ty o logaritmech II

1

2.9.15 V

ty o logaritmech II

Př. 1: Zapiš jako násobek log x :

a) logx²+logx³ b) ⁴ 1₃ logx log

+ x c)

3

log x log 1 + x . a) logx²+logx³ =2 logx+3logx=5 logx b) ⁴ 1₃

logx log 4 logx 3logx logx

+ x = − =

c) 3

1 1 1 1

log log log log log

2 3 6

x x x x

+ x = − =

Shrňme si, co znamená logaritmus. log_ar je:

Př. 2: Zjednoduš: a) 1 log 5 log

+ 5 b) _{3 3}1 ₃

log 2 log log 8

+ 2+ c) ³

3

log 125 log 5 ^.

a) 1 1 1

log 5 log log 5 log 5 log 5

5 2 2

+ = − = −

b)

1

1 3

2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

1 1

log 2 log log 8 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2 3log 2

2 2

5log 2 2

+ + = + − + = − + =

=

c)

3

3 3 3 3

1

3 2 3

3 3

log 125 log 5 3 log 5 log 5

6 6

1 log 5

log 5 log 5 log 5

2

= = ⋅ = ⋅ =

⋅

Př. 3: Zapiš jedním logaritmem:

a) log 2 1₃ + b) 2 loga+2 c) _{2 2} 1 ₂

2 log log log 2

a− b+3 c− . a) log 2 1₃ + =log 2 log 3₃ + ₃ =log 6₃ b) 2 loga+ =2 loga²+log100=log100a² c)

2 3

2 3

2 2 2 2 2 2 2 2

2 log log 1log 2 log log log log 4 log

3 4

a c

a b c a b c

− + − = − + − = b

Př. 4: Vyjádři pomocí log a , ₂ log b , ₂ log c a ₂ log d : ₂

3

2 4

log 4 a b c d ^.

3 1

3 2 2

2 4 2 4 2 2 2 2 2

4 4 3 1

log log log 4 log log 4 log log

2 2

a b a b

a b c d

c d = c d = + + − −

Př. 5: Vypočti:

a) log log log 9_{π 2 3} b) log 3 log 3 log 2 log 2 log 1²₆ + ₆ ⋅ ₆ + ₆ + ₆ a) log log log 9_{π 2 3} =log log 2_{π 2} =log 1_π =0

b)

( ) ( )

2

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

log 3 log 3 log 2 log 2 log 1 log 3 log 3 log 3 log 2 log 2 0 log 3 log 3 log 2 log 2 log 3 log 6 log 2 log 3 1 log 2 log 6 1

+ ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + + =

+ + = + = ⋅ + = =

2 Př. 6: Nakresli graf funkce y=log₂x²

Problém: Přečíslování osy x je nad naše síly ⇒ zkusíme úpravu výrazu v předpisu funkce.

2

2 2

log 2 log

y= x = ⋅ x Platí: ^{y= ⋅2 log2 x= ⋅2 f x}

( )

2 4

2

4

-4 -2 -2

-4

Př. 7: Nakresli graf funkce y=log 2₂ x: a) bez použití vzorce pro součin uvnitř logaritmu,

b) s použitím vzorce pro součin uvnitř logaritmu.

a) Platí: ^{y=log 22 x= f}

( )

Zvolíme x. Vypočteme 2x .

Nakreslíme funkci ^{y= f}

( )

2 4

2

4

-4 -2 -2

-4

4 8

-4 -8

b) Platí:

2 2 2 2

log 2 log log 2 log 1

y= x= x+ = x+ .

( )

log2 1 1

y= x+ = f x + Zvolíme x.

Nakreslíme funkci ^{y= f x}

( )

( )

Nakreslíme funkci

( )

( )

y= f x + = x + ^.

2 4

2

4

-4 -2 -2

-4

V obou případech jsme získali stejný graf, což je samozřejmé a jenom to potvrzuje správnost vzorce pro součin uvnitř logaritmu.

Př. 8: Petáková:

strana 31/cvičení 74 a) d) strana 31/cvičení 75 a) b) c)