1. Popisy topologií a n¥které jejich vlastnosti
P°íklad 1.1. (1) Dokaºte, ºe topologický prostor se spo£etnou bází je separa- bilní.
(2) Dokaºte, ºe separabilní metrizovatelný prostor má spo£etnou bázi.
P°íklad 1.2 (Sorgenfreyova p°ímka).
(a) Ukaºte, ºe intervaly [a, b),a, b∈R, jsou bází Hausdorovy topologie (Sor- genfreyova p°ímka).
(b) Ukaºte, ºe Sorgenfreyova p°ímka má spo£etný charakter, je (d¥di£n¥) sepa- rabilní a nemá spo£etnou bázi. Je metrizovatelná?
P°íklad 1.3. Vy²et°ete, kdy je indiskrétní topologie na mnoºin¥X metrizovatelná.
P°íklad 1.4. Najd¥te n¥jakou spo£etnou bázi eukleidovské topologie naR. Existuje minimální báze?
P°íklad 1.5 (topologie bodové konvergence).
(a) Ukaºte, ºe mnoºiny
B(f, K, r) ={g∈RM : (∀x∈K)|f(x)−g(x)|< r},
kde f ∈ RM, K ⊂M kone£ná, r >0, tvo°í bázi topologie ("topologie bodové konvergence").
(b) Ukaºte, ºe {B(f, K,1n) :K ⊂M kone£ná, n ∈N} tvo°í bázi okolí f p°i této topologii.
(c) Ukaºte, ºe mnoºiny
S(f, x, r) ={g∈RM :|f(x)−g(x)|< r},
f ∈RM,x∈M,r >0, tvo°í subbázi topologie bodové konvergence.
(d) Ukaºte, ºe proM nespo£etnou není topologie bodové konvergence metrizovatelná (prostor nemá spo£etný charakter, a tedy ani váhu).
(e) Ukaºte, ºe pro M ⊂Rje prostor separabilní.
(f) Ukaºte, ºe mnoºiny Πt∈M(at, bt), kde at < bt pro t ∈ K, K ⊂R je kone£ná a at = −∞, bt = +∞ pro t ∈ M \K tvo°í tutéº bázi jaká je popsaná v (a) odli²ným zp·sobem.
P°íklad 1.6 (Niemytzkého rovina). Uvaºujme X = R×[0,+∞). Uvaºujme na X systém S v²ech otev°ených mnoºin vzhledem k eukleidovské metrice dopln¥ný o mnoºiny tvaru{(x,0)} ∪U((x, r), r), kde x∈Rar >0.
(a) Ukaºte, ºeS je subbáze Hausdorovy topologie. Ozna£me jiG.
(b) Ukaºte, ºe(X,G)je separabilní, není d¥di£n¥ separabilní, nemá spo£etnou bázi, má spo£etný charakter, není metrizovatelný.
P°íklad 1.7.
1
(a) Ukaºte, ºe systém mnoºin
{{(q,0)}:q∈Q} ∪ {{(r,1)} ∪ {(q,0) :q∈Q, 0<|q−r|< ε}:r∈R, ε >0}
tvo°í bázi topologie na mnoºin¥(Q× {0})∪(R× {1}).
(b) Ukaºte, ºe jde o Hausdorovu topologii, ºe prostor je separabilní, není d¥- di£n¥ separabilní, má spo£etný charakter, není metrizovatelný.
P°íklad 1.8. Najd¥te (Hausdor·v) topologický prostor, který je d¥di£n¥ sepa- rabilní (ev. dokonce spo£etný), má spo£etnou bázi a není metrizovatelný. Návod.
Zkuste obm¥nou p°edchozího p°íkladu a najd¥te disjunktní uzav°ené mnoºiny, které nelze odd¥lit disjunktními otev°enými.
P°íklad 1.9 (topologie stejnom¥rné konvergence*). UvaºujmeX =R[0,1]. (a) Ukaºte, ºe systém
{U(f, r) ={g∈X :supx∈[0,1]|g(x)−f(x)|< r}:f ∈X, r >0}
tvo°í subbázi topologie. Ozna£me jiGu ("topologie stejnom¥rné konvergence").
(b) Ukaºte, ºe mnoºiny
B(f) ={S(f, r) ={g∈X : (∀x∈[0,1])|g(x)−f(x)|< r, r >0}
tvo°í báze okolíf ∈RR topologieGu. Nejde ale o otev°ená okolí! Dokaºte.
(c) Ukaºte, ºe mnoºinyS(f, r),f ∈RR,r >0, tvo°í subbázi n¥jaké jiné topologie ("box-product topology").
(d) Prorovnejte ji s topologií bodové konvergence a s topologií stejnom¥rné konver- gence.
P°íklad 1.10. Nech´∞∈/D (aD je nekone£ná mnoºina).
Ukaºte, ºe mnoºiny{d}pro d∈D spolu s mnoºinami{∞} ∪D\K pro K⊂D kone£né tvo°í bázi Hausdorovy topologie na D∪ {∞}. Jde o tzv. "jednobodovou kompaktikaci"diskrétního prostoruD.
Vy²et°ete, pro jakáD je tento prostor metrizovatelný, kdy je separabilní, kdy má spo£etnou bázi, kdy má spo£etný charakter.
P°íklad 1.11 (prostor ordinál·). (5. cvi£ení)
(a) Ukaºte, ºe otev°ené intervaly v [0, ω1](v£etn¥ "koncových interval·"(a, ω1] a[0, b)) tvo°í bázi topologie.
(b) Ukaºte, ºe má v kaºdém bod¥ α < ω1 spo£etný charakter, ale v ω1 nemá spo£etný charakter. Je metrizovatelná?
Podobn¥ m·ºete postupovat na kaºdé dob°e uspo°ádané mnoºin¥.
P°íklad 1.12 ("k°íºková topologie").
(a) Ukaºte, ºe mnoºinyG⊂R2, které obsahují s kaºdým(x, y)∈GiK((x, y), ε) = [(x−ε, x+ε)× {y}]∪[{x} ×(y−ε, y+ε)]pro n¥jaké kladnéε, tvo°í topologii na mnoºin¥R2.
(b) Ukaºte, ºe jde o Hausdorovu topologii, ºe prostor je separabilní, není d¥- di£n¥ separabilní, nemá spo£etný charakter, není metrizovatelný.
P°íklad 1.13. (snadné? - 6. cvi£ení) Ukaºte, ºe mnoºiny U(r) = {(x, y) ∈ R : x2+y2< r2} spolu s mnoºinami U(s)\ {(x, y)∈R:x2+y2≤r2} pro 0< r < s, tvo°í bázi topologie vR2. Ukaºte, ºe není metrizovatelná.
2. Operace uzáv¥ru a vnit°ku
P°íklad 2.1. (viz p°edná²ka) Dokaºte tvrzení o popisu topologie pomocí vnit°ku, uzáv¥ru £i mnoºiny v²ech okolí.
P°íklad 2.2 (topologie stejnom¥rné konvergence).
(a) Ukaºte, ºe operace A ⊂ RR 7→A = {f ∈ RR : (∃(fn)⊂ RR) fn ⇒ f} je operací uzáv¥ru p°i n¥jaké topologii.
(b) Ukaºte, ºe jde o topologii stejnom¥rné konvergence denovanou vý²e.
(c) Ukaºte, ºe tato topologie je metrizovatelná (ρ(f, g) = sup{min(|f(x)− g(x)|,1) :x∈R}).
P°íklad 2.3. (5. cvi£ení pro charakteristické funkce na[0,1]\Q) Ukaºte, ºe operace A ⊂ R[0,1] 7→ A = {f ∈ RR : (∃(fn) ⊂A) fn → f} není operací uzáv¥ru ºádné topologie, a£koliv spl¬uje (CL1), (CL2) a (CL3). Návod: Uvaºujte A=C([0,1]) a její "uzáv¥ry".
Najd¥te analogický p°íklad pro "operaci vnit°ku", která spl¬uje (I1), (I2) a (I3), ale nespl¬uje (I4).
P°íklad 2.4 (Kuratowského p°íklad**). Najd¥te maximální systém podmnoºin R, který se skládá z n¥jakéA⊂R a práv¥ v²ech mnoºin tvaru Ai1,...,in, kden∈N je libovolné a kaºdéik je bu¤ operace dopl¬ku nebo uzáv¥ru. Návod. Uºijte následující 2 cvi£ení. Dokaºte, ºe systém m·ºe obsahovat nejvý² 14 mnoºin a najd¥te mnoºinu, ze které takový systém opakováním operací dopl¬ku a uzáv¥ru dostanete.
P°íklad 2.5 (regulární otev°ené mnoºiny*).
(a) Ukaºte, ºe pro podmnoºinu A topologického prostoru X platí r(r(A)) = r(A), kder(A) = (A)0 ("r(A) je regulární otev°ená mnoºina", tj. nejv¥t²í otev°ená mnoºina se zadaným uzáv¥rem).
(b) Ukaºte, ºe v mnoºin¥R(X)v²ech regulárních otev°ených mnoºin vX exis- tuje pro kaºdou podmnoºinu mnoºinyR(X)její supremum v R(X). (c) Ukaºte, ºe pro H ⊂X hustou a R∈ R(X)je R= (R∩H)0.
P°íklad 2.6. (viz p°edná²ka) Ukaºte, ºe pro podmnoºinu N topologického proto- storu platíN0= ((Nc))c.
P°íklad 2.7. (samostatn¥?) Ukaºte, ºe pro podmnoºinuA topologického prostoru platíA=A∪A0=A∪∂A.
P°íklad 2.8. (samostatn¥?) Ukaºte, ºe pro podmnoºinuR topologického prostoru jsou ekvivalentní následující vlastnosti:
• (∀U ∈ G(x), x∈R)(∃W ⊂U)W ∈ G, W 6=∅, W ∩R=∅.
• (Rc)0 je hustá.
• (R)0=∅.
O takové mnoºin¥ °íkáme, ºe je °ídká.
3. Nety a posloupnosti
P°íklad 3.1. Ukaºte, ºe konvergentní posloupnost(xn)n∈NvR(v kaºdém Hausdor- ov¥ prostoru) má za uzáv¥r {xn:n∈N} ∪ {limxn}.
Ukaºte, ºe Q− = {q ∈ Q: q < 0} s obvyklou relací ≤ je usm¥rn¥ná a ºe 0 je limitou netu (xq)q∈Q−, kde xq =q. Jaký je uzáv¥r {xq :q∈Q−}?
P°íklad 3.2. (6. cvi£ení) Najd¥te n¥jakou topologii naN∪ {0}, která je Hausdorf- fova a není metrizovatelná. Uvaºujte diskrétní topologii naNa zkuste najít vhodnou lokální bázi v nule tak, aby 0 ∈N, ale ºádná posloupnost p°irozených £ísel nekon- verguje k nule v nalezené topologii.
P°íklad 3.3. Najd¥te n¥jakou spo£etnou podmnoºinu H ⊂ SC([0,1]) (jednotková sféra v maximové norm¥) s nulovou funkcí v τp-uzáv¥ru tak, ºe R
|h| ≥ 12 pro h∈H.
Ukaºte, ºe 0 neníτp-limitou ºádné podposloupnosti posloupnosti(hn)zH. Speciáln¥H∪{0}s topologiíτpje spo£etný nemetrizovatelný Hausdor·v prostor.
Srovnejte s p°edchozím p°íkladem.
P°íklad 3.4 (pojem subnetu*). Denice. (xd)d∈(D,≤D) je subnet (zjemn¥ní) netu (he)e∈(E,≤E), pokud
- existuje zobrazeníp:D→E tak, ºe
(∀n0∈E)(∃d0∈D)(∀d≥Dd0)p(d)≥En0 a - xd=hp(d).
V topologickém prostoru platí: x je hromadným bodem netu (he)e∈(E,≤), práv¥
kdyº existuje "podnet"(xd)d∈(D,≤), takový, ºex= lim(D,≤)xd. Dokaºte.
P°íklad 3.5 (topologie bodové konvergence). (viz p°edná²ka - uzáv¥r topologie a konvergence net·) Ukaºte, ºe A⊂R7→A={f ∈RR: (∃ net(fd)D,≤ ⊂A)(∀x∈ R)f(x) = limD,≤fd(x), } je operátor uzáv¥ru topologie bodové konvergence.
4. Homeomorfismy a spojitá zobrazení
P°íklad 4.1. Ukaºte, ºe spojitý obraz separabilního prostoru je separabilní.
P°íklad 4.2. (6. cvi£ení?) Ukaºte, ºe pro kaºdou spojitou reálnou funkci na jednobodové kompaktikaci D∪ {∞} nespo£etné mnoºiny D (viz p°íklad vý²e) je f(∞) =f(d)pro v²echnad∈D\S pro n¥jakou spo£etnou mnoºinuS.
P°íklad 4.3. (5. cvi£ení) Ukaºte, ºe pro kaºdou spojitou reálnou funkci na [0, ω1] je f(ω1) =f(α)pro v²echnaα∈[β, ω1), pro n¥jakéβ ∈[0, ω1).
P°íklad 4.4.
(a) Rozhodn¥te, které z dvojic z prostor· N⊂R,{2−n:n∈N} ⊂R,{0} ∪ {1n : n∈N} ⊂R jsou homeomrofní.
(b) Rozhodn¥te, zdaRaR2 jsou homeomorfní.
(c) Rozhodn¥te, zda X={1n :n∈N} ∪ {0} ⊂R,X2 aX3 jsou homeomorfní.
(d∗∗) Rozhodn¥te, zdaQ⊂RaQ2⊂R2 jsou homeomorfní.
(e) Jsou prostory C([0,1]) aCp([0,1]) homeomorfní? (Srovnejte s úlohou 3.3.)
(f) Rozhodn¥te, zdaR×S1aR2\ {(0,0)}jsou homeomorfní (S1je jednotková kruºnice v R2).
(g) Je Niemytzkého rovina homeomorfní s S2, kdeS je Sorgenfreyova p°ímka?
(Návod: Zkoumejte obojetné mnoºiny.)
5. Operace s topologickými prostory
P°íklad 5.1. Ukaºte, ºe prostor X je Hausdor·v, práv¥ kdyº diagonála ∆ = {(x, x) :x∈X}je uzav°ená v X2.
P°íklad 5.2. (5. cvi£ení) Ukaºte, ºeS2je separabilní, ale není d¥di£n¥ separabilní, kde S je Sorgenfreyova p°ímka.
P°íklad 5.3.
(a) Ukaºte, ºe sou£in spo£etn¥ mnoha prostor· se spo£etnou bází má spo£etnou bázi.
(b) Ukaºte, ºe sou£in spo£etn¥ mnoha (dokonce i kontinua) separabilních pro- stor· je separabilní.
(c*) Ukaºte, ºe sou£inX více neº kontinua aspo¬ dvouprvkových Hausdorových prostor· (nap°.RA, kdecardA >cardR) není separabilní.
P°íklad 5.4.
(a) Ukaºte, ºe C={P∞ n=1
an
3n :an ∈ {0,2}}a{0,1}Njsou homeomorfní.
(b∗) Ukaºte, ºeNNaR\Qjsou homeomorfní.
P°íklad 5.5. (6. cvi£ení?)
(a) Ukaºte, ºe inmum kaºdé mnoºinyT1-topologií jeT1-topologie.
(b) Ukaºte, ºe to neplatí pro Hausdorovy, tj.T2-topologie, na ºádné nekone£né mnoºin¥.
(c*) Ukaºte, ºe to neplatí proT0-topologie na ºádné aspo¬ dvouprvkové mnoºin¥.
P°íklad 5.6.
(a) Jaké prostory jsou spojitými obrazy n¥jakého diskrétního prostoru?
(b) Jaké prostory jsou kvocientem n¥jakého diskrétního prostoru?
P°íklad 5.7. Nech´ X ={(0,0)∪ {(x1, x2)∈R2 :|x1|<|x2|}je podprostor R2. Nech´Y je faktorprostor denovaný surjekcí q:X →Y, kdeq(x1, x2) = (x1, x2), pokudx26= 0aq(x,0) =y0:=R× {0}. Ukaºte, ºe existuje spojité prosté zobrazení Y na X, ale neexistuje takový homeomorsmus.
6. Regularita a odd¥lování spojitými funkcemi
P°íklad 6.1. Zkoumejte, které prostory z jiº d°íve popsaných jsou Hausdorovy, regulární, úpln¥ regulární, normální.
P°íklad 6.2. (1) Najd¥te na dvouprvkové mnoºin¥ topologii, která není regu- lární.
(2) Ukaºte, ºe nejhrub²í topologie GF naR, která je jemn¥j²í neº eukleidovská GR a taková, ºe F = {1/n : n ∈ N je uzav°ená, je Hausdorova a není regulární. Návod: Bod0 nelze odd¥lit odF. Ukaºte, ºeGF ={G\E:E⊂ F, G∈ GR}.
(3) Ukaºte, ºe k°íºková topologie G v rovin¥ je Hausdorova a není regulární.
Návod: F = {(p/q,1/q) : 1 ≤ p < q, q je prvo£íslo} je uzav°ená a uzá- v¥r kaºdé otev°ené, která ji obsahuje, obsahuje celý interval [0,1]. Nejprve ukaºte, ºe obsahuje hustou eukleidovsky Gδ podmnoºinu[0,1]. Body z[0,1]
tedy nelze vG odd¥lit odF otev°enými mnoºinami. Ukaºte, ºeG∈ G, práv¥
kdyº G∩P je otev°ená v P pro kaºdou p°ímku P, která je rovnob¥ºná s jednou z os.
P°íklad 6.3. (5., resp. 6. cvi£ení - (b), resp. (a)) (a) Ukaºte, ºe Sorgenfreyova p°ímka S je normální.
(b) Ukaºte, ºe sou£inS2není normální. (Návod:∆ ={(x,−x) :x∈S}je uza- v°ená mnoºina, která je diskrétním podprostorem. Kdyby byl prostorS2nor- mální, existují dle Urysohnova lemmatu proE⊂∆ spojitéfE:S2→[0,1]
takové, ºe f(x) = 0 prox∈E af(x) = 1 pro x∈∆\E. Uºijte separabi- litu S2 a porovnejte mohutnosti v²ech spojitých funkcí na S2 s mohutností {fE:E⊂∆}. Zkuste "podobn¥"p°ímo pomocí odd¥lování otev°enými mno- ºinami. item [(c)] Ukaºte, ºe "Sorgenfreyova rovina"S2 je úpln¥ regulární, a lze ji homeomorfn¥ vno°it do Tichonovovy krychle[0,1]R.
P°íklad 6.4. Uvaºujte horní uzav°enou polorovinu vR2. Za bázi otev°ených mno- ºin zvolme eukleidovsky otev°ené podmnoºiny a navíc mnoºinyN(x, r) ={(x,0)} ∪ U((x, r), r), prox∈Rar >0, kdeU((x, y), r)je otev°ený kruh se st°edem v(x, y) a polom¥remr.
(a) Ukaºte, ºe uvedený popis denuje topologický prostor. (íká se mu Niemy- tzkého rovina.)
(b) Ukaºte, ºe je separabilní, ale není d¥di£n¥ separabilní.
(c) Ukaºte, ºe není normální podobn¥ jako v S2. Zkuste najít p°ímý d·kaz ne- normality Niemytzkého roviny N (£i "Sorgenfreyovy roviny"S2) (návod:
uvaºujte na diskrétní p°ímce v N £i v S mnoºinu iracionálních £ísel E a mnoºinu racionálních £íselF; uvaºujte otev°ené disjunktníG, H, které od- d¥lujíE aF; nap°. pomocí toho, ºe spo£etné pokrytí mnoºiny iracionálních
£ísel (ekvivalentn¥ celé mnoºiny R) obsahuje mnoºinu, která není °ídká v Rukaºte, ºe takové odd¥lující mnoºiny nemohou existovat).
(d) Je Niemytzkého rovina úpln¥ regulární? Je podprostorem (homeomorfní pod- prostoru)[0,1]R?
P°íklad 6.5. Ukaºte, ºe podprostorX\ {(ω, ω1)}prostoruX = [0, ω]×[0, ω1]není normální. (X je normální, nebo´ je kompaktní - viz dále).
P°íklad 6.6. *
(a) Ukaºte, ºe následující popis denuje topologický prostor pomocí systému bází okolí:
X ={−∞} ∪ {+∞} ∪X1∪X2∪X3, kde X1 = S
n∈Z,k∈NLn,k ∪Pn,k, Ln,k = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (2n+ 1k,2n+ 1), y=x−2n−k1}, Pn,k ={(x, y)∈R2:x∈(2n+ 1,2n+ 2−1k), y=
|x−2n+ 2| −k1};
X2={vn,k:n∈Z, k∈N}, kde vn,k = (2n+ 1,1−1k); X3=S
n∈ZKn, kde Kn={(2n, y) :y∈[0,12]}. Zkuste si na£rtnout, jakX vypadá.
Mnoºiny {−∞} ∪ {(x, y)∈ X :x≤r} pro r ∈R tvo°í bázi okolí bodu
−∞ a mnoºiny {+∞} ∪ {(x, y) ∈ X : x ≥r} pro r ∈ R tvo°í bázi okolí bodu+∞.
Mnoºina{v}pro v∈X1 tvo°í bázi okolív.
Mnoºiny{vn,k} ∪Ln,k∪Pn,k\K sK⊂Ln,k∪Pn,k kone£nou tvo°í bázi okolívn,k.
Mnoºiny {(2n, y)} ∪ {(x, y) : (x, y) ∈ Pn−1,k\K1} ∪ {(x, y) : (x, y) ∈ Ln,k\K2}, kde K1, K2 jsou kone£né, tvo°í bázi okolí bodu(2n, y)∈Kn. (b) Ukaºte, ºeX je Hausdor·v regulární prostor.
(c) Ukaºte, ºe pro kaºdou spojitou reálnou funkci na X je f(−∞) =f(+∞), tedy X není normální. Dokonce není "úpln¥ Hausdor·v", protoºe body
−∞ 6= +∞nelze odd¥lit spojitou funkcí.
P°íklad 6.7. * Uvaºujme sou£inY = (Z×X)∪{−∞}∪{+∞}, kdeX je Hausdor-
·v regulární prostor, který není normální. Topologie naZ×X je sou£inová a okolí bod·−∞,+∞ denujeme obdobn¥ jako v minulém p°ípad¥ nerovnostmi pro první sou°adnici. MnoºinyE, F nech´ jsou uzvav°ené disjunktní v X takové, které nelze odd¥lit spojitou reálnou funkcí.
Prostor Z nech´ je faktorizace vzhledem k ekvivalenci, ve které (2n, x)≡(2n+ 1, x)pron∈Z ax∈E a(2n+ 1, x)≡(2n+ 2, x)pron∈Zax∈F.
Ukaºte, ºe Y je Tichonov·v prostor, Z je Hausdor·v regulární prostor, ale není úpln¥ regulární (dokonce ani "úpln¥ Hausdor·v") ze stejného d·vodu jako v p°edchozí úloze.
(Návod: Uvaºujte pro spor spojitouf, která je0v−∞a1v+∞. Najd¥ten−∈Z tak, ºe f < 13 na {[(n−, x)] :x∈ X} an+ ∈Z tak, ºe f > 23 na {[(n+, x)] : x∈ X}. Uºijte neodd¥litelnost E a F a jejich kopií v kaºdém {[(k, x] : x ∈ X} pro k∈[n−, n+]k nalezení jejich neprázdných uzav°ených podmnoºin v vk-té kopii, na kterých jef ≤ 13+kεa které nelze odd¥lit spojitou funkcí. Najdeme tak bod vn+-té kopii, kdef ≤ 23 (volíme-liε >0 dostate£n¥ malé), coº je spor.)
7. Kompaktní a Lindelöfovy prostory P°íklad 7.1.
(1) Ukaºte p°ímo£a°e, ºe kompaktníT2-prostor je normální.
(2) Ukaºte p°ímo£a°e, ºe sou£in dvou kompaktních (spo£etn¥ kompaktních) pro- stor· je kompaktní.
Ukaºte p°ímo£a°e, ºe sou£in dvou kompaktních (spo£etn¥ kompaktních) prostor· je kompaktní.
P°íklad 7.2.
(a) Ukaºte, ºe Sorgenfreyova p°ímka S je d¥di£n¥ Lindelöfova. (Z toho, ºe je T3, tedy plyne normalita nep°ímo.)
(b) Ukaºte, ºe sou£inS2 není Lindelöf·v prostor.
P°íklad 7.3.
(a) Uvaºujte mnoºinu D = ({0} ×[0,1))∪({1} ×(0,1]). Ukaºte, ºe mnoºiny ({0} ×[r, s))∪({1} ×(r, s]),r < sv[0,1], tvo°í bázi Hausdorovy topologie.
Jde o tzv. prostor "dv¥ ²ipky". Dále jej zna£íme takéD.
(b) Ukaºte, ºeDje kompaktní. (Návod (kreslete si obrázek): Uvaºujte pokrytíP z bázových mnoºin. Rozmyslete si, ºe bod, který je pokryt jen jako "krajní"n¥kterých bázových mnoºin pokrytím P a není "krajní"v celémD, má v tom p°ípad¥
sv·j "prot¥j²ek"na druhé "²ipce", který je pokryt také jen jako "krajní".
Spojte takovou dvojici bázových mnoºin na²eho pokrytí do jedné otev°ené mnoºiny, odstra¬te její "krajní"body a pov²imn¥te si, ºe "projekce"t¥chto na {0} ×[0,1] spole£n¥ s projekcemi ostatních prvk· pokrytí P bez "kraj- ních"bod· (s výjimkou dvou krajních bod· celého D) pokrývají uzav°ený interval [0,1]. Lze tedy vybrat kone£né pokrytí, vrátit se k mnoºinám p°ed projekcí, um¥le slepené dvojice rozlepit a odstran¥né krajní body op¥t p°idat, abychom dostali kone£né podpokrytí p·vodního pokrytí prostoru.)
(c) Ukaºte, ºe f ∈ C(D), práv¥ kdyº existuje funkce g : [0,1]→ R, která má vlastní limity zprava (zleva) v kaºdém bod¥, kde to má smysl, a f((1, r)) = g−(r) = limx→r−g(x)af((0, r)) =g+(r) = limx→r+g(x).
(d) Spojitým funkcím na[0,1]tak odpovídají dvojice jejich kopií na horní a dolní
²ipku.C([0,1]) je tak Banach·v podprostor C(D). Z (c) zkuste vyvodit, ºe C(D)/C([0,1]) je lineárn¥ izometrický prostoruc0((0,1)).
P°íklad 7.4.
(a) Uvaºujte mnoºinu L= ({0} ×R)∪({1} ×R). Ukaºte, ºe mnoºiny ({0} × [r, s))∪({1} ×(r, s])spole£n¥ s mnoºinami({1} × {r})]pror < svRtvo°í bázi Hausdorovy (i regulární) topologie.
(b) Ukaºte, ºeL je Lindelöf·v. (Návod: Uvaºujte pokrytí z bázových mnoºin a uºijte Lindelöfovu vlastnost Sorgenfreyovy p°ímky.)
(c) Pov²imn¥te si, ºe i kdybychom se omezili na[0,1]namístoR, tak podprostor není kompaktní.
P°íklad 7.5.
(a) Ukaºte, ºe sou£in kone£n¥ mnoha kompaktních prostor· je kompaktní.
(b) Ukaºte, ºe projekce uzav°ené podmnoºinyF ⊂X×K sou£inu topologického prostoruX s kompaktním prostorem K doX je uzav°ená.
P°íklad 7.6.
(a) Ukaºte, ºe kone£né sjednocení kompaktních podprostor· topologického pro- storu je kompaktní.
(b) Ukaºte, ºe pr·nik libovolného systému kompaktních podprostor· Hausdorf- fova prostoru je kompaktní.
(c) Ukaºte, ºe spo£etné sjednocení Lindelöfových podprostor· topologického pro- storu je Lindelöfovo.
(d) Ukaºte, ºe pr·nik dvou kompaktních podprostor· nehausdorova prostoru nemusí být Lindelöf·v. (Návod: Zkuste spojit dv¥ jednoprvkové kompakti- kace nespo£etného diskrétního prostoru do jednoho prostoru.)
(e) Ukaºte, ºe pr·nik dvou Lindelöfových podprostor· Hausdorova prostoru nemusí být Lindelöf·v. (Návod: Zkuste spojit vhodným zp·sobem (my²lenka podobná p°íkladu 7.3) dv¥ kopie prostoruL z p°edchozího p°íkladu 7.4.) P°íklad 7.7. Nech´ A(M)zna£í topologický prostor na mnoºin¥ M ∪ {∞M}, kde
∞M ∈/ M, takovou, ºe podprostor M je diskrétní otev°ená a otev°ená okolí bodu
∞M jsou dopl¬ky kone£ných podmnoºinM.A(M)je "jednoprvková (nebo téº Ale- xandrovova) kompaktikace"diskrétního prostoru M. Ukaºte, ºe A(N)×A(D) je kompaktní a není d¥di£n¥ normální, kdeA(N)aA(D)jsou jednoprvkové kompakti- kace diskrétního prostoruNa nespo£etného diskrétního prostoruD. Návod: Uvaºujte podprostor (A(N)×A(D))\ {(∞N,∞D)} a uzav°ené podmnoºinyE =N× {∞D} aF ={∞N} ×D.
P°íklad 7.8.
(a) Ukaºte, ºe uzav°ené intervaly[0, κ]ordinál· s topologií denovanou subbází z interval· [0, α) a (β, κ], kde α, β ∈(0, κ), jsou Hausdorovy kompaktní prostory. Zdeκje nap°. první nekone£né ω £i první nespo£etnéω1. (b) Ukaºte, ºe X = [0, ω]×[0, ω1] je Hausdor·v kompaktní, speciáln¥ nor-
mální, prostor, který obsahuje nenormální podprostor. (Viz úlohu 6.5.) Ná- vod: Ukaºte, ºeE= [0, ω]×{ω1}aF ={ω}×[0, ω1]jsou uzav°ené disjunktní v X = ([0, ω]×[0, ω1])\ {(ω, ω1)}, ale není moºné je odd¥lit otev°enými mnoºinami.
P°íklad 7.9.
(a) F neprázdná mnoºina neprázdných podmnoºinX je ltr, pokud je uzav°ená na kone£né pr·niky a na nadmnoºiny. Ukaºte, ºe kaºdý ltr je £ástí ma- ximálního ltru, tj. ltru, který s kaºdou A ⊂ X obsahuje bu¤ A £i její dopln¥k.
(b) FiltrF v topologickém prostoru X má hromadný bod, jestliºe T
{F : F ∈ F } 6=∅. Ukaºte, ºe maximální ltr ("ultraltr") má hromadný bodx, práv¥
kdyº obsahuje kaºdé okolíx.
(c) Ukaºte, ºe topologický prostor je kompaktní, práv¥ kdyº kaºdý ltr (resp.
ultraltr) má hromadný bod.
(d) Pro ultraltrF v sou£inu kompaktníchKa,a∈A, uvaºujteFa={πa(F) : F ∈ F }. Ukaºte, ºe jde o ultraltr v Ka. Ukaºte, ºe x= (xa), kde xa je hromadný bodFa, je hromadný bodF. Tím jste dokázali Tichonovovu v¥tu.
P°íklad 7.10 (Diniho v¥ta). Nech´K je neprázdný (spo£etn¥) kompaktní prostor afn, f ∈C(K)jsou takové, ºe posloupnost (fn(x))∞n=1 je nerostoucí a konverguje kf(x)pro kaºdé x∈K. Pak posloupnostfn konverguje k f vC(K), tj. funkcefn konvergují k funkcif stejnom¥rn¥.
(Návod: Uvaºujte klesající posloupnost uzav°ených mnoºin Fn = {x ∈ K :
|fn(x)−f(x)| ≥ε} proε >0.) P°íklad 7.11.
(a) Ukaºte, ºeNje otev°ená podmnoºinaβN, tj. ºe kaºdý prvek Nje izolovaný vβN.
(b) Dokaºte, ºeK={F :F je maximální ltr podmnoºinN} s topologií gene- rovanou bazíB={BU :U ⊂N}, kde BU ={F ∈K:U ∈ F }.
P°íklad 7.12. Ukaºte, ºe`∞(Γ) je lineárn¥ izomorfní sC(βΓ). (Tedy`∞(Γ)∗ je lineárn¥ izomorfní s prostorem znaménkových Radonových m¥r s kone£nou variací naβΓ.)
