Skalární součin – řešené příklady

Skalární součin – řešené příklady

Doplňkový učební text ke cvičením pro výuku předmětu Lineární algebra a aplikace, letní semestr školního roku 2010/11

Autor: Martin Žáček, katedra fyziky, Fakulta Elektrotechnická, ČVUT

Literatura: Teorie: ftp://math.feld.cvut.cz/pub/kalous/laa/prednasky/unitprost.pdf Příklady: ftp://math.feld.cvut.cz/pub/kalous/laa/cviceni/cvic15.pdf

1. Ověřte zda následující vztahy definují skalární součin na lineárním prostoru ³ (a) (x1, x2, x3)·(y1, y2, y3) = x1y1 + x2y3 + 2x3y2

(b) (x1, x2, x3)·(y1, y2, y3) = x1y1 + x2y2 + 4x3y3 + x2y3 + x3y2 (c) (x1, x2, x3)·(y1, y2, y3) = x1y1 + x2y2 + 4x3y3 − x2y3 − x3y2 (d) (x1, x2, x3)·(y1, y2, y3) = x1y1 + x2y2 + x3y3 + x2y3 + x3y2

(a) neplatí komutativita; (b) ano; (c) ano; (d) ano;

nutno ověřit platnost všech axiomů platných pro skalární součin, pokud zjistíme neplatnost jediného, zbylé již není třeba ověřovat. Komutativita bude zachována, pokud výraz bude symetrický vzhledem k záměně x↔y, tedy je-li například ve skalárním součinu člen x2y3, musí být také obsažen podobný člen x3y2 se stejným číselným koeficientem. Distributivní zákon a axiom násobení konstantou si vynutí, že v každém členu skalárního součinu musí být vždy právě jeden koeficient z prvního a právě jeden z druhého vektoru. Poslední axiom, podle kterého je skalární součin vektoru sama se sebou větší nebo roven nule, se ověřuje vyšetřením smíšených členů (členů s nestejnými indexy, pouze ty mohou nabývat záporných hodnot) a jejich porovnáním s členy se stejnými indexy, které v tomto případě vyjdou s druhou mocninou a budou proto vždy kladné.

Např. (b) (x1, x2, x3)·(x1, x2, x3) = x12 + x22 + 4x32 + 2x2x3 = x12 + (x2 + 2x3)² − 2x2x3, záporných hodnot může nabývat pouze poslední člen a to pouze tehdy, budou-li členy x2, x3 nabývat nenulových hodnot a stejných znamének. Prozkoumejme tento případ: druhý výraz (x2 + 2x3)² obsahuje kromě výrazů s druhými mocninami také smíšený člen 4x2x3, který je v tomto případě kladný a v absolutní hodnotě vždy větší než poslední člen −2x2x3 se záporným znaménkem, výsledek proto bude vždy kladný. Podobně se vyšetří ostatní případy.

2. V lineárním prostoru polynomů nejvýše 2. stupně je definován skalární součin předpisem (a1x² + b1x + c1)·(a2x² + b2x + c2) = a1a2 + b1b2 + 2c1c2 + b1c2 + c1b2.

(a) Najděte ortonormální bázi tohoto lineárního prostoru, která obsahuje polynom x − 1.

(b) Spočtěte úhel polynomů x² + 2x − 1 a 2x² + x + 1.

(c) Spočtěte parametr a tak, aby polynomy x² + x + 1 a x² + ax − a byly na sebe kolmé.

(d) Najděte ortonormální bázi podprostoru W = x²+1, 1, x+ 2x²− +x 1 .

(e) Najděte vektor z W = x²+ −1, x²+x který je kolmý k vektoru 2x² + 2x − 1 a má velikost 1.

(f) Najděte bázi ortogonálního doplňku k podprostoru W = x²+1, 1x+ .

(a) Zvolíme (jakoukoliv ale jednoduchou s ohledem na snadnost výpočtů) bázi:

{

^{x+1, 1, x2}

}

^,

ortogonální bázi najdeme ortogonalizačním postupem Schmidta a Grama (všimněte si, že

tečkou značíme skalární součin, který je nutno provést podle předpisu v zadání):

1 1

u = = +b x ,

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

1 1 2 1

1 1 1

1 1 b u x

v b u x x x

u x

⋅ ⋅ − −

= − = − − = − − =

− + 1

,

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

3 3

3 2 2 2 2

1 0 0

1 1

1 1

1

x x

b u b v x x

w b u v x x x x x x x

u v x x

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

= − − = − − − = − − − =

−

2, vektory ještě vydělíme jejich velikostmi, aby výsledná báze byla ortonormální:

{ }

2

2 2

, , 1 , , 1, ,

1

u v w x x x

x x x

u v w x x x

⎧ ⎫

⎧ ⎫ −

⎪ ⎪ ⎪= ⎪= −

⎨ ⎬ ⎨ − ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎪⎩ ⎪⎭

.

(b)

(

²

) (

²

)

2 2

2 1 2 1 2 2 2 2 1 1

cos 2 1 2 1 3 9 3

x x x x

a b

x x x x

α = a b^⋅ = ^{+ − ⋅ + +} = ⁺ =

+ − + +

− + − x + + ⋅x x +ax a− = + −a a a a− + = − =a 1

.

(c)

(

^{2 1}

) (

²

)

^{1 2 1 0}, a^{= .}

(d) Nejprve najdeme bázi W (pomocí GEM v řádkovém podprostoru, W je zadána jako lineární obal generátorů ale nevíme, zda jde o bázi):

,

1 0 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1 0 1 1

0 1 1 2 1 1 0 1 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎜ − ⎟ ⎜ − − ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∼ ∼ W = x²+1, 1x+ ,

dále použijeme Schmidtův-Gramův proces, podobně jako v (a):

2

1 1

u = =b x + ,

( ) (

²

)( )

²

(

²

)

2

2 2 2 2

1 1 3

1 1 1 1

1 3

x x

v b b u u x x x x x x

u x

+ ⋅ +

= − ⋅ = + − + = + − + = − +

+

2

a jelikož v zadání byla požadována ortogonální báze, vydělíme velikostmi vektorů,

2 2 2 2

2 2

1 1

, , ,

1 3 2

u v x x x x x x

u v x x x

⎧ ⎫

⎧ ⎫ + − + ⎧ + − + ⎫

⎪ ⎪ ⎪= ⎪=

⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨

+ − +

⎪ ⎪ ⎩ ⎭

⎩ ⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎬.

(e) Hledaný vektor napíšeme jako obecnou lineární kombinaci vektorů báze z podprostoru W a vyjádříme podmínku na kolmost k zadanému vektoru:

(

^{x2 1}

) (

^{x2 x}

) (

^{2x2 2x 1}

) (

^x2

^{( )}

^x

) (

^{2x2 2x}

)

α β α β β α

⎡ + + − + ⎤⋅ + − = − + + ⋅ + − =

⎣ ⎦ 1

α β β α β α α β

=²

(

−

)

+² −² − +² =² − =⁰, za β tedy dosadíme 2α a vydělíme velikostí: ^α

(

^{x2+ +1}

)

^2α

(

^{− +x2 x}

) (

^{=α − +x2 2x+1}

)

^,

( )

(

²₂ ^{2 1}

) (

^{2 2 1}

)

¹

(

^{2 2 1}

)

11 11

2 1

x x x x

x x

x x

α α

α α

− + + − + +

= = − + +

− + + .

(f)

(

^{ax2+bx c+ ⋅}

) (

^{x2+ =1}

)

⁰;

(

^{ax2+bx c+ ⋅ + =}

) (

^{x 1}

)

⁰

0

, po provedení skalárních součinů

; , po zjednodušení

2 0

a+ c b+ = b+2c b c+ + = a b+ +2c=0; , to je homogenní soustava lineárních rovnic, koeficienty b a c báze řešení určíme z druhé rovnice například jako ; a z první rovnice dopočteme

2b+3c=0 3

b= c= −2 a=1, výsledná báze je

{

^x2+3x−2

}

^.