)0,0(),(

Matematika A2

Funkce více proměnných - příklady 1.

1. Definiční obory funkcí více proměnných:

Najděte definiční obory funkcí, u funkcí dvou proměnných se pokuste definiční obory načrtnout.

Pokuste se také rozhodnout, zda nalezený definiční obor funkce je množina otevřená, resp.uzavřená, omezená, co je hranicí zkoumaného definičního oboru.

^{f(x,y)x y} ; ^{f(x,y) x y} ; ^{f(x,y) x y} ; f(x,y) x²  y² ; f(x,y) 1x²  1y² ; f(x,y) x²  y² 1;

^{f(x,y)ln(x y)} ; ^{f(x,y)ln(xy)} ; ^{f(x,y)ln(xy1)}; ^{f(x,y) ln(xy)} ; f(x,y) x² y² ln(xy) ;

arcsin 1 )

,

(  

x y y

x

f ;

f(x,y,z) 1(x² y² z²); f(x,y,z) ln(x²  y² z²); f(x,y,z) zx² y² ;

) (

1 ) 1 , ,

( _{2 2 2}

z y z x

y x

f     .

2. Grafy funkcí dvou proměnných:

( pokuste se představit si „podobu“ grafu např. pomocí „vrstevnic“ a řezů třeba rovinou x0) ^{f(x,y)2}; ; ^{f(x,y)1 y}; ^{f(x,y)2xy} ;

f(x,y)x² 1; f(x,y)4 y²; f(x,y)x²  y² ; f(x,y)x² y² 1 ; f(x,y)1(x²  y²); f(x,y)x² 4y²; f(x,y) y² x²;

f(x,y) 9(x² y²); f(x,y) 4(x²  y²); f(x,y) x²  y² ; ^{( , )} ₂ ¹ ₂

y y x

x

f   ; f(x,y)exp(x² y²) ( zde exp(x)e^x).

3. Limita a spojitost:

a) Vyšetřete spojitost funkcí z příkladu 2. v jejich definičních oborech.

b) Je dána funkce fx,ylog(yx²). Najděte a načrtněte její definiční obor, vyšetřete spojitost funkce f v definičním oboru . Zkuste si představit graf funkce f .

c) Rozhodněte, zda následující funkce jsou spojité v R²: i) _{2 2}

2

) ,

( x y

y y x

x

f   pro ^{(x,y)  (0,0)} , ^f(0,0)0; ii) _{2 2}

2

2 )

) sin(

,

( x y

y y x

x

f 

  pro ^{(x,y)  (0,0)} , ^f(0,0)0;

iii) ^{( , )} _{2 2} y x

y y x

x

f   pro ^{(x,y)  (0,0)}, ^f(0,0)0; iv) ^{( , )} ₂² ₂²

y x

y y x

x

f 

  pro ^{(x,y)  (0,0)}, ^f(0,0)0 .

4. „Mechanické“ derivování:

Vypočítejte parciální derivace 1. a 2.řádu všude, kde existují, následujících funkcí (všude, kde existují) a ukažte, že smíšené derivace 2.řádu jsou záměnné:

i) ^f(x,y): x²  y ; x²y;

x y y

x  ; _e^x2y ; _e^x2y ; ^x_y

e^ ; _x^y ; ^ln(xy1); ln(x x² y²); ₂² ₂²

y x

y x



 ; ^arctg _x^x_y^y ;

ii) ^f(x,y,z): xyyzxz ; _e^xyz; _xz^y ; _{2 2}

2

( arcsin

y x

z

 ) ; iii) Ukažte, že funkce ^{( , ) ln(} ₂¹ ₂ ⁾

y x y

x

f   je v ^{R2 }













y f x

f

( Laplaceova rovnice).

5. Totální diferenciál a jeho užití:

a) Ukažte, že daná funkce je diferencovatelná v daném bodě (x₀,y₀) (resp. uvnitř definičního oboru), určete její gradient a totální diferenciál v daném bodě (resp. uvnitř definičního oboru), a napište rovnici tečné roviny v bodě (x₀,y₀, f(x₀,y₀)), když:

fx,yln(yx²), (x₀,y₀)(1,2); fx,yexp(x² y), (x₀,y₀)(1,1); fx,yx² 4y², (x₀,y₀)(1,2);

 

y y x x

f ,  , (x₀,y₀)(1,3); f





b) Užitím lineární aproximace spočítejte přibližně

a) log(1,99(1,02)²); b) (1,02)² (1,97)³ ; c) exp((1,02)² 0,97).

c) Ukažte, že funkce ^f(x,y,z) xyyzxz je diferencovatelná v _R³ a najděte její totální diferenciál v bodě (x₀,y₀,z₀)R³.

d) Ukažte, že pro malá x,y platí ^arctg₁^x_^_xy^{y  xy} .

e)* Ukažte, že funkce ^{fx,y xy} není diferencovatelná v bodě



