1 Teoretick´ a v´ ychodiska v´ yuky geometrie
1.1 Ctyˇ ˇ ri principy tvoˇ r´ıc´ı didaktickou strukturu geometrie zaloˇ zen´ e na zkuˇ senosti dˇ et´ı
Geometrie by mˇela b´yt od sam´eho zaˇc´atku orientov´ana na pozn´av´an´ı prostoru, v nˇemˇz ˇz´ak ˇzije, a na rozv´ıjen´ı pˇredstavivosti. Z´akladem zde mohou b´yt zkuˇsenosti s dˇelen´ım prostoru, s vyplˇnov´an´ım prostoru, s pohybem v prostoru a s dimenz´ı prostoru.
Frantiˇsek Kuˇrina, [13], str. 40 Ctyˇri principy geometrie zaloˇzen´e na zkuˇsenosti (viz [12]):ˇ
1. Dˇelen´ı prostoru
Prostor lze dˇelit na ˇc´asti.
Bod, pˇr´ımka, ´useˇcka, kˇrivka, kruˇznice, ´uhel, lomen´a ˇc´ara, troj´uheln´ık, mnoho´uheln´ık, rovina;
bod dˇel´ı pˇr´ımku, pˇr´ımka rovinu, kruˇznice (kˇrivka, uzavˇren´a lomen´a ˇc´ara) rozdˇeluje rovinu, rovina prostor, poloprostor, tˇelesa atd. [6]
Jordanova vˇeta: Rovinn´a kˇrivka, kter´a sama sebe neprot´ın´a a je uzavˇren´a, dˇel´ı rovinu na dvˇe oblasti. [13]
2. Vyplˇnov´an´ı prostoru C´asti prostoru lze vyplˇˇ novat.
Obsah ´utvaru, d´elka ´useˇcky (Archimed˚uv axiom: Pro libovoln´a dvˇe kladn´a ˇc´ısla a, b existuje pˇrirozen´e ˇc´ıslo n takov´e, ˇze na > b.), dˇelen´ı roviny ˇctvercovou s´ıt´ı, Jordanova teorie m´ıry [6], dlaˇzba (M. C. Escher, probl´em ˇctyˇr barev), objem tˇelesa, krychlov´e tvary a stavby, vyplˇnov´an´ı prostoru (Keplerova domnˇenka)
3. Pohyb v prostoru
V prostoru se lze pohybovat. Vektory, shodn´e transformace, r´ysov´an´ı, modelov´an´ı. [6], [7]
4. Dimenze prostoru (konstrukˇcn´ı princip)
V prostoru existuj´ı ´utvary trojdimenzion´aln´ı, dvojdimenzion´aln´ı, jednodimenzion´aln´ı. Krychle a jej´ı obr´azek, koule a jej´ı st´ın, pr˚umˇety trojrozmˇern´eho ´utvaru do roviny, voln´e rovnobˇeˇzn´e prom´ıt´an´ı, sdruˇzen´e pr˚umˇety, k´otovan´y p˚udorys. [6], [7]
1.2 Dva p´ oly matematick´ eho vzdˇ el´ av´ an´ı
Frantiˇsek Kuˇrina ve sv´e knize Matematika jako pedagogick´y probl´em [13] na str. 57 uv´ad´ı:
Podle m´ych zkuˇsenost´ı, znalost´ı ˇskolsk´e praxe a v souladu s didaktickou literaturou budu rozliˇsovat n´asleduj´ıc´ı dva p´oly matematick´eho vzdˇel´av´an´ı:
ppp: pouh´e pˇred´av´an´ıpoznatk˚u
– ˇz´aci poslouchaj´ı v´yklad, p´ıˇs´ı si, co uˇcitel ˇr´ık´a, a maj´ı si to pamatovat.
PPP: PRIROZEN ´ˇ Y POZN ´AVAC´IPROCES – ˇz´aci pˇrem´yˇslej´ı, pracuj´ı a poˇc´ıtaj´ı.
P´ol ppp odpov´ıd´a tzv. transmisivn´ımu pojet´ı v´yuky, p´ol PPP potom tzv. konstruktivistick´emu pˇr´ıstupu k v´yuce. V´ıce o tˇechto pˇr´ıstupech k v´yuce matematiky viz kniha D´ıtˇe, ˇskola a matematika:
konstuktivistick´e pˇr´ıstupy k vyuˇcov´an´ı[9] od Milana Hejn´eho a Frantiˇska Kuˇriny.
1
1.3 Van Hieleho model geometrick´ eho myˇ slen´ı
Manˇzel´e van Hielovi stanovili (1957) n´asleduj´ıc´ıh pˇet ´urovn´ı porozumˇen´ı geometrick´emu uˇcivu:
0. Vizualizace.
Vytv´aˇren´ıprototyp˚u. Je to kruh, protoˇze to vypad´a jako pokliˇcka, je to troj´uheln´ık, protoˇze to vypad´a jako dopravn´ı znaˇcka. Pokud se objekt liˇs´ı od prototypu, nemus´ı b´yt rozpozn´an (nen´ı v˚ubec rozpozn´an, nebo je rozpozn´an mylnˇe).
1. Anal´yza.
Utvar je nositelem nˇejak´ych vlastnost´ı. Ty jsou ale ch´ap´any izolovanˇe, bez vz´ajemn´ych sou-´ vislost´ı. Napˇr´ıklad shoda ´uhl˚u, shoda d´elek stran a osov´a soumˇernost u rovnostrann´eho troj´uheln´ıku.
2. Abstrakce.
Vlastnosti jsou uspoˇr´ad´av´any a d´av´any do vz´ajemn´ych souvislost´ı, opouˇstˇej´ı konkr´etn´ı ´utvar.
3. Dedukce.
Pochopen´ı deduktivn´ı metody. Pochopen´ı a schopnost proveden´ı d˚ukazu v eukleidovsk´e ge- ometrii. Syst´em axiom˚u, vˇety a definice jsou br´any jako absolutn´ı, ve vztahu ke konkr´etn´ım objekt˚um.
4. Axiomatizace. Syst´em axiom˚u se osvobozuje od konkr´etn´ıch objekt˚u eukleidovsk´e geometrie.
Schopnost pochopit neeukleidovsk´e geometrie.
Obvykl´ym probl´emem v´yuky geometrie na z´akladn´ı ˇskole (ale nejenom tam) je to, ˇze uˇcitel mysl´ı, hovoˇr´ı i argumentuje na jin´e ´urovni (2, 3) neˇz ˇz´ak (0, 1).
Zdroje dalˇs´ıch informac´ı:
- Wikipedia: Van Hiele model,
- Irena Bud´ınov´a: Vˇed´ı ˇz´aci, co je ˇctverec?[online] ˇCesk´a ˇskola, 2018. [1]
- Irena ˇstrausov´a: Vizualizace d˚ukaz˚u pomoc´ı software dynamick´e geometrie. [online] Dizertaˇcn´ı pr´ace, PF JU, 2019. [17].
2
Literatura
[1] Bud´ınov´a, I. Vˇed´ı ˇz´aci, co je ˇctverec?[online] Cesk´a ˇskola,ˇ 2018. Dostupn´e na http://www.ceskaskola.cz/2018/01/irena-budinova-vedi-zaci-co-je-ctverec.html.
[2] Devlin, K. Jazyk matematiky. ARGO, 2003.
[3] Askew, M. a S. Ebbutt. Geometrie bez (m)uˇcen´ı: od Pythagora k dob´yv´an´ı vesm´ıru: abeceda geometrie v kaˇzdodenn´ım ˇzivotˇe: fascinuj´ıc´ı tvary a konstrukce. Praha: Grada, 2012. ISBN 978-80-247-4125-3.
[4] Eukleides, Z´aklady. Knihy I–IV., koment. Petrem Vopˇenkou, OPS, Nymburk, 2008.
[5] Eukleides, Eukleidovy z´aklady (Elementa), pˇreklad F. Serv´ıt, 1907.
Dostupn´e na https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eukleides_Servit.pdf [6] Haˇsek, R. Z´aklady geometrie (studijn´ı text), 2018.
Dostupn´e na http://home.pf.jcu.cz/~hasek/ZS/ZGEOP_2018_Prednasky_3.pdf [7] Haˇsek, R. Planimetrie(studijn´ı text), 2020.
Dostupn´e na http://home.pf.jcu.cz/~hasek/PLA/Planimetrie_studijni_text_2020.pdf [8] Hejn´y, M. et al. Te´oria vyuˇcovania matematiky 2. 1. Bratislava: Slovensk´e pedagogick´e nakla-
dateˇlstvo, 1988.
[9] Hejn´y, M., Kuˇrina, F.D´ıtˇe, ˇskola a matematika: konstruktivistick´e pˇr´ıstupy k vyuˇcov´an´ı.Praha:
Port´al, 2009.
[10] Kuˇrina, F. 10 geometrick´ych transformac´ı. Prometheus, Praha, 2002.
[11] Kuˇrina, F. 10 pohled˚u na geomatrii. Akademie vˇed ˇCesk´e republiky, Praha, 1996.
[12] Kuˇrina, F. Didaktick´a transformace obsahu a ˇskolsk´a praxe. Ped-
agogika, Praha: PedF UK, 3/2009 (str. 298-308). Dostupn´e z:
https://pages.pedf.cuni.cz/pedagogika/?attachment_id=999&edmc=999
[13] Kuˇrina, F.Matematika jako pedagogick´y probl´em: m´e didaktick´e kr´edo. Hradec Kr´alov´e: Gaudea- mus, 2016.
[14] Odv´arko, O., Kadleˇcek, J. Pˇrehled matematiky pro z´akladn´ı ˇskoly a v´ıcelet´a gymn´azia. Praha:
Prometheus, 2004. ISBN 80-7196-276-7.
[15] Pavl´ıˇcek, J. B. Z´aklady neeukleidovsk´e geometrie Lobaˇcevsk´eho. Pˇr´ırodovˇedeck´e nakladatelstv´ı, Praha, 1953.
Dostupn´e na http://dml.cz/dmlcz/402750
[16] Pol´ak, J. Pˇrehled stˇredoˇskolsk´e matematiky. 10. vyd´an´ı. Praha: Prometheus, 2015. ISBN 978- 80-7196-458-2.
[17] ˇStrausov´a, I.Vizualizace d˚ukaz˚u pomoc´ı software dynamick´e geometrie. [online] Dizertaˇcn´ı pr´ace, PF JU, 2019. Dostupn´e na https://theses.cz/id/q3ntv7/
[18] ˇSvrˇcek, J. Vybran´e kapitoly z geometrie troj´uheln´ıka. Praha: Karolinum, 1998. ISBN 80-7184- 584-1.
3
[19] Schwabik, ˇS., ˇSarmanov´a, P. Urˇcit´y integr´al a poˇc´atky teorie m´ıry (19. stolet´ı) In: ˇStefan Schwabik (author); Petra ˇSarmanov´a (author): Mal´y pr˚uvodce histori´ı integr´alu. (Czech). Praha:
Prometheus, 1996. pp. 54–69.
[20] Vopˇenka, P. Tr´yzniv´e tajemstv´ı. Pr´ah, Praha, 2003.
[21] Vyˇs´ın, J. a kol.: Geometria pre pedagogick´e fakulty II, Bratislava, 1970.
4
