různáµ

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

µ=−^0.5 µ=−^0.25 µ=⁰ µ=^0.25 µ=^0.5

(8)

Diskretizované normální rozdělení

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

µ=−^0.5 µ=−^0.25 µ=⁰ µ=^0.25 µ=^0.5

(9)

Diskretizované normální rozdělení

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

µ=−^0.5 µ=−^0.25 µ=⁰ µ=^0.25 µ=^0.5

(10)

Diskretizované normální rozdělení

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

µ=−^0.5 µ=−^0.25 µ=⁰ µ=^0.25 µ=^0.5

(11)

Diskretizované normální rozdělení

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

µ=−^0.5 µ=−^0.25 µ=⁰ µ=^0.25 µ=^0.5

(12)

Diskretizované normální rozdělení

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

µ=−^0.5 µ=−^0.25 µ=⁰ µ=^0.25 µ=^0.5

(13)

Diskretizované normální rozdělení

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4

−³ −² −¹ ⁰ ¹ ² ³ 0

0,2 0,4 0,6 0,8 1

µ=−^0.5 µ=−^0.25 µ=⁰ µ=^0.25 µ=^0.5

(14)

Momenty a parametry

Zaokrouhlením se změní momenty. . .

• není užEXd=µ,√

varXd=σ

Změna střední hodnoty a směrodatnmé odchylky při různýchσ

• uµmalá,uσ větší

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5

−^0,01 0 0,01

µ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5 0

0,05 0,1

µ

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.7 σ=^0.8 σ=^0.9

(15)

Momenty a parametry

varXd=σ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5

−^0,01 0 0,01

µ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5 0

0,05 0,1

µ

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.7 σ=^0.8 σ=^0.9

(16)

Momenty a parametry

varXd=σ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5

−^0,01 0 0,01

µ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5 0

0,05 0,1

µ

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.7 σ=^0.8 σ=^0.9

(17)

Momenty a parametry

varXd=σ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5

−^0,01 0 0,01

µ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5 0

0,05 0,1

µ

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.7 σ=^0.8 σ=^0.9

(18)

Momenty a parametry

varXd=σ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5

−^0,01 0 0,01

µ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5 0

0,05 0,1

µ

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.7 σ=^0.8 σ=^0.9

(19)

Momenty a parametry

varXd=σ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5

−^0,01 0 0,01

µ

−^0,5 −^0,25 ⁰ ^0,25 ^0,5 0

0,05 0,1

µ

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.7 σ=^0.8 σ=^0.9

(20)

Změna momentů celkově

Největší a nejmenší změna při danémσ

1 2 3 4 5

−^0,01 0 0,01

σ Střední hodnota

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

σ

Směrodatná odchylka

(21)

Změna momentů celkově

Největší a nejmenší změna při danémσ

1 2 3 4 5

−^0,4

−^0,2 0 0,2 0,4

σ Šikmost

1 2 3 4 5

−¹ 0 1

σ Špičatost

(22)

Odhady parametů

Výběrové momenty

• ze spojitých dat (nedostupné)

• ze zaokrouhlených dat — odhadují momentyrůznéod parametrů Obecné přístupy

• metodou maximální věrohodosti

• metodou minimálníhoχ², resp. modifikovanou

— nutno řešit numericky Jednoduché

• regresně z QQ grafu

• výběrové momentys opravouus_d

(23)

Porovnání odhadů

Nasimulované odhady zn=20 an=100 diskrétních pozorování při

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

Rozmezí výchylek odhadůparametruµ v závislosti naσ:

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01

0,02 Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01

0,02 Přin=¹⁰⁰

spoj diskr ML modif regr oprav

(24)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(25)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(26)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(27)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(28)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(29)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,02

−^0,01 0 0,01 0,02

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(30)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

Rozmezí výchylek odhadůparametruσ v závislosti naσ:

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

Přin=¹⁰⁰

(31)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(32)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(33)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(34)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(35)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(36)

Porovnání odhadů

• µ=−0,5, . . . , 0,5

• σ =0,4, . . . , 5

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3 4 5

−^0,2 0 0,2

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

(37)

Chí-kvadrát test

Pearsonův chí-kvadrát test dobré shody

• pro data rozdělená do ktříd

• rozdíly mezi pozorovanými (n_i) a očekávanými (o_i) četnostmi χ²=

∑

⁽ⁿⁱ⁻^oⁱ⁾

2

o_i Kritická hodnota

• asymptotickypři n→∞ kvantilχ²_k−1 rozdělení

• nezáleží na pořádí tříd V případě neznámých parametrů

• při výpočtuoi dosazenívhodnýchodhadů neznámých parametrů

• a snížení počtu stupňů volnosti

(38)

Použít i při malém rozsahu?

Přijatelnost asymptotiky

• všechnaoi>5 (nebo mírnější)

• v rovnoměrném případě stačí n>2k

• při malýchoi se třídy sdružují

• alternativně u malých čísel procházení konfigurací Algoritmus sdružování

• zde iteračně: od krajů třída s menší oi se sdruží se sousední, až má oi >5

• po splnění u krajní třídy se přechází postupně dovnitř

• potřebujeme ale počet tříd k=4.

(39)

Počty tříd

V případě normálního rozdělení

• rozdělení počtu neprázdných tříd (před sdružováním)

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6

0,8Přin=²⁰

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6

0,8Přin=¹⁰⁰

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.8 σ=^1.2 σ=² σ=³

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

Např. přiσ =0,6s 60–80 % pravděpodobností třídy méně než 4, přiσ =0,8 s 20–30 %

(40)

Počty tříd

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=²⁰

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.8 σ=^1.2 σ=² σ=³

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

(41)

Počty tříd

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=²⁰

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.8 σ=^1.2 σ=² σ=³

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

(42)

Počty tříd

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=²⁰

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.8 σ=^1.2 σ=² σ=³

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

(43)

Počty tříd

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=²⁰

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.8 σ=^1.2 σ=² σ=³

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

(44)

Počty tříd

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=²⁰

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.8 σ=^1.2 σ=² σ=³

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

(45)

Počty tříd

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=²⁰

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.8 σ=^1.2 σ=² σ=³

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

(46)

Počty tříd

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=²⁰

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

σ=^0.4 σ=^0.5 σ=^0.6 σ=^0.8 σ=^1.2 σ=² σ=³

5 10 15

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

σ

(47)

Počty tříd

• procento výskytu malého počtu tříd

• resp. nízkých očekávaných četností po sdružení

1 2 3

0 0,2 0,4 0,6 0,8

1 Přin=²⁰

1 2 3

0 0,2 0,4 0,6 0,8

1 Přin=¹⁰⁰

k<3 k<₄ o_i<₅

(48)

Počty tříd

1 2 3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

k<3 k<₄ o_i<₅

(49)

Počty tříd

1 2 3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

k<3 k<₄ o_i<₅

(50)

Počty tříd

1 2 3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

2000 simulací

Přin=²⁰

1 2 3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

2000 simulací

Přin=¹⁰⁰

k<3 k<₄ o_i<₅

(51)

Dosažená hladina významnosti

Pravděpodobnost zamítnutí při H₀

• nominální 5 %

• skutečná (v závislosti naσ):

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

σ Přin=²⁰

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

σ Přin=¹⁰⁰

ML modif diskr oprav regr

(52)

Dosažená hladina významnosti

• nominální 5 %

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=²⁰

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=¹⁰⁰

(53)

Dosažená hladina významnosti

• nominální 5 %

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=²⁰

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=¹⁰⁰

(54)

Dosažená hladina významnosti

• nominální 5 %

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=²⁰

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=¹⁰⁰

(55)

Dosažená hladina významnosti

• nominální 5 %

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=²⁰

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=¹⁰⁰

(56)

Dosažená hladina významnosti

• nominální 5 %

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=²⁰

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=¹⁰⁰

(57)

Dosažená hladina významnosti

Vliv zjednodušených odhadů

• při použití jen 1. resp. 2. iterace

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

σ Přin=²⁰

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

σ Přin=¹⁰⁰

modif 1.it.

2.it.

(58)

Dosažená hladina významnosti

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=²⁰

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=¹⁰⁰

modif 1.it.

2.it.

(59)

Dosažená hladina významnosti

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=²⁰

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=¹⁰⁰

modif 1.it.

2.it.

(60)

Dosažená hladina významnosti

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=²⁰

1 2 3 4 5

0 0,05 0,1

2000 simulací

σ Přin=¹⁰⁰

modif 1.it.

2.it.

(61)

Kolmogorovův-Smirnovův test

Kolmogorovův-Smirnovův test H₀:F=F₀prospojitá data

• rozdíl mezi empirickou (Fn) a teoretickou (F0) distribuční funkcí

• KS= sup

−∞<x<∞

F0(x)−Fn(x)

= max

15i5n

F0(X_(i))− Fn(X_(i)±)

| {z }

i/na(i−1)/n

0 1 2 3

Kritická hodnota

• pro konečnántabulky,√

nKSasymptoticky kvantil Brownova mostu

• stejná pro všechna rozdělení F

Podobně test Cramérův-von Misesův, Andersenův-Darlingův,. . . Z

(Fn−F0)²dF0,

Z (Fn−F0)² F0(1−F0)^d^F⁰

(62)

Kolmogorovův-Smirnovův test

Kolmogorovův-Smirnovův test H₀:F=F₀prospojitá data

• rozdíl mezi empirickou (Fn) a teoretickou (F0) distribuční funkcí

• KS= sup

−∞<x<∞

F0(x)−Fn(x)

= max

15i5n

F0(X_(i))− Fn(X_(i)±)

| {z }

i/na(i−1)/n

0 1 2 3

V případě neznámých parametrůměřítka či polohy

• do F dosazení odhadů invariantních ke změně měřítka a polohy

• pro každý typ rozdělení/odhadů jiné kritické hodnoty, ale nezávislé na parametrech F(Lillieforsův test)

(63)

Použít pro diskrétní data?

Místo nedostupnéFn použítF_n^dspočtenou z diskrétních dat KS^d=F_n^d−F0

0 1 2 3

(64)

Použít pro diskrétní data?

0 1 2 3

(65)

Použít pro diskrétní data?

0 1 2 3

(66)

Použít pro diskrétní data?

0 1 2 3

(67)

Použít pro diskrétní data?

0 1 2 3

(68)

Použít pro diskrétní data?

0 1 2 3

(69)

Použít pro diskrétní data?

0 1 2 3

(70)

Použít pro diskrétní data?

Místo nedostupnéFn použítF_n^dspočtenou z diskrétních dat KS^d=F_n^d−F0=F_n^d−Fn

| {z }

D

+Fn−F0

| {z }

S

≈ ±N(p√

n,p(1−p))

√n + √^BR n kde

D∼ ±¹

nBi(n,|F₀^d(x)−F₀(x)|

| {z }

p

)

Dle závislosti šířky intervalu na počtu pozorovánín ⁰ ¹ ² ³

• /c/√

n: rozhodne S

• ≈c/√

n: nějaké limitní rozděleníKS^d

• 'c/√

n(náš případ): rozhodneD Kritické hodnoty přiα=5 %

1 2 3 4 5

0,2 0,4 0,6

Přin=100

ML modif oprav

(71)

Další varianty

Další možnosti porovnání Fn a F₀:

0 1 2 3

Zprůměrování (KSH)

• místo „vzdálenýchÿ limit zleva/zprava se vezme jejich průměr

(72)

Další varianty

0 1 2 3

(73)

Další varianty

0 1 2 3

(74)

Další varianty

0 1 2 3