L E T T R E S D ' H E N R I P O I N C A R I A M . M I T T A G - L E F F L E R # . . . . . C a e n , i J u i n i 8 8 i . J e v o u s r e m e r c i e b i e n d e v o t r e l e t t r e e t , l o i n d e v o u s e n v o u l o i r , j e s u i s e n c h a n t 6

LETTRES D'HENRI POINCARI A M. MITTAG-LEFFLER#

. . . Caen, i J u i n i 8 8 i .

J e v o u s r e m e r c i e b i e n de v o t r e l e t t r e et, loin de v o u s en v o u l o i r , j e suis e n c h a n t 6 d u m o y e n q u e v o u s m e fournissez de r e c t i f i e r u n e e r r e u r h i s t o r i q u e . N ' a y a n t p a s lu le m 4 m o i r e Z u r F u n k t i o n e n l e h r e , ~ j ' a t t r i b u a i s g M. HERMITE la p r e m i S r e id6e de ce n o u v e a u g e n r e de f o n c t i o n s . L a m a n i ~ r e de d6finir u n e f o n e t i o n , p a g e 3, je ne la e r o y a i s p a s nouvelle, c a r je la qualifie de ((Procddd bien connu)>. J e la consid4rais c o m m e 4 t a n t pass4e d a n s le d o m a i n e p u b l i c de- p u i s CAUCHY; q u a n t ~ la s6rie:

A + ~ b~x a"

je ne la r e g a r d a i s p a s n o n p l u s c o m m e n o u v e l l e , m a i s si on m ' a v a i t d e m a n d 6 de qui elle 4tait, je crois q u e j ' a u r a i s d i t : d e LEJEUNE-DrRICt/LET OU de I ) U Bo~s- REY~OZqD. V o u s v o y e z p a r lg e o m b i e n m e s c o n n a i s s a n c e s h i s t o r l q u e s 6 t a l e n t i m p a r f a i t e s e t c o m b i e n v o u s m ' a v e z ~t6 utile. J e n e r e g r e t t e q u ' u n e chose, e ' e s t q u e v o u s a y e z fair c o m m e n c e r l ' i m p r e s s i o n a v a n t de m ' 4 e r i r e , c a r cela r e n d r a les c o r r e c t i o n s plus difficiles.

E n ce q u i c o n c e r n e la s6rie:

s = x ~ ( I ) + x~ef(2) + . . . + x " 9 ( n ) + . . . 3

je ne puis dire q u e je m ' e n suis oecup6 ]e p r e m i e r , p u i s q u ' e l l e r e s s e m b l e s tel p o i n t a u x s6ries e n v i s a g 4 e s p a r JACOBI d a n s la t h 6 o r i e des f o n e t i o n s e l l i p t i q u e s ; Les trois lettres de i juin i88i, de 29 juin ,88i et de 26 juillet 188i se rapportent au page 94 du m~moire de CH. HERMITF, r quelques points de la th6orie des fonctionm~ (Extrait d'une lettre de M. Cm HERMITE ~ M. MIT'rA.G-LEFFLER), Acta Societatis Scientiaram Fennic~e, Tome XII, 1883 (imprim4 1881), Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, Bd. 9I, p.

77--78, ainsi qu'au mdmoire de H. Poil~cAa~ ~Sur les fonctions i~ espaces lacunaires*, Acta So- cietatis Scientiaram Fennicm, Tome XII, I883. (imprim6 1881)

Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, I88O, p. 719--743; Mathe- matische Werke yon KXRL W~.maSTRASS, Bd. 2, p. 2oI--~-23.

s ,~ (n) repr6seate la somme des puissances (~--i)i~me, des diviseurs de n.

mais je ne puis non plus dire qu'on s'en est occup6 a v a n t moi; car les deux s6ries sont presque les mfimes sans ~tre tout d /ait les m~mes.

Voici au surplus comment j ' y ai 6t6 conduit: Soit:

S = ~.,,,.n(am + bn)-Z;

m e t n p r e n n e n t sous le signe ~ tous les syst~mes de valeurs enti~res, positives et n6gatives, saul:

~. est un entier plus grand que 2.

Posons

on trouve:

' m = n ~ o

2.-,bg~

9 . ~ e a

azS ~ A + B s

A et B ~tant des constantes d o n t je ne me rappelle plus la valeur. 1 De la forme de la s6rie S se d~duit imm6diatement la propri~t6 indiqu~e de la s6ri.e s.

Voiei m a i n t e n a n t comment je con~ois le rapport entre la sbrie s e t les s6ries de JACOBI. La fonction modulaire est une ]onction/uchsienne; parmi les fonctions fuehsiennes il y en a une a u t r e que j'appelle /onction arithmdtique qui s'exprime rationnellement par la fonetion modulaire. Toute fonction rationnelle de la fonc- tion modulaire s'exprime par le quotient de deux fonctions analogues aux fonc- tions O et que j'appelle thdta]uchsiennes modulaires; de m~me toute fonction ra- tionnelle de la f. arithm6tique s'exprime par le quotient de deux fonctions thdta- /uchsiennes arithmdtiques. Eh bien les s6ries de J.,cont sont des fonctions th~ta- fuchsiennes modulaires, les s~ries s sont des fonctions th~tafuchsiennes arithm(~ti- ques. Vous me demandez un exemple de fonctions fuchsiennes pr6sentant un espace ]acunaire; presque toutes celles que j'ai ~tudi~es jusqu'ici pr~sentent un tel espace. Je vous citerai seulement comme exemple la fonction modulaire qui vous est bien connue; ou bien encore la fonction d6finie de la mani~re suivante:

Envisageons l'~quation hyperg~om6trique de GAUSS et je suppose que la difference des racines des 6quations ddterminantes soient des parties aliquotes

d e I .

Si on envisage la variable comme fonetion du rapport des int6grhles, ee sera une fonetion fuchsienne prSsentant un espace lacunaire.

Si 2 e s t u n h o m b r e p a i r o n t r o u v e

). ).

A = (-- ~)~- +IB~, ,~ ~2 f2~)~. ,

~ . [ 2 Z ) ' , B = 2 ( - , ( ~ - - I ) !

oh les B ) . r e p r d s e n t e n t les n o m b r e s de B e r n o u l l i . Si 2 e s t u n n o m b r e i m p a i r la s o m m e de la s6rie S e s t dgale it z6ro et la r e l a t i o n i n d i q u 6 e e n t r e S e t s n e s u b s i s t e p a s e n ce cas,

Lettres d'Henri Poincar~ ~ M~ Mittag-Leffler. 149 J e ne sais quand je pubiierai en d6tail mes recherches sur ces sortes de fonctions fuchsiennes; mais je puis vous donner quelques d6tails sommaires.

J e cherche routes les fonetions uniformes de z qui satisfont ~ des relations telles que celles-ei:

( a , z + b,t (a2z + b21 [ a , z + bnl.

les a, b, c, d sont r~els; je ]es suppose donn6s. Seulement ils ne p e u v e n t ~tre choisis d'une fa~on quelconque et le p r o b l ~ m e le plus difficile est de d6terminer comment on dolt les choisir pour qu'il existe de telles fonctions. J e le r6sous s l'aide de consid6rations emprunt6es s la g~om~trie non-euclidienne.

J'ai surtout ~ faire ressortir les analogies avec les fonctions elliptiques, j'ai trouv6 des foneti0ns rappelant s certains points de r u e les fonctions O e t Z; j'ai montr6 comment on pouvait les appliquer ~ l'int6gration des 6quations lin6aires, au calcul des int6grales ab61iennes et g diverses questions d'arithm6tique.

J'ai lieu de penser que toutes les 6quations lin6aires g coefficients rationne]s s'int6grent par ma m6tbode; mais je ne l'ai pas encore d6montr6 rigoureusement.

Vous me demandez aussi quelques d6tails sur cette fonction qui int~gre l'6quation (8); e'est bien simple; d'apr~s la forme de cette 6quation, il y a une s6rie ocdonn6e suivant les puissances des u qui satisfait h l'6quation et il n'y en a qu'une; c'est cette s6rie, consid6r6e comme fonction du param~tre x, qui est la fonction g espace lacunaire ~ 6tudier. Quant k un exemple, voici le plus simple que je puisse donner; e'est l'6quation:

d z d z d z d z

u, ~ , +

( ~ - . ~ ) u ~ ( i - u , ) ~ + (x,--.~)U~d--~ + . . + (z--.,,)'a,,~i-~=z

dont l'unique int6grale holomorphe est s un facteur num6rique pros:

q~ft

m~m! (X - - a~ )mt Ul mt U2 m2 9 9 9 "an

Ira, - ~ + ( ~ - . ~ )

~ + ( ~ - .~) m~ +... + ( ~ -

~u:l

Vous verrez d'ailleurs dans le texte la rectification que j'ai faite.

. . . Caen, le 29 juin 1881.

II y a en effet une erreur dans l'exemple que je vous ai envoy6. La seule int6grale holomorphe de l'6quation serait 6videmment:

z --- u~ X constante.

J e vais p r e n d r e u n e x e m p l e d i f f e r e n t et faire t o u t le calcul p o u r 4 v i t e r t o u t e e r r e u r n o u v e l l e . Soit:

d z

u~ (x - - u~ - - u s - - u~ u ~ ) ~ i

S'il y a u n e i n t 4 g r a l e h o l o m o r p h e , on

d z d z

+ Z~us~-~, + Z.~u~d-uu ~ = z .

o b t i e n d r a le c o e f f i c i e n t de u~"' u ~ u~"' e n d i f f 6 r e n t i a n t m, fois p a r r a p p o r t ~ u , , m2 lois p a r r a p p o r t ~ u2, puis m s fois p a r r a p p o r t b. u~ e t f a i s a n t :

J e p o s e p o u r a b r S g e r :

d z d z d z

du-~, = p~" d ~ = p : ' du~ - - p~;

d ml V D , U = d u ~ " "

d"~ U u = d"* U " D 3 U = d u_m~ ; D s d us '~ '

J e diff4rentie d ' a b o r d mz lois p a r r a p p o r t s u2; il v i e n t : u~ (I - - u , - - Us - - u.~ u3) D2p~ + L~u2D2ps + )~3u, D~p~ - -

~m2--1 q~

U ~ r t

- - m ~ u , ( I + 3, d u ~ , _ l

J e fais u 2 ~ o e t je d i f f & e n t i e ml fois p a r r a p p o r t s u~; il v i e n t : u~ (, - - u,) D~ Ds pj + [m~ ( I - - u,) - - m~ u~ ] D~ Dz z + ~ u3 D~ D~. p~ - -

d m ' - I Pl - - m2 u, ( I - t - u 3 ) D , ~ - 2 z..Zi~

d m~-I Z

+ m~;csD, D 2 z - - m , ( m ~ I ) D ~ d u ~ , _ 1 D ~ D 2 z .

J e fais u L ~ o

d ra2-1 z m ~ D ~ D 2 z + Z ~ u ~ D ~ D ~ p ~ - - m , m ; ( ~ + u~) D , ~ u , ~ = i +

D - - D ~ D 2 D : , z .

- - + m~).2D,2z ~ D 2 z .

dm2-1z

d m~-I z + m . ~ s D ~ D 2 z = D , D s z + m: (m~ - - x ) D.~ du,~,_ ~ 9 J e diff4rentie m s lois p a r r a p p o r t ~ u3; il v i e n t :

Lettres d'Henri Poincar6 A M. Mittag-Leffler.

d m2-1 z

(m~ + ~ . ~ m ~ - - I ) D z + ),~u~Dpa-- m t m ~ (I + u3) D t D 3 d u ~ _ ~ +

J ' a p p e l l e :

151

dm2+ma-2z

+ m3),~ Dz - - mt m~ m, D~ du,~,~_i d u ~ _ l = m~ (m~ - - i) D2 Da dd~'-iZu~ ,-~ "

( m l , m = , m3) le c o e f f i c i e n t de '/t 1 U ~ m, m~. ~3. /t s ,

m t ! m 2 I m a !

l ' 6 q u a t i o n p r 6 e 6 d e n t e m e d o n n e :

(m,, m2, m3) (m~ + m2 g2 + ms g3 - - I) = m I m 2 (m~, m2 - - I , m:,) +

+ ml m2 m3 (ml, m2 - - i , m 3 - - I ) + ml (ml - - I ) ( m r - - i , m2, m ~ ) . C e t t e 6 q u a t i o n m o n t r e c o m m e n t o n p o u r r a c a l c u l e r les c o e f f i c i e n t s de p r o c h e en p r o e h e .

Soit d ' a b o r d m t = i; m2 = m~ = o; l ' 6 q u a t i o n e s t i n d 6 t e r m i n 6 e ; on p e u t p r e n d r e u n co~fficien~ q u e l c o n q u e , p r e n o n s i ; s o i t m a i n t e n a n t m ~ = I , m2 = i , m 3 = 0 l ' 6 q u a t i o n d e v i e n t :

(I, I, o) (I + ~ - - I) = I,

S O i l ; m t = I , m 2 = i , m 3 = i , o n a :

I 9

(r. I. ~) (~.. + ~,.) = (r. o. I) + (I. o. o). (z. o. I) g , = o . ( i . i . i ) = ~ + g , (I. 2. ~)(2~.= + ~ ) = 2 ( i . I. i ) + 2 (~. I. 0).

2 2

(I, 2, I) = (~,2 + g~) (2g~ + gs) + g2 (2)L 2 + g3);

(2. o. o) = 2 (I. o. o) = 2;

(2, I , O ) ( I + g 2 ) = 2 ( 2 , o , o ) + 2 ( I , I , O ) = 4 + etc.

2

I+~--I'

Paris, le 26 juillet x88x.

Si vous voulez bien: je vais p r e n d r e u n a u t r e e x e m p l e tr~s simple, et cal- culer s e u l e m e n t les p r e m i e r s t e r m e s de l'int~grale. J e p r e n d s d e u x v a r i a b l e s s c u l e m e n t u~ e t u:; soit:

u, (z + u2) d z d z

. . . j ' o b t i e n s p a r la m ~ t h o d e des coefficients ind~termin~s . . .

z ~ u ' - - - Z--~- + 2Z', 6Z~ +

On p o u r r a i t 6 v i d e m m e n t t r o u v e r l ' i n t r g r a l e de la fa~on s u i v a n t e ; p o s a n t

il v i e ~ t :

Z ~ t u I

d t u ) dt t ( z + u 2 ) + u t ( I + u ~ ) d ~ ~ + 2 2 d u 2 -

d o n t u n e i n t r g r a l e s ' o b t i e n t s i m p l e m e n t en p o s a n t :

d ' o h :

t + 2du: ~ o,

U2

t ~ e ).2

t,

de s o r t e que l ' i n t r g r a l e h o l o m o r p h e s%crit:

U2

z = u~ e ~-~ multipIi6 p a r u n e c o n s t a n t e . D a n s cet e x e m p l e , en p o s a n t e n s u i t e

c o m m e ie le fais d a n s m a note, o n n ' a u r a i t pas d ' e s p a c e l a e u n a i r e . Cela n ' a r r i - v e r a i t que dans des cas plus compliqu~s. Mais ce qui p r e c e d e suffira, je pense, p o u r vous faire c o m p r e n d r e c o m m e n t il f a u d r a i t c o n d u i r e le calcu] dans t o u s l e s

cas possibles . . . .

Lettres d'Henri Poincar~ ~ M; Mittag-Leffier. 153

. . . Caen, le I Aofit 1881,

P e r m e t t e z - m o i de v o u s e n v o y e r e n c o r e u n e e x e m p l e r e l a t i f fi, n o t r e ~ q u a t i o n -F dz

(1)

~du~--z

e x e m p l e qui m e t t r a b i e n en l u m i ~ r e la n a t u r e et les propriSt~s de l ' i n t d g r a l e . J e s u p p o s e , v o u s v o u s le r a p p e l e z , que, quand on annule tous les u, F , F2 . . . . F~

se r 4 d u i s e n t r e s p e e t i v e m e n t k

J e p o s e : d ' o f l :

I ~ X - - ( 1 2 , . . o X - - ~ n .

2 ~ t u I

dz dt dz dt

dui

L ' ~ q u a t i o n (1) v a d e v e n i r , en s u p p o s a n t n ~ 3 p o u r fixer les i d l e s : dt

~tl F 1

J e p o s e m a i n t e n a n t : d'ot~

F dt dt

+ u2 ~du2 + u ~ F 3 d u 3 = t ( I - - F ~ ) "

dt dv

dui dui'

l'6quation (i)

F dv F dv F d r = i - - F 1 ul ~ + % 2du 2+u3 3du 3

ou en p o s a n t :

F2 F3 I - - F~ = ~f,

F~ ~ % ; ~ =-: cp3 ; F ,

dv dv dv

+ 2 p2d ; +

A c t a m a t h e m a t l c a . 38. Imprim~ le 13 aollt 1914. 20

Q u a n d o n a n n u l e t o u s l e s u, les f o n c t i o n s ~f2, (P3 et e f s e r 6 d u i s e n t r e s p e c t i v e m e n t h:

E h bien, je v a i s s u p p o s e r q u e % e t (f3 se r 6 d u i s e n t i d e n t i q u e m e n t s x - - a 2 , x - - ~ 3 ; j ' a u r a i ainsi un e x e m p l e s i m p l e off l ' i n t 6 g r a l e s'6erira p r e s q u e i m m 6 d i a - t e m e n t .

Soit en effet:

~f = 2~ A . . . m, u,"~ % "~ u'~ n~

et 6 c r i v o n s que ]a f o n c t i o n i n c o n n u e v, s'~,crit:

v = ~ C , , . . . ,,~ u7 '~ u ~ u'~*

on a., e n i d e n t i f i a n t :

(2) Cml.m2.m3(ml + m 2 ( x - - a 2 ) + m 3 ( x - - a a ) ) = A . . .

ce q u i d o n n e les v a l e u r s des C. I1 n ' y a u r a i t en e f f e t de difficult6 q u e si l ' o n a v a i t :

m, + m~ ( x - - a~) + m, (x - - a~) = o.

Or d a n s le cas off l'origine est e x t 6 r i e u r e au t r i a n g l e f o r m 6 p a r les p o i n t s I, x - - a . , , x--c~.~; cela ne p e u t a r r i v e r q u e si

m l = m 2 ----~ ~3 = O.

Mais a[ors, c o m m e A0.0.0 est nul, l ' ~ q u a t i o n (2) se r ~ d u i t s u n e identit6.

Q u a n t h la c o n v e r g e n c e de la sgrie, elle se d ~ m o n t r e a i s 6 m e n t d a n s le cas oh l ' o r i g i n e est e x t 6 r i e u r e a u t r i a n g l e i , x - - e e 2 , x - - a . ~ .

On a d o n c u n e f o n c t i o n v h o l o m o r p h e d6finie p a r la s6rie c o n v e r g e n t e :

9 '?/~1 m 2 f n 3

Am1 ~72.m3~1 U~ ~q

ce qui d6finit en m 6 m e t e m p s une i n t 6 g r a l e z h o l o m o r p h e de l ' 6 q u a t i o n ( i ) . Ces f o n c t i o n s v et z p r 6 s e n t e r o n t un e s p a c e l a c u n a i r e d 6 t e r m i n 6 p a r la con- d i t i o n q u e ]'origine soit i n t 6 r i e u r e a u t r i a n g l e i, x - - c ~ , , x - - a 3 . Cet e s p a c e la- cuna.ire e s t limit6 p a r trois d r o i t e s , d o n t l ' u n e e s t la d r o i t e ~ , c~a et les a u t r e s s o n t les para]161es ~ l ' a x e d e s q u a n t i t 6 s r6elles m e n 6 e s p a r a: et a~ d a n s la di- r e c t i o n des q u a n t i t 6 s r6elles n 6 g a t i v e s .

Lettres d'Henri Poincar6 /~ M. Mittag-Leffler. 155

!

~ 3

Si au lieu de supposer que F2 et F.~ se r6duisent s x - - a 2 , x:--a3 quand on annule tous les u, j'avais suppos6 que ces fonctions se rdduisent

X - - (%2 X - - Cr x - - ( % 1 x - - ( ~ l

j'aurais ell pour espace lacunaire le triangle a~ a2 a3.

Vous voyez comment d a n s le cas simple off l'on a identiquement:

ou bien :

- F 2 ~ F ~ x - - ( % 2 : v - - c e a

- - - - , F 3 ~ F I - - ,

x - - (%1 x - - (%t

la question p e u t

voyer un exemple Plus comphque. " '

se traiter. Si vous le d6sirez d'ailleurs, je pourrai vous en-

. . . Paris, le 27 juillet i88a.

J ' a i relu les m6moires de M. SCttWARZ pour voir si j'avais quelque chose modifier dans la r6daction de mon historique. Ces m6moires forment une sorte de s6rie et l'on peut y voir le d6veloppcment des id6es de M. SC~WARZ. Les voici dans l'ordre de leur publication:

Ueber einige Abbildungsaufgaben (Crelle 7o), Conforme Abbildung der Ober- fliiche eines Tetraeders auf die Oberfl~iche einer Kugel (Crelle 7o), Zur Integra-

d ~u d ~ u

tion der partiellen Differentialgleichung ~ + ~ - ~ ~ o (Crelle 74), Ueber die In- d~u d2u

tegration der partiellen Differentialgleichung ~ + d - ~ ~ o unter vorgeschriebe- hen Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen (Monatsberichte i87o ), Ueber diejenigen F~lle, in welehen die Gaussische hypergeometrischc Reihe eine algebraische Func- tion ihres vierten Elementes darstellt (Crellc 75).

D a n s c e t t e s6rie de m6moires, il n ' y a que q u e l q u e s lignes qui se r a p p o r t e n t la q u e s t i o n qui nous o c c u p e et je les citerai t e x t u e l l e m e n t t o u t ~, l ' h e u r e .

D a n s le p r e m i e r de ces m6moires, M. SC~WARZ cite q u e l q u e s e x e m p l e s d ' A b - b i l d u n g d ' u n G e b i e t donnd,, p a r e x e m p l e d ' u n e p a r a b o l e , d ' u n e ellipse, d ' u n p o l y - gone rectiligne, sur u n cercle et il r e m a r q u e q u e p a r l ' i n t e r m 6 d i a i r e d ' u n e ~ q u a t i o n lin~aire h co6fficients rdels, on p e u t a b b i l d e n un cercle s u r un K r e i s b o g e n p o l y g o n . J ' i g n o r e s'il dtait le p r e m i e r h faire c e t t e r e m a r q u e , mais dans t o u s l e s cas, elle ne se r a p p o r t e pas ~, la q u e s t i o n qui n o u s occupe, p u i s q u e M. SCHWARZ ne s'est n u l l e m e n t inqui6t6 de s a v o i r si ]a f o n c t i o n qui p e r m e t t a i t c e t t e A b b i l d u n g d t a i t u n i f o r m e . P a r c o n s e q u e n t , je n'ai pas cru d e v o i r c i t e r ce m d m o i r e ; car p e r s o n n e n ' a j a m a i s dour6 que x ne ffit une f o n c t i o n de z; ce qui est int~ressant, c ' e s t de sa- voir q u e c e t t e f o n c t i o n p e u t , dans c e r t a i n s cas, ~tre u n i f o r m e . L e second m~moire C o n f o r m e A b b i l d u n g d e r Oberfl~che eines T e t r a e d e r s . . . . se r a p p o r t e s une int6grale

f ( x - - a ) ~ ( x - - b ) , ~ . . . . d x e t ne nous intdresse pas.

0

D a n s les m6moires d u T o m e 74 e t des M o n a t s b e r i e h t e , M. SCHWARZ d6- m o n t r e le principe de DIRICItLET.

J ' a r r i v e enfin au m6moire d u T o m e 75- M. SCHWARZ 6tudie l ' 6 q u a t i o n diff6- rentielle de la s~rie de GAUSS; il appelle s le r a p p o r t des intdgrales, il pose

)~ = I - - 7 , ,, = ~ - - fl , r = 7 - - , - - fl.

I1 e x a m i n e d ' a b o r d le eas off ). + , - + v < i et il d i t :

, > . . . Es ist d a h e r in diesem Falle die GrSsse s stets eine uncndlich viel- deutige, also t r a n s c e n d e n t e F u n c t i o n v o n x. D a g e g e n k a n n der Fall e i n t r e t e n , dass u m g e k e h r t x eine e i n d e u t i g e F u n c t i o n y o n s ist; dies f i n d e r s t a t t w e n n

I I I

~ ' iS' v g a n z e Z a h l e n sind. Es t r i t t j e d o c h hierbei d e r b e m e r k e n s w e r t h e Urn- s t a n d ein, dass das G e b i e t d e r V a r i a b l e n s a u f das I n n e r e eines Kreises be- schr~inkg ist u n d dass die P e r i p h e r i e dieses K r e i s e s fiir jenes G e b i e t eine natfir- liehe G r e n z e bildet, fiber welche h i n a u s eine a n a l y t i s c h e F o r t s e t z u n g des zwischen F u n c t i o n u n d A r g u m e n t b e s t e h e n d e n Abh~ingigkeitsverhgltnisses in dam gewShn- lichen Sinne u n m S g l i c h i s t . . . , > ~

i Dans l'ddition de ses (Euvres (Gesammelto Mathematische Abhandlungen yon H. A.

SCHWARZ, Zweiter Band, I89o, Anmerkungen und ZusRtze, S. 363) M. SCUWARZ a ajoutd: *Die hier betrachteten eindeutigen analytischen Funktionen besitzen die Eigenschaft, bei unendlich vielen linearen T r a n s f o r m a t i o n e n ihres A r g u m e n t e s in sich selbst iiberzugcheu~. (Voir H. POINC/tR}~,

Mdmoires sur les fonctions fuchsiennes, w i ce journal, t. I.)

Lettres d'Henri Poincar6 i~ M. Mittag-Leffler. 157 M. SCnWARZ p a r l e e n s u i t e des f o n c t i o n s m o d u l a i r e s , puis des cas off x est f o n e t i o n r a t i o n n e l l e de s.

M. SCHWARZ a donc dans ce m6moire 6nonc6 un r 6 s u l t a t de la plus h a u t c i m p o r t a n c e et c ' e s t celui que j'ai cit6. I1 n ' e n d o n n e a u c u n e d 6 m o n s t r a t i o n . I1 y a d a n s la d 6 m o n s t r a t i o n de ce r 6 s u l t a t un p o i n t trbs d61icat, u n e difficult6 d ' u n e n a t u r e sp6ciale; j ' i g n o r e c o m m e n t M. Sc~wARz l ' a v a i t s u r m o n t 6 e .

Ainsi en r6sum6, M. SCHWARZ a o b t e n u les d e u x r6sultats s u i v a n t s . D a n s u n e 6 q u a t i o n lin6aire d u 2 d ordre, il a r e g a r d 6 la v a r i a b l e x c o m m e f o n c t i o n d u r a p p o r t z des int6grales (j'ignore s'il a eu le p r e m i e r c e t t e id6e, je n e erois pas) et il a r e c o n n u : x ~ que si les cofiff, de l ' 6 q u a t i o n lin6aire s o n t r6els, c e t t e fonc- tion p e r m e t l ' A b b i l d u n g d ' u n cercle sur u n K r e i s b o g e n p o l y g o n ; 2 ~ q u e d a n s le cas de la s6rie h y p e r g 6 o m 6 t r i q u e et ~ c e r t a i n e s conditions, cet.te f o n c t i o n 6fair uniforme.

Le p r e m i e r de ces r6sultats n ' a a u e u n r a p p o r t a v e c la d i s c o n t i n u i t 6 des groupes. J e le citerai p e u t - ~ t r e d a n s . m o n s e c o n d m 6 m o i r e off il est q u e s t i o n des f o n c t i o n s e t n o n plus des groupes. J e p o u r r a i s n ' e n pas p a r l e r p u i s q u e le p o i n t i m p o r t a n t , l'uniformit6, n ' e s t pas touch6, mais je pr6f~re le faire. D a n s m o n p r e m i e r m6moire, e e t t e c i t a t i o n ne s e r a i t pas ~ sa place.

Q u a n t a u s e c o n d r6sultat, c'est celui q u e j'ai tit6 e t je ne vois pas ce q u e je p o u r r a i s c h a n g e r h m a c i t a t i o n . Vous v e r r e z p o u r t a n t , dans les 6 p r e u v e s q u e je v o u s envoie, que j ' y ai a j o u t 6 u n e p h r a s e destin6e s faire r e s s o r t i r l ' i m p o r -

t a n e e d u r6sultat. 1 . . .

N a n c y , le 6 F 6 v r i e r

I883.

Vous me d e m a n d e z q u e l q u e s e x p l i c a t i o n s a u s u j e t de m o n m6moire sur les f o n c t i o n s de d e u x variables. Vous m e d e m a n d e z d ' a b o r d p o u r q u o i je dis q u e dans la p a r t i e c o m m u n e a u x d e u x r6gions R0 et R, le r a p p o r t N00 ne d e v i e n t ni 5T~

n u l ni infini; c ' e s t q u e je suppose q u e d a n s la r6gion R 0 les d e u x fonctions holo- m o r p h e s No et D O ne s ' a n n u l e n t s la fois q u e p o u r des p o i n t s isol6s, ou si vous voulez qu'elles ne p e u v e n t pas 6 t r e t o u t e s d e u x divisibles p a r u n e m 6 m e f o n c t i o n

~f s ' a n n u l a n t ~ l ' i n t 6 r i e u r de R 0. C e t t e s u p p o s i t i o n est t o u j o u r s p e r m i s e et de plus elle est

absolument indispensable

Voici d'ailleurs p o u r q u o i elle est permise: Si No et Do o n t u n f a c t e u r com- m u n qui s ' a n n u l e au p o i n t Xo, Y0, il est possible de f o r m e r e f f e c t i v e m e n t ce

1 Th4orie des groupes fuchsiens, pag. 52. Ce journal, t. 1.

f a c t e u r et de le faire d i s p a r a l t r e . Si No et D O n ' o n t pas de f a c t e u r c o m m u n s ' a n n u l a n t en X0, Y0 il sera possible de p r e n d r e la r6gion R0 assez p e t i t e p o u r qu'il n ' y ait pas de f a c t e u r c o m m u n s ' a n n u l a n t g l ' i n t 6 r i e u r de R0.

Vous me d e m a n d e z p o u r q u o i u n p o i n t x, y , z, t a p p a r t i e n d r a au plus g cinq des r6gions R . J e ne p o u v a i s disposer d e ces r6gions de telle fa~on q u ' u n p o i n t a p p a r t l n t au plus g c~uatre de ces r6gions. E n e f f e t consid6rons la p a r t i e com- m u n e g 4 r6gions R, elle satisfera a u x 4 in6galit6s:

(I)

Sl = S~ = S~ -~ $4 ~ o,

a u r o n t t o u j o u r s des solutions c o m m u n e s ; dans le voisinage d ' u n e de ces solu- tions il y a u r a d e s p o i n t s s a t i s f a i s a n t a u x 4 in6galit~s (i) et n ' a p p a r t e n a n t p a r c o n s e q u e n t g a u c u n e a u t r e r~gion R que les 4 r~gions consid~r~es, et des p o i n t s qui s a t i s f e r o n t a u x 4 in~galit~s

S~>o, S.~ >o, S.~>o, $ 4 > o ,

et qui n ' a p p a r t i e n d r o n t s a u c u n e des 4 r~gions R~, R~, R3, R 4 g cause de ces in~galit~s; ni s a u c u n e a u t r e r6gion R puisqu'ils sont i n f i n i m e n t voisins des pre- miers.

Au e o n t r a i r e , on p e u t t o u j o u r s disposer des r~gions R , de telle s o r t e q u ' u n p o i n t a p p a r t i e n n e au moins s i et au plus s 5 d ' e n t r e elles. Vous p o u v e z ais~- m e n t vous r e n d r e c o m p t e de t o u t ce]a en c o n s i d ~ r a n t s e u l e m e n t d e u x dimensions en e n v i s a g e a n t des cercles. L e h o m b r e est alors 3 et n o n plus 5- Cela n ' a d'ail- leurs a u c u n e i m p o r t a n c e p o u r ce qui suit . . . .

. . . P a r i s 2~ 1885.

Voici la solution de la q u e s t i o n d o n t vous m ' a v i e z parl6.

Soient al, a2 . . . . an, n des eSt6s du p o l y g o n e R0, at1, at2 . . . . a'n ]eurs con- jugu6s, Si la s u b s t i t u t i o n qui c h a n g e ai en ari. J e dis que $1, $2 . . . . Sn s o n t f o n d a m e n t a l e s ~ ; du moins en g6n6ral et sauf une e x c e p t i o n d o n t je p a r l e r a i plus loin. J e dis q u e S~ ne peu~ pas 6tre u n e c o m b i n a i s o n de $1, $2 . . . . 8~-1. Sans c e l a u n e e o m b i n a i s o n des n s u b s t i t u t i o n s S t , $2 . . . . S~, oh S~ n'entrerait q u ' u n e seule /ois se r6duisait g la s u b s t i t u t i o n unit~. Ou en d ' a u t r e s t e r m e s on p o u r r a i t

1 Voir Thdorie des groupes fuchsiens, pag. Io, ce journal, t. I.

Lettres d'Henri Poincar~ it M. Mittag-Leffier. 159 c o n s t r u i r e u n c o n t o u r ferm6 C f r a n c h i s s a n t une seule /ois u n cSt~ h o m o l o g u e an. J e dis q u e cela est i m p o s s i b l e .

Consid6.rons les d e u x extr4mitSs A0 et Be d e am.

I1 peut, a r r i v e r trois cas:

10 ou b i e n Ie cycle d e n t fai~ p a r t i e le s o m m e t A 0 a p o u r s o m m e : d e ses angles 2 ~r q > i et le cycle d e n t f a i r p a r t i e le s o m m e t B 0 a p o u r s o m m e de ses

q

2 ~

angles ~ - p > i . (Il p e u t a r r i v e r : d ' a i l l e u r s q u e ]es d e u x s o m m e t s A 0 et B o f o n t p a r t i e d ' u n m ~ m e cycle, alors p ~ q mais rien n ' e s t change. Alors on p e u t faire p a s s e r p a r A 0 u n cSt~ A 0 B 1 h o m o l o g u e s am et c o u p a n t A o B o sous l'angle 2_~z,

q

2 ~

puis u n eSt6 B~At h o m o l o g u e s an et e o u p a n t A0 B1 sous l'angle ~ - , puis u n c5t6 A~ B2 h o m o l o g u e h am e t e o u p a n t B~A~ sous l'angle 2 ~ e t ainsi d e suite.

q

De m~me, de l ' a u t r e cSt~, on c o n s t r u i r a B0 A-1 h o m o l o g u e h am et c o u p a n t A 0 B 0 sous l'angle 2 ~ et ainsi de suite.

P

On a u r a ainsi u n e ligne bris~e form~e de cSt~s h o m o l o g u e s h a~, . . . A2

B~ A~ B1 A0 B0

C e t t e ligne bris~e sera rdguli~re a u p o i n t de v u e de ]a gdom6trie non euelidi- enne, t o u s l e s s o m m e t s Ao, A I , A.~, etc. s e r o n t sur u n m~me cercle, t o u s l e s som- m e t s Be, B~, B2, etc. s e r o n t sur u n a u t r e cercle.

:Enfin e e t t e ]ignc bris~e (qui sera g 6 n ~ r a l e m e n t ind6finie) p a r t a g e r a le cercle f o n d a m e n t a l en d e u x r~gions. Il est d o n c impossible q u ' u n c o n t o u r ferm~ c o u p e an en un seul p o i n t , sans aller r e c o u p e r ]a ligne bris~e, c ' e s t s dire sans r e c o u p e r u n c5t6 h o m o l o g u e ~ a,~. D o n e S , n e p e u t s ' e x p r i m e r p a r u n e c o m b i n a i s o n d e

$1, $2 . . . S ~ - I .

2 ~ cas. Les d e u x s o m m e t s A0 et B 0 f o n t p a r t i e d ' u n m 6 m e cycle e t la s o m m e des angles de ce cycle est 2 z . J ' a p p e l l e r a i le s o m m e t B 0 = A~ p o u r plus de sym6trie. Alors on p e u t c o n s t r u i r e un c6t6 A t A 2 h o m o l o g u e h an, puis d ' a u t r e s A~ A3, A~ A4 etc., h o m o l o g u e s & an.

N o u s a u r o n s ainsi une ligne bris6e

. . . A-2 A-1 A0 At A~ A~ A, . . .

r6guli~re au p o i n t de r u e de la g6om6~rie n o n euclidienne, tous les angles s e n t 6gaux e n t r e e u x et tous les s o m m e t s s e n t sur u n m 6 m e eerele. Cette ligne bris6e

p a r t a g e e n c o r e le cercle f o n d a m e n t a l en d e u x r6gions. On e s t d o n c c o n d u i t s la m S m e conclusion q u e d a n s le cas p r 6 c 6 d e n t .

3 ~ cas. L e s d e u x s o m m e t s A0 et B 0 ne f o n t p a s p a t t i e d ' u n m ~ m e cycle et la s o m m e des angles d u cycle d o n t fair p a r t i e A 0 e s t 6gale ~ 2~r. I1 y a alors e x c e p t i o n et Sn n ' e s t q u ' u n e c o m b i n a i s o n de S t , Sz, . . S n - l . Il a r r i v e a l o r s t o u j o u r s q u ' o n p e u t p a r ]e proe6d6 d u w 91 r a m e n e r ]e p o l y g o n e R 0 ~ u n a u t r e qui a d e u x cSt6s de moins.

Soit p a r e x e m p l e u n p o l y g o n e de 4 P + ~ cSt6s d o n t les cSt6s o p p o s 6 s s o n t conjugu6s, d o n t les s o m m e t s de r a n g i m p a i r e f o r m e n t u n cycle d o n t la s o m m e des angles est 2 ~v et d o n t les s o m m e t s de r a n g p a i r f o r m e n t u n a u t r e cycle.

Oil p e u t r a m e n e r ce p o l y g o n e h u n a u t r e de 4 P cSt6s d o n t t o u s l e s s o m m e t s

f o r m e n t un seul cycle . . . .

1 Voir ce journal, t. I, pag. 44.