1
2
3 Abstrakt:
V práci jsou popsány topologie laditelných analogových filtrů. Byla předložena nová topologie univerzálního filtru s použitím teorie přenosových funkcí a operačních konfigurací vhodných pro integrování a derivování. Obvod byl navržen v technologii CMOS pomocí šesti operačních zesilovačů, osmi analogových spínačů a pěti řízených odporových sítí. Jsou realizovány laditelné mezní kmitočty, činitele jakosti a zesílení.
S použitím sériového periferního rozhraní nebo digitální paměti je možné realizovat programovatelný v reálném čase analogový filtr prvního a druhého řádu s nastavitelnými parametry.
Abstract:
The state-variable analog filter topologies are described. Using the transfer function theory and operational configurations suitable for integration and derivation, a new universal filter topology are proposed. The circuit has been implemented in CMOS technology by using six operational amplifiers, eight analog switches and five programming resistor array. Tunable corner frequencies, quality factors and gain are realized. Using the serial peripheral interface or digital memory can be realized this real- time digitally programmable first- and second-order analog filter with the tunable parameters.
Klíčová slova:
Analogový filtr, nastavitelný filtr, laditelný filtr, programovatelný filtr, digitálně řízený filtr, topologie filtru, univerzální aktívní filtr.
Keywords:
Analog filter, ARC-filters, state-variable filter, programmable filter, digitally programmed filter, filter topology, universal active filter.
4
Bibliografická citace díla:
SHADRIN, A. Analogové pole pro realizaci programovatelného filtru. Brno:
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, 2014. 68 s. Vedoucí diplomové práce Ing. Roman Prokop, Ph.D..
Prohlášení autora o původnosti díla:
Prohlašuji, že jsem tuto vysokoškolskou kvalifikační práci vypracoval samostatně pod vedením vedoucího diplomové práce, s použitím odborné literatury a dalších informačních zdrojů, které jsou všechny citovány v práci a uvedeny v seznamu literatury.
Jako autor uvedené diplomové práce dále prohlašuji, že v souvislosti s vytvořením této diplomové práce jsem neporušil autorská práva třetích osob, zejména jsem nezasáhl nedovoleným způsobem do cizích autorských práv osobnostních a jsem si plně vědom následků porušení.
V Brně dne 29. 5. 2014
……….
Poděkování:
Děkuji vedoucímu semestrálního projektu Ing. Romanu Prokopovi, Ph.D. za účinnou metodickou, pedagogickou a odbornou pomoc a další cenné rady při zpracování projektu.
5
6
Obsah
Úvod ... 7
1. Analogové kmitočtové filtry ... 8
1.1 Rozdělení filtrů ... 8
1.2 Způsoby realizace filtrů ... 12
1.2.1 Kerwin-Huelsman-Newcomb ... 12
1.2.2 Univerzální laditelný filtr Hájka a Sedláčka ... 15
2 Popis navrhované struktury ... 16
2.1 Navrhované řešení ... 16
2.2 Rozbor kritických parametrů ... 21
2.3 Behaviorální simulace systému... 25
2.4 Vyhodnocení parametrů a porovnání variant realizace filtrů ... 31
3 Návrh a simulace systému ... 32
3.1 Operační zesilovač ... 32
3.2 Integrátor ... 34
3.3 Diferenciátor ... 39
3.4 Analogový spínač ... 43
3.5 Nastaviltelný sumátor ... 45
3.6 Simulace systému... 52
Závěr ... 57
Seznam použitích zdrojů ... 58
Seznam použitých zkratek a symbolů ... 60
Seznam obrázků ... 61
Seznam příloh ... 63
7
Úvod
Kmitočtové filtry jsou důležitou částí v radioelektronickém inženýrství a používají se pro modifikování, přetváření nebo modifikace spektra signálů v souladu s některými požadavky. Například, filtr může být použit pro zesílení nebo potlačení řady kmitočtových složek, zadržet nebo oddělit jednotlivou složku kmitočtového spektra, atd. Filtry se používají pro potlačení šumů v komunikačních systémech, demodulaci a detekci signálů v rádio- a televizních systémech, omezení pásma signálu před vzorkováním, zlepšení jakosti audio zařízení, v syntéze řeči atd.
Poslední dobou jsou pro zpracování digitálních a analogových signálů používány systémy, založené na programovatelných integrovaných obvodech, které jsou široce používány díky své základní vlastnosti – možnosti přeprogramování vnitřní struktury v souladu s požadavky uživatele. Tento trend existuje i v návrhu moderních kmitočtových filtrů, parametry kterých můžou být také změněny v souladu s požadavky uživatele v reálném čase. Takové obvody můžou být řízeny analogově nebo digitálně, můžou být realizovány pomocí diskrétních součástek anebo ve tvaru integrovaného obvodu. Největší zájem je o integrovaném analogovém filtru řízením digitálním kódem.
Cílem této práce je návrh topologie obvodu, který je univerzálním programovatelným analogovým filtrem a řízen pomoci digitálního rozhraní v reálném čase v souladu s požadovanými uživatelem parametry. Univerzálnost filtru je to schopnost kombinovat různé typy filtru v jedné topologii. Programovatelnost je schopnost obvodu měnit své základní parametry nezávisle, jako mezní kmitočty, činitel jakosti, zesílení v různých pásmech a řád filtru.
8
1. Analogové kmitočtové filtry
1.1 Rozdělení filtrů
Rozdělení filtrů lze provést z různých hledisek, nejdůležitější dělení je však dle přenášeného kmitočtového spektra:
DP – dolní propust;
HP – horní propust;
PP – pásmová propust;
PZ – pásmová zádrž;
FČ – fázovací článek.
Filtr typu dolní propust propouští složky signálu s kmitočty nižšími než mezní kmitočet f0. Filtr typu horní propust propouští složky signálu s kmitočty vyššími než mezní kmitočet f0. Amplitudové kmitočtové charakteristiky těchto filtrů jsou zobrazeny na obr.
1.1. Sklon poklesu přenosu se rovná 20*n dB za dekádu kmitočtu, kde n – řád filtru.
Obr. 1.1: Amplitudová kmitočtová charakteristika: a) DP, b) HP Filtry DP a HP májí další parametry:
f0 – mezní kmitočet.
G – zesílení v propustném pásmu.
Q – činitel jakosti. Určí zesílení na mezním kmitočtu A=GQ.
n – řád filtru. Ovlivňuje sklon amplitudové charakteristiky.
Filtr typu pásmová propust propouští složky signálu mezi mezními kmitočty f1 a f2. Filtr typu pásmová zádrž nepropouští složky signálu mezi mezními kmitočty f1 a f2.
Amplitudové kmitočtové charakteristiky těchto filtrů jsou zobrazeny na obr. 1.2.
Filtry PP a PŽ májí další parametry:
f0 – mezní kmitočet, v tomto případě je rezonančním kmitočtem, na kterém přenos obvodu je maximální (minimální u PŽ).
G – zesílení na rezonančním kmitočtu.
Q – činitel jakosti. Definuje zesílení na mezních kmitočtech f1 a f2.
9
Obr. 1.2: Amplitudová kmitočtová charakteristika: a) PP, b) PZ
Existují 3 varianty charakteristiky pásmové zádrži, které jsou zobrazeny na obr. 1.3.
Vztah mezi kmitočtem pólu a kmitočtem nuly určí typ filtru: normální PZ, PZ dolních kmitočtů a PZ horních kmitočtů. V případě, že kmitočet nuly se rovná kmitočtu pólu, filtr je normálním PZ (obr. 1.2, b). Když kmitočet nuly je větší, než kmitočet pólu, filtr je PZ dolních kmitočtů. Praktické to označuje to, že zesílení na kmitočtech pod kmitočtem nuly je vyšší, než zesílení nad kmitočtem nuly. Ve filtru PZ horních kmitočtu situace je úplně opačná.
Obr. 1.3: Pásmová zádrž:
dolních kmitočtů (plná čára) a horních kmitočtů (tečkovaná čára)
Filtr typu fázovací článek nemění modul přenosu, ale argument (fáze) se s kmitočtem mění monotónně. Na kmitočtu f0 fáze se mění o (n90), kde n – řád filtru.
Funkcí fázovacího článku je zajištění vyrovnávání fáze, používá se třeba v modulátorech SSB-SC. Kmitočtové charakteristiky fázovacího článku jsou zobrazeny na obr. 1.4.
10
Obr. 1.4: Kmitočtové charakteristiky FČ: a) amplitudová, b) fázová Parametry fázovacího článku jsou:
G – zesílení.
f0 – mezní kmitočet, na kterém se mění fáze.
Q – činitel jakosti. Ovlivňuje strmost fázové charakteristiky.
n – řád filtru. Ovlivňuje pokles fáze na mezním kmitočtu.
Základní charakteristikou filtru je přenosová funkce, která definuje všichni parametry a kmitočtové charakteristiky filtru.
Přenosová funkce udává vztah mezi vstupem a výstupem lineárního časově invariantního systému. Přenosová funkce může být vyjádřena jako racionální lomená funkce (1.1), kde činitel je Laplaceův obraz výstupního signálu, jmenovatel - Laplaceův obraz vstupního signálu.
0 2
1
0 2
1
0 2
1
0 2
1
...
) ...
(
s a s
a s
a s
a
s b s
b s
b s
s b
T
mn mn mnn n
n
m m
m
,
kde n > n-1 > … > 0, и m > m-1 > … > 0.
V tabulce 1.1 jsou uvedeny přenosové funkce filtrů, uvedených v této podkapitole.
) 1 . 1 (
11
Tab. 1.1: Celková informace o filtrech
Typ Řád Přenosová funkce Parametry filtrů
dolní propust
1
0 0
2 ) 2
( s f
G s f
T
G – zesílení v propustném pásmu
f0 – mezní kmitočet Q – činitel jakosti A=GQ na kmitočtu f0
2 2
0 0 2
2
2 0 2
2 4 ) 4
(
f Q s
s f
G s f
T
horní propust
1
2 0
)
( s f
s Gs
T
2 2
0 0 2
2
2
2 4 )
(
f Q s
s f s Gs T
pásmová propust 2
2 0 0 2
2
0
2 4 2 )
(
f Q s
s f
Qs f G s
T
G – zesílení v propustném pásmu
f0 – rezonanční kmitočet Q – činitel jakosti A=G na kmitočtu f0
pásmová
zádrž 2 2 2 2
2 2 2
2 4 ) 4
(
p p
z
f Q s
s f
f G s
s T
G – zesílení v propustném
pásmu
fp, fz – kmitočet pólu a nuly Q – činitel jakosti
fázovací článek
1
0 0
2 ) 2
( s f
f G s
s
T
f0 – kmitočet, na kterém fáze se
mění o (n90)
2
2 2 2
2 2 2
2 4 2 4 )
(
p p
p
z z
z
f Q s
s f
f Q s
s f G s T
G – zesílení
fp, fz – kmitočet pólu a nuly Qp, Qz – činitel jakosti pólu a nuly
) 2 . 1 (
) 3 . 1 (
) 4 . 1 (
) 5 . 1 (
) 6 . 1 (
) 7 . 1 (
) 8 . 1 (
) 9 . 1 (
12
1.2 Způsoby realizace filtrů
Existuje několik topologie pro realizaci univerzálních kmitočtových filtrů. Všichni obvody jsou založeny na operačních zesilovačích se zpětnými vazby z rezistorů a kondenzátorů. Největší použitelnost mají aktivní filtry s více operačními zesilovači, které mají nižší citlivost, menší vliv reálných operačních zesilovačů a menší počet pasivních součástek s menším rozptylem hodnot. Tyto obvody jsou univerzálnější (mají více výstupů s různými charaktery). Mají vyšší činitel jakosti Q a má možnost nezávislého nastavování parametrů, ale na druhé straně má větší příkon, rozptyl výkonu (měnící se na teplo) a větší šum.
Větší zájem mají právě takové filtry, protože univerzální nastavitelný filtr může být realizován jenom na základě těchto struktur s více operačních zesilovači.
1.2.1 Kerwin-Huelsman-Newcomb
Topologie filtru Kerwin-Huelsman-Newcomb (KHN) byla předložena v 1967 roku [4]
a současně se často používá v návrhu analogových filtrů. Filtr KNH má vysokou flexibilitu, dobrou výkonnost a malou citlivost na odchylky pasívních součástek [1]. Filtr se skládá z dvou integrátorů a jednoho sčítajícího zesilovače, jeho struktura je uvedena na obr. 1.5.
Obr. 1.5: Struktura KHN filtru [1]
Integrátory mají stejnou přenosovou funkci
s
1 , kde τ je časová konstanta. Ze struktury vypadají další vztahy:
3 3 2
3 1
1 K V K V K V
V i
1 2
1 V
V s
2 3
1 V
V s
Vypočteme přenosovou funkci
Vi
V1 :
) 10 . 1 (
) 11 . 1 (
) 12 . 1 (
13
1 3
2 1 1
1
1 1
1 V
K s V K s V
K s
V i
Vi
K s V
K s V
K
V
1 3 1 2
2 1
1
1 1
Vi
s K K s
V K
12 3 2
1 1
Výsledná přenosová funkce bude mít tvar:
) (
2 1 2 3
2 2
1 T s
s K s K
K s V
V
HP i
Vidíme, že to je přenosová funkce filtru typu horní propust. Další přenosové funkce mají tvar:
) (
2 1 2 3
2
2 T s
K sK
s sK V
V
PP i
) (
2 1 2 3
2 2
3 T s
K sK
s K V
V
DP i
V souladu s tabulkou 1.1 filtr KHN realizuje filtry typů horní propusti 2. řádu, pásmové propusti a dolní propusti 2. řádu příslušně. Realizace tohoto filtru je dána na obr. 1.6. Integrátory se skládají z operačního zesilovače, rezistoru R a kondenzátoru C.
Časová konstanta je dána vztahem
RC.Obr. 1.6: Schéma KHN filtru [1]
Konstanty K1 – K3 jsou definovány dalšími vztahy:
1 0
1 R
K R
) 13 . 1 (
) 14 . 1 (
) 15 . 1 (
) 16 . 1 (
) 17 . 1 (
) 18 . 1 (
) 19 . 1 (
14
1 0 3
2 3
2 1
R R R
R K R
1 0 3
2 2
3 1
R R R
R K R
Parametry filtrů, jako mezní kmitočet, zesílení a činitel jakosti jsou určeny pouze poměry těchto rezistorů a časové konstanty
RC. Vztahy pro výpočet těchto parametrů jsou uvedeny v tabulce 1.2. Pro zjednodušení zvolíme R0=R1;Tab. 1.2: Definování parametrů filtrů
Typ filtru Parametry filtru
0 G Q
horní propust
RC 1
3 2
2 3
R R
R
2 3 2
2 ) (
R R R
pásmová propust
RC 1
2 3
R R
2 3 2
2 ) (
R R R
dolní propust
RC 1
) (
2
3 2
3
R R
RC R
2 3 2
2 ) (
R R R
Důležitě je to, že při změně jednoho libovolného parametru, například mezního kmitočtu, automatické můžou se měnit ostatní parametry filtru, a to dělá takovou strukturu nepoužitelnou v návrhu univerzálního úplně programovatelného filtru, kde je nutné nastavovat všichni parametry filtru nezávisle. Filtr KHN může být použit pouze pro realizaci filtrů s nezávislým regulováním jednoho anebo dvou parametrů [3], nikoli všech třech parametrů. Taky nedostatkem je to, že pomoci této topologie není možně realizovat filtr typu pásmová zádrž a fázovací článek. Kromě toho, pro změnu mezního kmitočtu je potřeba měnit časovou konstantu, která ovlivňuje přesnost integrátorů a to taky zmenšuje použitelnost této struktury. Výhoda je v tom, že obvod má 3 různé výstupy pro různé filtry.
Existují také další topologie filtrů, které mohou být použity pro návrh univerzálního filtru, například zapojení Tow-Thomas [5], Ackerberg-Mossberg [6], Berka-Herpy [7], Tarmy-Chausi [8], které také se skládají z 3 operačních zesilovači a řady pasivních součástek. Pomocí těchto zapojení je možně realizovat různé typy filtrů v jednom obvodu (DP, HP, PP), ale vlastnosti a parametry filtrů nemají velké rozdíly ve srovnání se zapojením Kerwin-Huelsman-Newcomb, proto nebudou rozebrány v rámcích tohoto teoretického rozboru.
) 20 . 1 (
) 21 . 1 (
15
1.2.2 Univerzální laditelný filtr Hájka a Sedláčka
Tento filtr vychází ze základního zapojení dvou invertujících integrátorů ve smyčce se třetím operačním zesilovačem. Dále je tento filtr doplněn dalším operačním zesilovačem, aby bylo možné nastavovat činitel jakosti filtru Q změnou hodnoty pouze jedné součástky (potenciometrem RQ), v opačném případě by se Q muselo nastavovat změnou poměru rezistorů R1 a R2, což je problematické, protože změnami R1 a R2 se mění i rezonanční kmitočet f0. Operační zesilovač OZ5 umožňuje vytvoření filtrů s možností nastavení nuly přenosu, nebo fázovacího článku [2].
Obr. 2.2: Schéma univerzálního laditelného filtru [2]
Mezní kmitočet je definován jako:
C R C
C R f R
x
21 1
2 1
2 1 2 1
0
Činitel jakosti je definován jako:
R Q RQ Zesílení je definováno jako:
K0
R G R
Potenciometrem na vstupu filtru je možně řídit nezávisle hodnotu koeficientu celkového přenosu filtru. Pro posunutí kmitočtu nulového přenosu je potřeba zvýšit odpor potenciometru NPN. Po sepnutí spínače obvod realizuje fázovací článek.
) 22 . 1 (
) 23 . 1 (
) 24 . 1 (
16
2 Popis navrhované struktury
2.1 Navrhované řešení
Filtr je úplně charakterizován svou přenosovou funkcí, která ovlivňuje ho parametry a chování v s-oblasti. Však, filtr může byt také posoužen jako dynamický systém, který může být popsán pomocí teorie diferenciálních rovnicí v časové oblasti.
Pokud k rovnici přenosové funkce (1.1) použijeme zpětnou Laplaceovou transformaci, tak dostaneme další vztah:
)), ( ( ...
)) ( ( ))
( (
)) ( ( ))...
( ( ))
( ( ))
( (
0 1
0 2
1
0 1
0 2
1
t x D b t
x D
b t x D b
t y D a t
y D
a t y D a t y D a
m m
n n
n
m m
n n
n
kde x(t) je vstupní signál systému, y(t) je výstupní signál systému.
To znamená, že pro realizaci obecné přenosové funkce je možně používat teorii diferenciálních rovnicí. Existuje princip návrhu analogových obvodů, které jsou schopny vyřešit obecné diferenciální rovnice určitého řádu [9,10].
5 ) ( 4 . 0 )) ( ( 2 . 0 )) ( ( 5 . 0 )) ( ( 3 )) (
( 3 2 1
4 y t D y t D y t D y t y t
D
Pro řešení diferenciálního rovnice (2.2) pomocí analogového obvodu je nutné provést další kroky:
1. Na začátku tuto funkci transformujeme do dalšího vztahu:
) ( 4 . 0 )) ( ( 2 . 0 )) ( ( 5 . 0 )) ( ( 3 5 )]
(
[ 3 2 1
4 y t D y t D y t D y t y t
D
2. Předpokládáme, že derivát vyššího řadu (D4) už máme. Zapojit do série tolikrát integrátorů, kolik potřebujeme pro získávání všech derivátů výstupního signálu y (t) a vlastního signálu y(t).
3. Každou složku z výstupů integrátorů vynásobit koeficientem v souladu s rovnicí (2.2).
4. V souladu s rovnicí (2.3) výstup sumátoru se rovná vstupu prvního integrátoru, když spojit tyto body, tak obvod se zamkne a bude řešit zadané diferenciální rovnice.
Struktura obvodu je uvedena na obr. 2.1.
Obr. 2.1: Struktura obvodu pro řešení diferenciálního rovnice [10]
) 1 . 2 (
) 2 . 2 (
) 3 . 2 (
17
Tento princip může být použit pro syntézu univerzálního analogového filtru, když doplnit obvod diferenciátory. Nejčastěji se používá filtry 2. řádu, proto pro realizaci univerzálního filtru 2. řádu je potřeba 2 integrátory, 2 integrátory a sumátor. Struktura takového filtru je zobrazena na obr. 2.2.
Obr. 2.2: Navrhovaná struktura univerzálního laditelného filtru 2. řádu
Vypočítáme přenosovou funkci obvodu v případě konfigurování ho jako filtr typu dolní propust 1. řádu. Pro tuto konfiguraci spínače S3, S5, S8 jsou sepnuty, spínače S1, S2, S4, S6, S7 jsou rozepnuty. V souladu s obr. 2.2 a této konfigurací máme:
Vin
b V a
V0 1 1 0
kde V0 sV1 a V1 Vout
in out
out a V b V
V
s
1 0
Přenosová funkce bude definována vztahem:
)
. (
1 0
1
0 T s
s a b a
s b V
V
I DP in
out
Stejným způsobem určíme ostatní možné přenosové funkce (viz tabulka 2.2):
) 4 . 2 (
) 5 . 2 (
) 6 . 2 (
) 7 . 2 (
18
Tab. 2.1: Přenosové funkce navrhovaného filtru
Typ Přenosová funkce
1. řád 2. řád
dolní propust
1 0
1( ) s a
b s
TDP
(2.8)
2 0 2 1
2 0
2( )
a a s
s
b s
TDP
(2.9)
horní propust
11 1( )
s a b s s
THP
(2.10)
2 1 0 2
2 2 2( )
a s as
b s s
THP
(2.11)
pásmová propust
2 0 2 1
1
) (
a a ss
b s s
TPP
(2.12)
pásmová zádrž
2 0 2 1
2 2 2 0 2
) (
a s as
b s b b s TPZ
(2.13)
fázovací článek
1 1
0 1
1( )
s a b s b b s
TFČ
) 14 . 2 (
2 0 2 1
2 2
0 2
2 1 2 2( )
a s as
b b b
s b s b s
TFČ
) 15 . 2 (
Realizace tohoto filtru je dána na obr. 2.3. Integrátory a diferenciátory se skládají z operačních zesilovačů, rezistorů R a kondenzátorů C. Časová konstanta je dána vztahem
RC
.Pro součet napětí V0 – V4 se používá sčítací invertující zesilovač s OZ. Pro invertování napětí V1 se používá jednotlivý invertující zesilovač s OZ. Operace součtu a invertování je možné realizovat pomocí jednoho operačního zesilovače, zapojeného jako rozdílově-součtový zesilovač, ale v tomto případě je potřeba splnit podmínku, že součet invertujících a neinvertujících činitele zesílení musí být stejný. Tato podmínka dělá nemožným použití tohoto zapojení, protože předpokládáme se měnit činitele zesílení sumátoru nezávisle.
19
Obr. 2.3: Schéma navrhovaného filtru
Konstanty a0, a1, b0, b1, b2 jsou definovány jednotlivými zesíleními invertujícího sumátoru, tj.:
j j
i
i R
a R0
kde i= a, b; j=0, 1, 2.
Každá konstanta je definována jenom vlastním odporem na vstupu sumátoru.
Určíme všichni parametry filtrů, realizovaného obvodem na obr. 2.3 (viz tabulka 2.3).
Důležitě je to, že libovolný parametr filtrů může byt změněn nezávislé, protože v každém vztahu pro každý parametr vždy existuje originální proměnná, která není v ostatních vztazích. Této proměnné jsou označeny závorkami. Nedostatkem je to, že všichni parametry se mění nelineárně v závislosti na odporech.
Požadovaný typ filtru se vybíraje pomocí tlačítek S1 – S8, v tabulce 2.2 je ukázána konfigurace pro všichni možné varianty fungování obvodu, kde S – spínač je sepnut, R – spínač je rozepnut.
Tab. 2.2: Konfigurování obvodu pro různé typy filtrů S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8
DP 1. řádu R R S R S R S R
DP 2. řádu R R S S S R R S
HP 1. řádu S R R R S S S R
HP 2. řádu R S R S S S R S
pásmová propust S R R S S S R S
pásmová zádrž R S S S S S R S
fázovací článek 1. řádu S R S R S S S R fázovací článek 2. řádu S S S S S S R S
) 16 . 2 (
20
Tab. 2.3: Parametry filtru
Typ filtru Parametry filtru
p
0 ω
ω = Q=Qp G
dolní propust
1. řádu ( )
1
1 0
Ra RC
R -
) ( 0
1
Rb Ra
dolní propust
2. řádu ( )
1
0 0
RC Ra R
0 1 0
) ( 1
Ra Ra R
) ( 0
0
Rb Ra
horní propust
1. řádu ( )
1
1 0
Ra RC
R -
) (
1
1
0 Rb
R horní propust
2. řádu ( )
1
0 0
RC Ra R
0 1 0
) ( 1
Ra Ra R
) (
1
2
0 Rb
R pásmová
propust ( )
1
0 0
RC Ra R
0 1 0
) ( 1
Ra Ra R
) ( 1
1
Rb Ra
pásmová zádrž
) ( 1
) (
1
0 2 0 0
Rb Rb RC
RC Ra R
z p
0 1 0
) ( 1
Ra Ra R
) (
1
2
0 Rb
R
fázovací
článek 1. řádu ( )
1 ) (
1
0 1 1
0
Rb Rb RC Ra
RC
R -
) (
1
1
0 Rb
R
fázovací článek 2. řádu
) ( 1
) (
1
0 2 0 0
Rb Rb RC
RC Ra R
z p
2 0
1 0 1 0
) (
) ( 1
Rb Rb Q Rb
Ra Ra Q R
z p
) (
1
2
0 Rb
R
21
2.2 Rozbor kritických parametrů
Na základě vypočtených parametrů filtrů (viz tab. 2.3) je možné provést simulaci chování filtru v závislosti na změně vstupních odporů Ra1, Ra0, Rb2, Rb1, Rb0 (viz obr. 2.3).
Tato simulace je potřebná pro určení možné přeladitelnosti parametrů systému (mezní kmitočty, činitele jakosti a zesílení) a definování nutného rozsahu řízení odporů. Některé parametry různých filtrů jsou definovány stejnými vztahy, proto je potřeba zjistit jenom 7 charakteristik:
– závislost mezního kmitočtu DP1, HP1, FČ1 na Ra1;
– závislost mezního kmitočtu DP2, HP, PP, a kmitočtu pólu PZ a FČ2 na Ra0; – závislost kmitočtu nuly PZ, FČ na Rb0.
– závislost zesílení v propustném pásmu DP1, DP2 na Rb0 a PP na Rb1;
– závislost zesílení v propustném pásmu HP1,PP,FČ1 na Rb1 a HP2, PZ, FČ2 na Rb2;
– závislost činitele jakosti DP2, HP2, PP, PZ a činitele jakosti pólu FČ2 na Ra1; – závislost činitele jakosti nuly FČ2 na Rb1;
Zvolíme rozsah změny všech odporů od 1k do 100k a časovou konstantu 10-5 a zjistíme, jak se s tím mění parametry filtrů. Na obrázcích 2.4 – 2.10 jsou zobrazeny ukázané charakteristiky.
Obr. 2.4: Charakteristika Ra1-f0 pro DP1, HP1 a FČ1
Vidíme, že mezní kmitočet závisí na odporu nelineárně, avšak při logaritmickém měřítku charakteristika je lineární. Se změnou odporu v rozsahu 1k – 100k kmitočet se mění v rozsahu asi 16kHz – 1.6MHz.
22
Obr. 2.5: Charakteristika Ra0-f0 pro DP2, HP2, PP, PZ (p), FČ2 (p)
Mezní kmitočet filtrů druhého řádu se mění v rozsahu jedné kmitočtové dekády – 5kHz – 50kHz. Při logaritmické změně odporu Ra0 charakteristika je lineární. Mezní kmitočet je nejdůležitějším parametrem filtru a z této charakteristiky vidíme, že při změně odporu o dvě dekády (1kOhm – 100kOhm), kmitočet se mění o jednou dekádu.
Obr. 2.6: Charakteristika Rb0-fz pro PZ, FČ2
Jak je vědět z tabulky 2.3, mezní kmitočet PZ a FČ 2. řádu kromě Rb0 závisí i na Rb2, proto na obrázku je dána charakteristika pro maximální a minimální hodnoty Rb2.
Kmitočet nuly se také mění v rozsahu jedné dekády:
1592 Hz – 15920 Hz v případě, že Rb2=1kOhm;
15920 Hz – 159200 Hz v případě, že Rb2=100kOhm;
23
Obr. 2.7: Charakteristika Rb0,Rb1-G pro DP1, DP a PP
Podobně předchozímu případu, hodnota zesílení kromě Rb0 bude záviset i na Ra1, proto je na obrázku je dána charakteristika pro maximální a minimální hodnoty Ra1.
Obr. 2.8: Charakteristika Rb1-G pro HP1, FČ1 a Rb2-G pro HP2, PZ a FČ2
Zesílení v propustném pásmu všech filtrů při změně příslušného odporu se mění v rozsahu 40 dB nebo 100 krát, což je velmi velký rozsah.
24
Obr. 2.9: Charakteristika Ra1-Q pro DP2, HP2, PP, PZ, FČ2 (p)
Obr. 2.10: Charakteristika Rb1-Qz pro FČ2
Zajištění změny 5 vstupních odporů dává možnost přeladění všech parametrů filtrů všech 8 typů. Při změně odporů z 1k do 100k všichni parametry se mění v různých rozsazích, co znamená, že tato struktura může být použita pro návrh analogového filtru s požadovanou přenosovou funkcí a s požadovanými parametry.
Řízená odporová síť může být realizována pomocí váhových sítí, které se používají v převodnících DA, kde různé odpory se přepínají pomocí analogových spínačů, které jsou řízeny digitálním kódem. Ten digitální kód je vytvářen jednotlivými klopnými obvody posuvného registru nebo pomocí digitální paměti. V případě posuvného registru se používá sériové periferní rozhraní (SPI). Také řízený rezistor může být realizován pomocí techniky spínaných kondenzátorů [20], MOSFET-R techniky [15], SRMC techniky [18] nebo pomocí digitálního potenciometru [3]. V této práci bude popsán princip přelaďování pomocí logaritmické odporové síti.
25
2.3 Behaviorální simulace systému
Pro kontrolu správnosti teorie a možností systému provedeme simulaci fungování obvodu v různých konfiguracích. Jak bylo popsáno v 2.1, systém může být konfigurován jako filtr typů:
- dolní propust 1. a 2. řádu;
- horní propust 1. a 2. řádu;
- pásmová propust;
- pásmová zádrž;
- fázovací článek 1. a 2. řádu.
Obvod pro simulaci je zobrazen na obr. 2.11. Kmitočtové charakteristiky systému jsou zobrazeny na obr. 2.12 – 2.16. Odpory Ra0, Ra1, Rb0, Rb1, Rb2 se měnili logaritmické od 1k do 100k (3 body za dekádu).
Obr. 2.11: Schéma navrhovaného filtru pro modelování
Systém má jeden vstup in a dva výstupy out1 a out2, které se používají pro filtry 1.
a 2. řádu, příslušně. Časová konstanta integrátorů a diferenciátorů se rovná 10-5 a je dána násobením R=100kOhm a C=100pF.
26
Přelaďování mezních kmitočtů filtrů
Obr. 2.12: Amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky filtrů, realizovaných pomocí navrženého systému:
a) DP 1. řádu; b) HP 1. řádu; c) PP; d) FČ 1. řádu; e) fázová charakteristika FČ 1. řádu Z kmitočtových charakteristik vidíme, že mezní kmitočet se mění se změnou řízených odporů. V případě filtru typu fázovací článek zesílení se nemění, ale na mezním kmitočtu fáze posunula o n*90°, tj. v tomto případě o 90°. Vidíme, že změna mezního kmitočtu nemá žádný vliv na ostatní parametry – činitel jakosti a zisk.
a)
b)
c)
d)
e)
27
Obr. 2.13: Amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky filtrů, realizovaných pomocí navrženého systému:
DP 2. řádu; b) HP 2. řádu; c) PZ; d) FČ 2. řádu; e) fázová charakteristika FČ 2. řádu Podobně předchozí charakteristice z kmitočtových charakteristik vidíme, že mezní kmitočet se mění se změnou řízených odporů. V případě filtru typu fázovací článek zesílení se nemění, ale na mezním kmitočtu fáze posunula o n*90°, tj. v tomto případě o 180°. Vidíme, že změna mezního kmitočtu nemá žádný vliv na ostatní parametry – činitel jakosti a zisk.
a)
b)
c)
d)
e)
28
Přelaďování mezních činitelů jakosti
Obr. 2.14: Amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky filtrů, realizovaných pomocí navrženého systému:
DP 2. řádu; b) HP 2. řádu; c) PP; d) PZ; e) fázová charakteristika FČ 2. řádu
Z kmitočtových charakteristik vidíme, že činitel jakosti se mění se změnou řízených odporů. V případě filtru typu fázovací článek zesílení se nemění, ale na mezním kmitočtu fáze posunula o n*90°, tj. v tomto případě o 180°. Vidíme, že změna činitelů jakosti nemá žádný vliv na ostatní parametry – mezní kmitočet a zisk.
a)
b)
c)
d)
e)
29
Přelaďování mezních zesílení v propustném pásmu
Obr. 2.15: Amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky filtrů, realizovaných pomocí navrženého systému:
DP 1. řádu; b) HP 1. řádu; c) PP; d) FČ 1. řádu; e) fázová charakteristika FČ 1. řádu Zesílení se mění se změnou řízených odporů. V případě filtru typu fázovací článek zesílení se také mění, a na mezním kmitočtu fáze posunula o n*90°, tj. v tomto případě o 90°. Vidíme, že změna zisků nemá žádný vliv na ostatní parametry – mezní kmitočet a činitel jakosti.
a)
b)
c)
d)
e)
30
Obr. 2.15: Amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky filtrů, realizovaných pomocí navrženého systému:
DP 2. řádu; b) HP 2. řádu; c) PZ; d) FČ 2. řádu; e) fázová charakteristika FČ 2. řádu Zesílení se mění se změnou řízených odporů. V případě filtru typu fázovací článek zesílení se také mění, a na mezním kmitočtu fáze posunula o n*90°, tj. v tomto případě o 180°. Vidíme, že změna zisků nemá žádný vliv na ostatní parametry – mezní kmitočet a činitel jakosti.
31
2.4 Vyhodnocení parametrů a porovnání variant realizace filtrů
V kapitole 1 byly rozebrány varianty realizace filtrů s více operačními zesilovači, které můžou být použity pro návrh univerzálních filtrů. Také byla předložena vlastní struktura univerzálního filtru a v tabulce 2.4 je provedeno porovnání těchto filtrů na základě důležitých kritériu.
Tab. 2.4: Porovnání vlastností filtrů
Kritéria KHN
filtr
Universální filtr Hájka a Sedláčka
Navržený filtr
DP 1. řádu - - +
DP 2. řádu + + +
HP 1. řádu - - +
HP 2. řádu + + +
PP + + +
PŽ - + +
FČ 1. řádu - - +
FČ 2. řádu - + +
realizace lichých řádů filtrů (kaskádní zapojení) - - +
nezávislá změna parametrů - + +
počet aktivních prvků 3 5 6
počet řízených prvků 3 6 5
Znaménko «+» označuje, že kritérium se splní, tj. se realizuje pomocí této topologie. Vlastnosti navrženého filtru předstihují vlastnosti rozebraných filtrů, ale se skládá s většího počtu operačních zesilovačů.
Na rozdíl od rozebraných filtrů, navrhovaný systém realizuje jak filtry 1. řádu, tak i 2. řádu, to umožňuje realizovat při kaskádním zapojení filtry libovolných řádů, jak sudých, tak i lichých. Počet aktivních prvků je 6, a to je nedostatek, ale pro řízení parametrů filtru je potřeba jenom 5 řízených prvků.
32
3 Návrh a simulace systému
Jak bylo popsáno v kapitole 2, systém se skládá z 3 klíčových bloků: integrátoru, diferenciátoru a nastavitelného sumátoru. Pro zajištění flexibilní struktury je potřeba také navrhnout analogové spínače, řízené digitálním kódem. Kromě toho, každý z uvedených bloků je založen na operačním zesilovači. Proto je potřeba navrhnout 5 obvodů. V této kapitole budou popsány požadavky na tyto obvody a bude uveden postup návrhu.
3.1 Operační zesilovač
Základním obvodem v analogové elektronice je operační zesilovač (OZ), který je schopen realizovávat různé analogové obvody s dobrými vlastnostmi pomocí nastavení určitých zpětnovazebných smyček. Kvůli tomu, že všichni klíčové bloky jsou založeny na OZ, je potřeba definovat požadavky na parametry OZ.
Důležitým kmitočtovým parametrem OZ je GBW (Gain-Bandwidth Product). To je součin šířky pásma a zesílení, při kterém tato šířka pásma byla změřena. Tento parametr charakterizuje kmitočtovou závislost zisku OZ a ukazuje se v MHz. Záporná zpětná vazba zmenšuje zisk (closed-loop gain), ale zvětšuje šířku pásma, proto se GBW nemění a je stejný jako v případě bez zpětné vazby. Proto je potřeba brát v úvahu tento parametr pro realizaci obvodu, aby zajistit správné kmitočtové charakteristiky.
Maximální zisk sumátoru byl definován jako 20 dB (10) a musí mít šířku pásma minimálně 300kHz. Šířka pásma je to rozsah kmitočtu, v kterém OZ má stejný zisk, určí se jako:
G BW GBW
kde G – je stejnosměrný zisk se zpětnou vazbou (closed-loop gain) operačního zesilovače, který závisí na zapojení OZ (invertující/neinvertující) a určí se zpětnými vazbami:
Takže v našem případě G pro sumátor se rovná 20 dB (10) a BW=300kHz. Tím pádem GBW se rovná minimálně 3MHz.
Operační zesilovač pro integrátory a diferenciátory také musí mít GBW 3MHz.
Tyto požadavky splňuje operační zesilovač, který byl navržen a popsán v [13], proto on může být použit pro realizaci všech klíčových bloků systému.
Tento OZ má rail-to-rail vstup, který je realizován pomocí komplementárního diferenciálního stupně. Kompenzace zesílení je realizována pomocí zrcadel a je nutná pro zajištění konstantní transkonduktance a zesílení pro všichni hodnoty souhlasného napětí.
Pro převedení proudů z rozdílových diferenciálních zesilovačů na jeden napěťový signál a ho zesílení se používá složena kaskoda (folded-cascode). Ve své podstatě ona je zesilovačem se společným hradlem a zajišťuje velký zisk kvůli velkému výstupnímu odporu a není nutné zvětšení délek kanálu tranzistorů, co vede k omezení pracovního
) 1 . 3 (
33
kmitočtového rozsahu (kvůli tomu, že tranzitní kmitočet nepřímo úměrně závisí na délce kanálu) [15].
Jako výstupní stupeň je použit zesilovač se společným sourcem a je invertorem.
Aby zkontrolovat, jestli OZ splňuje kmitočtové požadavky, provedeme simulaci fungování obvodu. Na 3.1 je zobrazena schéma pro zjištění parametru GBW a šířky pásma.
Na obr. 3.2 jsou zobrazeny kmitočtové charakteristiky se zpětnou vazbou a bez ní.
Obr. 3.1: Schéma simulace kmitočtových charakteristik OZ
Obr. 3.2: Schéma simulace kmitočtových parametrů OZ
Šířka pásma zesilovače se rovná 600kHz a to znamená, že operační zesilovač splňuje požadavky, určené pro návrh integrátorů, diferenciátorů a sumátoru.
34 3.2 Integrátor
Pro realizaci navrhované struktury je potřeba používat integrující blok, který provádí operaci integrování vstupního signálu. Schematická značka integrátoru je zobrazena na obr. 3.3.
Obr. 3.3 Schematická značka integrujícího bloku Závislost výstupního napětí na vstupním se rovná:
c V Vout
in kde c - konstantaPřenosová funkce ideálního integrátoru má další tvar:
s s
T 1
) (
V elektronice integrování se realizuje pomocí pasivního RC-článku (obr. 3.4, a) nebo pomocí operačního zesilovače s kondenzátorem ve zpětné vazbě (obr. 3.4, b).
Obr. 3.4: Realizace integrátoru: a) RC-článek, b) integrátor na OZ Výstupní napětí těchto obvodů se rovná:
c V Vout 1
in kde τ=RC – časová konstanta.Integrátor ve své podstatě je filtrem typu dolní propust a má určitý mezní kmitočet.
Poloha toho mezního kmitočtu je velmi důležitá, protože definuje kvalitu a přesnost integrování. Nutný mezní kmitočet integrátoru se určí v závislosti na kmitočtovém rozsahu vstupního signálu. Mezní kmitočet integrátoru (nastaví se časovou konstantou) musí být co nejnižší ve srovnání s nejmenším kmitočtem ve spektru signálu. Jenom v tomto případě ) 3 . 3 (
) 2 . 3 (
) 4 . 3 (
35
integrování bude přesné. V ideálním případě by měla časová konstanta se rovnat 1s a kmitočtový rozsah integrování by byl neomezeným.
Pro pochopení tohoto požadavku rozebereme jednoduchý integrátor na obr. 3.4 (a).
Nabíjení a vybíjení kondenzátoru má exponenciální charakter e-t/τ, a tvar je maximálně nelineární při t/τ ≥ 1, tj. kdy hodnota t je větší nebo souměřitelná s hodnotou časové konstanty τ. Tady t je doba vybíjení kondenzátoru za periodu. Zvolíme-li hodnoty součástek tak, aby τ byla mnohem větším než t, tj:
t
tak výstupní signál bude proporcionální integrálu vstupního signálu kvůli tomu, že exponenciální křivka na začátku je lineární. Pro jednoduchý RC-článek časová konstanta musí být obecně o řád větší než perioda vstupního signálu, aby zajistit přesné integrování.
Čím jsou větší hodnoty součástek, tím je menší střídavé napětí na výstupu a tím je integrování přesnější. Vztah 3.5 je hlavním požadavkem pro návrh přesného integrátoru.
Přenosová funkce RC-článku má další tvar:
s RC R CR
C C R
Xc s Xc
T
1
1 1
1 1
1 )
(
V souladu z tab. 1.1 (vztah 1.2) mezní kmitočet filtru se rovná:
f RC
2 1 2
1
0
Na 3.5 (a) jsou zobrazeny amplitudové kmitočtové charakteristiky ideálního integrátoru a RC-článku. Vidíme, že ideální integrátor má sklon ve všem rozsahu kmitočtů, ale RC-článek má sklon jen od mezního kmitočtu, to znamená, že integrování je jenom v této oblasti. Kromě toho, fungování integrátorů lze popsat pomocí fázové kmitočtové charakteristiky (obr. 3.5, b). Vidíme, že fázová charakteristika ideálního integrátoru všude má fázový posuv -90°, ale RC-článek má tuto hodnotu jen v rozsahu, který odstupuje od mezního kmitočtu o nějakou distanci. To znamená, že přesné integrování máme jenom v rozsahu, kdy amplitudová charakteristika má sklon a fázová charakteristika má hodnotu fáze -90°.
Kvůli tomu, že pracovní rozsah integrátoru na základě jednoduchého RC-článku je malý, používají se integrátory na základě operačních zesilovačů (obr. 3.4, b), aby zajistit větší kmitočtový rozsah integrování.
Přenosová funkce tohoto integrátoru má další tvar:
s s RC
T 1 )
(
Ideální integrování by mělo být jen při ideálním operačním zesilovači. Když brát v úvahu zisk operačního zesilovače K a vstupní odpor rin, tak přenosová funkce bude mít tvar [11]:
) 6 . 3 (
) 7 . 3 (
) 5 . 3 (
) 8 . 3 (
36
1 1
/ 1 / )
(
in in
in
in
r K R r R sRC r
Rr K
s T
Při rin>>R a K>>1, budeme mít:
) 1
(
s KRC s K
T
kde ekvivalentní časová konstanta se rovná e KRC. To znamená, že podmínka integrování pro tento obvod má další tvar:
te nebo tK
Z toho vztahu vidíme, že pro integrátor na OZ podmínka integrování není tak náročná, jak to je v případě RC-článku (3.5) a pracovní kmitočtový rozsah se zvětší o koeficient K, který je u reálných OZ kolem 104-106.
Na obr. 3.6 jsou zobrazeny amplitudové a fázové kmitočtové charakteristiky ideálního integrátoru a integrátoru na OZ s časovou konstantou 10-5 s (R=100kOhm, C=100pF). Pro porovnání je taky zobrazena charakteristika ideálního integrátoru (obr.).
Obr 3.5: Kmitočtové charakteristiky integrátoru z obr. 3.4a ( 105s)
) 9 . 3 (
) 10 . 3 (
) 11 . 3 (
37
Obr 3.6: Kmitočtové charakteristiky integrátoru z obr. 3.4b ( 105s, K=105) Z charakteristik vidíme, že přesné integrování se zajišťuje na všem zvoleném kmitočtovém rozsahu, protože mezní kmitočet se posunul do oblasti nízkých kmitočtů.
V tomto rozsahu fázový posuv se rovná -90° a je sklon v amplitudové charakteristice. Je potřeba říct, že v skutečnosti integrátor na OZ má trochu jinou fázovou charakteristiku, protože zapojení OZ je invertující, proto hodnoty budou se rovnat 90° (nikoli -90°).
Tím pádem integrátor na OZ zajišťuje mnohem větší kmitočtový rozsah integrování a to je velké výhoda ve srovnání s RC-článkem. Nevýhodou je ale to, že je potřeba používat OZ.
V této struktuře programovatelného filtru je potřeba zajistit časovou konstantu integrátorů 10-5s, protože rozsah přelaďování filtrů se rovná 5kHz – 50kHz, aby zajistit přesné integrování.
Spočítáme hodnoty součástek v souladu s technologickým procesem I2T100 [14]:
Odpor 100kOhm je možně realizovat pomocí odporu HIPO s velkým čtvercovým odporem.
Vztah pro výpočet odporu má další tvar:
W R l R 0 kde l a W - délka a šířka rezistoru, příslušně.
Při minimální šířce W=2um a čtvercovým odporu R0=2kOhm/□ délka se rovná:
R um W
l R 100
10 2
10 2 10
3 6 5
0
Rezistor 100kOhm: W=2um, l=100um
) 12 . 3 (
) 13 . 3 (
38
Pro realizaci kondenzátoru budeme používat kondenzátor CPP, která má kapacitu oxidu Cox =750*10-6 pF/um2.
Vztah pro výpočet kondenzátoru má další tvar:
W l C A C
C ox ox
kde A – plocha kondenzátoru, l – délka a W – šířka kondenzátoru.
Pro návrh kondenzátoru 100pF plocha musí se rovnat:
2 6 133333.33 10
750
100 um
C A C
ox
Délka a šířka se rovná:
um A
W
l 365.14
Navrhovaný integrátor je zobrazen na obr. 3.7. Kmitočtové charakteristiky jsou zobrazeny na obr. 3.8. Z nich můžeme zkontrolovat, že v kmitočtovém rozsahu 5kHz – 50kHz se zajišťuje sklon 20db/dek a posun fáze o -90 vůči fázi v propustném pásmu.
Obr. 3.7: Navrhovaný integrátor (Cadence)
) 14 . 3 (
) 15 . 3 (
) 16 . 3 (
39
Obr. 3.8: Kmitočtové charakteristiky navrhovaného integrátoru (Cadence)
Z kmitočtových charakteristik vidíme, že v rozsahu 5kHz – 50kHz je sklon amplitudové charakteristiky a posun fáze se rovná -90°. Tím pádem integrátor funguje správně a zajišťuje integrování signálu v nutném kmitočtovém rozsahu.
3.3 Diferenciátor
Druhý blok používaný v programovatelném filtru je diferenciátor. Schematická značka je zobrazena na 3.9. Diferenciátor je podobný integrátoru, ale kondenzátor s rezistorem jsou umístěny opačně.
Obr. 3.9: Schematická značka diferenciátoru Výstupní napětí diferenciátoru se rovná derivaci vstupního napětí:
dt Vout dVin
Přenosová funkce ideálního integrátoru má další tvar:
s s T( )
Realizace tohoto obvodu je dána na obr. 3.10. Jednoduchým diferenciátorem je CR- článek. Spočítáme přenosovou funkci:
s RC
s RC CR
CR C R
R R
Xc s R
T
1 1 1
)
(
) 17 . 3 (
) 19 . 3 (
) 18 . 3 (
40
V souladu z tab. 1.1 (vztah 1.4) mezní kmitočet se rovná:
f RC
2 1 2
1
0
Derivace je tím přesnější, čím je mezní kmitočet diferenciátoru větší ve srovnání s maximálním kmitočtem ve spektru vstupního signálu. Tento požadavek je hlavním pro návrh diferenciátoru, a to znamená, že:
t
Tento požadavek je úplně opačný oproti požadavku pro návrh integrátorů.
Obr. 3.10: Realizace diferenciátoru: a) CR-článek, b) diferenciátor na OZ
Kmitočtové charakteristiky CR-článku a ideálního integrátoru jsou zobrazeny na obr. 3.11 lze vidět, že sklon amplitudové charakteristiky a posun fáze není všude, co je dáno mezním kmitočtem (časovou konstantou).
Obr. 3.11: Kmitočtové charakteristiky diferenciátorů ( 105s)
Jako v případě pasivního RC-článku, diferenciátor na obr. 3.10 (a) není dobrým řešením kvůli tomu, že kmitočtový rozsah derivace je omezen časovou konstantou, která ) 20 . 3 (
) 21 . 3 (
