OBER DIE w KURVEN IM DREIDIMENSIONALEN RAUME.
u
A . W I M A N in UPSALA.
Verschiedene T y p e n yon reellen W-Kurven.
I. Die Bahnkurven einer eingliedrigen projektiven Gruppe werden bekannt- lich als W-Kurven bezeichnet. Je nach der Dimension hat man also W-Kurven in der Ebene, im gewShnlichen dreidimensionalen Raume und in den versehie- denen Hyperr~umen. Die allgemeine Aufmerksamkeit auf solche Kurven haben zuerst F. KLEIN und S. LIE gelenkt, welche dieselben in einigen gemeinsamen Arbeiten untersucht haben. 1 Doch wurden gelegentlich schon friiher in der L i t t e r a t u r Beispiele yon W-Kurven betrachtet. 2 In dieser Abhandlung wollen wir besonders einige liniengeometrische Gebilde behandeln, welehe mit den dop- pelt gekriimmten W-Kurven in Zusammenhang stehen. Als mit der W-Kurve assoziiert bezeichnen wir eine Regelfl~che, wenn dieselbe aus Sehnen der W-Kurve erzeugt wird nnd die zugehSrige eingliedrige Gruppe gestatte~. Hier ist es na- tiirlich eine Bedingung fiir eine algebraisehe Regelfl~che, dass auch die IV-Kurve algebraisch sein muss. Aus diesem Grunde wollen wir in erster Instanz unsere Aufmerksamkei~ auf die algebraischen ~UKurven zuwenden. W i r wollen aber
1 D i e s e P u b l i k a t i o n e n f i n d e t m a n i n P a r i s C. R. 7 ~ (I87O) u n d M a t h . A n n . 4 (I87I).
2 M a n finder v i e l f a c h e L i t t e r a t u r n a c h w e i s e fiber W - K u r v e n in z w e i . A r t i k e l n i n d e r E n c y k l o - piidie d e r m a t h e m a t i s c h e n W i s s e n s c h a f t e n , i n d e n e n a u c h a u f die E i g e n s c h a f t e n der W - K u r v e n ein- g e g a n g e n w i r d , u n d z w a r bei G. SCEEFFERS ,Besondere transcendente Kurven, ( I I I D 4), Nr. 1 3 - 2o u n d 35, s o w i e K. ROH~ u n d L. BERZOLARI, ,Algebraische t~aumkurven und abwickelbare Fld- chen,, (III C 9), Nr. 58.
auch g e w i s s e K o n g r u e n z e n in B e t r a c h t ziehen, welche sich d u r c h die T a n g e n t e n eines r162 yon W - K u r v e n e r z e u g e n lassen. Das e i n f a c h s t e Beispiel h a t m a n in den sog. H i R s T s c h e n K o n g r u e n z e n , ffir welche die Brennfl~tche aus zwei Fl~tchen 2. G r a d e s (--~ F,~) m i t einem g e m e i n s a m e n w i n d s c h i e f e n V i e r s e i t besteht.
W i r k 5 n n e n auch d e m e n t s p r e c h e n d die f r a g l i c h e n K o n g r u e n z e n allgemein so definieren, dass die Brennfl~tche sich in zwei Fl:s eines Biischels
X P W q - - ~ y r z s ~ 0 (p + q ~ r + s)
zerlegen soil. H i e r b e i sind, was n a t i i r l i c h zu e r w a r t e n ist, die W - K u r v e n , d u r c h d e r e n T a n g e n t e n die K o n g r u e n z sich e r z e u g e n l~sst, im a l l g e m e i n e n Transzen- dent. D e r a l g e b r a i s c h e Fall t r i t t m i t h i n in diesem Teile der U n t e r s u c h u n g e n w e n i g e r in den V o r d e r g r u n d . Fiir die a l g e b r a i s c h e n d o p p e l t g e k r i i m m t e n W- K u r v e n gilt n u n die E i g e n s c h a f t , dass die c h a r a k t e r i s t i s c h e G l e i c h u n g e i n e r O p e r a t i o n der z u g e h S r i g e n eingliedrigen G r u p p e vier g e t r e n n t e W u r z e l n h a b e n soil. Dieselbe E i g e n s c h a f t c h a r a k t e r i s i e r t n o c h die t r a n s z e n d e n t e n W - K u r v e n , auf welche wir in der o b i g e n W e i s e gefiihrt werden. Die eingliedrige G r u p p e G1 l~sst d a n n die E c k e n u n d E b e n e n eines n i c h t a u s g e a r t e t e n T e t r a e d e r s in R u h e . W i r d dieses T e t r a e d e r als K o o r d i n a t e n t e t r a e d e r gew~hlt, so l a u t e n die Glei- c h u n g e n tier ~ B a h n k u r v e n 1
X 1 : X 2 : X 3 : X 4 : CI(~ alt : C2e a~-t : C3 ea3t : C~e a4t.
2. M a n h a t d r e i H a u p t k l a s s e n y o n r e e l l e n W - K u r v e n i m B a u m e , je nach- d e m die charalCteristische G l e i c h u n g einer O p e r a t i o n yon G~ vier reelle W u r z e l n , zwei reelle u n d ein P a a r k o n j u g i e r t i m a g i n ~ r e r W u r z e l n oder endlich zwei P a a r e k o n j u g i e r t i m a g i n ~ r e r W u r z e l n besitzt.
I m e r s t e n Falle sind s~mtliche E b e n e n u n d E c k e n des obigen K o o r d i n a t e n - t e t r a e d e r s reelI. W e n n wir oben e t d u r c h t ersetzen, b e k o m m e n wit die Glei- c h u n g e n der W - K u r v e n in der G e s t a l t
(i)
x~ : x 2 : x s : x 4 - - e l f ~, : c~t ~2 : e3t ~ : c~t ~4,wo a~, a2, a 3 u n d a~ reelle GrSssen bedeuten. H a t man a~ > a~ > a 3 > aa, so n ~ h e r n sich die K u r v e n u n b e g r e n z t fiir t---~o der Ecke x~ ~ xe ~ x~ ~ o u n d fiir t--* ~ der E c k e x~ ~ x~ = x4 = 6. Die T a n g e n t e n h a b e n dabei o f f e n b a r als G r e n z l a g e n x ~ : x ~ bzw. x a ~ x 4 ~ o , u n d ebenso sind x ~ o bzw. x ~ = o die
Man s e h e das s o e b e n z i t i e r t e Referat yon SCtIEFFERS, ~ r . 20.
0 b e r die W-Kurven im dreidimensionalen Raume. 245 G r e n z l a g e n der S c h m i e g u n g s e b e n e n . W e n n s~imtliche Verh~ltnisse zwischen den Differenzen der GrSssen a~, %, a 3 u n d a~ r a t i o n a l sind, so ist die K u r v e alge- braisch u n d zwar unikursal. I s t diese B e d i n g u n g n i c h t erfiillt, so ist die K u r v e t r a n s z e n d e n t . Fiir das reelle Gebiet h a t m a n aber hier a u f G r u n d der iiberein- s t i m m e n d e n a s y m p t o t i s c h e n E i g e n s c h a f t e n bei A n n ~ h e r u n g an den singul~ren P u n k t e n t -= o u n d t = ~ ei~e ganz a~aloge Theorie fffr die algebraischen und die transzendenten W-Kurven. Die a l g e b r a i s c h e n K u r v e n sind fiir sowohl positive als n e g a t i v e t-Werte definiert. A u c h die t r a n s z e n d e n t e n K u r v e n lassen sich in g e e i g n e t e r Weise so definieren, dass dieselben bei n e g a t i v e n t - W e r t e n reell exi- stieren. H i e r f i i r h a t man, wie wir sparer finden werden, eine endliche A n z a h l y o n MSglichkeiten.
I m zweiten Falle sind u n t e r den E b e n e n des K o o r d i n a t e n t e t r a e d e r s zwei reell, u n d die beiden iibrigen bilden ein k o n j u g i e r t e s P a a r . Die reellen E b e n e n seien x 3 = o u n d x 4 - - o . W i r setzen x , , x ~ = 2 1 + i:~, 2 u n d e ~ , e , ~ = ~ l • i~,~.
Die K o n s t a n t e n c~ u n d c s sollen a u c h k o n j u g i e r t i m a g i n ~ r sein. Die G l e i c h u n g e n der W - K u r v e n lassen sich j e t z t a u f die f o l g e n d e reelle G e s t a l t b r i n g e n
(2) 2 ~ : 2 ~ : x 3 : x ~ = ~ , t ~ , e o s ( ~ l o g . t ) ' ~ t ~ s i n ( ~ l o g t ) : ~ s t ~ o : c ~ t %
Es ist e r l a u b t a n z u n e h m e n , es sei a s > a~. Die W - K u r v e n~thert sich d a n n fiir t - - ~ o u n b e g r e n z t der E b e n e x 3 = o u n d ffir t - - - ~ der E b e n e x 4 ~ o , u n d zwar g e s c h i e h t dies in s p i r a l f S r m i g e n W i n d l u n g e n . Betreffs des n h h e r e n Verlaufes h a t m a n drei H a u p t m 5 g l i c h k e i t e n zu u n t e r s c h e i d e n . Bei der ersten h a t m a n aa > al > a~. Die W i n d l u n g e n ziehen sich d a n n um den P u n k t x 3 ~ 21 ~ .~2 ~ o bzw. x~----21 --2,~ = o z u s a m m e n , wobei die W - K u r v e sich a s y m p t o t i s c h an eine K u r v e in der E b e n e x~ ~ - o bzw. x 4 ~ o a n s c h m i e g t . Bei der zweiten MSglieh- keit h a b e n wir e n t w e d e r ~ > % oder al < a~. I s t e t w a ~, > a3, so n ~ h e r n sich fiir t - ~ ~ die W i n d l u n g e n a s y m p t o t i s c h der g e r a d e n Linie x 8 ~ x~ = o. Fiir t - * o zieht sich d a g e g e n die K u r v e i m m e r e n g e r u m die G e r a d e 2~ = 2 2 - ~ o z u s a m m e n , so dass die Ann~iherung an den P u n k t x 3 ~ 21 ~ 22 = o hier asymp- t o t i s c h l~ngs dieser Linie geschieht. I t i e r a u s finder m a n a u e h fiir ~ < a~ die Resultate, indem m a n die R o l l e n der E b e n e n x 3 ~ o u n d x 4 ~ o vertauseht. Bei der noeh iibrigen d r i t t e n M S g l i c h k e i t ist e n t w e d e r a~ ~ % oder ~ = a 4. t I a t m a n z . B . a~ = %, so n ~ h e r n sieh fiir t--~ r162 die W i n d l u n g e n a s y m p t o t i s c h d e m K e g e l s c h n i t t e
~:~ 393
X4. : C l 2 + ~2 -2 O ,
2 C~
Die W - K u r v e l i e g t s o g a r uuf d e m K e g e l 2. G r a d e s
~ ~2 2
~2 X3
-~ -I- _~ . ~ O,
w o d u r c h sich l e i c h t dus Verhgltniss der K u r v e aueh ffir t--~ o c h a r a k t e r i s i e r e n l~tsst. W i r b e m e r k e n n o e h hierzu, duss die obigen R e s u l t a t e betreffs der e r s t e r e n b e i d e n M S g l i c h k e i t e n d a m i t z u s a m m e n h ~ n g e n , dass die W - K u r v e stets a u f e i n e r Fl~ehe
liegt.
-o, fx p-o,_
+ c _l - - o
I m d r i t t e n F~lle enth~lt das K o o r d i n ~ t e n t e t r a e d e r zwei P a a r e k o n j u g i e r t e r E b e n e n . U m die G l e i c h u n g e n der W - K u r v e n in 'reeller Gest~alt zu b e k o m m e n setzen wir noch x~, x4 ~ 23 +_ i s a~, a~ ~ a s + i ~ u n d e r h u l t e n a l s d a n n
(3) 2 , : ~ : 2~: ~ : ~ t ~, cos (~2 log t): c2 t~' sin (a.~ log t): ~ t a cos ( ~ log t):
: c4 t~ sin (a 4 log t).
Es sei ~t > a~. Fiir t--~ o m a e h t d~nn die W - K u r v e w i e d e r h o l t e U m l ~ u f e lgngs der L i n i e 2 , = 2 2 = o , w e l e h e r dieselbe sich a s y m p t o t i s c h n g h e r t , u n d fiir t - - - ~ s t e h t die K u r v e in einem ~ h n l i e h e n Verh~ltniss zur G e r u d e n 2.~ = 2~ = o. I n e i n e m speziellen Falle h u b e n wir ~ = ~ , u n d der g e m e i n s u m e F u k t o r t ~' r e e h t s in (3) l~sst sich wegsehuffen. N i t diesem Falle w e r d e n wir uns sp~tter vielfaeh, besonders im 3- A b s e h n i t t e , b e s c h g f t i g e n . H i e r sei n u r vorub b e m e r k t , duss die K u r v e a u f einer Fe l i e g t u n d e n t w e d e r a l g e b r a i s e h ist o d e r eine iiberall d i e h t e P u n k t m e n g e a u f der F~ darstellt.
3. Lassen sich die vier E x p o n e n t e n a~ in zwei P a a r e ai, ak u n d al, a,~ auf- teilen, so dass a~ + a k ~ at + am, so b e z e i c h n e n wir die K u r v e als eine ausge- zeichnete W - K u r v e . Die g e m e i n s a m e S u m m e der beiden P u a r e l~sst sieh o f f e n b a r beliebig wghlen. W i r setzen dieselbe ~ o u n d e r h u l t e n d u n n die E x p o n e n t e n in der G e s t a l t + a, + 8. Die f r a g l i c h e B e n e n n u n g r f i h r t yon H. M O H R ~ A ~ her.
F r e i l i c h h a t dieser V e r f a s s e r dabei n u r die u l g e b r a i s c h e n W - K u r v e n beriicksieh- tigt. U n t e r den e h a r a k t e r i s t i s c h e n E i g e n s e h a f t e n der a u s g e z e i c h n e t e n W - K u r v e n h e b e n wir hervor, duss jede solche K u r v e uuf einer F~ liegt, welehe vier K a n t e n des bei der e i n g l i e d r i g e n G r u p p e i n v a r i a n t e n T e t r u e d e r s enth~lt. H i e r m i t s t e h t
Uber die W-Kurven im dreidimensionalen Raume. 247 in Z u s a m m e n h a n g , d a s s die a u s g e z e i c h n e t e n W - K u r v e n in e n g e r B e z i e h u n g zu d e n H i R s T s c h e n K o n g r u e n z e n s t e h e n , welche wir i m 4. Absehnit~e b e h a n d e l n werclen.
U n t e r d e n a u s g e z e i c h n e t e n W - K u r v e n g i b t es v i e r r e e l l e K l a s s e n , n g m l i c h zu den e r s t e n b e i d e n F g l l e n d e r v o r i g e n 2 g u m m e r je eine u n d z u m d r i t t e n zwei.
I m e r s t e n Falle h a t m a n die reelle D a r s t e l l u n g
(4) x~ : x., : xs : x~ = cj t ~ : ce t~ : G t--~ : c~ t - ~ .
I n g l e i c h e r W e i s e erhi~lt m a n bei e i n i g e r M o d i f i k a t i o n d e r B e z e i c h n u n g e n in d e r v o r i g e n hTummer fiir den z w e i t e n F a l l
(5) x~: x~: z ~ : x~ - ~ c o s ( # l o g ~): o~ s i n ( # l o g ~): e~t~: o~t-~.
I m d r i t t e n F a l l e h a t m a n die b e i d e n M S g l i c h k e i t e n g~ ~ 5~ uncl 5~ ~ ~4. D i e s b e d e u t e t n a e h u n s e r e n u r s p r i i n g l i c h e n B e z e i c h n u n g e n a~ + a s = a3 + a~ u n d a~ + a 4 = a ~ + a.~. F i i r die en~spreehenclen G l e i c h u n g e n e r h a l t e n w i r die fol- g e n d e n r e e l l e n G e s t a l t e n
(6) (7)
x I : x~ : x~ : x 4 ~- cl cos a O : c~ sin a O : c~ cos #0 : c A sin #0;
x , : x~: x~: x~ = c~t o c o s ( # l o g t ) : c ~ t ~ s i - ( # l o g t):
: cat - ~ cos (#log t) : c4t - ~ sin (#log t).
In (6) h a b e n w i r einen n e u e n P a r a m e t e r 0 = log t eingefiihrt. W i e u n m i t t e l b a r e i n z u s e h e n ist, stellt d i e s e r F a l l eine a l g e b r u i s c h e K u r v e dar, w e n n zwischen d e n G r 5 s s e n a uncl # ein r a t i o n a l e s Verhi~ltniss b e s t e h t .
Diese W - K u r v e n sind d a d u r c h c h a r a k t e r i s i e r t , d a s s dieselben in zwei g a n z verschieclenen W e i s e n reelle Ziige e r h a l t e n kSnnen. A m e i n f a c h s t e n s i e h t m a n dies ein, w e n n m a n die G l e i c h u n g e n si~mtlicher vier K l a s s e n in d e r G e s t a l t (4) schreibt, wobei n a t i i r l i c h n u r fiir die e r s t e K l a s s e a u n d # beide reell sind.
W i i n s e h t m a n d a n n h i e r v o n zu d e n i i b r i g e n drei reelle a D a r s t e l l u n g e n zu ge- l a n g e n , so m i i s s e n fiir a n n d # die folgenclen B e d i n g u n g e n gelten. W i i n s c h t m a n die reelle G e s t a l t (5), so m i i s s e n yon d e n G r S s s e n a uncl # in (4) eine reell uncl die a n d e r e r e i n imagini~r sein. E b e n s o ist fiir (6) u n d (7) erforclerlich, class u n d # beide r e i n imagin~tr sincl bzw. zwei k o n j u g i e r t i m a g i n g r e G r S s s e n clar- stellen. W i r f i i h r e n j e t z t v e r m i t t e l s t der S u b s t i t u t i o n
(s) 9 = t ~
e i n e n n e u e n P a r a m e t e r , ein. W i e m a n sieht, h a t m~n, w e n n t die reelle posi- tive Aehse d u r e h l ~ u f t , ] , 1 = ~ u n d u m g e k e h r t . W i l l m a n j e t z t in (4) t d u r c h ersetzen, so w e r d e n in den E x p o n e n t e n reelle GrSssen in r e i n imagin~re fiber- g e f i i h r t u n d m n g e k e h r t . I m k o m p l e x e n G e b i e t e g e h 6 r e n somit die reellen Dar- stellungen (4) u n d (6) zu derselben K u r v e n k l a s s e . E r s e t z t m a n d a g e g e n in (5) u n d (7) die reellen GrSssen a u n d fl d u r c h ai u n d fli, so wird j e d e s m a l die neue D a r s t e l l u n g y o n d e r s e l b e n Art. Es w e r d e n n u r die R o l l e n yon a u n d fl v e r t a u s c h t .
4. W i r be~rachten j e t z t eine b e s o n d e r e W - K u r v e (I) u n d setzen vor~us, dass s~mtliche E x p o n e n e n t e n al, a~, a~ u n d a~ reell sind. W i r ffihren l e i c h t die G l e i c h u n g in die G e s t a l t
( 9 ) x : y : z : w ~ t" : t '~ : t n2 : I (n > n 1 > n~ > o )
fiber. Ffir algebraische W-Kurven, welche wir b e s o n d e r s berficksichtigen wollen, k S n n e n wir n, ~1 u n d n 2 als ganze r a t i o n a l e Z a h l e n a n n e h m e n , die n i c h t alle einen g e m e i n s a m e n F a k t o r besitzen. 1
Die a l g e b r a i s c h e n W - K u r v e n lassen sich in f i i n f verschiedene Klassen auf- teilen. Z u n ~ c h s t h a t m a n sieben M S g l i e h k e i t e n fiir die E x p o n e n t e n n, nl u n d n2, je n a c h d e m dieselben g e r a d e oder u n g e r a d e ganze Z a h l e n bedeuten.
E r s t e n s h a b e n wir drei F~ille, in d e n e n u n t e r den Zahlen n, nl u n d n~ eine g e r a d e u n d die b e i d e n iibrigen u n g e r a d e sind.
I) n u n d n~ u n g e r a d e , n 1 gerade.
2) n 1 u n d n 2 unger~de, n gerade.
3) n u n d n I u n g e r a d e , n2 gerade.
I n den iibrigen vier F~llen gibt es u n t e r n, nl u n d no e n t w e d e r keine o d e r zwei g e r a d e Zuhlen.
4) n.2 u n g e r a d e , n u n d n 1 gerade.
5) n~ u n g e r a d e , n u n d n 2 gerade.
6) n, n~ u n d n., sind alle u n g e r a d e . 7) n u n g e r a d e , n I u n d n2 gerade.
S e t z t m a n w - - I , so sind diese sieben F~lle d u r c h die Zeichen c h a r a k t e r i - siert, welche x, y u n d z bei n e g a t i v e n t - W e r t e n e r h a l t e n . :Nun l~sst sicb die
1 Fiir d e n a l l g e m e i n e n F a l l e i n e s R a u m e s v o n b e l i e b i g v i e l e n D i m e n s i o n e n h a t MOHRMANN die a l g e b r a i s c h e n W - K u r v e n b e s t i m m t . M a n s e h e s e i n e A r b e i t ,Bestimmung aller algebraischen
W-Kurven~, M a t h . A n n . 89 (1923) , p. 2 6 0 - - 2 7 I .
Uber die W-Kurven im dreidimensionalen Raume. 249 G l e i c h u n g der W-Kurve n a t i i r l i c h eben so g u t d u r c h den P ~ r a m e t e r t I ~ t -~
ausdriieken. Es w e r d e n d a n n die P u n k t e m i t den A r g u m e n t e n o u n d ~ ver- t a u s c h t u n d die E x p o n e n t e n n, u~ u n d n~ d u r c h u, n - - n ~ u n d n - - n ~ ersetzt.
Die F~tlle 4 u n d ~ sowie 5 u n d 7 erweisen sich m i t h i n als ~quivalent, so dass wir bloss fiinf Klassen von a l g e b r a i s e h e n W - K u r v e n e r h a l t e n . A u s g e z e i c h n e t e
W - K u r v e n k S n n e n o f f e n b a r n u r in d e n drei ersten F~illen v o r k o m m e n .
Fiir positive t - W e r t e v e r s t e h t m a n ohne weiteres, dass die E x p o n e n t e n n, n~ u n d u~ sieh d u t c h drei beliebige reelle Zahlen ~, ~ u n d u~ ersetzen lassen, wenn n u r die B e d i n g u n g
: ~ :v,~ ~ n : u~ : ~
erfiillt wird. Man k a n n dabei z. B. i m m e r % - ~ I setzen, so dass v u n d vl die B e d e u t u n g yon n : n2 und u~ : n~ e r h a l t e n . Es e r g i b t sich d a n n eine iiberall d i e h t e M e n g e von P a a r e n r a t i o n a l e r Zahlen ~, v~ im B e r e i c h e ~ > v~ > I. A u e h jede der sieben T e i l m e n g e n , die den o b i g e n F~llen I - - 7 e n t s p r e c h e n , ist offenbar iiberall dicht. D a r a u s e n t s t e h t fiir alas S y s t e m yon r a t i o n a l e n K u r v e n (9) die ent- s p r e c h e n d e E i g e n s c h a f t , dass n~tmlieh die K u r v e n in d e n B e r e i c h e n x < y < z < I u n d x > y > z > ~ iiberall dich~ a u f t r e t e n .
A u c h fiir n e g a t i v e t - W e r t e lassen sich in solcher W e i s e a l l g e m e i n e r e Expo- n e n t e n v, v~ u n d v2 einfiihren. W e n n wir uns auf reelle GrSssen beschr~nken, k 5 n n e n wir j a die Ausdriieke t 2~ u n d t :~+~ d u r c h I t l 2~ u n d sgn t. It] 2~+1 ersetzen, wobei s g n t ~ + I oder - - ~ , je n a c h d e m t > o o d e r t < o . D e m e n t s p r e e h e n d s e h r e i b e n wir, wenn wir die E x p o n e n t e n ~, v~ u n d v~ b e n u t z e n , It I ~i bzw. sgn t. I t r i, je n a c h d e m in (9) n~ eine g e r a d e o d e r u n g e r a d e ganze Zahl b e d e u t e t .
5. H i e r b e i b r a u c h e n wir uns o f f e n b a r keineswegs a u f solche E x p o n e n t e n
~, ~ u n d ~ zu beschr~nken, welche zu e i n a n d e r in r a t i o n a l e n V e r h ~ l t n i s s e n stehen. W i r k S n n e n in der T a t fiir ~, ~l u n d ~2 drei ganz beliebige positive reelle Zahlen w~ih|en u n d setzen n u r lest, dass ~ > ~1 > ~ sein soll. W i r h a b e n dann k e i n e n G r u n d einen der Ausdriicke I tl ~r oder sgn t. I tl ~/ v o r dem a n d e r e n zu bevorzugen. U n t e r den in solcher W e i s e m S g l i c h e n a c h t K o m b i n a t i o n e n soll aber I tl ~, I tl ~, I tl ~2 ausgeschlossen werden, da bei dieser die K u r v e n z w e i g e fiir positive u n d n e g a t i v e t - W e r t e z u s a m m e n f a l l e n . Zu j e d e m W e r t e s y s t e m yon
~, ~1 u n d ~.2 b e k o m m e n wir s o m i t sieben v e r s c h i e d e n e reelle W - K u r v e n . W i r wollen j e t z t die G l e i c h u n g e n dieser W - K u r v e n v e r m i t t e l s t eines P a r a m e t e r s aus- driicken. W i r n e h m e n dieselben in der R e i h e n f o l g e , in w e l c h e r in d e r v o r i g e n N u m m e r die e n t s p r e c h e n d e n a l g e b r a i s c h e n F~lle a u f g e z ~ h l t w u r d e n .
32--34472. Acta mathematica. 64. i m p r i m ~ le 3 novembro 1934.
(A1) x : y : z : w = s g n t , l t l ~ : ] t l " : s g n t . ] t l ~ : ~.
(A~) x: y : z : w = l t l ' : s g n t , ltl~,:sgnt, ltl'2: I.
(A~) ~
: y : ~ : w = s g n t. I r i s : s g n t . I t I~'~ : I tl~-" : ~.(A,) x : y : z : w = - I r i s : I tl', : s g n t. I tl*"~ : i .
( A ~ ) x : y : z : w = l t l ~ : s g n t , ltl~,:ltl~:
~.(As)
x : y : z : w = s g n t .I tl':
s g n t. I tl~', : s g n t. I tl'~: ~.(A~) ~ : v : ~ : w = s g n t . l t l ~ : l t l ~ : l t P : ~.
E b e n s o wie die e n t s p r e c h e n d e n F~ille yon a l g e b r a i s c h e n K u r v e n in d e r v o r i g e n H u m m e r g e h e n d u r e h die T r a n s f o r m a t i o n t I = t -1 (A4) u n d (~.~) sowie (As) u n d (~5) in e i n a n d e r fiber. W i r h a b e n also h i e r m i t die Verallgemeinerungen d e r f i i n f Hauptklassen yon algebraischen W-Kurven e r h a l t e n .
Ffir die p o s i t i v e n t - W e r t e sind die o b i g e n sieben D a r s t e l l u n g e n i d e n t i s c h , u n d die K u r v e n liegen in d e m j e n i g e n B e r e i e h e des l~aumes, wo s ~ m t l i e h e K o - o r d i n a t e n x, y, z > o sind. D u r c h die K o o r d i n a t e n e b e n e n w e r d e n sieben a n d e r e B e r e i c h e a b g e g r e n z t , u n d die sieben D a r s ~ e l l u n g e n lassen sich d u r c h d e n B e r e i c h c h a r a k t e r i s i e r e n , in w e l c h e m die K u r v e ffir n e g a t i v e t - W e r t e liegt. Es ist l e i c h t zu sehen, wie die sieben K u r v e n (A~), . . . (As) sich d u r c h S p i e g e l u n g e n a u s d e m g e m e i n s a m e n Teile fiir positive t - W e r t e v e r v o l l s t ~ n d i g e n lassen. D i e s e Spiegel- u n g e n e r f o l g e n fiir (A~), (A~), (A.~) a n d e n A c h s e n x = z = o, y := z = o, x = y = o, ffir (A4), (A~), (s a n d e n E b e n e n z : o , y - ~ o , x : o u n d ffir (As) a n d e r E b e n e w--~-o (oder a m P u n k t e x ~ y : z = o ) . D i e sieben K u r v e n g e h 5 r e n zu sieben v e r s c h i e d e n e n e i n g l i e d r i g e n reellen G r u p p e n , ftir welche j e d o c h die S u b s t i t u t i o n e n
X l : Y l : Z I : W l ~-- t ~ x : t ~ ' y : t ~ z : w ,
die d e n p o s i t i v e n t - W e r t e n z u g e o r d n e t sind, m i t e i n a n d e r f i b e r e i n s t i m m e n . D i e E r w e i t e r u n g a u f n e g a t i v e t - W e r t e g e s c h i e h t a b e r in sieben v e r s c h i e d e n e n W e i s e n , n~tmlich
x l : y l : z I : W l : ~ ]tl'~X: ~ Itlvly: ~ Itlv2Z:W, f
wo die einzige Z e i c h e n k o m b i n a t i o n + + + a u s g e s c h l o s s e n wird.
S i n d v, v 1 u n d v~ k o m m e n s u r a b e l , so w i r d eine y o n d e n sieben K u r v e n (A~), . . . (As) eine a l g e b r a i s c h e K u r v e . Fiir die sechs a n d e r e n w e r d e n die H ~ l f t e n fiir t > o u n d t < o aus v e r s c h i e d e n e n a l g e b r a i s c h e n K u r v e n h e r r i i h r e n . D i e drei E x p o n e n t e n v, v 1 u n d v 2 lassen sich s t e t s in solcher W e i s e als G r e n z w e r t e y o n
Uber die W-Kurven im dreidimensionalen Raume. 251 drei Folgen rationaler Zahlen erhalten, dass die zusammengehSrigen Tripel ge- meinsame Nenner und ungerade bzw. gerade Zahler besitzen, je nachdem sgn t als Faktor der betreffenden Potenz auftritt oder nicht. Hierin liegt die Be- deutung, dass jede von unseren verallgemeinerten W-Kurve~ als Grenzkurve einer
~blge yon algebraischen W - K u r v e n aufgefasst werde~ kann. N u n kann man often- bar zu jedem P u n k t e in einem der Bereiche o < x < y < z < I und x > y > z > I die Verh~ltnisse v:v~:v~ so bestimmen, dass die zugehSrigen Kurven (A j), . . . (As) durch den P u n k t gehen. Die ~lgebraischen W-Kurven stehen mithin in dersel- ben Beziehung zu den hier gegebenen Verallgemeinerungen wie eine iiberall dichte Menge zu einem Kontinuum.
W e n n wir im n~chsten Abschnitte die zu den W-Kurven assoziierten Re- gelfl~ichen studieren uhd dabei uns auf das reelle Gebiet beschr[tnken wollen, so erweist es sich als vorteilhaft fiir die fiinf ttauptklassen yon verallgemeinerten W-Kurven gewisse algebruische Repr~sentanten (B j), . . . (B,0 auszuw~hlen. W i r unfiersuchen dann zungchst bei diesen Repr~sentanten die Eigenschaften und suchen hiervon vermittelst Stetigkeitsbetrachtungen Schliisse betreffs der zuge- hSrigen Klassen zu ziehen. Am einfachsten geschieht wohl diese W a h l in der folgenden Weise
(B1)
(B,,)
(83
x : y : z : w : t ~ : t 2 : t : i . x : y : z : w - - t~: t3: t: i.
x : y : z : w ~ t s : t ~ : t 2 : ~.
x : y : z : w : t 4 : t 2 : t : i . x : y : z : w : t S : t s : t : ~.
Doch werden die Verh~ltnisse bei der Klasse (A~) nicht immer in befriedigender Weise durch den Repr~sentanten (B4)wiedergegeben, und zwar gilt dies fiir ] ~ > ~ + ~ 1 . Fiir solche F~lle nehmen wir einen besonderen Repriisentanten
(8'3
x : y : z : w : t S : t 6 : t s : I.Man hatte anch fiir die repr~sentierenden K u r v e n aller fiinf Klassen ~ 3 ,
~1-~-2, ~ I w~hlen kSnnen. Dann wiirde man aber nur fiir (A1) eine alge- braische C~ als Repr~sentanten erhalten. I n den anderen vier F~tllen wiirde die Kurve fiir t > o und t < o zu zwei verschiedenen algebmischen C~ gehSren.
6. W i r wollen hier als Ordnung einer Kurve (9) die hSchste" Anzahl der reellen Schnittpunkte mit einer Ebene bezeichnen. W i r fragr also, was sich fiber die Anzahl der reellen Wurzeln einer Gleichung
(io)
c o t ~*+ Q t n~A- C~ t n ~ + e~ ~ 0sagen l~sst. Die Antwort folgt unmittelbar aus der Zeichenregel yon DESCARTES.
Es sei n ~ m l i c h
(I I) f(t) ~- o
eine allgemeine Gleichung mit ganzzahligen Exponenten, deren Glieder nach fallenden Exponenten geordnet sind. Ffir jedes P a a r aufeinanderfolgender Glie- der der F u n k t i o n f ( t ) betrachten wir n u n die Zeichen der Koeffizienten. Dabei gibt es die folgenden MSglichkeiten.
I) Beide Glieder haben entweder gerade oder ungerade Exponenten. Es mSgen th solche Paare mit demselben Zeichen und a~ Paare mit versehiedenen Zeichen der Koefficienten vorkommen.
2) Ein Glied ist yon geradem Typus und das andere yon ungeradem Ty- pus. Die Anzahl solcher Paare mit demselben Zeichen sei ~2 und mit verschie- denen Zeichen o2.
Die Zeichenregel won D~SCA~TES besagt nun, dass die Gleichung f ( t ) ~ o hSchstens al + a~ positive und a~-F-Q2 negative Wurzeln besitzen kann. Nun er- h~lt man in den F~llen I - - 7 der 4. N u m m e r ffir a t u n d Q~ + a,z:
I) a l = o , q ~ + a ~ - - 3 ; 2) a t = I , Q . , + a . 2 = 2 ;
4, 5) a x = i , ~ , 2 + a 2 = 2 ; 6, 7) a 1 = 2 , q~+ a ~ = i .
Dabei sind die Angaben ffir al als Maximalzahlen zu betrachten. Als die h5chste Anzahl yon reellen Wurzeln bekommt man also drei im Falle I, vier in den F~llen 2, 4, 5 u n d ffinf in den F~llen 3, 6, 7.
Die obigen Auseinandersetzungen gelten noch, wenn man in (I I) bei ganz beliebigen positiven Exponenten e~, fl~ Glieder
Ober die W-Kurven im dreidimensionalen Raume. 253
a . . I t l % bz . s g n t . l t l ~
yon geradem bzw. ungeradem Typus einfiihrt. Das Beweisverfahren der Zeichen- regel yon DESCARTES, welches man erhKlt, wenn man diese Regel als einen Spezialfall des BuDAN-Foc~ir~schen Theoremes betrachtet, l~sst sieh ja ohne Schwierigkeit auf solche verallgemeinerte Gleichungen iiberfiihren. Von einem anderen Gesiehtspunkte l~sst sich eine solche Gleichung (II) als Grenzgleichung einer Folge yon algebrMschen Gleichungen auffassen. Wir befraehten eine Folge yon unbegrenzt wachsenden ungeraden ganzen Zahlen 2N~ + 1 ( i : I, 2 . . . . ).
Ftir die Exponenten a, der Glieder yon geradem Typus nehmen wir N~herungs- 2 a~ ")
werte und fiir diejenigen yon ungeradem Typus N~herungswerte
2 N ~ + I 2 b~ i) + I
wobei a~ ~') und b (~) ganze rationale Zahlen bedeuten. Setzen wir diese 2 N i + I '
Exponenten in (I I) ein, so bekommen wir eine Folge von Gleiehungen ) ~ ( t ) = o , wobei fiir i ~ ~ die Exponenten unbegrenzt gegen die zugehSren Exponenten in f(t) konvergieren. Es l~sst sich dann aueh beweisen, dass fiir i--* ~ die Wurzeln yon f~: ( t ) = o sieh den Wurzeln yon (I I) unbegrenzt n~hern. 1Vfan kann aueh in jeder Gleiehung J ~ ( t ) ~ o die Substitution
t = t~ Ni+~
machen. D a e s sich hier bloss um reelle GrSssen handelt, so ist jede solche Substitution umkehrbar eindeutig. Wir bekommen so eine Folge yon alge- braischen Gleichungen F~(ti)~ o, und fiir jede yon diesen l~sst sich die Zeichen- regel yon DESCARTES unmittelbar anwenden. 1
Aus den obigen Resultaten l~tsst sich sehliessen, dass fiir shmtliche fiYnf HauptMassen von verallgemeinerten W-Kurven die Ordnung mit de~jem'- gen der zugehSrigen algebraischen Reprh'sentanten iibereinslimmen muss. Es gibt also eine Hauptklasse yon der Ordnung 3, fiir welche die Darstellung (A1)gilt, zwei Hauptklassen yon der Ordnung 4, fiir welche die Darstellu~gen (A~) und die mit einander dquivalenten (A4) und (A4) gelten, und endlich zwei Hauptklassen yon der Ordnung 5, fiir welche die Darstellungen (As) und die mit einander @uivalenten (A~) und (As)gelten.
1 Man vergleiche unsere Arbeit ,, ~]ber eine Verallgemeinerung der algebraischen Glelchungen%
M~th. Ann. lO8 (I933) , p. III.
Die a s s o z i i e r t e n Regelfl~tcheu.
7. W i r nehmen zun~chst eine ulgebrMsche W-Kurve (9) in Betrach~. Die drei Exponenten n, n~ und n~ seien demgem~iss gunze r~tion~le Zuhlen, die keinen gemeinsamen Teiler besitzen. Die Substitution
( ~ ) t ' = k t
bestimmt ein Element der eingliedrigen Gruppe, welche die W-Kurve zui~sst.
Wenn wir die dabei einander entsprechenden Punkte der W-Kurve durch gerade Linien verbinden, so bekommen wit eine Regelfli~che, welche wit als eine m i t der W-Kurve a s s o z i i e r t e R e g d f l a ' c h e bezeichnen wollen. Unter diesen assoziierten Regelfl~chen t r i t t auch die ~bwickelbare Fl~che auf, welche m~n fiir k.-~I als Grenzfl~che bekommt.
Um den Grad einer solchen Regelfl~che zu bestimmen, untersuchen wir, wie Oft eine Erzeugende yon anderen Erzeugenden getroffen wird. Als Be- dingung, damit die Verbindungsgeraden zweier Punktpaare tj, /ct~ und t, k t in derselben Ebene liegen, erh:,ilt man
(i3)
n I n - - n o - -__ tn~--~, t n (]~n~ __ I o n ) ( I - - - k ~) + t~ +nT~~ (]~n~--]Cn)(I - I t ~ ) = O.
W e n n ma,n sich hier t~ als gegeben denkt, bekommt man ~lso f i i r t eine Gleich- ung vom Grude n + n I --'n2 Nun l~sst sich uus dem linken Glied yon (I3) der F~ktor
(k -- I)'~ (t - t l ) e ( t --- k t l ) ( k t - - tl)
immer ausscheiden. Es bleib?~ eine in t und t~ symmetrische Gleichung vom Grade n + n ~ - - n 2 - - 4 iibrig. Eine Erzeugende begegnet demnach n + n ~ - - n ~ - - 2 anderen Erzeugenden, niimlich ~usser denjenigen beiden, welche durch die Stiitz- punkte gehen, noch n + n ~ - - n ~ - - 4 . D~ bek~nntlich eine Erzeugende einer Re- gelfl~che des Grades m yon m ~ z anderen Erzeugenden getroffen wird, so erh~lt mun, wenigstens im allgemeinen,
13ber die W-Kurven im dreidimensionalen Raume. 255
( I 4 ) n q - n 1 - - n 2
als Grad der assoziierten Regelfl~che.
Dieses Resultat steht in Zusammenhang mit den folgenden Tatsachen. Man h a t im allgemeinen 2 ( m - I) als Grad einer Regelfl~che, wenn die Erzeugenden Bisekanten einer rationalen Kurve des Grades m sind, und durch jeden P u n k t der Kurve zwei Erzeugende gehen. Doeh wird der Grad jedesmal um eine Ein- heir herabgesetzt, wo die Stiitzpunkte einer Erzeugenden in einem Doppelpunkte der Kurve zusammenfallen. Sollen dabei die Stiitzpunkte u n m i t t e l b a r auf ein- under folgen, so muss der Doppelpunl(t durch einen Riickkehrpunkt ersetzt werden.
I m vorliegenden Falle gilt also die Frage, mit wie vielen station~ren P u n k t e n die P u n k t e mit den A r g u m e n t e n t = o und t ~ ~ ~quivalent sind. Die Ant- wort hierzu ist bekanntlich n 2 - I bzw. ~ t - ~ 1 - I. Yon diesem Ausgangspunkte erh~lt man mithin als Grad der assoz~ierten RegelflRehe
2 ( .- - - - - = + -
was mit (14) iibereinstimmt.
Eine assoziierte Regelfl~che muss sich aus B a h n k u r v e n der zu Grunde lie- genden eingliedrigen Gruppe erzeugen lassen. I n s b e s o n d e r e w i r d d i e D o p p e l k u r v e i n s o l c h e t ? a h n ] c u r v e n z e r l e g t . Aus Symme~riegrfinden hat (I3) gleiehzeitig die LSsungen t : t~ ~ Z und t : t 1 - - Z-. Diese LSsungen gehSren offenbar zu demsel- I
ben Teile der Doppelkurve, da dieselben in einander fibergehen, wenn man t mit t~ vertauseht. Eine Erzeugende, welehe die P u n k t e (t~, k t ~ ) y o n (9)verbindet,
~rifft demgem~ss, den LSsungen ,~ und ~ entsprechend, zweimal den fraglichen I
Teil der Doppelkurve. Ist n + n l - - n , ~ eine ungerade ganze Zahl, so h a t (I3) die L5sung t : t~ ~ - - I. I n diesem Falle h a t man Z ~- ~ , und der zugehSrige Teil I
der Doppelkurve wird yon einer Erzeugenden nur einmal getreffen.
Fiir eine Bahnkurve, welche durch den P u n k t x0, Y0, zo, w0 geht, ha~ man die Gleichung
x : y : z : w ~ x o t n : Yo tn' : Zo t"~ : Wo.
Sind s~mtliehe Gr5ssen Xo, Yo, Zo, Wo yon Null versehieden, so ist diese K u r v e doppelt gekriimmt. Eine assoziierte Regelfi~ehe l~sst sieh als assoziiert in be- zug auf jede solehe doppelt gekrfimmte Doppelkurve, welehe dieselbe besitzt,
b e t r a e h t e n . D i e v i e r K o o r d i n a t e n e b e n e n w e r d e n d u r e h e b e n e B a h n k u r v e n er- fiillt. So h a t m a n z. B. fiir z o = o
X : y : W ~ - ~ X 0 t n : y 0 t h e : w 0 ; Z - - O .
Diese B a h n k u r v e i s t als tt-faehe K u r v e zu b e t r a e h t e n , w e n n tt d e n g r S s s t e n ge- m e i n s a m e n F a k t o r y o n n u n d n~ b e d e u t e t . D o c h w i r d dieselbe bei reellen t- W e r t e n , falls tt u n g e r a d e ist, n u r e i n m a l d u r c h g e l a u f e n . I s t a b e r tt g e r a d e , so w i r d die eine t t ~ l f t e der K u r v e bei r e e l l e n t - W e r t e n d o p p e l t d u r e h g e l a u f e n ; zur a n d e r e n H ~ l f t e g e h S r e n r e i n i m a g i n ~ r e t - W e r t e . U n t e r d e n B a h n k u r v e n t r e t e n a u c h die sechs K a n t e n des K o o r d i n a t e n t e t r a e d e r s auf. Als Beispiel n e h m e n w i r
x : W ~ X o D : W o : y - - - - z ~ o . t t i e r b e i spielt n dieselbe Rolle wie t t i m v o r i g e n Beispiel.
8. E i n e ussoziierte Regelfl~che w i r d d u r e h das S y s t e m
t ~, t ~ , t'~,
[ k" t", k ~, t",, k,~ t,,~.,
~V - - O I I
b e s t i m m t . F i i h r e n wir a u s , so e r h a l t e n w i r die G l e i e h u n g e n
('53) (xs,)
X ( ]gn~ - - ]~ nl ) ~- y tn--n~ (]cn - - ]~ne ) -~- z t ~t-- n~ ( ]~n~ - - ]~n ) ~ - O ;
y (I - - k'~) + z t n , - " (k ~', - - I) + w t n, (k . . . . k n,) = o ;
X(I - - ]dnO Jr" ytn--n'(]~ n - I) "~- wtn(]g n' - - ] ~ n ) = O;
35'(I - - ~ ' ) -{- ztn--'l'~(]d n - I) ~- w t n ( ] ~ n e - - ]~n) = O.
Die G l e i c h u n g der R e g e l f l ~ c h e b e k o m m t m a n a m e i n f a c h s t e n d u r c h E l i m i n a t i o n y o n t z w i s e h e n d e n e r s t e n b e i d e n G l e i c h u n g e n , u n d m a n b e s t ~ t i g t dabei, dass i h r G r a d fiir a l l g e m e i n e k - W e r t e n + n t - n~ sein muss. ~ l a n e r s i e h t u n m i t t e l - bar, dass m a n als S c h n i t t der Regelfl~che m i t d e r E b e n e z = o eine # - f a c h e K u r v e b e k o m m t w e n n tt d e n g r 5 s s e n g e m e i n s a m e n T e l l e r v o n n u n d nl b e d e u t e t . E b e n s o h a t die Regelfl~che in der E b e n e w ~ o eine t q - f a c h e K u r v e , in der E b e n e y - ~ o eine tt~-fache K u r v e u n d in der E b e n e x = o eine #3-fache K u r v e , wobei tq, tt-2 u n d tt3 die B e d e u t u n g y o n g r 5 s s t e n g e m e i n s a m e n T e i l e r n h a b e n , u n d z w a r tq v o n n - - ~ l u n d n - - n 2, re2 y o n n u n d n~ u n d tq v o n n x u n d n~. D a
Uber die W - K u r v e n im dreidimensionalen Raume. 257 n, nl u n d n,a k e i n e n g e m e i n s a m e n T e i l e r h a b e n diirfen, so m u s s o f f e n b a r j e d e s P a a r y o n d e n Z a h l e n #, te~, te e u n d tea t e i l e r f r e m d sein.
B e s o n d e r e u t r e t e n bei d e n j e n i g e n k - W e r t e n ein, fiir w e l c h e ge- wisse G l i e d e r d e r G l e i c h u n g e n (15) v e r s c h w i n d e n . D i e s e l b e n m i i s s e n e i n e r o d e r m e h r e r e n y o n d e n G l e i c h u n g e n
( I 6) k '~-'~' = I ; k n, = I ;
k n ~ - ~ = I; k n ~ - I
g e n i i g e n . V o n d e r L S s u n g k = t soil d a b e i a b g e s e h e n w e r d e n . J e d e s m a l , w e n n eine R e l a t i o n (I6) b e f r i e d i g t w i r d , e r w e i s e n sich zwei y o n d e n G l e i e h n n g e n (I5) als i d e n t i s c h . D i e B e d e u t u n g h i e r v o n d e e k t sich d ~ m i t , d a s s i n e i n e m s o l e h e n F a l l e die R e g e l f l ~ c h e eine K a n t e des K o o r d i n a t e n t e t r a e d e r s als L e i t l i n i e h a t . I n s o l c h e r W e i s e b e k o m m t m a n als L e i t l i n i e n :
x = y ~ o fiir k n - n , ~ I ;
z = w = o ffir ]c n~ ~ I ;
= z = o fiir k ~-n-~= I ; y = w = o fiir k ... I ; y = z = o fiir k '~-n'~ = I ; X = W = O fiii" k n = I .
D i e s e L e i f l i n i e n w e r d e n in d e r g e g e b e n e n R e i h e n f o l g e n~-, ( n - nl)- , n l - , ( n - - n , , ) - , n-, (nl - - n2)-fach.
I n d e n b e i d e n e r s t e n F g l l e n w i r d tier G r a d d e r R e g e l f l i i c h e e r n i e d r i g t . F i i r k "-'~1 ~ I r e d u z i e r t s i c h d a s S y s t e m (I5) a u f die b e i d e n G l e i c h u n g e n
X - - y t n - n ' = O;
v ( i - k".) + z t n ' - - " ' ( k n ' - I) + w t " ' ( ~ ' ~ ' - k " ) = O.
A l s e n t s p r e c h e n d e s R e s u l t a t ffir k n. = I h a t m ~ n Z - - t v t "~ - - O;
X ( I - - k n,) -[- y t re-n, (k n - I ) -J- z t n-'~. ( ] d " - - k " ) ~-~ O . 3 3 - - 3 4 4 7 2 . Acta mathematica. 64. I m p r i m 6 ]e 3 n o v e m b r e 1934.
D i e G r a d z a h l w i r d in b e i d e n Fi~llen ~, u n d h a t sich m i t h i n u m n l - n 2 v e r m i n - dert. u w i r dieses R e s u l t a t m i t (I3), so ist z u b e a c h t e n , d a s s fiir die h i e r in R e d e s t e h e n d e n k - W e r t e u n t e r d e n n + n ~ - n~ L S s u n g e n t : t ~ n ~ - n~ in t = o u n d e b e n so viele in t : or i i b e r g e h e n . Es lis sich b e w e i s e n , d a s s die E r z e u g e n d e n ftir t ~ o u n d t = or i m a l l g e m e i n e n als ( n ~ - n~)-fache L i n i e n d e r R e g e l f l ~ c h e zu b e t r a e h t e n sind. F i i r die a n g e g e b e n e n b e s o n d e r e n k - W e r t e ist n u n eine y o n d i e s e n L i n i e n L e i t g e r a d e , a b e r die a n d e r e , w e l c h e iiberdies i h r e L a g e iindert, n i c h t . So ist fiir k ~ - ' , ~ I die d e m A r g u m e n t e t ~ o e n t s p r e e h e n d e E r z e u g e n d e x = y = o L e i t l i n i e , u n d die E r z e u g e n d e f i i r t : ~ , als w e l c h e s o n s t z = w = o a u f t r i t t , nimmt~ die n e u e L a g e y = w = o an. I n d i e s e m F a l l e e n t s p r i c h t also n u r d e n n ~ - - n 2 L 5 s u n g e n t = o~ y o n (I3), a b e r n i c h t d e n L S s u n g e n t = o, eine R e d u k t i o n des G r a d e s d e r R e g e l f l ~ c h e . F i i r k ' ~ - ~ I w i r d die R o l l e d e r L S s u n g e n t = o u n d t----or v e r t a u s c h t .
N u n k S n n e n n, n~ u n d n2 s o l c h e W e r t e h a b e n , dass g l e i c h z e i t i g zwei n e b e n e i n a n d e r s t e h e n d e G l e i c h u n g e n (I6) b e f r i e d i g t w e r d e n . D i e Regelfli~che b e s i t z t d a n n zwei w i n d s c h i e f e L e i t l i n i e n . W i r n e h m e n die d r e i M S g l i e h k e i t e n in d e r f o l g e n d e n R e i h e n f o l g e .
I ) k n - n ~ = ]~ .. . . I . D i e L e i t l i n i e n s i n d x ~ z = o u n d y ~ w---- o. D a s S y s t e m (I5) n i m m t die e i n f a e h e G e s t a l t
(I71) x - - z t ~ - ' ~ ~ o ; y - - w t " = o .
2) k , ~ = k " ~ - " ~ : I . A l s L e i t l i n i e n erhis m a n y = = z ~ o u n d x = w - - o . A l s b e s t i m m e n d e R e l a t i o n e n erh~tlt m a a
(I7o.) y - - z t ' , - ' - ' = o; x - - w t ~*= o .
3 ) kn.o ~ ] ~ n - - n l ~ I. A l s L e i t l i n i e n h a t m a n x --- y --- o u n d z ~- w ~ o u n d als b e s t i m m e n d e R e l a t i o n e n
( I 7 3 ) x - - y t " - " = o; z - - w t '~ - - o.
D e r G r a d d e r Regelflis ist also h i e r n u r n - - n 1 + n~. D i e E r n i e d r i g u n g des G r a d e s u m 2 (n 1 - - n ~ ) s t e h t i n Z u s a m m e n h a n g d a m i t , d a s s jetzt~ k e i n e d e r E r z e u - g e n d e n fiir t = o u n d t ~ r162 m i t e i n e r L e i t l i n i e z u s a m m e n f i i l l t .
H i e r a n r e i h e n sich n o c h v i e r Fi~lle, in d e n e n g l e i c h z e i t i g d r e i u n t e r den R e l a t i o n e n (I6) erfiiilt w e r d e n . D i e Regelfli~che d e g e n e r i e r t d a n n in e i n e n K e g e l .
Uber die W-Kurven im dreidimensionalen Raume. 259 4) k ~ = k ~ , : k n - ~ , = I. Die Spitze des K e g e l s ist x : y - - - w = o , u n d die b e s t i m m e n d e n R e l a t i o n e n sind
(~7~) x - - y t ~ - ' ~ - ~ o ; y - - w t .... - o .
~) ~ n = ]cn~ = kn--~,~ = I . H i e r h a t m a n als K e g e l s p i t z e x -~ z ~ w = o u n d als b e s t i m m e n d e G l e i c h u n g e n
( I 7 5 ) x - - z t ~ - ~ ~ o; z - - w t "~ = o.
6) k ~ - , ~ , = k n - ' ~ = k " , - ~ ' , = I. Die Spitze des K e g e l s ist x = y = z = o , u n d als b e s t i m m e n d e R e l a t i o n e n h a t m a n
(176) x - - y t '~--n, ~ o; y - - z t n ' - ' ' ~ ~ o .
7) ]c '~ , : ] c n ~ : k "~,-n~: I. Als K e g e l s p i t z e erh~tlt m a n y - - ~ z ~ - - w ~ o u n d als b e s t i m m e n d e G l e i c h u n g e n
(I77) y - - z t n ' - - n 2 - - - O; Z - - - w t ne ~ O .
Als G r a d z a h l e n der K e g e l h a t m a n in den F~llen 4 u n d 5 n, im Falle 6 n - - ~ u n d im Falle 7 ~l.
W i r h a b e n oben n i c h t die /VISglichkeit k-~- - - i beriicksichtigt. ]YIan finder leicht, dass je n a c h d e m n, ,n I u n d n~ den B e d i n g u n g e n I - - 7 der 4. N u m m e r geniigen, so b e f r i e d i g t k - - - - I die R e l a t i o n e n an der e n t s p r e c h e n d e n Stelle dieser N u m m e r . Die S t i i t z p u n k t e t u n d - - t g e h S r e n zu derselben E r z e u g e n d e n , u n d m a n k a n n den P a r a m e t e r t d u r c h tj ~ t 2 ersetzen. D e r G r a d der Regel- fl~che r e d u z i e r t sich somit a u f die H~tlf~e.
Bei der E l i m i n a t i o n yon t aus ( I 7 ~ ) - - ( I 7 7 ) erh~lt m a n in j e d e m Falle eine g a n z b e s t i m m t e e i n f a c h e Fl~che. A u s dieser in einer g e b i i h r e n d e n V i e l f a c h h e i t g e n o m m e n e n Fl~che erh~lt m a n also jedes real die z u g e h S r i g e n assoziierten Re- gelfl~chen. Fiir die F~lle I, 2, 3 is~ diese V i e l f a c h h e i t z, ~1 u n d z2, wobei diese Zahlen als grSsste g e m e i n s a m e Teiler definiert werden, u n d zwar x y o n n~
u n d n - - n 2 , z~ v o n n u n d n ~ - - ~ 2 u n d z.2 v o n n 2 u n d n - - n ~ . I n den F~llen 4, 5, 6 u n d 7 h a t m a n fiir die Vielfachhei~ it, tt~, #1 u n d #.~, welche Zahlen n a c h den zu A n f a n g dieser N u m m e r g e g e b e n e n R e g e l n sich b e s t i m m e n lassen.
M a n sieht leicht, dass kein P a a r u n t e r den sieben Z a h l e n z - - # 3 einen gemein- s a m e n Teller h a b e n k a n n . U n t e r diesen Zahlen sind sechs u n g e r a d e (oder = I) u n d n u r eine einzige gerade. I s t z. B. z eine u n g e r a d e Zahl, so g e h S r e n hierzu
Z - - I
- - assoziierte Regelfl~iehem, den (von I versehiedenen) P a a r e n yon L S s u n g e n ,
2
k, k -1 der G l e i e h u n g k ~ - i -= o e n t s p r e c h e n d . I s t a b e r a n d e r e r s e i t s • eine ge- r a d e Zahl, so ist die A n z a h l solcher P a a r e n u r - - . H i e r z u k o m m t n o c h die
2
b e s o n d e r e L S s u n g 1~ = - - I, fiir welche die E r z e u g e n d e n n u r - mal d u r c h g e l a u f e n X 2
werden.
9. Fiir die H a u p t s e h n e n e i n e r K u r v e ist es e h a r a k t e r i s t i s e h , dass dieselben den S e h m i e g u n g s e b e n e n i h r e r beiden S t i i t z p u n k t e a n g e h S r e n . Exis~ieren bei e i n e r W - K u r v e e i g e n t l i c h e H a u p t s e h n e n , so muss es solche in u n e n d l i c h e r An- zahl geben, da die eingliedrige G r u p p e eine H a u p t s e h n e in ~ a n d e r e fiber- fiihrt. Mit den g a u p t s e h n e n der a l g e b r a i s c h e n W - K u r v e n h a t sich MOHRMANN e i n g e h e n d beschi~ftigt 1, u n d zwar fiir den a l l g e m e i n e n F a l l eines R a u m e s y o n beliebig vielen D i m e n s i o n e n . Fiir die E x i s t e n z y o n H a u p t s e h n e r [ gilt die Be- d i n g u n g n = n 1 + no. Solche S e h n e n k o m m e n m i t h i n n u r bei a u s g e z e i e h n e t e n W - K u r v e n vor. Die B e d e u t u n g der f r a g l i e h e n B e d i n g u n g d e e k t sieh d a m i t , dass eine a u s g e z e i e h n e t e W - K u r v e i m m e r zu einem l i n e a r e n K o m p l e x e gehSrt. Die K o m p l e x e b e n e eines K u r v p u n k t e s ist d a n n die S c h m i e g u n g s e b e n e , u n d eine S e h n e in der S c h m i e g u n g s e b e n e des einen S t i i t z p u n k t e s muss a u c h in der K o m p l e x - ebene, d. h. der S c h m i e g u n g s e b e n e des a n d e r e n S t i i t z p u n k t e s liegen.
W i r wollen zeigen, dass s o g a r die a l l g e m e i n e n m i t e i n e r ausgezeichnet.en W - K u r v e assoziierten Regelflitchen zu l i n e a r e n K o m p l e x e n gehSren. Bei B e n u t z u n g der g e w S h n l i c h e n B e z e i e h n u n g e n fiir die K o o r d i n a t e n einer g e r a d e n L i n i e erhi~lt
m ~ n
H a t
u n d kt, so e r g i b t sich h i e r a u s
A~914. " ~ 9 2 3 :
x 1 W2 - - X~ W 1 Y l Z~ - - y ~ z 1
m a n ffir die P u n k t e x~, Yl, zl, w~ u n d x~, y~, z2, w2 die P a r a m e t e r w e r t e t
t n, I k ~ t~, I
t~ l , t n 2
k ~ t % k ~ t ~
H i e r a u s erhi~lt m a n ffir n = ~1 + n2 die G l e i e h u n g
,,Uber die algebraischen 1V-Kurven i m r-dimensionalen Raum)), R e n d . C i r c . M a t . 4 7 ( I 9 2 3 ) , p . I 5 3 - - I 8 I .
Uber die W-Kurven im dreidimensionalen Raume.
( ) ~ n , _ ]gn2)~014 = (Ion __ i)~923
26i
eines l i n e a r e n Komplexes.
Fl~che zum K o m p l e x e ( I 9 )
Fiir ]c ~ I e r g i b t sich hieraus, dass die a b w i c k e l b a r e
g e h 5 r e n muss.
Die B e d i n g u n g n - - n ~ : n ~ (oder n - n~ = nl) b e d e u t e t , dass die beiden sin- gul~ren Zweige der W - K u r v e f i i r t = o u n d t - - ~ m i t e i n a n d e r p r o j e k t i v ~qui- v a l e n t sind. H i e r a u s folgt, dass fiir die a u s g e z e i c h n e t e n W - K u r v e n die ein- gliedrige G r u p p e sich d u r c h eine S e h a r yon i n v o l u t o r i s e h e n K o l l i n e a t i o n e n er- w e i t e r n l~sst, welche die f r a g l i c h e n beiden Zweige v e r t a u s c h e n . I m P a r a m e t e r t h a t m a n fiir diese S e h a r den e i n f a c h e n A u s d r u c k
t' ~ k t--L
()brigens h a t 1VIoH~AN~ n i c h t n u r die d i r e k t e n s o n d e r n a u c h die r e z i p r o k e n V e r w a n d t s c h a f t e n , welche eine W - K u r v e in sich iiberfiihren, u n t e r s u c h t .
I n seiner A r b e i t h a t 1VIOnR~A~N n o c h fiir den a l l g e m e i n e n r-dimensio- n a l e n R a u m die Regelfl~che b e h a n d e l t , welche d u r c h die I t a u p t s e h n e n einer a u s g e z e i e h n e t e n W - K u r v e e r z e u g t wird. D a b e i h a t er e i n e n Satz gegeben, der fiir den d r e i d i m e n s i o n a l e n R a u m die B e d e u t u n g hat, dass bei g e r a d e m n die Regelfl~ch e tier H a u p t s e h n e n in zwei g e t r e n n t e B e s t a n d t e i l e zerfitllt, yon d e n e n e i n e r (der d e m Falle 7c ~ - - I e n t s p r i c h t ) den G r a d n - n~ hat, u n d der r e s t i e r e n d e Teil vom G r a d e ( n - ; 4 ) ( n - - ~ 2 ) ist. E r fiigt hinzu, dass bei u n g e r a d e m n ~>die H a u p t - sehnenfl~che eine irreduzible Fl~tche der O r d n u n g (n - - 3) (n - - n2) ist>>. ~
H i e r b e i scheint M O H ~ A ~ N n i c h t b e a c h t e t zu h a b e n , dass die Hauptsehnen- fldche stets in assoziierte Regelfldchen zerfallen muss. Bei g e r a d e m n wird dement- s p r e c h e n d die r e s t i e r e n d e Fl~che in n - - 4 assoziierte R e g e l f l ~ c h e n v o m G r a d e
2
2 ( n - - n~)-~ z n 1 zerlegt, u n d ebenso zerf~llt bei u n g e r a d e m ~ die H a u p t s e h n e n - fliiche in n - - 3 z assoziierte Regelfl~chen. Diese R e s u l t a t e ]assert sich bereits aus einer A r b e i t von V. S~YD~R e n t n e h m e n d
i 1. c . p . 1 6 5 .
2 , O n certain u n i c u r s a l twisted curves,,, American Journal 28 (I9O6), p. 237--242.
Io. SNYDEt~ hat auch eine Eigentiimlichkeit der durch Hauptsehnen er- zeugten assoziierten Regelfl~chen hervorgehoben. Wir bezeichnen eine Kurve als Beriihrungsdoppelkur~'e, wenn 15ngs derselben zwei Schalen einer Fl~,tche einan- der beriihren. Als Bedingung dafiir, dass eine Kurve Beriihrungsdoppelkurve einer Regelfl~iche ist, h a t mun, class dieselbe Ebene die Tangente in einem be- liebigen Punkte der Kurve und die beiden yon Punkte ausgehenden Erzeugen- den enthalten muss. SiTed die Erzcugenden Hauptsehnen, so ist mithin die W- Kurve eine Beriihrungsdoppelkurve der Regelfldche. Eine solche Kurve l~,tsst sich offenbar als zwei u n m i t t e l b a r auf einander folgende Doppelkurven auffassen.
Wenn also die W-Kurve fiir einen speziellen k-Wert Berfihrungsdoppelkurve wird, so muss sich eine zweite Doppelkurve der Regelfl~che mit der W+Kurve vereinigt haben. Man versteht die M5glichkeit, dass eine assoziierte Regelfl~tche eine andere Berfihrungsdoppelkurve Ms die W-Kurve, vow welcher ausgeg~ngen wird, haben kann. Wie wir hier finden werden, kSnnen die W-Kurven im all- gemeinen und also nicht bloss diejenigen, welche einem linearen Komplexe angeh6- ten, als Beriihrungsdoppelkurven assoziierter Regelfldchen auftreten. Nur in den drei F~llen, wo die Ordnung n < 5 ist, gibt es keine assoziierte Regelfl~che mit Beriihrungsdoppelkurve.
Die Schnittpunkte einer Kurve (9) mit einer Ebene ax + by + cz + d w - = o werden durch die Gleichung
(20) at n 4- bt '~, + ct"~ + d = o
bestimmt. Im Falle einer Bertihrungsdoppelkurve soll es eine Ebene geben, welche die Tangente in einem Punkte t ~ a enth~tlt und iiberdies fiir einen geeigneten W e r t yon k noch durch zwei P u n k t e mit den Argumenten ka und k - l a hin- durchgeht. Da a hier beliebig ist, so kSnnen wir a ~ I setzen. Schreiben wir
k + k - 1 ~ - h,
so e r h a l t e n wir die Bedingung, dass das linke Glied von (20) durch ( t - ~)*(t ~ - ht + ~)
teilbar sein soU. W i r setzen
( 2 ~ ) a t ' ~ + b t " , + c t " , + d = ( t - - i ) ~ ( t ~ - - h t + l)(aotn-4+a, tn-'5+...+c~,_4).
Uber die ;4Z-Kurven im dreidimensionalen Raume. 263 R e c h t s sollen h i e r die K o e f f i z i e n t e n fiir n - 3 v e r s c h i e d e n e P o t e n z e n verschwin- den. M a n b e k o m m t so n - - 3 h o m o g e n e lineare G l e i c h u n g e n in den n - - 3 P a r a - m e t e r n ao, a ~ , . . , a , - 4 , in d e n e n noch h l i n e a r eingeht. D u r c h E l i m i n a t i o n er- hSlt m a n hieraus eine G l e i c h u n g fiir h vom G r a d e n - 3. Fib" eine W-Kurve vo~ der Ordnung n gibt es also h6chstel~s n - - 3 assoziierte BegelflSchen, welche dieselbe als Beriihrungsdoppelkurve enthalten. I m a l l g e m e i n e n h a b e n a b e r n i c h t s~mtliche n - - 3 L S s u n g e n ffir h eine solche B e d e u t u n g . E r s t e n s h a t man, w e n n die T u n g e n t e n der W - K u r v e in den P u n k t e n t-~ I u n d t = - I e i n a n d e r treffen, was, wie l e i c h t e i n z u s e h e n ist, in den Fiillen 4, 5, 6 u n d 7 der 4. N u m m e r ein- trifft, die L S s u n g h - ~ - - 2. Fiir die e n t s p r e c h e n d e assoziierte Regelfliiche ist k - ~ - i, u n d die W-Kurve ist fiir dieselbe n u r als e i n f a c h e K u r v e zu betrach- ten. Fiir die beiden zu e i n a n d e r r e z i p r o k e n F~lle n----4, n ~ 2, ~ I u n d n : 4 , ~ h : 3 , ~2 - ~ 2 ist n u n h : - - 2 die einzige L 5 s u n g ; B e r i i h r u n g s d o p - p e l k u r v e n k o m m e n also h i e r n i c h t vor. A n d e r e A u s n a h m e n h a t man, w e n n die drei P u n k t e m i t den A r g u m e n t e n t, k t u n d k - i t in g e r a d e r L i n i e lie- gen, u n d die Regelfl~che m i t h i n in eine m e h r f a c h e Fl~che iibergeht. Es muss d a n n k offenbar eine E i n h e i t s w u r z e l sein, u n d die f r a g l i c h e n Fl~chen sind in der T a t dieselben, welche in der 8. N u m m e r unCer I - - 7 behundel~ w o r d e n sind, woselbst wir auch ihre A n z a h l a n g e g e b e n h a b e n . I m F a l l e n ~ 4, n~ = 3, n 2 - - I h a t m a n so als einzige L 5 s u n g die d r e i f a c h e Regelschur, welche aus den Trise- k u n t e n der K u r v e e r z e u g t wird.
W i r k S n n e n a u c h u n l n i t t e l b a r die B e d i n g u n g dafiir a u f s u c h e n , duss fiir eine K u r v e (9) die T u n g e n t e in einem P u n k t e t sowie die P u n k t e k t u n d k - i t in derselben E b e n e e n t h a l t e n werden, i Es e r g i b t sich
(22)
(~1 - - n 2 ) ( k 2 n . 1) - - (~7 - - ~ . 2 ) ] ~ n - - ' h ( k 2 . . . . I) + ('n - - ~ l ) ] c n - - n 2 ( ] ~ 2w" - - I) + + 77kn-",+"~ (]~ 2 nl-2n'~ - - I ) - .1 kn.(k 2n--2 . . . . I) + ~2]~ni (k <~n-2ni - - I ) : O.
M a n best~itigt leicht, dass das linke Glied den F a k t o r ( k - - I ) ' ~ ( k + I) enth~ilt.
W i r d dieser F a k t o r beseitigt, so bleibt eine G l e i c h u n g vom G r a d e 2 n - - 6 iibrig, die ~ - - 3 P a a r e yon W u r z e l n k, k - i besitzt u n d mi~ der oben b e t r a c h t e t e n G l e i c h u n g fiir h v o m G r a d e n - - 3 ~quivalent ist. M a n finder d e m e n t s p r e c h e n d , duss in den F~illen 4, 5, 6 u n d 7 der 4. N u m m e r das linke Glied y o n (22) 1 D a s s e l b e R e s u l t a t e r h l i l t n m n , w e n n m a n die B e d i n g u n g d a f i i r s u c h t , d a s s in ( I 3 ) d e r F a k - t o r ( t - - k t 1) (k t - - t~) . d o p p e l t au f t r i t t .
s o g a r d u r c h ( k - - I) ~(k + I) ~ t e i l b a r is~. H i e r z u k o m m t n o c h , was l e i c h t zu be- weisen ist, die T e i l b a r k e i t d u r c h die F a k t o r e n
wobei die sieben Z a h l e n x . . . . tt~ n a c h d e n A n g a b e n a m E n d e d e r 8. 2qummer sich b e s t i m m e n lassen. S i n d wir ulso in den F~Lllen I, 2, 3 der 4. N u m m e r , so b e k o m m e n w i r fiir die A n z a h l der a s s o z i i e r t e n Regelfl~tchen, welche die W - K u r v e Ms eine e i g e n t l i c h e B e r f i h r u n g s d o p p e l k u r v e besitzen,
n 3 z + • + p, +/~x + p,.a + /z~ - - 8
- - - n + I - - x + z~ + z ~ + t e + # j + t t . 2 + t t s
I n d e n Fiillen 4, 5, 6, 7 der 4. N u m m e r w i r d diese Z a h l u m E i n s v e r m i n d e r t , so dass w i r e r h M t e n
z + z i + x~ + # + ~1 + tee + tt.~
Da, eine y o n d e n Z a h l e n x , . . . re3 g e r a d e u n d m i t h i n ~ 2 ist, so m u s s + z I + x~ + r e + t h .~tt~ + # : ~ 8
sein.
I m a u s g e z e i c h n e t e n FMle h a t m a n n~ ~ n - - n,2 u n d n 2 - - n - - ~h. t t i e r a u s b e k o m m t m a n z = n~ a n d x~ ~ ~ . W e n n w i t d a n n aus d e m l i n k e n G l i e d e v o n (22) d e n F a k t o r ( k " - I ) ( k ' ~ - - I) a u s s c h e i d e n , so ergib~ sich die G l e i c h u n g
~/l(k n' + I ) ( k ~ - I ) - . - ~ / 2 ( ~ n2 + I)(~ n , - I ) = o .
D a s linke G l i e d ist h i e r d u r c h ( k - - I ) 3 teilbar, wozu noch, w e n n n = n t + ~ g e r a d e ist, ein F a k t o r k + I h i n z u k o m m t . D i e A n z a h l der a s s o z i i e r t e n Regel- fli~chen, fiir welche die W - K u r v e eine e i g e n t l i c h e B e r i i h r u n g s d o p p e l k u r v e dar- stellt ist d e m n a c h n - - 3 bzw. n - - 4 , je n a c h d e m n eine u n g e r a d e bzw. ge-
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r a d e Z a h l b e d e u t e t . H i e r a u s folgt, dass im ausgezeichneten Falle die assoziierten Regelfldchen, fiir welche die W-Kurve Beriihrungsdoppelkurve ist, sich aus Haupt- sehnen erzeugen lassen.
Uber die W-Kurven im dreidimensionalen Raume. 265 I I. Bei den weiteren Untersuehungen fiber die assoziierten Regelfl~chen wollen wir uns auf reelle Gebilde beschr~nken. I n diesem Abschnitte sei (9)die reelle Darstellung der W-Kurve. In der 5. hTummer haben wir durch tIinzu- nahme der Grenzgebilde aus den algebraischen W-Kurven fiinf Hauptklassen yon verallgemeinerten lV-Kurven erhalten, welehe wir mit (A,), (As) , (A~), (A~) und (ha) bezeichnet haben. W i t bemerkten, dass jede yon diesen g a u p t k l a s s e n als ein K o n t i n u u m aufzufassen ist, in welchem die algebraischen W-Kurven iiberall dicht eingebettet liegen. W i r werden finden, dass fiir jede Hauptklasse die assoziierten Regelfldchen sich dutch iibereinstimmende Eigenschaften der Doppel- kurve charakterisieren lassen.
Dies ist ffir die ttauptklasse (A,) unmittelbar evident. Naeh der 6. Num- mer ist ja ffir diese die Ordnung 3. Durch einen ausserhalb der Kurve gelege- hen Punk~ kann also hSchstens eine Bisekante der Kurve gezogen werden, ttier- aus folgt, dass im Falle der Hauptklasse (hi) die Do79pelkurve einer assoziierten Regelfldche keinen anderen (reellen) Bestandteil als die zu Grunde liegende W- Kurre hat. Hierbei wird k als reell vorausgesetzt.
Fiir algebraische W-Kurven gibt es aber offenbar noch eine andere Art yon reellen assoziierten Regelfi~chen, bei welcher man ]k] ~ I hat. Setzt man n~mlich k ~ e 2~i, so geht bei (I2) der Parameterwert he -~i in he ~ iiber. Die zugehSrige Erzeugende der Regelfl~che ist die Verbindungsgerade zweier kon- jugiert imagin~irer P u n k t e und folglich reell. L~tsst man h die reellen Werte yon --or bis or durchlaufen, so erh~ilt man eine reelle Regelfl~iche, ffir welche die W-Kurve eine isolierte Kurve und keine wirkliche Doppelkurve darstellt.
Da die Verbindungsgerade zweier kon.]ugierter P u n k t e einen reellen P u n k t der tV-Kurve enthulten kann, so h a t dessen ungeachtet in Ausnahmef~llen die W- Kurve ihre Lage auf der Regelfl~che. Man versteht, wie sich fiir die in der 5. Nummer ffir das reelle Gebiet definierten verallgemeinerten W-Kurven auch diese Art von reellen assoziierten Regelfl~chen, und zwar durch Grenzbetracht- ungen herleiten l~sst. I n der Fortsetzung dieses Abschnittes wollen wir n u t solche assoziierte Regelfl~chen betrachten, fiir welche der Parameter k reell ist.
Da aber eine Regelfl~che sowohl eine wirkliche als eine isolierte Doppelkurve besitzen kann, so ist zu beachten, dass in solchen Fiillen die Fliiche zu beiden Arten yon reellen Regelfl~tchen gehSrt. W e n n man v o n d e r wirklichen Doppel- kurve den Ausgangspunkt nimmt, so bekommt man ja ein reelles k; geht man dagegen yon der isolierten Kurve aus, so muss I k ] - - I sein.
3 4 - - 3 4 4 7 2 . A c t a mathematica. 64. Imprlm~ le 3 n o v e m b r e 1934.
