Hlavní práce76747_kolt02.pdf, 2.9 MB Stáhnout

(1)

V YSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V P RAZE

Fakulta financí a účetnictví

Katedra bankovnictví a pojišťovnictví Studijní obor: Finanční inženýrství

Lektorský kurz finančních derivátů

Autor diplomové práce: Bc. Tomáš Kolda

Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D.

Rok obhajoby: 2022

(2)

Čestné prohlášení

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma „Lektorský kurz finančních derivátů“

vypracoval samostatně a veškerou použitou literaturu a další prameny jsem řádně označil a uvedl v přiloženém seznamu.

V Praze, dne Podpis studenta

(3)

Poděkování

Rád bych tímto poděkoval panu doc. Mgr. Jiřímu Málkovi, Ph.D. za ochotu vést mou diplomovou práci, cenné rady a jeho vstřícný přístup.

(4)

4

Abstrakt

Diplomová práce je zaměřena na vytvoření vzdělávacího projektu, konkrétně kurzu finančních derivátů. Hlavním cílem práce je vymyšlení a zabezpečení kurzu, který by mohl být realizován v praxi. Vedlejším cílem práce je vysvětlit problematiku finančních derivátů, která je obsahovou náplní kurzu, tyto znalosti pak využít a ocenit vybranou exotickou opci pomocí Monte Carlo simulace. V práci je představen koncept celoživotního vzdělávání a učení, jsou uvedeny specifika a bariéry vzdělávání dospělých. Úroveň vzdělávání dospělých v České republice je srovnána s ostatními státy Evropské unie. Ke konci práce je vyřešena případová studie, na jejíž základě jsou účastníci kurzu hodnoceni. V rámci této studie je oceněna multi bariérová opce v investičním certifikátu. Jsou uvedeny důvody, proč se vypočtená cena může lišit od ceny kótované.

Klíčová slova: finanční deriváty, oceňování opcí, vzdělávání dospělých, vzdělávací kurz

Abstract

This diploma thesis deals with creation of educational project, specifically financial derivatives course. The main objective of this thesis is to fabricate and secure the course, which can be realized in practice. The secondary objective is explanation of financial derivatives problematics, which is the content of the course, and utilize this knowledge to price a chosen exotic option using Monte Carlo simulation. A concept of lifelong learning is introduced in the thesis, specifics and barriers of adult education are presented. The quality of adult education in the Czech republic is compared to the quality in the other states of European union. At the end a case study is solved on the basis of which participants of the course are evaluated. In the study multi barrier option in investment certificate is priced. There can be found explanation of reasons why calculated price can differ from the quoted price.

Key words: financial derivatives, option pricing, adult education, educational course

(5)

5

Obsah

Úvod ... 7

1 Finanční deriváty ... 9

1.1 Vývoj finančních derivátů ... 10

1.2 Forward ... 11

1.2.1 Forward rate agreement (FRA) ... 12

1.2.2 FX forward ... 14

1.3 Futures ... 16

1.3.1 Perfect hedging ... 18

1.3.2 Cross hedging ... 19

1.4 Swapy ... 21

1.4.1 Úrokové swapy (interest rate swaps, IRS) ... 21

1.4.2 Měnové swapy ... 22

1.5 Opce ... 24

1.5.1 Oceňování opcí ... 26

1.5.2 Řecká písmena v problematice opcí ... 38

1.5.3 Exotické opce ... 39

2 Celoživotní vzdělávání a učení ... 41

2.1 Členění celoživotního vzdělávání ... 42

2.2 Cíle vzdělávání ... 47

2.3 Výsledky vzdělávání a učení ... 50

3 Vzdělávání dospělých ... 51

3.1 Členění vzdělávání dospělých ... 52

3.1.1 Distanční vzdělávání ... 54

3.2 Účastníci vzdělávání dospělých a jejich specifika ... 55

3.2.1 Motivace dospělých ... 56

3.3 Bariéry vzdělávání dospělých ... 60

(6)

6

4 Vzdělávací akce – kurz finančních derivátů ... 62

4.1 Vzdělávací potřeba ... 62

4.2 Účastníci kurzu ... 62

4.3 Obsah výuky ... 63

4.4 Vzdělávací cíle ... 64

4.5 Systematizace obsahu ... 66

4.6 Harmonogram ... 66

4.7 Studijní opora ... 67

4.8 Vzdělávací formy ... 68

4.9 Materiální vyučovací prostředky ... 68

4.10 Lektor ... 69

4.11 Evaluace ... 69

4.12 Technicko-organizační zajištění ... 70

4.13 Plánovaný rozpočet a kalkulace ... 71

5 Metodika a organizace výuky ... 72

6 Věcný rozbor... 77

6.1 Vzorové řešení případové studie ... 80

6.1.1 Shrnutí smluvních podmínek produktu... 80

6.1.2 Vstupní data ... 82

6.1.3 Ocenění ... 83

Závěr ... 86

Seznam zdrojů ... 87

Seznam grafů, obrázků, schémat, tabulek ... 90

Seznam příloh ... 91

(7)

7

Úvod

Finanční deriváty jsou produkty s vysokou využitelností. Nicméně je s nimi také spojeno velké riziko, proto je velice důležité se v problematice finančních derivátů dobře orientovat. Ještě důležitější je však předávání znalostí, dovedností a postojů dalším generacím a zabránit tak, aby opakovaly stejné chyby, kterých se lidé již dopustili. Tato práce se proto nezabývá jen teorií finančních derivátů, ale snaží se znalosti využít pro vytvoření lektorského kurzu finančních derivátů, během kterého by problematika měla být předávána dalším lidem, což je tématem práce.

Téma jsem si vybral z toho důvodu, že jsem si díky své hlavní specializaci Finanční inženýrství vědom, že finanční deriváty jsou v risk managementu a investování velmi dobrým sluhou, ale špatným pánem. Vlivem vedlejší specializace Vzdělávání v ekonomických předmětech se domnívám, že samotné vzdělávání je nejdůležitější, a to ve všech fázích lidského života. Tato práce proto využívá znalostí z obou studovaných specializací.

V první části práce je popsána základní problematika finančních derivátů, v oblasti oceňování opcí jde práce hlouběji. V druhé části je vymyšlen, zorganizován a zabezpečen lektorský kurz, jehož obsahová náplň bude odpovídat popsané části teorie finančních derivátů. Práce se však nezabývá realizováním takového kurzu, účelem je spíše poskytnout určitý návod sloužící k vytvoření kurzu a uvést nápady v oblasti metodiky a věcného rozboru.

Nejdříve se práce zabývá teorií finančních derivátů. Jsou popsány forwardy, futures, swapy a opce, podrobněji je zpracováno oceňování opcí, zejména používání Monte Carlo simulací. Zmíněny jsou také exotické opce a jejich specifika. Dále je studován koncept celoživotního vzdělávání a učení, který vedl k zvolení tématu práce. Je vysvětleno vzdělávání dospělých se zaměřením na specifika této skupiny edukantů.

Uvedeny jsou bariéry vzdělávání dospělých a je také pohlíženo na kvalitu vzdělávání dospělých v České republice v porovnání s dalšími státy Evropské unie. Poté je vytvářen, organizován a zabezpečen smyšlený lektorský kurz finančních derivátů podle skutečných možností. V poslední řadě se práce zaměřuje na metodiku a věcný rozbor obsahu kurzu, kde jsou čtenáři sděleny konkrétní nápady a doporučení, jak by výuka při realizaci kurzu mohla vypadat.

(8)

8

Hlavním cílem práce je vytvořit co nejpraktičtější lektorský kurz finančních derivátů, který bude svou obsahovou náplní zahrnovat naprosté základy finančních derivátů i pokročilou problematiku oceňování opcí, kterou mohou účastníci potřebovat v praxi.

K dosažení tohoto cíle byla využívána analýza a komparace opravdových kurzů a nabídek pronájmu učebny v centru Prahy. Vedlejšími cíli práce je poskytnout čtenářovi teoretické znalosti potřebné k realizaci kurzu a ocenění vybraného strukturovaného produktu pomocí Monte Carlo simulace.

Hlavním přínosem této práce je zpracování konceptu zcela nového lektorského kurzu a jeho připravení k okamžité realizaci. Přínosem je také práce s aktuální nabídkou pronájmu učeben a aktuálními daty při konstrukci vzorových příkladů v oblasti finančních derivátů a při vzorovém řešení případové studie, v rámci které je oceněn investiční certifikát, jehož součástí je multi bariérová opce na tři různé podkladové akcie.

(9)

9

1 Finanční deriváty

Finanční deriváty jsou v dnešní době hojně využívané finanční instrumenty finančními institucemi, manažery fondů a dalšími subjekty. Jejich důležitost velice prudce vzrostla za posledních 30 let a dnes tvoří nedílnou součást finančního trhu. Jedná se o rozmanité instrumenty pro obchodování s rizikem, mají široké využití při spekulacích i hedgingu.

Finanční deriváty jsou velice rizikové, je proto nezbytné se s nimi naučit pracovat.

K mnohým problémům vede nedostatečné porozumění těmto instrumentům, finanční deriváty tak stojí za selháním bank a vedly také k finančním krizím.¹ Tato kapitola tak podává teoretický základ, který je nezbytný pro tvorbu lektorského kurzu zabývající se touto problematikou. Je zde vysvětleno, jak finanční deriváty fungují, jakým způsobem jsou používány a jak je možné je ocenit. Zejména ocenění může být velice náročné se zvyšující se komplikovaností nových produktů na trhu. Bez těchto znalostí se v dnešní době neobejde nikdo, kdo pracuje ve financích, a dokonce někteří, kteří v oblasti financí ani nepracují.²

Finanční derivát je instrument, jehož hodnota je závisí na podkladové proměnné. Pod touto proměnnou si člověk nejčastěji představí cenu podkladového aktiva, jakým je například akcie. Proměnnou však může být také množství napadaného sněhu v určité lokalitě nebo uvěrová schopnost jednoho nebo více subjektů. Jelikož je lektorský kurz v této práci vytvořen zejména pro začátečníky v oblasti finančních derivátů, bude práce zaměřena na deriváty, jejichž hodnoty budou záviset na cenách podkladových aktiv.³ Dalším důležitým znakem finančních derivátů je fakt, že se jedná o termínové obchody.

Vypořádání v současnosti smluvené transakce za současných podmínek probíhá v budoucnu. Toto vypořádání může být fyzické (podkladové aktivum je předáno kupci), často jsou však finanční deriváty vypořádávány peněžně.

Finanční deriváty mohou být obchodovány na burzách nebo mimoburzovně. V takovém případě se jedná o tzv. Over-the-counter (OTC) deriváty. Burzovně obchodované

1 WITZANY, Jiří, 2013. Financial Derivatives – Valuation , Hedging and Risk Management. B.m.:

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

2HULL, John C., 2015. Options, Futures, and Other Derivatives. 9th edition. B.m.: Pearson. ISBN 978- 0-13- 345631-8.

3 tamtéž

(10)

10

deriváty jsou standardizované kontrakty definované burzou. Mezi protistranami stojí clearinghouse, který výrazně snižuje riziko protistrany při obchodování. Mnoho pozic v burzovních derivátech je uzavřeno ještě před maturitou. OTC deriváty naproti tomu standardizované nejsou a vždy záleží na tom, jak se obě strany dohodnou, jsou tak velice flexibilní. Kontrakt pak mohou vypořádat mezi sebou nebo přes centralizovanou protistranu. Pozice v OTC derivátech jsou jen zřídka uzavírány před maturitou.

Využití finančních derivátů je k zajištění (hedging), spekulaci a arbitráži. Cílem zajištění je snížit riziko svých pozic vzhledem k budoucímu vývoji určitého tržního faktoru. Při spekulaci se snaží subjekty realizovat zisk tím, že si ,,vsadí“ na vývoj tržního faktoru. V případě, že je vývoj faktoru ale odlišný od jejich očekávání, mohou se spekulanti lehce ocitnout ve ztrátě z provedeného obchodu. Arbitráž spočívá v realizaci bezrizikového zisku, což je možné, pokud budou kontrakty špatně oceněné (ceny instrumentů na spotovém trhu neodpovídají cenám na termínovém trhu) nebo se jejich nabízené ceny budou dostatečně lišit.⁴ Příležitosti k arbitráži jsou však v dnešním světě velice omezené a každá příležitost vlivem působení arbitražérů na ceny instrumentů časem zaniká.

1.1 Vývoj finančních derivátů

Ačkoliv první termínové kontrakty podobné dnešním finančním derivátům byly používány již ve starověkém Řecku, Římě a Babylonu, značné důležitosti nabývaly především v 90. letech 20. století a v prvním desetiletí 21. století, a to zejména OTC deriváty.⁵ Po finanční krizi roku 2008 však nastala spíše stagnace obchodovaného množství. Právě tato krize ukázala, jak finanční deriváty mohou být nebezpečné, konkrétně potom credit default swapy. Vývoj OTC derivátů (přesněji součtu nominálních hodnot nevypořádaných kontraktů) mezi lety 1998–2021 ukazuje graf č.1.

4 HULL, John C., 2015. Options, Futures, and Other Derivatives. 9th edition. B.m.: Pearson. ISBN 978- 0-13- 345631-8.

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

(11)

11

Graf č.1: Vývoj OTC derivátů 1998-2021 (v bilionech dolarů)

Zdroj: BIS OTC derivatives statistics⁶

1.2 Forward

Jedním z nejznámějších a také nejjednodušších druhů finančních derivátů je forward.

Jde o termínový bilaterální kontrakt pro nákup (dlouhá pozice – anglicky long) nebo prodej (krátká pozice – anglicky short) podkladového aktiva za pevnou, dnes domluvenou cenu (tzv. forward price) v budoucnu (v maturitě). Vypořádání probíhá ve většině případů fyzicky, nicméně lze vypořádat i peněžně. Podkladovým aktivem mohou být úrokové sazby, měnový kurs, akcie, komodita nebo investiční nástroj. Ani jedna ze smluvních stran nemá možnost od plnění odstoupit. Protistrana v krátké pozici se zavazuje vyplatit v maturitě protistraně v dlouhé pozici rozdíl mezi spotovou cenou podkladového aktiva a forward price (ST – K). V případě, že rozdíl je záporný, plnění probíhá opačně.⁷ To je možné vidět na grafu č.2. Nejobchodovanějšími druhy forwardu jsou Forward rate agreement (FRA) a FX forward. Forward je OTC derivátem, je tedy nestandardizovaný a záleží na smluvních stranách, jakou si domluví splatnost a forward price. Ačkoliv je možné si teoreticky domluvit libovolné podmínky, prakticky jsou určité charakteristiky obvyklé, obchodují se i na trhu.⁸

6Bank for International Settlements, 2020. About derivatives statistics [online]. [vid. 2021-10-13].

Dostupné z: https://www.bis.org/statistics/about_derivatives_stats.htm

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

8 DVOŘÁK, Petr, 2008. Deriváty. Praha: Oeconomica. ISBN 978-80-245-1435-2.

(12)

12 Graf č.2: Výplata (payoff) forwardů

Zpracování: Vlastní tvorba

Tržní hodnota forwardu je na počátku kontraktu rovna nule. Postupem času se vlivem různých faktorů (například spotové ceny podkladového aktiva, úrokové sazby…) tržní hodnota forwardu mění a může nabývat i kladných nebo záporných hodnot, je rovna:

f = (F_t− K)e^−r(T−t)

( 1 )

kde F_t je forward price, K je smluvená cena, T značí maturitu (v letech) a t je čas zjištění tržní hodnoty forwardu.⁹

1.2.1 Forward rate agreement (FRA)

Forward rate agreement je forwardový kontrakt peněžního trhu (se splatností do jednoho roku), při kterém platí jedna strana v budoucnu úrok na základě fixní sazby a druhá strana úrok na základě referenční sazby. Výše fixní sazby je domluvená v současnosti a platí od času T1 v budoucnosti až do času T2, platí T₂ > T₁. V čase T1 je zjištěna referenční sazba a dochází k plnění. Vyplácen je pouze rozdíl referenční sazby a fixní sazby.¹⁰ Jako referenční sazby jsou nejčastěji využívány mezibankovní úrokové

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

10MÁLEK, Jiří, 2021. Výuková prezentace předmětu 1BP411. Praha. Vysoká škola ekonomická.

(13)

13

sazby, například LIBOR. Ačkoliv nedochází k žádné výměně nominální hodnoty, je nezbytné nominální hodnotu obchodu zvolit, jelikož se z ní potom odvíjí právě úrokové platby. FRA je možné použít pro zajištění (subjekt již v současnosti zná úrokové náklady budoucího úvěru) nebo spekulaci na vývoj úrokové sazby.

Fixní sazbou je dohodnutá forwardová úroková sazba. Vychází se zde z úvahy, která je známá jako hypotéza očekávání. Ta říká, že míra výnosnosti jedné investice, která trvá N-let, je stejná, jako míra výnosnosti na sebe navazujících krátkodobých investic, které trvají dohromady N-let.¹¹ V případě peněžního trhu, kde se obchodují instrumenty se splatností do jednoho roku, se využívá jednoduchého úročení. Hypotézu očekávání je tedy možné interpretovat pomocí rovnice:

(1 + R₂ d₂

360) = (1 + R₁ d₁

360) (1 + R_Fd₂ − d₁ 360 )

( 2 )

kde R1 a R2 jsou tržní úrokové míry pro d1 a d2 počtu dnů, RF je forwardová úroková míra platná od d1 dnů od současnosti do d2 dnů od současnosti. Po úpravě lze vyjádřit forwardovou úrokovou sazbu, která vystupuje jako fixní sazba FRA, takto:

R_F = 360 d₂− d₁

R₂d₂− R₁d₁ 360 + R₁d₁

( 3 )

Výplata (dále také payoff) FRA v čase T1 je z pohledu příjemce fixní sazby¹²:

Payoff = A(R_F − R_M) d 360 1 + R_M d

360

( 4 )

kde A značí nominální hodnotu FRA, RM referenční úrokovou sazbu a d je počet dnů mezi časy T1 a T2.

11 BRADA, Jaroslav, 2020. Výuková prezentace předmětu 1MT403. Praha. Vysoká škola ekonomická.

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

(14)

14

Tržní hodnota FRA je na začátku kontraktu (který je označen jako čas t) rovna nule.

Postupem času (z času t do času T1) se však mění referenční úroková sazba, což má za důsledek změnu tržní hodnoty FRA. Při výpočtu se vychází z ekvivalence FRA a depozitu z času T1 do T2, ačkoliv při FRA k reálnému depozitu nedochází. Z pohledu příjemce fixní sazby je tak počítána diskontováním (pomocí spojitého úročení) fixního cash flow:

f = e^−R²^{∙ (T}²^−t)A (1 + R_F d

360) − e^−R¹^{∙ (T}¹^−t)A

( 5 )

1.2.2 FX forward

FX forward je forwardový kontrakt, který slouží k výměně jedné měny za měnu druhou v budoucnu za již v současnosti dohodnutý forwardový kurs a za současných dohodnutých podmínek. Stejně jako u FRA, i FX forward lze použít při spekulaci nebo zajištění. Spekulanti očekávají určitý pohyb spotového měnového kursu a podle svého očekávání si pak mohou domluvit vhodný FX forward. Z pohledu zajištění je potom tento kontrakt velice vhodný pro společnosti, které mají nějaké pohledávky nebo závazky v cizí měně a obávají se měnového rizika.¹³ Proto si v současnosti domluví forwardový kurs, který se již nezmění.

Výše forwardového kursu může být odvozena z tzv. kryté úrokové parity. Ta říká, že úrokový diferenciál trhu peněz mezi dvěma měnami se rovná rozdílu forwardového a spotového měnového kursu. To lze zapsat rovnicí (6).

FR(DC FC)⁄ ^t+n/360= SR(DC FC)⁄ ^t ∙ 1 + r_DC^t+n/360 ∙ n 360⁄ 1 + r_FC^t+n/360 ∙ n 360⁄

( 6 )

kde FR(DC FC)⁄ ^t+

n

360 označuje forwardový měnový kurs (přímá kotace) v době splatnosti kontraktu v letech, SR(DC FC)⁄ ^t spotový měnový kurs (přímá kotace) platný v

13 JÍLEK, Josef, 2010. Finanční a komoditní deriváty v praxi. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3696-9.

(15)

15

čase t, r_DC^t+n/360 a r_FC^t+n/360 úrokové sazby platné od času t do času t + n/360 na roční bázi.¹⁴

Pokud by rovnice neplatila, bylo by možné dosahovat pomocí arbitráže bezrizikového zisku. Bylo by možné si vypůjčit jednu měnu, pomocí spotového kursu jí směnit na měnu druhou, která by byla uložena na určitý čas. Tato částka včetně naběhlých úroků by byla směněna pomocí forwardového kursu a uhrazena půjčka. Arbitrážní příležitosti ukazuje obrázek č.1.

Obrázek č.1: Arbitráž pomocí FX forwardu

Zdroj: WITZANY, Jiří, 2013. Financial Derivatives – Valuation , Hedging and Risk Management. B.m.:

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7., upraveno

14MANDEL, Martin a Jaroslava DURČÁKOVÁ, 2016. Mezinárodní finance a devizový trh. Praha:

Management Press. ISBN 978-80-7261-287-1., upraveno

(16)

16 V případě, že platí nerovnost N ∙ SR ∙ (1 + r_DC ⁿ

360) ≠ N ∙ FR ∙ (1 + r_FC ⁿ

360), vzniká prostor k arbitráži. Krytá úroková parita však platí jen za určitých předpokladů:

• neexistují transakční náklady ani daně,

• účastníci trhu si mohou půjčit a mohou někomu zapůjčit peníze za stejnou bezrizikovou úrokovou míru (platné pro domácí i zahraniční měnu),

• nejsou příležitosti k arbitráži.

Tyto podmínky však splněny v realitě nejsou. Protivníkem kryté úrokové parity také mohou být regulatorní opatření, které bankám (důležitým hráčům na trhu finančních derivátů) nedovolují využít dočasné příležitosti k arbitráži.¹⁵

Tržní hodnota FX forwardu je (s ohledem na použité značení v této kapitole):¹⁶ f = S_te^−r^FC^(T−t)− Ke^−r^DC^(T−t)

( 7 )

1.3 Futures

Futures jsou velice podobné forwardům, mají však určité odlišnosti. Největší odlišností je, že futures se obchodují na burzách a jsou vysoce standardizovány. Standardizované jsou množství (obchodují se pouze nedělitelné loty, lot je určité množství podkladového aktiva, je specifikován) i čas (obchodují se pouze některé splatnosti). Podkladové aktivum futures musí být přesně vymezeno, je jich ale velmi velké množství, příklady můžou být akciové indexy, měny, zlato, dřevo, cukr, živý dobytek a další. Další velkou odlišností futures a forwardů je u futures denní zúčtování zisků a ztrát, které probíhá prostřednictvím maržových účtů. Většina pozic ve futures je uzavírána ještě před fyzickým vypořádáním uzavřením protipozice. To znamená, že investor vstoupí do opačné pozice a centrální protistranou (tzv. clearinghouse) je tím jeho pozice uzavřena (tzv. netting, pozice jsou agregované a jelikož jsou přesně opačné, výsledná pozice je

15 URÁNOVÁ, Jana, 2016. A proč vlastně nefunguje krytá úroková parita? | Kurzy.cz [online]

[vid. 2021-12-22]. Dostupné z: https://www.kurzy.cz/zpravy/409292-a-proc-vlastne-nefunguje-kryta- urokova-parita/

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

(17)

17

nulová a obchod investora je tak zcela uzavřen).¹⁷ Tím dochází k vyšší likviditě na futures trhu oproti trhu forwardovém. Rolí centrální protistrany se také podstatně snižuje riziko protistrany, přesněji jejího defaultu, neboť tento subjekt je zpravidla velmi bonitní.¹⁸

Schéma č.1 ukazuje roli clearingového centra stejně jako princip uzavření protipozice.

Strana B se rozhodne uzavřít svou krátkou pozici (-N kontraktů) tím, že vstoupí do dlouhé pozice ve stejném množství (+N kontraktů). Tím je pozice naprosto vyřazena.

V případě, že by strany A a C svou pozici neuzavřeli před vypořádáním, C by dodalo množství podkladového aktiva, které odpovídá N lotům futures a clearinghouse by pak toto množství dodal straně A. Je však možné zcela racionálně předpokládat, že i tyto strany uzavřou své pozice dříve a dojde jen k peněžnímu vypořádání jejich maržových účtů.

Schéma 1: Role clearinghouse a netting

Zdroj: Vlastní zpracování

Maržový mechanismus funguje tak, že při vstupu do pozice ve futures je stanovena tzv.

počáteční marže (anglicky initial margin), kterou investor musí vložit na maržový účet (anglicky margin account). Ta je stanovena tak, aby kryla denní ztráty s vysokou pravděpodobností, například 99,5 %. Na účet jsou potom denně započítávaný zisk nebo ztráta. Je také stanovena tzv. udržovací marže (anglicky maintenance margin, obvykle

17 HARGRAVE, Marshall, 2020. Netting. Investopedia [online] [vid. 2021-12-23]. Dostupné z: https://www.investopedia.com/terms/n/netting.asp

(18)

18

kolem 75 % počáteční marže), pod jejíž hodnotu prostředky na maržovém účtu nesmějí klesnout. V případě, že se to stane, je investor vyzván, aby prostředky na účet doplnil, a to až do výše počáteční marže (anglicky margin call).¹⁹

Mezi možnosti využití futures patří spekulace a zajištění (hedging). Spekulant ve futures obchodech však díky dennímu zúčtování zisků a ztrát nemusí čekat až do splatnosti a spekulovat může i v jednotkách dní. Použití futures pro účely zajištění záleží na podkladovém aktivu daného futures kontraktu, které je přesně specifikováno.

S ohledem na podkladová aktiva se proto rozlišuje tzv. perfect hedging, cross hedging a hedging portfolia kapitálových aktiv. Při perfect hedgingu je podkladové aktivum futures shodné s hedgovaným aktivem. V takovém případě je ztráta z aktiva kompenzována futures kontraktem a opačně. Ačkoliv se jedná o stejná aktiva, změny spotové ceny aktiva a ceny futures nejsou zcela shodné, proto i výsledná pozice není zcela bezriziková. Riziko je však podstatně sníženo. V případě, že podkladové aktivum futures není zcela shodné s hedgovaným aktivem, se využívá tzv. cross hedging. Jeho princip je takový, že ceny podkladového aktiva futures a hedgovaného aktiva jsou korelované. Čím silnější korelace je, tím je cross hedging úspěšnější. Hedging portfolia kapitálových aktiv je možný použitím futures na akciové indexy.

1.3.1 Perfect hedging

Změna hodnoty portfolia aktiv je:

∆V = N ∙ ∆S

( 8 )

kde N značí množství jednotek v portfoliu (N > 0 představuje dlouhou pozici, N < 0 krátkou pozici) a S je spotová cena jednotky podkladového aktiva. V rámci perfect hedgingu je potom možné zajistit pozici vstoupením do pozice ve futures, jež odpovídá – N množství aktiva (pro N > 0 tedy vstoupením do krátké pozice ve futures a pro N < 0 do dlouhé pozice ve futures). Počet futures kontraktů musí odpovídat N/M, kde M představuje množství aktiva v jednom lotu.

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

(19)

19 Celková změna hodnoty hedgované pozice je:

∆V^H= N ∙ (∆S − ∆F)

( 9 )

při čemž F značí futures price (cenu futures).

Ačkoliv jsou hedgované aktivum a podkladové aktivum futures shodná, i v perfect hedging je nutné čelit riziku, konkrétně takzvanému bazickému riziku (nebo také riziku báze). Problémem je totiž také to, že subjekt, který se chce zajistit, nemusí znát přesný čas operace, kterou chce zajistit (například čas, kdy hedgované aktivum chce koupit nebo prodat). Dalším problémem, který spadá pod pojem bazické riziko, je nesoulad mezi maturitou futures kontraktu a horizontem zajištění (proto se liší spotová cena aktiva a cena futures, které jsou shodné pro stejná aktiva pouze v době splatnosti futures).²⁰ Tento nesoulad vzniká proto, že je futures standardizovaný a jsou obchodovány jen některé maturity.

1.3.2 Cross hedging

Pokud se hedgované aktivum odlišuje od podkladového aktiva futures kontraktu, je k zajištění využíván futures kontrakt, jehož podkladové aktivum je silně korelováno s hedgovaným aktivem. Z toho poté také vyplívá korelace mezi spotovou cenou aktiva a cenou futures, která je pozorována. Korelace je měřena pomocí korelačního koeficientu.

Cílem hedgingu je minimalizovat riziko celkové pozice, které je měřeno pomocí rozptylu. V případě hedgingu pomocí futures je tedy rozptyl celkové zahedgované pozice:

σ_V² = N ∙ (σ_S²− 2hρσ_Sσ_F+ h²σ_F²)

( 10 )

kde h je tzv. hedging ratio, σ_S² a σ_F² jsou rozptyly spotové ceny aktiva a ceny futures a ρ značí korelační koeficient mezi spotovou cenou aktiva a cenou futures. Pro naplnění cíle zajištění je nutné najít takové h, při kterém je σ_V² minimální.²¹ To je možné udělat

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

(20)

20

pomocí první derivace rovnice (10), výsledek pak položit rovný nule. Po úpravách je optimální hedging ratio:

h = ρσ_S σ_F

Jednotlivé rozptyly a korelační koeficient je možné odhadnout z historických dat. Po zahrnutí odhadů (značeno stříškou) optimální hedging ratio přechází v:

h = ρ̂σ̂_S σ̂_F

S₀ F₀

( 11 )

Vhodný počet futures kontraktů k zajištění pozice je h ∙ N/M. Z toho je zřejmé, že při perfect hedgingu platí rovnost h = 1.

Jak již bylo řečeno, futures a forwardy jsou si velice blízké, stejně jsou blízké i jejich ceny. S používám dosavadního značení pro investiční aktivum bez příjmů a nákladů na uskladnění platí:

F_t= S_t∙ e^rT

( 12 )

Podkladové aktivum může vyplácet příjem, což je běžné například u akciových futures.

V takovém případě je cena futures:

F_t = (S_t− I) ∙ e^rT , F_t = S_t∙ e^(r−q)T

( 13 )

kde I představuje současnou hodnotu příjmů z aktiva, q značí výnosovou míru z aktiva.

U spotřebních aktiv lze některá aktiva uskladnit. V případě komoditních futures tak do vzorce pro ocenění vstupují náklady na uskladnění:

F_t = (S_t+ U) ∙ e^rT , F_t = S_t∙ e^(r+u)T

( 14 )

(21)

21

kde U označuje současnou hodnotu nákladů na uskladnění, u je sazba nákladů na uskladnění.²²

1.4 Swapy

Swapy jsou OTC deriváty, při kterých dochází k dohodě mezi dvěma subjekty o výměně peněžních toků (cash flow) v budoucnu za dnes dohodnutých podmínek.

Výměn peněžních toků je několik, někdy se na tyto výměny pohlíží jako na forwardové platby, a proto je swap někdy označován za několik forwardů spojených dohromady.²³ Je mnoho druhů swapů, základní členění rozlišuje swapy úrokové, měnové, komoditní a akciové. Tato kapitola bude zaměřena na nejčastější swapy, a to úrokové a měnové.

1.4.1 Úrokové swapy (interest rate swaps, IRS)

Úrokovým swapem je dohoda mezi dvěma stranami o výměně úrokových plateb odvozených z předem dané nominální hodnoty. Nejčastěji dochází k výměně platby odvozené pomocí fixní úrokové míry a druhé platby odvozené pomocí pohyblivé úrokové míry (například 6měsíční LIBOR), proto na tento případ bude zaměřena tato kapitola. Mohou se však také vyměňovat platby odvozené pomocí dvou různých pohyblivých úrokových měr.

Úrokové platby jsou pravidelné, vyplácen je vždy pouze rozdíl těchto plateb. K výměně nominální hodnoty, na základě které jsou stanoveny úrokové platby, nedochází.

Úrokový swap je možné použít pro změnu úrokových plateb, změnu durace aktiv a závazků (při imunizaci portfolia), využití neefektivnosti na trhu půjček a pro spekulaci.²⁴

Fungování úrokového swapu představuje schéma č.2.

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

23JÍLEK, Josef, 2010. Finanční a komoditní deriváty v praxi. Praha: Grada. ISBN 978-80-247-3696-9.

24MÁLEK, Jiří, 2021. Výuková prezentace předmětu 1BP411. Praha. Vysoká škola ekonomická.

(22)

22 Schéma č.2: Úrokový swap

Tržní hodnota úrokového swapu je na počátku blízká nule, v průběhu času se pak mění.

Toho je využíváno zejména při změně durace aktiv a závazků. Pro zjištění tržní hodnoty je nutné ocenit jednotlivé cash flow, při čemž se pohlíží na úrokový swap jako na dluhopisy s pevným a proměnlivým variabilním kupónem. Hodnoty fixních plateb jsou oceněny jako suma diskontovaných cash flow:

Q_fix = ∑ CF_i∙ e^−r(Tⁱ^{) ∙ T}ⁱ

n

i=1

( 15 )

kde CF značí cash flow, r je úroková míra a T je čas v letech.

Diskontování je také použito u plovoucích plateb:

Q_float = (A + R_fl,1) ∙ e^−r(T¹^{) ∙ T}¹

( 16 )

Tržní hodnota swapu je dána rozdílem rovnic (15) a (16) a z pohledu plátce fixní sazby platí (z pohledu příjemce fixní sazby je opačná):²⁵

V_IRS = Q_float− Q_fix

( 17 )

1.4.2 Měnové swapy

Měnové swapy jsou charakteristické výměnou úrokových plateb mezi stranami v rozdílných měnách, při čemž může docházet k libovolné kombinaci fixních a

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

(23)

23

proměnlivých plateb (například obě strany platí fixní platby). To umožňuje subjektům využívat neefektivnosti na mezinárodním trhu půjček. Na rozdíl od úrokových swapů dochází na počátku i konci kontraktu k výměně nominální hodnoty. Všechny platby mezi stranami probíhají v plné výši (nevyužívá se tedy tzv. netting). Kvůli výměně nominální hodnoty a rozdílnosti měn je u měnových swapů výrazně vyšší kreditní a tržní riziko v porovnání s úrokovými swapy.²⁶ Schéma č.3 charakterizuje měnový swap.

Schéma č.3: Měnový swap

Pro ocenění měnového swapu je nejdříve nutné spočítat současnou hodnotu všech plateb a potom s využitím spotového měnového kursu vyjádřit všechny diskontované platby v jedné měně:

V_CCS = Q_A− SR ∙ Q_B^FC

( 18 )

kde QA a QB značí současnou hodnotu plateb v rozdílných měnách a SR značí spotový měnový kurs těchto dvou měn.²⁷

26 MÁLEK, Jiří, 2021. Výuková prezentace předmětu 1BP411. Praha. Vysoká škola ekonomická.

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

(24)

24

1.5 Opce

Opce jsou podmíněné finanční deriváty, které dávají kupujícímu právo koupit (kupní opce, tzv. call opce) nebo prodat (prodejní opce, tzv. put opce) podkladové aktivum za předem dohodnutou cenu (realizační cenu, tzv. strike price) v předem dohodnutý termín (evropská opce) nebo kdykoliv do expirace (americká opce). Kupující opce (který je v dlouhé pozici, dále také long) může od kontraktu ustoupit a rozhodnout se opci neuplatnit. Prodávající opce (tzv. vypisovatel, v krátké pozici, dále také short) má povinnost kontraktu dostát. Za to kupující platí vypisovateli opce tzv. opční prémii.

Opce jsou velice rozšířeným derivátem, který se obchoduje na burzovních i OTC trzích.

Existuje mnoho druhů podkladových aktiv, nejčastěji je možné se setkat s akciemi, indexy, měnami, komoditami, úrokovými měrami nebo dokonce futures kontrakty.²⁸ Pro základy opční teorie jsou důležité 4 standardní typy opcí, které se označují jako plain vanilla. Graf č. 3 ukazuje výplatu (dále také payoff) a zisk/ztrátu (dále také označováno anglickým pojmem profit/loss, zkráceně P/L) těchto vanilla opcí.

Graf č.3: Výplaty a zisk/ztráta vanilla opcí

28 JURČÁK, Gabriel, 2020. Obchodování s opcemi – průvodce pro začátečníky. lynxbroker.cz [online]

[vid. 2021-10-21]. Dostupné z: https://www.lynxbroker.cz/investovani/burzovni-trhy/opce/zaklady- opce/co-jsou-opce-jak-funguji/

(25)

25

Pokud payoff opce (graf č.3), který je rozdílem realizační ceny opce (K) a aktuální ceny podkladového aktiva (ST), porovnáme s payoff forwardu (graf č.2), jsou patrné jisté odlišnosti, které jsou způsobeny tím, že opce jsou podmíněným kontraktem, tedy pokud se opci nevyplatí využít, kupující od kontraktu ustoupí. Nicméně i v případě odstoupení je kupující povinen zaplatit vypisovateli opční prémii, tedy kupující se ocitne ve ztrátě, která je však omezena.

Zmiňovaná opční prémie je součtem dvou složek, vnitřní a časové hodnoty opce.

Vnitřní hodnota opce je vymezena rozdílem realizační ceny opce a aktuální spotovou cenou podkladového aktiva (je shodná s payoff opce, viz. graf č.3). Pouze opce v penězích mají tuto vnitřní hodnotu, vnitřní hodnota opcí na penězích a mimo peníze je rovna nule. Časová hodnota opce je rozdílem opční prémie a vnitřní hodnoty opce. Je závislá na volatilitě ceny podkladového aktiva a na době do splatnosti opce. Platí, že s klesající dobou do splatnosti (tedy blížící se expirací) se časová hodnota opce snižuje a v maturitě je rovna nule.²⁹

Opce v penězích jsou takové opce, které kupující vždy uplatní. U call opcí musí být realizační cena opce K nižší než spotová cena podkladu ST, u put opcí je tomu obráceně.

Opce na penězích jsou opce, jejichž realizační cena je shodná s aktuální spotovou cenou podkladu. Opce mimo peníze kupující neuplatní, u call opcí platí, že realizační cena opce je vyšší než spotová cena podkladu, u put opcí platí opak.

Opce se dají vhodně použít pro účely zajištění nebo spekulace. Opcemi lze zajistit vybrané tituly nebo i celá portfolia, současně se však zachovává možnost profitovat na příznivém vývoji ceny podkladového aktiva. Spekulace prostřednictvím opcí má mnoho možností, spekulanti mohou využít nejen vanilla opce, ale také jejich kombinace (tzv.

opční strategie, popsané dále), případně i exotické opce. Spekulanti tak mohou spekulovat nejen na růst nebo pokles ceny podkladového aktiva, ale také na výrazné či méně výrazné změny v cenách bez ohledu na jejich směr, na počasí, bonitu klienta a podobně.

Opční strategie jsou kombinace kupních a prodejních opcí, dlouhých i krátkých pozic.

S ohledem na použité opce v kombinaci jsou potom známy nejrůznější strategie.

29 JURČÁK, Gabriel, 2020. Obchodování s opcemi – průvodce pro začátečníky. lynxbroker.cz [online]

[vid. 2021-10-21]. Dostupné z: https://www.lynxbroker.cz/investovani/burzovni-trhy/opce/zaklady- opce/co-jsou-opce-jak-funguji/

(26)

26

Příkladem nejznámějších strategií může být tzv. Long straddle. To je kombinace long call a long put opcí se stejnou realizační cenou (strike price) podkladovým aktivem i expirací. Tuto strategii je možné využít pro spekulování na výraznou změnu ceny podkladového aktiva nehledě na to, zda se bude jednat o růst, nebo pokles. Maximální ztráta je pak dána součtem opčních prémií použitých opcí.

Graf č.4: Opční strategie Long straddle

1.5.1 Oceňování opcí

Tato kapitola se bude zabývat některými metodami oceňování opcí. Aby zvolené metody mohly být vysvětleny, je nejdříve nezbytné znát faktory, které ceny opcí ovlivňují. Faktory jsou následující:

• Spotová cena podkladového aktiva – s rostoucí spotovou cenou roste payoff call opce a klesá payoff put opce, roste tak cena call opce a klesá cena put opce.

• Strike price (realizační cena opce) – s rostoucí strike price klesá payoff call opce a roste payoff put opce, tudíž cena call opce klesá a cena put opce roste.

• Doba do splatnosti – s rostoucí dobou do splatnosti se stávají všechny americké opce (call i put) cennější, protože mohou být uplatněny kdykoliv během této doby. U evropských opcí je sledování dopadu komplikovanější, záleží na předpokládané změny spotové ceny podkladu v čase. Pokud se očekává růst ceny v čase, cena call opce poroste s rostoucí dobou do splatnosti. Pokud se

(27)

27

očekává pokles ceny podklady v čase, cena call opce s rostoucí dobou do splatnosti klesá. U put opcí je dopad opačný.

• Volatilita – s rostoucí volatilitou roste šance, že opce bude v penězích, rostou tedy ceny call i put opcí.

• Úroková míra – úroková míra má pozitivní dopad na předpokládaný vývoj ceny podkladového aktiva, proto s rostoucí úrokovou mírou roste cena call opce a klesá cena put opce.

• Výnos z podkladového aktiva – výnos z podkladového aktiva (např. dividenda) negativně ovlivňuje předpokládaný vývoj ceny podkladového aktiva, tedy s rostoucím výnosem klesá cena call opce a roste cena put opce.³⁰

V následující tabulce je přehled značení proměnných, které bude v této kapitole používáno:

Tabulka č.1: Přehled značení proměnných

Pro oceňování opcí je možné uvést horní a dolní hranice, které by žádnou použitou metodou neměly být překročeny. Hranice jsou:³¹

• Call opce není nikdy dražší než podkladové aktivum c ≤ C ≤ S_t

• Cena put opce nemůže být vyšší než strike price opce p ≤ P ≤ K

• Cena evropské put opce nesmí být vyšší než

diskontovaná strike price p ≤ Ke^−rt

• Cena evropské call opce na bezdividendovou akcii je alespoň: S_t− Ke^−rt ≤ c

• Cena evropské put opce na bezdividendovou akcii je alespoň: Ke^−rt− S_t≤ p

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

31 tamtéž

(28)

28 1.5.1.1 Put – call parita

Put – call parita představuje vztah evropských put a call opcí se stejnou expirací, strike price a stejným podkladovým aktivem. Využitím put – call parity je tedy možné při znalosti ceny evropské call opce vypočítat cenu evropské put opce a opačně. Vypočet je velice rychlý a nenáročný v porovnání s ostatními metodami oceňování opcí. Put – call paritu nelze aplikovat na americké opce.³²

Metoda vychází z možnosti syntetizovat forward pomocí portfolia dvou opcí. Payoff portfolia P složeného z jedné long call opce a jedné short put opce se stejným podkladovým aktivem, stejnou expirací a strike price bude:

payoff (P) = max(S_T− K, 0) − max(K − S_T, 0) = S_T− K

( 19 )

Jak je uvedeno v kapitole 1.2, ST – K je payoff dlouhé pozice ve forwardu. Hodnota portfolia P by se tedy měla rovnat hodnotě long forwardu (viz. rovnice (1)), tedy měla by platit rovnost:

c − p = (F_t− K)e^−rT= S_t− Ke^−rT

( 20 )

Put – call parita je většinou udávána v upraveném tvaru (21):³³ c + Ke^−rT= p + S_t

( 21 )

Pokud by tato rovnice neplatila, bylo by možné vhodném obchodováním realizovat arbitrážní zisk.

1.5.1.2 Binomické stromy

Binomické stromy jsou populární metodou pro oceňování opcí, které závisí na budoucím vývoji spotové ceny podkladového aktiva. Binomické stromy je možné použít nejen k ocenění základních, tzv. vanilla opcí, ale jsou vhodné i pro ocenění

32 CHEN, James, 2021. Put-Call Parity? Investopedia [online] [vid. 2021-12-29]. Dostupné z: https://www.investopedia.com/terms/p/putcallparity.asp

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

(29)

29

amerických opcí, případně je lze využít pro ocenění některých exotických opcí.

Binomické stromy lze popsat jako diagramy, které představují různé možnosti vývoje ceny podkladového aktiva.³⁴ Hlavní myšlenkou modelu je předpoklad, že spotová ceny podkladu vykonává náhodnou procházku (random walk). Cena podkladového aktiva v modelu s určitou pravděpodobností roste a s určitou pravděpodobností naopak klesá.

Metoda binomických stromů využívá rizikově neutrální pravděpodobnosti, investoři mají tedy neutrální postoj k riziku a nechtějí kompenzaci za podstupované riziko investice do akcií oproti investici na peněžním trhu. Jako každý model, i binomické stromy mají určité předpoklady, které by pro správné ocenění opce měly být splněny.

Předpoklady jsou:

• Pro faktor nárůstu (u) a faktor poklesu (d) platí: 0 < d < 1 + r < u.

• Bezriziková úroková míra r je větší než -1.

• Akcii lze dělit na libovolné části (není problém obchodovat 1/4 akcie).

• Úroková míra pro investování se neliší od zápůjční úrokové míry.

• Nákupní a prodejní ceny akcie jsou si rovny, tedy bid-ask spread je nulový.

• V každém okamžiku může akcie nabývat pouze dvou hodnot v následujícím kroku.³⁵

První z předpokladů je důležitý z hlediska možnosti arbitráže. Pokud předpoklad platí, neexistuje možnost k arbitráži. Při platnosti d ≥ 1 + r nebo u ≤ 1 + r, tedy v případě porušení předpokladu, by bylo možné vhodným investováním do akcií a využíváním peněžního trhu realizovat arbitrážní zisk.

Binomické stromy mohou být multiplikativní nebo aditivní. V multiplikativních stromech je cena v jednotlivých krocích násobena faktorem růstu (u) nebo faktorem poklesu (d). U aditivních stromů je změna přičítána. Binomické stromy mohou mít dále rekombinační vlastnost, kterou mají v případě rovnosti u ∙ d = d ∙ u. V takovém případě se do určitého uzlu stromu lze dostat dvěma cestami, buď nejprve růstem ceny a v následující periodě stromu poklesem ceny nebo naopak. Stromy mohou být také symetrické, pokud platí u ∙ d = 1. Symetrické stromy jsou vyznačovány tím, že se

35 MÍŠEK, Radoslav, 2019. Binomické modely oceňování opcí. Praha. Vysoká škola ekonomická.

(30)

30

v uzlech na stejné úrovni vždy vyskytuje totožná cena, tedy cena podkladového aktiva je rovná ceně, která platí v případě nárůstu a následujícím poklesu ceny. Další důležitou charakteristikou binomického stromu je počet jeho period. Čím jsou periody kratší, tím více se přibližují ceny opcí zjištěné pomocí binomických stromů a pomocí Black- Scholes modelu.

Schéma č.4: Jedno – periodický a více – periodický strom

Zdroj: Financial Derivatives – Valuation , Hedging and Risk Management³⁶

Na schématu č.4 je možné vysvětlit postup ocenění opce metodou binomických stromů.

Cena akcie (podkladové aktivum opce) je na počátku S0. V první periodě cena vzroste na S0u s pravděpodobností p nebo klesne na S0d s pravděpodobností q = 1 – p.

Pravděpodobnosti p a q jsou rizikově neutrální. Cena opce je značena značkou f s příslušným indexem. Cílem metody je zjistit cenu opce na počátku značenou ve schématu písmenem f. Pravděpodobnost růstu ceny podkladu je:

p = e^r∆t − d u − d

( 22 )

kde r je bezrizikovou úrokovou mírou (využívá se rizikově neutrálního ocenění) a Δt je časová délka jedné periody v letech.

36WITZANY, Jiří, 2013. Financial Derivatives – Valuation , Hedging and Risk Management. B.m.:

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

(31)

31

Hodnoty opcí v konečných bodech stromu odpovídají výplatě opce (viz. graf č.3) a jsou:

• pro call opci: f_un−kd^k = max(S₀u^n−kd^k− K, 0)

• a pro put opci: f_un−kd^k = max(K − S₀u^n−kd^k, 0).

Hodnotu opce na počátku je možné vypočítat pomocí vzorce:³⁷

f = e^−rT∑ (n

k) p^n−k(1 − p)^k

n

k=0

f_un−kd^k

( 23 )

Znalost rovnic (22) a (23) v rámci binomického modelu je nedostačující, protože rovnice pracují s parametry u,d,p. Ty je potřeba zjistit za pomocí soustavy tří rovnic.

Střední hodnota a rozptyl difuzního procesu podkladového aktiva v rámci binomického modelu se musí rovnat střední hodnotě a rozptylu v rámci GBM modelu (geometric Brownian motion), tím získáme dvě rovnice:

pu + (1 − p)d = e^r∆t

( 24 )

pu²+ (1 − p)d² = e^2r∆t+σ²^∆t

( 25 )

Je nutné nalézt ještě třetí rovnici soustavy. V tom se liší přístup Cox, Ross, Rubinstein (1979) a Jarrow, Rudd (1983).³⁸ Cox, Ross, Rubinstein předpokládají symetrii nárůstů a poklesů ceny, doplňují tak rovnici u =¹

d. Řešením soustavy rovnic jsou parametry:

u = e^σ√∆t, d = e^−σ√∆t, p =^e^r∆t^{− d}

u − d

( 26 )

Oeconomica. ISBN 978-80-245- 1980-7.

(32)

32

Jarrow, Rudd naproti tomu předpokládají pravděpodobnost p = 0,5. Jelikož je tato pravděpodobnost konstantní, není rizikově neutrální. Model není symetrický. Řešením soustavy rovnic jsou parametry:

u = e^r∆t(1 + √e^σ²^∆t− 1) , aproximace u = e^{(r −}

σ²

2)∆t + σ√∆t

d = e^r∆t(1 − √e^σ²^∆t− 1) , aproximace d = e^{(r −}

σ²

2)∆t − σ√∆t

( 27 )

Obtížnost binomických stromů zvyšuje podkladové aktivum, kterým je akcie vyplácející dividendu. Akcie může vyplácet spojitou dividendu, diskrétní procentuální dividendu nebo diskrétní absolutní dividendu. V den ex-dividendy dojde ke snížení ceny akcie. Při spojité dividendě je cena akcie spojitě snižována dividendovým výnosem q. Model se příliš nekomplikuje, pouze je ve vzorcích nutné místo e^r∆t používat e^{(r − q)∆t}. Diskrétní procentuální dividenda je vyplácena v diskrétních okamžicích a je vyjádřena jako procento ceny akcie (značeno δ). Ani v tomto případě není komplikace příliš znatelná, cena se po ex-dividend datu sníží z S₀u^n−kd^k na S₀(1 − δ)u^n−kd^k, při čemž model neztrácí rekombinační vlastnost. Při diskrétní absolutní dividendě se sníží cena odečtením výše absolutní dividendy a model poté ztratí rekombinační vlastnost.³⁹ Tím dochází k rychlejšímu nárůstu počtu uzlů s každou novou periodou a tím je model čím dál více komplikován.

Binomické stromy jsou vhodné také pro ocenění amerických opcí, platí:⁴⁰

• V koncových uzlech je hodnota americké opce shodná s hodnotou evropské opce.

• V předcházejících uzlech je hodnota maximem z:

• Hodnoty opce v daném uzlu dle vztahu popsaném výše.

• Hodnoty výplaty v případě předčasného uplatnění opce.

• V případě akcie nevyplácející dividendu platí:

• Americkou kupní opci je optimální uplatnit až v den maturity, tedy její hodnota je shodná s hodnotou evropské kupní opce.

40 tamtéž

(33)

33

• Americkou prodejní opci může být výhodnější uplatnit dříve, proto je její hodnota vyšší než hodnota evropské prodejní opce.

1.5.1.3 Black – Scholes – Merton model

Na počátku 70. let 20. století udělali Fischer Black, Myron Scholes a Robert Merton průlom v oblasti oceňování evropských opcí. Roku 1997 byli autoři Scholes a Merton za tento úspěch odměněni Nobelovou cenou za ekonomii. Fischer Black roku 1995 zemřel, proto ocenění nezískal.⁴¹ Model je znám také jako Black – Scholes model.

Jedná se o spojitý model pro oceňování evropských opcí. Výhodou je výpočetní nenáročnost. Nevýhody vycházejí z předpokladů modelu, které v reálném světě nejsou splněny.

Předpoklady Black – Scholes – Mertonova modelu jsou podobné jako modelu binomických stromů. Předpoklady jsou:

• Cena podkladového aktiva se řídí geometrickým Brownovým pohybem s konstantním driftem a volatilitou.

• Podkladové aktivum nepřináší příjem (nejčastěji uvažovaná akcie nevyplácí dividendy).

• Neexistují daně ani transakční náklady.

• Aktiva jsou nekonečně dělitelná, lze zakoupit jakýkoliv poměr aktiv.

• Neexistují příležitosti k arbitráži.

• Krátké prodeje (short selling) je možné provést bez jakýkoliv restrikcí.

• Existuje bezriziková úroková míra, která je konstantní, za kterou je možné si půjčit bez restrikcí.

• Obchodovat s akciemi lze v nekonečně malých časových intervalech.

Pro pochopení problematiky modelu stejně jako Monte Carlo simulací uvedených v kapitole 1.5.1.4 je nezbytné nejdříve vysvětlit Wienerův proces a Itoovu formuli.

Wienerův proces je náhodný proces, pro který platí:

• W(0) = 0.

• Pro každé t₂ > t₁ má W(t₂) − W(t₁) normální rozdělení N(0, t₂− t₁).

(34)

34

• Pro t₄ > t₃ ≥ t₂ > t₁ jsou náhodné veličiny W(t₄) − W(t₃) a W(t₂) − W(t₁) nezávislé. Trajektorie Wienerova procesu jsou skoro všechny spojité. Pokud bereme v úvahu jen spojité trajektorie, mluvíme o Brownově pohybu.

Konstrukce Wienerova procesu začíná bodem W(t0) = 0 a pokračuje:

W(t₁) = W(t₀) + √∆t ∙ ε₁, W(t₂) = W(t₁) + √∆t ∙ ε₂ a tak dále,

( 28 )

kde ε₁ ≠ ε₂ ≠ ⋯, ε_n (n ∈ (0, 1, 2, … ) značí náhodné číslo z normovaného normálního rozdělení. Tím je nasimulována jedna trajektorie Wienerova procesu. Při simulaci další trajektorie je pak nutné začít znovu od začátku, tedy od bodu W(t0).⁴²

Definice Itoovy formule může být následující: nechť f(t,x) je diferencovatelná funkce reálných proměnných, která má spojitou první derivaci podle t a spojitou druhou derivaci podle x. Přírůstek df potom podle Taylorova rozvoje je:

df = f(t + dt, x + dx) − f(t, x) = δf

δtdt + δf

δxdx + členy vyššího řádu

( 29 )

Členy vyššího řádu se většinou zanedbávají. Pokud je ale proměnná x Wienerův proces, musí se zohlednit i člen vyššího řádu, neboť dW_tdW_t = dt.⁴³ Tím je získána Itoova formule:

df = f(t + dt, W_t+ dW_t) − f(t, W_t) =δf

δtdt +δf

δxdW_t+1 2

δ²f δx²dt

( 30 )

Black – Scholesova parciální diferenciální rovnice předpokládá, že cena finančního derivátu závisí na čase a na ceně akcie jako podkladového aktiva, při čemž se cena akcie řídí stochastickým procesem, který je znán jako geometrický Brownův pohyb:

42 MÁLEK, Jiří, 2020. Stochastické modelování ve financích. Praha. Vysoká škola ekonomická.

43 tamtéž

(35)

35 dS = μSdt + σSdz

( 31)

kde dz je přírůstek Wienerova procesu, μ je očekávaný výnos akcie v rizikově neutrálním světě a σ značí volatilitu. Užitím Itoovy formule je přírůstek ceny derivátu:

df = (δf

δSμS +δf δt+1

2 δ²f

δS²σ²S²) dt +δf

δSσSdz = δf

δSdS + (δf δt+1

2 δ²f

δS²σ²S²) dt

( 32 )

Dále je složeno portfolio z -1 množství derivátu (tedy krátká pozice v derivátu) a z +^δf

δS

množství akcie. Hodnota portfolia je:

P = −f +δf δSS

( 33 )

Přírůstek portfolia je potom:

dP = −df +δf δSdS

( 34 )

Dosazením za df a dS z rovnic (32) a (31) je přírůstek portfolia:

dP = − [δf

δSdS + (δf δt+1

2 δ²f

δS²σ²S²) dt] + δf

δSS = − (δf δt+1

2 δ²f

δS²σ²S²) dt

( 35 )

Z (35) plyne, že portfolio je bezrizikové (neobsahuje totiž náhodnou složku), jeho výnos tedy za dobu dt musí být bezrizikový, platí tedy dP = Prf dt. Dosazením z (35) a (33) a vynásobením číslem -1 vzniká:

(δf δt+1

2 δ²f

δS²σ²S²) dt = r_f(f − δf δSS) dt

( 36 )

Po úpravě rovnice (36) je možné získat rovnici (37), což je Black – Scholesova rovnice.