11.POKRÝVACÍVLASTNOSTI OBECNÁTOPOLOGIE

(1)

OBECN ´ A TOPOLOGIE

11. POKR ´ YVAC´I VLASTNOSTI

Miroslav Huˇsek, Pavel Pyrih

2009

11.Pokrývací vlastnosti

(2)

Nejdˇr´ıve zopakujeme z pˇredchoz´ıch kapitol pojmy týkaj´ıc´ı se pokryt´ı, obecnˇeji soustav podmnoˇzin topologického prostoru. Pˇridáme v posledn´ı poloˇzce jeden nový pojem.

DEFINICE(Pokrytí)

1 SoustavaApodmnoˇzin mnoˇzinyXse naz´yv´apokryt´ı, jestliˇzeSA=X.

Je-liXtopologický prostor a vˇsechny prvky z pokryt´ıSjsou otevˇrené (resp. uzavˇrené) mnoˇziny, nazývá seSotevˇrené pokryt´ı(resp.uzavˇrené pokryt´ı).

2 Soustava mnoˇzinSse nazývájemnˇejˇs´ıneˇz soustava mnoˇzinT, jestliˇzeSS=ST a kaˇzdá mnoˇzina zSje obsaˇzena v nˇejaké mnoˇzinˇe zT. PotomT jehrubˇs´ıneˇzS.

3 SoustavaSpodmnoˇzin topologického prostoruXse nazýválokálnˇe koneˇcná(resp.diskrétn´ı), jestliˇze kaˇzdý bod zXmá okol´ı, které prot´ıná jen koneˇcnˇe mnoho (resp. nejvýˇse jednu) mnoˇzin zS.

4 R´ık´ame, ˇze pokryt´ıˇ AmnoˇzinyXhvˇezdovitˇe zjemˇnujepokryt´ıB, jestliˇze pokryt´ıhvˇezdami {starA(x);x∈X}zjemˇnujeB.

5 Otevˇrené pokryt´ı topologického prostoruX se nazývánormáln´ı pokryt´ı, jestliˇze je prvn´ım ˇclenem nˇejaké posloupnosti{An}otevˇrených pokryt´ı, kdeAn+1hvˇezdovitˇe zjemˇnujeAnpro kaˇzdén.

6 SoustavaSpodmnoˇzin topologického prostoruXse nazývábodovˇe koneˇcná, jestliˇze kaˇzdý bod zXje obsaˇzen jen v koneˇcnˇe mnoho mnoˇzinách zS.

Je zˇrejmé, jak se definuj´ı pojmylokálnˇe spoˇcetná soustava, spoˇcetnˇe bodová soustava,....

⇒

⇒ ⇒

(3)

DEFINICE(Pokrytí)

1 SoustavaApodmnoˇzin mnoˇzinyXse naz´yv´apokryt´ı, jestliˇzeS A=X.

⇒ ⇒ ⇒

(4)

DEFINICE(Pokrytí)

⇒ ⇒ ⇒

(5)

DEFINICE(Pokrytí)

⇒ ⇒ ⇒

(6)

DEFINICE(Pokrytí)

⇒ ⇒ ⇒

(7)

DEFINICE(Pokrytí)

⇒ ⇒ ⇒

(8)

DEFINICE(Pokrytí)

⇒ ⇒ ⇒

(9)

DEFINICE(Pokrytí)

⇒ ⇒ ⇒

(10)

Lokálnˇe koneˇcné soustavy maj´ı hezké vlastnosti, obdobné vlastnostem koneˇcných soustav.

D˚ukaz n´asleduj´ıc´ıch vlastnost je jednoduch´y (dokaˇzte je).

TVRZENÍ (Vlastnosti lokálnˇe koneˇcných soustav)

Necht’Xje topologický prostor a{Ai}Ije lokálnˇe koneˇcná soustava podmnoˇzinX. 1 S

Ai =S Ai;

2 Jsou-li vˇsechny mnoˇzinyA_iuzavˇrené (obojetné, ˇr´ıdké), je iS

A_iuzavˇrená (obojetná, ˇr´ıdká) mnoˇzina.

3 {Ai}je lokálnˇe koneˇcný soubor vX. 4 Je-li{A_i}_Idiskrétn´ı, je i{A_i}diskrétn´ı.

⇒

⇒ ⇒

(11)

Ai =S Ai;

⇒

⇒ ⇒

(12)

Necht’Xje topologický prostor a{Ai}Ije lokálnˇe koneˇcná soustava podmnoˇzinX.

1 S

Ai =S Ai;

⇒

⇒ ⇒

(13)

Ai =S Ai;

⇒

⇒ ⇒

(14)

Ai =S Ai;

⇒

⇒ ⇒

(15)

Ai =S Ai;

⇒

⇒ ⇒

(16)

Ai =S Ai;

⇒

⇒ ⇒

(17)

Budeme potˇrebovat jeˇstˇe jist´a zobecnˇen´ı uveden´ych vlastnost´ı pokryt´ı.

DEFINICE(σ-vlastnosti pokrytí)

Je-li P vlastnost soustav podmnoˇzinX, ˇrekneme, ˇze soustavaAm´a vlastnostσ-P, jestliˇzeA=S

NAn, kde kaˇzdá soustavaAnmá vlastnost P. Je-liApokryt´ı, podsoustavyAnnemusej´ı být pokryt´ımi.

(18)

(19)

Ponejv´ıce budou uˇz´ıvány pojmyσ-disjunktn´ı,σ-diskrétn´ı,σ-lokálnˇe koneˇcná.

(20)

Ponejv´ıce budou uˇz´ıvány pojmyσ-disjunktn´ı,σ-diskrétn´ı,σ-lokálnˇe koneˇcná.

Pozdˇeji ukáˇzeme, ˇze napˇr. existence jistýchσ-lokálnˇe koneˇcných zjemnˇen´ı je ekvivalentn´ı existenci lokálnˇe koneˇcných zjemnˇen´ı. To bude vyuˇzito hlavnˇe v následuj´ıc´ı kapitole o met- rizaci topologických prostor˚u.

⇒ ⇒ ⇒

(21)

Dalˇs´ı potˇrebnou vlastnost´ı bude vztah mezi pokryt´ımi a soustavami funkc´ı.

DEFINICE(Rozklad jednotky)

Soustava spojitých nezáporných funkc´ı{f_i}na prostoruXse nazývározklad jednotky, jestliˇzeP f_i(x) =1 pro kaˇzdéz∈X.

R´ık´ame, ˇze rozklad jednotky jeˇ podˇr´ızen pokryt´ı{U_i}, jestliˇze pro kaˇzd´eisefianuluje naX\Ui.

Pozdˇeji uvid´ıme, ˇze existence podˇr´ızených rozklad˚u jednotky je ekvivalentn´ı existenci lokálnˇe koneˇcných nebo hvˇezdovitých zjemnˇen´ı.

⇒ ⇒ ⇒

(22)

⇒ ⇒ ⇒

(23)

⇒ ⇒ ⇒

(24)

Zopakujme t´eˇz nˇekter´e pojmy a tvrzen´ı souvisej´ıc´ı s pokryt´ımi.

Prostory pomocí pokrytí

1 Rekneme, ˇze topologický prostor jeˇ kompaktn´ı, jestliˇze kaˇzdé jeho otevˇrené pokryt´ı obsahuje koneˇcné pokryt´ı.

2 Rekneme, ˇze topologický prostor jeˇ Lindelöf˚uv, jestliˇze kaˇzdé jeho otevˇrené pokryt´ı obsahuje nejvýˇse spoˇcetné pokryt´ı.

3 Topologický prostor senazýváspoˇcetnˇe kompaktn´ı, jestliˇze z kaˇzdého jeho spoˇcetného otevˇreného pokryt´ı lze vybrat koneˇcné podpokryt´ı.

4 Topologický prostor senazývápseudokompaktn´ı, jestliˇze kaˇzdé jeho lokálnˇe koneˇcné otevˇrené pokryt´ı je koneˇcné (ekvivalentnˇe, má koneˇcné podpokryt´ı).

TVRZEN´I (Vlastnosti pokryt´ı nˇekter´ych prostor ˚u)

1 Uplnˇe regulárn´ı prostor´ Xje normáln´ı právˇe kdyˇz kaˇzdé jeho koneˇcné otevˇrené pokryt´ı je normáln´ı (viz kapitola 6).

2 Kaˇzdé otevˇrené pokryt´ı pseudometrizovatelného prostoru je normáln´ı.

Důkaz

⇒

⇒ ⇒

(25)

Důkaz

⇒

⇒ ⇒

(26)

Důkaz

⇒

⇒ ⇒

(27)

Důkaz

⇒

⇒ ⇒

(28)

Důkaz

⇒

⇒ ⇒

(29)

Uvˇedomte si, ˇze ve vˇsech pˇredchoz´ıch definic´ıch lze poˇzadovat m´ısto existence koneˇcných nebo spoˇcetných podpokryt´ı existenci koneˇcného nebo spoˇcetného zjemnˇen´ı (které je pokryt´ım) – toto jemnˇejˇs´ı pokryt´ı je moˇzné poˇzadovat otevˇrené nebo uzavˇrené nebo pokryt´ı libovolnými mnoˇzinami.

Důkaz

⇒

⇒ ⇒

(30)

Známe jeˇstˇe dvˇe d˚uleˇzitá tvrzen´ı o pouˇzit´ı pokryt´ı, která byla uvedena v kapitole 6 bez d˚ukazu. Proto d˚ukaz nyn´ı uvedeme.

Důkaz

⇒

⇒ ⇒

(31)

Důkaz

⇒

⇒ ⇒

(32)

Důkaz

⇒

⇒ ⇒

(33)

Vidˇeli jsme, ˇze sloˇzitá otevˇrená pokryt´ı mohou m´ıt jednoduˇsˇs´ı zjemnˇen´ı s vhodnými vlast- nostmi. V kapitole 5 o zobecnˇených kompaktn´ıch prostorech bylo naznaˇceno, ˇze jako jsou Lindelöfovy prostory jakýmsi protipólem spoˇcetnˇe kompaktn´ıch prostor˚u, jsou protipólem pseudokompaktn´ıch prostor˚u ty prostory, v nichˇz má kaˇzdé otevˇrené pokryt´ı lokálnˇe koneˇcné otevˇrené pokryt´ı. Souˇcasnˇe byl naznaˇcen název pro takové prostory: parakompaktn´ı prostory.

V 6.kapitole vˇsak byly parakompaktn´ımi prostory nazývány ty prostory, jejichˇz jemná uniformita má za bázi vˇsechna otevˇrená pokryt´ı, neboli ty prostory, kde má kaˇzdé otevˇrené pokryt´ı hvˇezdovité otevˇrené zjemnˇen´ı. Vyjasn´ıme tyto dva pˇr´ıstupy.

DEFINICE(Parakompaktní prostor)

Rekneme, ˇze symetrický topologický prostor jeˇ parakompaktn´ı, jestliˇze kaˇzdé jeho otevˇrené pokryt´ı má otevˇrené hvˇezdovité zjemnˇen´ı.

TVRZEN´I (Topologie norm´aln´ıch pokryt´ı)

1 Regul´arn´ı kompaktn´ı prostor je parakompaktn´ı.

2 Pseudometrizovateln´y prostor je parakompaktn´ı.

3 Parakompaktn´ı prostor je norm´aln´ı.

⇒ ⇒ ⇒

(34)

Budeme cht´ıt, aby definice parakompaktnosti pomoc´ı hvˇezdovitých nebo lokálnˇe koneˇcných zjemnˇen´ı byly ekvivalentn´ı a nav´ıc, aby se parakompaktn´ı prostory zaˇradily do hierarchie axióm˚u oddˇelován´ı.

⇒

⇒ ⇒

(35)

Koneˇcný topologický prostor má tu vlastnost, ˇze kaˇzdé jeho otevˇrené pokryt´ı má lokálnˇe koneˇcné otevˇrené zjemnˇen´ı. Ale ne v kaˇzdém koneˇcném prostoru má otevˇrené pokryt´ı hvˇezdovité otevˇrené zjemnˇen´ı. Odstranit tento nesoulad pom˚uˇze pˇredpoklad symetrických prostor˚u, tj. prostor˚u maj´ıc´ıch vlastnostx ∈ y ⇔ y ∈ xpro libovolné dva jejich body (neboli, otevˇrené mnoˇziny obsahuj´ı se svými body i jejich uzávˇery).

Uvˇedomte si (viz Cviˇcen´ı), ˇze tvoˇr´ı-li vˇsechna otevˇrená pokryt´ı symetrického prostoru bázi uniformity, pak tato uniformita vytváˇr´ı danou topologii (a ta je tedy úplnˇe regulárn´ı).

⇒ ⇒ ⇒

(36)

⇒ ⇒ ⇒

(37)

Z pˇredchoz´ı strany ihned plyne, ˇze kaˇzdý parakompaktn´ı prostor je úplnˇe regulárn´ı. Ztvrzen´ı o normáln´ım prostoruplyne dokonce normalita parakompaktn´ıch prostor˚u.

⇒ ⇒ ⇒

(38)

TVRZENÍ (Topologie normáln´ıch pokryt´ı) 1 Regulárn´ı kompaktn´ı prostor je parakompaktn´ı.

⇒ ⇒ ⇒

(39)

Uvedeme nyn´ı slibovanou ekvivalenci obou pˇr´ıstup˚u k parakompaktn´ım prostor˚um.

Prostˇredkem n´am bude rozklad jednotky.

TVRZENÍ (Parakompaktnost pomoc´ı lokálnˇe koneˇcných pokryt´ı) Následuj´ıc´ı podm´ınky pro regulárn´ı topologický prostorXjsou ekvivalentn´ı.

1 Xje parakompaktn´ı.

2 Kaˇzdé otevˇrené pokryt´ı prostoruXmá podˇr´ızený rozklad jednotky.

3 Kaˇzdé otevˇrené pokryt´ı prostoruXmá otevˇrené lokálnˇe koneˇcné zjemnˇen´ı.

Důkaz

Z poslednˇe uveden´e charakterizace parakompaktnosti a z naˇs´ı definice pseudokompaktnosti ihned plyne tvrzen´ıparakompaktn´ı pseudokompaktn´ı prostor je kompaktn´ı.

Této vlastnosti lze vyuˇz´ıt pˇri ovˇeˇrován´ı, ˇze daný prostor nen´ı parakompaktn´ı.

⇒ ⇒ ⇒

(40)

Důkaz

⇒ ⇒ ⇒

(41)

Důkaz

⇒ ⇒ ⇒

(42)

Důkaz

⇒ ⇒ ⇒

(43)

Důkaz

⇒ ⇒ ⇒

(44)

Důkaz

⇒ ⇒ ⇒

(45)

V literatuˇre se ˇcasto pouˇz´ıvá existence otevˇrených lokálnˇe koneˇcných pokryt´ı pro definici parakompaktnosti. Má to výhodu v pˇr´ıpadech, kdy nen´ı známa teorie uniformn´ıch prostor˚u.

V naˇsem pˇr´ıpadˇe je vˇsak pˇr´ıstup pˇres norm´aln´ı pokryt´ı jednoduˇsˇs´ı.

Je vˇsak nutné uvést, ˇze lokálnˇe koneˇcná zjemnˇen´ı umoˇzˇnuj´ı mnoho uˇziteˇcných modifikac´ı, které nejsou moˇzné pro normáln´ı pokryt´ı. Uvedeme tˇri takové modifikace.

TVRZENÍ (Modifikace lokálnˇe koneˇcných zjemnˇen´ı)

Necht’Xje regulárn´ı topologický prostor. Pak následuj´ıc´ı vlastnosti jsou ekvivalentn´ı.

1 Kaˇzdé otevˇrené pokryt´ı vXmá otevˇrené lokálnˇe koneˇcné zjemnˇen´ı.

2 Kaˇzdé otevˇrené pokryt´ı vXmá otevˇrenéσ-lokálnˇe koneˇcné zjemnˇen´ı.

3 Kaˇzdé otevˇrené pokryt´ı vXmá lokálnˇe koneˇcné zjemnˇen´ı.

4 Kaˇzdé otevˇrené pokryt´ı vXmá uzavˇrené lokálnˇe koneˇcné zjemnˇen´ı.

Důkaz

(46)

Důkaz

(47)

Důkaz

(48)

Důkaz

(49)

Důkaz

(50)

Důkaz

(51)

Důkaz

Kcharakterizac´ım parakompaktnostilze nyn´ı pˇridat charakterizace ztvrzen´ıv pˇredchoz´ı ˇc´asti.

Z nich napˇr. plyne, ˇzeregul´arn´ı Lindel¨of˚uv prostor je parakompaktn´ı.

⇒ ⇒ ⇒

(52)

Pod´ıváme se na zachováván´ı parakompaktnosti konstrukcemi. Situace je obdobná jako u za- chováván´ı normality.

Prvn´ı tvrzen´ı je trivi´aln´ı a dalˇs´ı dvˇe najdete ve Cviˇcen´ıch.

TVRZEN´I (Konstrukce a parakompaktn´ı prostory)

1 Tˇr´ıda parakompaktn´ıch prostor˚u je uzavˇrenˇe dˇediˇcn´a a uzavˇren´a na souˇcty.

2 Souˇcin dvou parakompaktn´ıch prostor˚u nemus´ı b´yt parakompaktn´ı.

3 Kvocient parakompaktn´ıch prostor˚u nemus´ı b´yt parakompaktn´ı.

⇒ ⇒ ⇒

(53)

⇒ ⇒ ⇒

(54)

⇒ ⇒ ⇒

(55)

⇒ ⇒ ⇒

(56)

Pomoc´ı soustav pokryt´ı lze vhodnˇe definovat i zcela jiné pojmy. Dále uvedený postup pˇripom´ıná cauchyovské filtry a úplnost v uniformn´ıch prostorech. P˚uvodnˇe ˇCech definoval

úplnost jiným zp˚usobem (viz dále).

DEFINICE(Čechovsky úplné prostory)

Uplnˇe regulárn´ı prostor´ Xse nazýváˇcechovsky úplný(neboúplný ve smyslu ˇCecha), jestliˇze existuje posloupnost{Gn}otevˇrených pokryt´ı naXtaková, ˇze kaˇzdá subbáze filtru uzavˇrených mnoˇzin, obsahuj´ıc´ı pro kaˇzdénmnoˇzinu obsaˇzenou v nˇejakém prvku zGn, má neprázdný pr˚unik.

TVRZENÍ ( ˇCechovská úplnost pomoc´ı kompaktifikac´ı)

Uplnˇe regulárn´ı prostor´ Xje ˇcechovsky úplný právˇe kdyˇz jeG_δvβX(ekvivalentnˇe, v nˇejaké jiné nebo v kaˇzdé kompaktifikaci).

Důkaz

D ˚USLEDEK

Uplnˇe regulárn´ı prostor´ Xje ˇcechovsky úplný právˇe kdyˇz je homeomorfn´ıGδpodmnoˇzinˇe kompaktn´ıho regulárn´ıho prostoru.

⇒ ⇒ ⇒

(57)

Důkaz

D ˚USLEDEK

Uplnˇe regulárn´ı prostor´ Xje ˇcechovsky úplný právˇe kdyˇz je homeomorfn´ıG_δpodmnoˇzinˇe kompaktn´ıho regulárn´ıho prostoru.

⇒ ⇒ ⇒

(58)

Uvedeme nyn´ı p˚uvodn´ı ˇCechovu definici:

Uplnˇe regulárn´ı prostor´ Xje ˇcechovsky úplný právˇe kdyˇz jeGδvβX(ekvivalentnˇe, v nˇejaké jiné nebo v kaˇzdé kompaktifikaci).

Důkaz

D ˚USLEDEK

⇒ ⇒ ⇒

(59)

Důkaz

D ˚USLEDEK

⇒ ⇒ ⇒

(60)

Důkaz

D ˚USLEDEK

⇒ ⇒ ⇒

(61)

Uvedeme nyn´ı nˇekolik základn´ıch vlastnost´ı velmi podobných vlastnostem úplnˇe metrizovatelných prostor˚u. Pˇripomeˇnme, ˇze topologický prostor se nazývá úplnˇe (pseudo)metrizovatelný, je-li jeho topologie vytvoˇrena úplnou (pseudo)metrikou.

TVRZEN´I

1 Pr˚unik spoˇcetnˇe mnoha hustých otevˇrených podmnoˇzin ˇcechovsky úplného prostoru je hustý.

2 Tˇr´ıda ˇcechovsky úplných prostor˚u je spoˇcetnˇe souˇcinová a uzavˇrená na uzavˇrené podmnoˇziny, na Gδ-podmnoˇziny a na disjunktn´ı souˇcty.

3 Pseudometrický prostor je ˇcechovsky úplný právˇe kdyˇz je úplnˇe pseudometrizovatelný.

Důkaz

D ˚USLEDEK

(Pseudo)metrický prostor je úplnˇe (pseudo)metrizovatelný právˇe kdyˇz jeGδv kaˇzdém (pseudo)metrickém prostoru do nˇehoˇz je isometricky vnoˇren (staˇc´ı vz´ıt vnoˇren´ı do úplného obalu).

Důkaz

⇒ ⇒ ⇒

(62)

TVRZEN´I

Důkaz

D ˚USLEDEK

Důkaz

⇒ ⇒ ⇒

(63)

TVRZEN´I

Důkaz

D ˚USLEDEK

Důkaz