f je kvazikonk´avn´ı na I, pokud pro kaˇzdou dvojici bod˚ua &lt

(1)

K odd´ılu V.9 – Kvazikonk´avn´ı funkce K definici kvazikonk´avn´ıch funkc´ı:

• Stejnˇe jako konkávn´ı funkce, i kvazikonkávn´ı funkce se definuj´ı na konvexn´ı mnoˇzinˇe. D˚uvod k tomu je stejný.

• Porovnán´ı konkávn´ıch a kvazikonkávn´ıch funkc´ı na intervalu: Mˇejme funkci f definovanou na intervalu I.

– f je konk´avn´ı naI, pokud pro kaˇzdou dvojici bod˚ua < b vI ˇc´ast grafuf na intervalu ha, bi leˇz´ı nad pˇr´ısluˇsnou seˇcnou ke grafu (tj.

nad pˇr´ımkou spojuj´ıc´ı body [a, f(a)] a [b, f(b)];

– f je kvazikonk´avn´ı na I, pokud pro kaˇzdou dvojici bod˚ua < b vI ˇc´ast grafuf na intervaluha, bileˇz´ı nad menˇs´ı z hodnotf(a), f(b).

Tento rozd´ıl je ilustrován na následuj´ıc´ıch na následuj´ıc´ıch obrázc´ıch.

Na levém obrázku je graf konkávn´ı funkce. Pro zvolenou dvojici bod˚u ˇ

c´ast grafu mezi nimi leˇz´ı nad seˇcnou.

Na pravém obrázku je kvazikonkávn´ı funkce, co nen´ı konkávn´ı. Pro zvolenou dvojici bod˚u je ˇcást grafu mezi nimi pod seˇcnou, ale nad menˇs´ı z funkˇcn´ıch hodnot v krajn´ıch bodech.

• Kvazikonkávn´ı funkce jedné promˇenné:

– Je-li funkce f na intervalu monot´onn´ı (tj. neklesaj´ıc´ı nebo nerostouc´ı), pak je kvazikonk´avn´ı.

(2)

D˚uvod je ten, ˇze pokud f je monotónn´ı na intervalu I a a, b∈I, pak v bodech mezi a, b nabývá f hodnot mezi f(a) a f(b), tedy urˇcitˇe nad menˇs´ı z tˇechto hodnot.

– Kvazikonkávn´ı funkce na otevˇreném intervalu nemus´ı být spojitá (protoˇze monotónn´ı funkce nemus´ı být spojitá). To je dalˇs´ı rozd´ıl oproti konkávn´ım funkc´ım.

– Funkce f je kvazikonkávn´ı na intervalu I, právˇe kdyˇz plat´ı jedna z následuj´ıc´ıch tˇr´ı moˇznost´ı:

∗ f je neklesaj´ıc´ı naI;

∗ f je nerostouc´ı naI;

∗ existuje c∈ I, ˇze f je neklesaj´ıc´ı na I∩(−∞, ci (tj. na levé ˇcásti I) af je nerostouc´ı naI∩(c,+∞) (tj. na pravé ˇcástiI);

∗ existuje c∈ I, ˇze f je neklesaj´ıc´ı na I ∩(−∞, c) (tj. na levé ˇcásti I) af je nerostouc´ı naI∩ hc,+∞) (tj. na pravé ˇcástiI).

Návod k d˚ukazu (pro zájemce): Jedna implikace je snadná – pokud je splnˇena jedna z podm´ınek, je f kvazikonkávn´ı.

Obrácená implikace: Pˇredpokládejme, ˇze f je kvazikonkávn´ı na I.

Ukaˇzte n´asleduj´ıc´ı pomocn´a tvrzen´ı:

∗ Necht’ a < b a f(a) < f(b). Pak pro kaˇzd´e x ∈ (−∞, a)∩I plat´ıf(x)≤f(a). (Pouˇzijte definici.)

∗ Necht’ a < b af(a)< f(b). Pak f je neklesaj´ıc´ı na (−∞, ai ∩ I. (Pouˇzijte pˇredchoz´ı krok.)

∗ Analogicky dokaˇzte, ˇze pokud a < b a f(a) < f(b), pak f je nerostouc´ı na hb,+∞)∩I.

∗ Pˇredpokl´adejme, ˇzef nen´ı nerostouc´ı. To znamen´a, ˇze existuj´ı a, b∈I splˇnuj´ıc´ıa < b a f(a) < f(b). Pak podle pˇredchoz´ıch krok˚u je f neklesaj´ıc´ı na I∩(−∞, ai. Definujme mnoˇzinu M ={x∈R;I∩(−∞, xi 6=∅&f je neklesaj´ıc´ı na I∩(−∞, xi}

Tato mnoˇzina je neprázdná (a∈M). Pokud nen´ı shora ome- zená, pak f je neklesaj´ıc´ı na I.

Pˇredpokládejme, ˇzeM je shora omezená. Oznaˇcmec= supM. Pak c ∈ I (jinak by i vˇsechna vˇetˇs´ı ˇc´ısla patˇrila do M) a f je neklesaj´ıc´ı na I ∩(−∞, c). Pokud c je koncový bod I, pak urˇcitˇe plat´ı ˇctvrtá moˇznost.

(3)

Pˇredpokládejme, ˇze c nen´ı koncový bod I. Uvˇedomme si, ˇze f mus´ı být nerostouc´ı na I ∩ (c,+∞). Necht’ totiˇz x, y ∈ I ∩ (c,+∞) splˇnuj´ı x < y. Kdyby platilo f(x) < f(y), pak dle pˇredchoz´ıch krok˚u jef neklesaj´ıc´ı na(−∞, xi∩I, tedyx∈M. To je ale spor s t´ım, ˇze c = supM. Proto mus´ı být f(x) ≥ f(y).

Máme tedy, ˇzef je neklesaj´ıc´ı na I∩(−∞, c)a nerostouc´ı na I∩(c,+∞). Zbývá si uvˇedomit, ˇze

f(c)≥min{lim

x→c−f(x), lim

x→c+f(x)}, takˇze nastává tˇret´ı nebo ˇctvrtá moˇznost

Grafy kvazikonkávn´ıch funkc´ı ilustruj´ıc´ı nˇekteré z uvedených moˇznost´ı:

• Ryze Kvazikonkávn´ı funkce jedné promˇenné se chovaj´ı analogicky:

– Je-li funkcef na intervalu ryze monot´onn´ı (tj. klesaj´ıc´ı nebo rostouc´ı), pak je kvazikonk´avn´ı.

– Funkce f je ryze kvazikonkávn´ı na intervalu I, právˇe kdyˇz plat´ı jedna z následuj´ıc´ıch ˇctyˇr moˇznost´ı:

∗ f je klesaj´ıc´ı na I;

∗ f je rostouc´ı na I;

∗ existujec∈I, ˇzef je rostouc´ı naI∩(−∞, ci(tj. na levé ˇcásti I) a f je klesaj´ıc´ı naI∩(c,+∞) (tj. na pravé ˇcásti I);

∗ existujec∈I, ˇzef je rostouc´ı naI∩(−∞, c) (tj. na levé ˇcásti I) a f je klesaj´ıc´ı naI∩ hc,+∞) (tj. na pravé ˇcásti I).

(4)

• f je kvazikonkávn´ı naM, právˇe kdyˇz je kvazikonkávn´ı na kaˇzdé úseˇcce obsaˇzené v M. (D˚ukaz stejný jako pro konkávn´ı funkce.)

• f je kvazikonkávn´ı na úseˇcce ab, právˇe kdyˇz funkce ϕ(t) = f(ta+ (1−t)b) je kvazikonkávn´ı na intervalu h0,1i. (D˚ukaz stejný jako pro konkávn´ı funkce.)

K Vˇetˇe V.25: Toto je velmi snadné. Pokud f je ryze kvazikonkávn´ı na M a nabývá ve dvou bodech a, b ∈ M stejné hodnoty, pak na úseˇcce ab (s výjimkou krajn´ıch bod˚u) nabývá hodnot ostˇre vˇetˇs´ıch. Proto nem˚uˇze nabývat maxima ve dvou r˚uzných bodech.

K D˚usledku Vˇety V.25:Tento d˚usledek plyne z kombinace Vˇety V.10 (ta d´a existenci maxima) a Vˇety V.25 (ta d´a jednoznaˇcnost).

K Vˇetˇe V.26:

• D˚ukaz:

⇒: Pˇredpokl´adejme, ˇze f je kvazikonk´avn´ı aα ∈ R. Necht’ a, b∈Qα. Pakf(a)≥α af(b)≥α. Proto i min{f(a), f(b)} ≥α.

Protoˇzef je kvazikonkávn´ı, pro kaˇzdéx z úseˇcky abplat´ı f(x)≥min{f(a), f(b)} ≥α,

tedyx ∈Q_α. Proto cel´a ´useˇcka ab patˇr´ı doQ_α. To dokazuje kon- vexitu Q_α.

⇐: Pˇredpokládejme, ˇze kaˇzdá z mnoˇzin Qα je konvexn´ı. Ukaˇzme, ˇze f je kvazikonkávn´ı. Zvolme a, b∈M. Poloˇzme

α= min{f(a), f(b)}.

Pak a, b∈ Q_α, proto celá úseˇcka ab patˇr´ı do Q_α. Tedy pro kaˇzdé x z úseˇcky ab plat´ı

f(x)≥α= min{f(a), f(b)}.

To ovˇsem dokazuje kvazikonk´avnost f.

(5)

• V´yznam t´eto vˇety:

– Tato vˇeta je vlastnˇe motivac´ı pro definici kvazikonk´avn´ıch funkc´ı.

Tedy ta definice je vymyˇslena takovým zp˚usobem, aby platila tato charakterizace. (A aby zároveˇn pˇripom´ınala definici konkávn´ıch funkc´ı.)

– Tato vˇeta mj. ˇr´ıká, ˇze kvazikonkávnost se pozná z

”kvalitativn´ıho chován´ı vrstevnic“. Tedy z tvaru vrstevnic a jejich uspoˇrádán´ı (tj.

kde je hodnota vˇetˇs´ı a kde menˇs´ı), pˇritom nezávis´ı na konkrétn´ıch hodnotách (tj. na sklonu funkce, na

”hustotˇe vrstevnic“.).

Zaj´ımavost pro ekonomy je dána právˇe t´ımto - u uˇzitkové funkce nemus´ı být zˇrejmé jej´ı kvantitativn´ı vyjádˇren´ı, ale m˚uˇze být jasné uspoˇrádan´ı – kdy je vˇetˇs´ı a kdy menˇs´ı. Vrstevnice pak odpov´ıdaj´ı indiferenˇcn´ım kˇrivkám – m˚uˇze záleˇzet na jejich tvaru a uspoˇrádán´ı, ne na jejich hustotˇe.