Josef Tkadlec
59. mezinárodní matematická olympiáda – dvě stříbra a dva bronzy
Rozhledy matematicko-fyzikální, Vol. 93 (2018), No. 3, 42–47 Persistent URL:http://dml.cz/dmlcz/147466
Terms of use:
© Jednota českých matematiků a fyziků, 2018
Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain theseTerms of use.
This document has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the projectDML-CZ:
The Czech Digital Mathematics Libraryhttp://dml.cz
ZPRÁVY
59. mezinárodní matematická olympiáda – dvě stříbra a dva bronzy
Josef Tkadlec, IST Austria, Vídeň
Mezinárodní matematická olympiáda za- vítala letos v červenci již pošesté ve své historii do Rumunska, kde se v roce 1959 konal i její první ročník. Soutěž hostilo studentské město Cluj-Napoca v srdci Transylvánie a zúčastnilo se jí 594 sou- těžících ze 107 zemí. Naši studenti dovezli dvě stříbrné a dvě bronzové medaile.
Jako první na místo přijeli vedoucí národních delegací, jejichž hlav- ním úkolem bylo z 28 připravených návrhů rozdělených do čtyř kategorií (algebra, kombinatorika, geometrie a teorie čísel) vybrat šestici úloh pro ostrou soutěž a shodnout se na bodovacích schématech k jednotlivým úlohám. Zadání vybraných úloh naleznete na konci této zprávy. Zmiňme jen, že autorem druhé soutěžní úlohy jePatrik Bak ze Slovenska.
Soutěžící a pedagogičtí vedoucí přijeli do Rumunska o tři dny později.
Ubytováni byli po několika různých hotelích v centru města.
Soutěž proběhla 9. a 10. července ve sportovní hale. Soutěžící měli každý den 4,5 hodiny na řešení tří obtížných úloh a za každou z nich mohli získat až 7 bodů. Připomeňme, že zhruba polovina soutěžících si z olympiády doveze medaili, přičemž počet udělených zlatých (G), stříbrných (S) a bronzových (B) medailí je v přibližném poměrů 1 : 2 : 3.
Na ně bylo letos nutné získat aspoň 16, 25, resp. 31 bodů (z 42 možných).
Reprezentanty České republiky byli Matěj Doležálek z Gymnázia Dr. A. Hrdličky v Humpolci, Pavel Hudec z Gymnázia Jiřího Gutha- -Jarkovského v Praze,Lenka Kopfová z Mendelova Gymnázia v Opavě, Danil Koževnikov z Gymnázia Jana Keplera v Praze, Radek Olšák z Mensa Gymnázia v Praze a Martin Raška z Wichterlova Gymnázia v Ostravě-Porubě. Vedoucím týmu bylJosef Tkadlec z IST Austria, pe- dagogickým vedoucímMichal Rolínek, Ph.D., z Institutu Maxe Plancka v Tübingenu.
Přehled výsledků našich soutěžících uvádíme v tabulce:
Body za úlohu Body Cena
Umístění 1 2 3 4 5 6
87.–110. Danil Koževnikov 7 7 0 7 7 0 28 S
111.–121. Pavel Hudec 7 5 0 7 7 1 27 S
215.–227. Lenka Kopfová 7 3 0 7 1 1 19 B
228.–251. Martin Raška 7 3 0 7 1 0 18 B
320.–337. Matěj Doležálek 7 4 0 0 2 0 13 HM
368.–390. Radek Olšák 1 0 0 7 1 1 10 HM
Celkem 36 22 0 35 19 3 115
Tým, který se po 10 letech konečně neskládal ze samých chlapců, získal dvě stříbrné medaile (Danil a Pavel), dvě bronzové medaile (Lenka a Martin) a dvě čestná uznání (Matěj a Radek), která se udělují za úplně vyřešení alespoň jedné úlohy. V neoficiálním pořadí států se dělila ČR o 39.–40. místo s Argentinou. Tento jinak nadprůměrný výkon českého družstva zastínili historickými výkony naši sousedé: Slováci poprvé po více než deseti letech získali tři stříbrné medaile a Poláci se poprvé od roku 1981 umístili v první desítce (devátí).
Body za úlohu Body Cena
Umístění 1 2 3 4 5 6
61.–86. Martin Melicher 7 7 0 7 7 1 29 S
111.–121. Tomáš Sásik 7 7 0 7 6 0 27 S
Ákos Záhorský 7 7 0 7 6 0 27 S
193.–203. Lucia Krajčoviechová 7 2 0 7 5 0 21 B
215.–227. Michal Staník 2 3 0 7 7 0 19 B
250.–272. Samuel Krajči 7 2 0 7 1 0 17 B
Celkem 37 28 0 42 32 1 140
Co se týče ostatních států, na čele se umístila tradiční trojice USA, Rusko, Čína, následovaná netradičně Ukrajinou. V první desítce kromě výše zmíněného Polska najdeme již jen východoasijské státy. Kompletní výsledky jsou dostupné na adrese:
https://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2018 Přestože se českému týmu v souhrnu dařilo, několik žáků mělo za cíl ještě lepší výsledky. Maturanti Pavel a Danil při své poslední účasti na IMO oprávněně pomýšleli na zlato a medaile byly v silách i Radka a Matěje. Ti budou mít spolu s Lenkou příležitost opět za rok; pokud se úspěšně probijí příštím ročníkem české MO, budou se moci předvést na jubilejní 60. mezinárodní matematické olympiádě, která proběhne v městě Bath ve Velké Británii.
43
Celkové pořadí zúčastněných zemí, získané body a medaile:
G S B body
USA 5 1 0 212
Rusko 5 1 0 201
ČLR 4 2 0 199
Ukrajina 4 2 0 186
Thajsko 3 3 0 183
Tchaj-wan 3 1 2 179
Jižní Korea 3 3 0 177
Singapur 2 3 1 175
Polsko 1 5 0 174
Indonésie 1 5 0 171
Austrálie 2 3 1 169
Velká Británie 1 4 0 161
Japonsko 1 3 2 158
Srbsko 2 2 2 158
Maďarsko 0 4 2 157
Kanada 0 5 1 156
Itálie 0 4 2 154
Kazachstán 0 4 2 151
Írán 1 3 1 150
Vietnam 1 2 3 148
Bulharsko 1 3 1 146
Chorvatsko 0 4 1 145
Slovensko 0 3 3 140
Švédsko 1 2 2 138
Turecko 1 1 4 138
Izrael 0 2 4 136
Gruzie 0 1 5 133
Brazílie 1 0 4 132
Indie 0 3 2 132
Mongolsko 0 1 5 132
Německo 1 2 1 131
Arménie 0 2 4 130
Francie 1 1 4 129
Rumunsko 1 1 2 129
Peru 0 2 3 125
Mexiko 0 1 4 123
Nizozemsko 0 1 4 123
Filipíny 1 1 2 121
Argentina 0 1 4 115
Česká republika 0 2 2 115
Bangladéš 1 0 3 114
Slovinsko 0 1 1 104
G S B body
Bosna
a Hercegovina 0 0 4 103
Tádžikistán 0 0 5 103
Bělorusko 0 0 4 102
Nový Zéland 0 1 2 102
Belgie 0 0 4 92
Malajsie 0 0 2 90
Hongkong 0 0 2 89
Moldavsko 0 0 3 86
Estonsko 0 1 0 80
Litva 0 0 2 77
Portugalsko 0 0 2 77
Řecko 0 0 2 74
Španělsko 0 0 2 74
Norsko 0 0 2 73
Rakousko 0 0 3 72
Dánsko 0 0 3 71
Finsko 0 0 2 70
Saudská Arábie 0 1 1 69
Sýrie 0 0 2 69
JAR 0 0 1 66
Kostarika 0 0 2 65
Turkmenistán 0 0 1 65
Makao 0 0 1 61
Kolumbie 0 0 1 59
Island 0 0 1 56
Švýcarsko 0 0 1 52
Ázerbájdžán 0 0 0 50
Tunisko 0 0 0 49
Ekvádor 0 0 0 48
Srí Lanka 0 0 1 47
Maroko 0 0 0 46
Portoriko 0 0 1 46
Kypr 0 0 1 45
Irsko 0 0 1 43
Kyrgyzstán 0 0 0 41
Lotyšsko 0 0 0 40
Albánie 0 0 0 37
Pákistán 0 0 0 35
Bolívie 0 0 0 33
Makedonie 0 0 0 27
Nigérie 0 0 0 26
G S B body Trinidad
a Tobago 0 0 0 26
Myanmar 0 0 0 23
Kosovo 0 0 0 21
Panama 0 0 0 21
Uzbekistán 0 0 0 21
Černá Hora 0 0 0 20
Salvádor 0 0 0 20
Chile 0 0 0 19
Alžírsko 0 0 0 18
Lucembursko 0 0 0 14
Ghana 0 0 0 13
Botswana 0 0 0 12
G S B body
Paraguay 0 0 0 12
Kambodža 0 0 0 11
Guatemala 0 0 0 11
Egypt 0 0 0 10
Irák 0 0 0 9
Uganda 0 0 0 9
Pobřeží
slonoviny 0 0 0 8
Uruguay 0 0 0 7
Honduras 0 0 0 6
Nepál 0 0 0 5
Venezuela 0 0 0 2
Tanzánie 0 0 0 1
Obr. 1: Český tým – zleva Michal Rolínek (deputy leader), Lenka Kopfová, Radek Olšák, Danil Koževnikov, Martin Raška, Matěj Doležálek, Pavel Hudec, Marc Dragoi (guide), Josef Tkadlec (leader)
Závěrem uvádíme texty soutěžních úloh (v závorce je uvedena země, která úlohu navrhla).
45
1. Je dán ostroúhlý trojúhelníkABC s opsanou kružnicí Γ. BodyD,E leží postupně uvnitř stran AB, AC tak, že |AD| =|AE|. Osy úse- čekBD,CE protínají kratší obloukyAB,AC kružnice Γ postupně v bodechF,G. Dokažte, že přímkyDEaF Gjsou rovnoběžné (nebo
totožné). (Řecko)
2. Najděte všechna celá čísla n ≥ 3, pro která existují reálná čísla a1, a2, . . . , an+2 taková, žean+1=a1,an+2=a2aaiai+1+ 1 =ai+2
proi= 1,2, . . . , n. (Slovensko)
3. Packalův trojúhelník je tabulka čísel ve tvaru rovnostranného troj- úhelníku taková, že kromě čísel ve spodním řádku je každé číslo rovno absolutní hodnotě rozdílu dvou čísel bezprostředně pod ním.
Následující tabulka je příkladem Packalova trojúhelníku o čtyřech řádcích, který obsahuje všechna celá čísla od 1 po 10:
4
2 6
5 7 1
8 3 10 9
Rozhodněte, zda existuje Packalův trojúhelník o 2018 řádcích, který obsahuje všechna celá čísla od 1 po 1 + 2 +· · ·+ 2018. (Írán) 4. Značka je bod (x, y) v rovině takový, žexa y jsou kladná celá čísla
nepřevyšující 20.
Na začátku je všech 400 značek prázdných. Amálka a Budulínek na ně střídavě pokládají kamínky, přičemž Amálka začíná. Amálka ve svém tahu položí nový červený kamínek na prázdnou značku tak, aby vzdálenost každých dvou značek s červenými kamínky byla různá od √
5. Budulínek ve svém tahu položí nový modrý kamínek na ja- koukoli prázdnou značku. (Značka s modrým kamínkem může mít jakékoli vzdálenosti od ostatních značek.) Hra skončí, jakmile jeden z hráčů nemůže táhnout.
Najděte největší K takové, že Amálka může vždy položit alespoň K červených kamínků, ať už hraje Budulínek jakkoli. (Arménie)
5. Nechťa1, a2, . . .je nekonečná posloupnost kladných celých čísel. Před- pokládejme, že existuje celé číslo N > 1 takové, že pro všechna n≥N je číslo
a1 a2 +a2
a3 +· · ·+an−1
an +an
a1
celé. Dokažte, že existuje celé číslo M takové, že am = am+1 pro
všechnam≥M. (Mongolsko)
6. Konvexní čtyřúhelník ABCD splňuje |AB| · |CD| = |BC| · |DA|. Uvnitř něj leží bodX takový, že
|XAB|=|XCD| a |XBC|=|XDA|.
Dokažte, že|BXA|+|DXC|= 180◦. (Polsko)
Středoevropská olympiáda v informatice CEOI 2018
Pavel Töpfer, MFF UK Praha
Dvacátý pátý ročník Středoevropské olympiády v informatice CEOI 2018 se konal ve dnech 12. až 18. srpna 2018 v polském hlavním městě Varšavě. Soutěž probíhala v prostorách Fakulty matematiky, informatiky a mechaniky Varšavské univerzity, všichni účastníci byli ubytování v ne- dalekém hotelu Reduta Ibis. Celkem soutěžilo 55 studentů ze 13 zemí.
Vedle osmi tradičních účastnických středoevropských států (Česká re- publika, Chorvatsko, Maďarsko, Německo, Polsko, Rumunsko, Slovensko, Slovinsko) přijeli navíc jako hosté soutěžící z Rakouska, Ázerbájdžánu, Švýcarska, Gruzie a Itálie. Jako obvykle se zúčastnilo také druhé druž- stvo pořadatelské země.
Reprezentační družstvo České republiky bylo sestaveno na základě vý- sledků dosažených v ústředním kole 67. ročníku Matematické olympiády kategorie P a výběrového soustředění, kam byli nejlepší řešitelé ústřed- ního kola pozváni. Na celosvětovou informatickou olympiádu IOI 2018 (Japonsko, Tsukuba) byli vysláni čtyři nejlepší studenti, pro účast na 47
