Typick´e pˇr´ıklady pro z´apoˇctov´e p´ısemky DiM 470-2301 (Kov´aˇr, Kov´aˇrov´a, Kubesa) (verze: January 6, 2022) 1
3 V´ ybˇ ery bez opakov´ an´ı
3.1. Hokejov´y tren´er m´a k dispozici 5 obr´anc˚u a 7 ´utoˇcn´ık˚u. Kolika r˚uzn´ymi zp˚usoby je schopen sestavit
´
utoˇcnou pˇetku, pokud tato obsahuje 2 obr´ance a 3 ´utoˇcn´ıky?
Jedn´a se o neuspoˇr´adan´y v´ybˇer dvou obr´anc˚u z 5 a tˇr´ı ´utoˇcn´ık˚u ze 7. Vybran´y hr´aˇc se pochopitelnˇe nem˚uˇze v jednom v´ybˇeru opakovat. Dost´av´ameC(5,2)C(7,3) =(5
2
)(7
3
)= 10·35 = 350.
3.2. Hokejov´y tren´er m´a k dispozici 5 obr´anc˚u a 6 ´utoˇcn´ık˚u. Kolika r˚uzn´ymi zp˚usoby je schopen sestavit
´
utoˇcnou pˇetku (3 ´utoˇcn´ıci a 2 obr´anci), pokud jeden konkr´etn´ı ´utoˇcn´ık je schopen hr´at i v obranˇe?
Opˇet se jedn´a o neuspoˇr´adan´e v´ybˇery bez opakov´an´ı. Rozliˇs´ıme dvˇe moˇznosti: zda zm´ınˇen´y ´utoˇcn´ık m˚uˇze hr´at (hraje nebo nehraje) v ´utoku nebo jistˇe hraje v obranˇe.
(i) Zm´ınˇen´y ´utoˇcn´ık hraje v ´utoku nebo nehraje:C(6,3)C(5,2) =(6
3
)(5
2
)= 200 moˇznost´ı.
(ii) ´Utoˇcn´ık hraje v obranˇe (vyb´ır´ame uˇz jen jednoho obr´ance):C(5,3)C(5,1) =(5
3
)(5
1
)= 50 moˇznost´ı.
Tedy celkem m´ame 200 + 50 = 250 moˇznost´ı.
3.3. Hokejov´y tren´er m´a k dispozici celkem 9 hr´aˇc˚u, pˇriˇcemˇz 3 z nich jsou dobˇr´ı ´utoˇcn´ıci. Kolika r˚uzn´ymi zp˚usoby je schopen sestavit ´utoˇcnou pˇetku (3 ´utoˇcn´ıci a dva obr´anci) tak, aby v n´ı hr´al alespoˇn jeden dobr´y
´
utoˇcn´ık?
V´ybˇer hr´aˇc˚u je neuspoˇr´adan´y v´ybˇer bez opakov´an´ı, tj. kombinace.
(i) Vˇsech moˇznost´ı jak vybrat ´utoˇcnou pˇetku, jeC(9,5) =(9
5
)= 126.
(ii) Poˇcet moˇznost´ı, kdy ve vybran´e pˇetce nen´ı ani jeden dobr´y ´utoˇcn´ık, jeC(6,5) =(6
5
)=(6
1
)= 6 Tedy celkem je 126−6 = 120 moˇznost´ı.
Jin´e ˇreˇsen´ı:
Vybereme nez´avisle i dobr´ych ´utoˇcn´ık˚u a zb´yvaj´ıc´ıch 5−i hr´aˇc˚u vyb´ır´ame mezi zb´yvaj´ıc´ımi ˇsesti hr´aˇci.
Pˇetek, kde hraje alespoˇn jeden dobr´y ´utoˇcn´ık, pak je C(3,1)C(6,4) +C(3,2)C(6,3) +C(3,3)C(6,2) =
(3 1 )
· (6
4 )
+ (3
2 )
· (6
3 )
+ (3
3 )
· (6
2 )
=
= 3·15 + 3·20 + 1·15 = 45 + 60 + 15 = 120.
3.4. V oddˇelen´ı mateˇrsk´e ˇskolky je 12 dˇet´ı. Pan´ı uˇcitelka m´a k dispozici 12 r˚uzn´ych hraˇcek. Kolika zp˚usoby je m˚uˇze dˇetem rozdat tak, aby kaˇzd´e d´ıtˇe mˇelo alespoˇn jednu hraˇcku? ˇZ´adn´e dvˇe dˇeti nebudou sd´ılet jednu hraˇcku.
Jedn´a se o uspoˇr´adan´y v´ybˇer, nebot’ rozliˇsujeme, kdo dostane kterou hraˇcku. Protoˇze vyb´ır´ame vˇsechny hraˇcky, jedn´a se o permutaci mnoˇziny hraˇcek. P(12) = 12! = 479 001 600
3.5. V oddˇelen´ı mateˇrsk´e ˇskolky je 12 dˇet´ı. Pan´ı uˇcitelka m´a k dispozici 18 r˚uzn´ych hraˇcek. Kolika zp˚usoby je m˚uˇze dˇetem rozdat tak, aby kaˇzd´e d´ıtˇe mˇelo pr´avˇe jednu hraˇcku? ˇZ´adn´e dvˇe dˇeti nebudou sd´ılet jednu hraˇcku.
Jedn´a se o uspoˇr´adan´y v´ybˇer, nebot’ rozliˇsujeme, kdo dostane kterou hraˇcku. Protoˇze vyb´ır´ame 12 z 18 hraˇcek, jedn´a se o 12-prvkov´e variace z 18 prvk˚u bez opakovan´ı hraˇcek. V(18,12) = (1818!−12)! = 18!6! = 18·17·16·15·14·13·12·11·10·9·8·7 = 8 892 185 702 400.
3.6. Kolik existuje prost´ych zobrazen´ı 3-prvkov´e mnoˇziny do 5-prvkov´e mnoˇziny?
M´ame C(5,3) = (5
3
) moˇznost´ı jak vybrat 3 prvky z pˇetiprvkov´e mnoˇziny, na kter´e zobraz´ıme vˇsechny tˇri prvky mnoˇziny tˇr´ıprvkov´e. Pak trojici prvk˚u na druhou trojici prvk˚u m˚uˇzeme injektivnˇe zobrazit 3!
zp˚usoby. Tedy celkov´y poˇcet zobrazen´ı je(5
3
)3! = 60.
Typick´e pˇr´ıklady pro z´apoˇctov´e p´ısemky DiM 470-2301 (Kov´aˇr, Kov´aˇrov´a, Kubesa) (verze: January 6, 2022) 2 Jin´e ˇreˇsen´ı:
Jedn´a se o jednoduch´y uspoˇr´adan´y v´ybˇer, kdy vyb´ır´ame tˇrikr´at z pˇeti prvk˚u bez moˇznosti opakov´an´ı.
V(5,3) = 5!2! = 60.
3.7. Kolik existuje prost´ych zobrazen´ı 5-prvkov´e mnoˇziny do 3-prvkov´e mnoˇziny?
Z´ˇadn´e. Nebot’ 5 prvk˚u nelze injektivnˇe zobrazit na 3 prvky.
3.8. Kolika zp˚usoby mohu posn´ıdat sv´e obl´ıben´e suˇsenky, pokud je v bal´ıˇcku 10 r˚uzn´ych suˇsenek a j´a chci sn´ıst 6 (4 si nech´av´am na svaˇcinu)? Uvaˇzujte oba pˇr´ıpady, tzn. jednou budu rozliˇsovat poˇrad´ı konzumovan´ych suˇsenek, podruh´e ne. Kolikr´at se zv´yˇs´ı poˇcet moˇznost´ı, pokud budu rozliˇsovat poˇrad´ı?
Jestliˇze nerozliˇsujeme poˇrad´ı, tak se jedn´a o neuspoˇr´adan´e v´ybˇery ˇsesti prvk˚u z deseti (bez opakov´an´ı).
Moˇznost´ı je C(10,6) =(10
6
)= 104·3·2·9·8·7 = 210. Jestliˇze rozliˇsujeme poˇrad´ı, tak se jedn´a o uspoˇr´adan´e v´ybˇery prvk˚u z deseti (bez opakov´an´ı). Moˇznost´ı jeV(10,6) = (1010!−6)! = 10·9·8·7·6·5 = 151 200. Nebo si tak´e uvˇedom´ıme, ˇze vybran´ych ˇsest suˇsenek m˚uˇzeme seˇradit P(6) zp˚usoby, tj. (10
6
)6! = 210·720 = 151 200.
Poˇcet moˇznost´ı se zv´yˇs´ı 6! = 720 kr´at.
3.9. Kolik pˇr´ımek lze proloˇzit osmi body v rovinˇe, jestliˇze ˇz´adn´e tˇri body nejsou koline´arn´ı (neleˇz´ı v jedn´e pˇr´ımce)?
Kaˇzdou dvojic´ı bod˚u je moˇzno proloˇzit jednu pˇr´ımku. Jedn´a se o neuspoˇr´adan´e v´ybˇery dvou prvk˚u bez opa- kov´an´ı kombinaceC(8,2) =(8
2
)= 82·7 = 28. M˚uˇzeme proloˇzit 28 r˚uzn´ych pˇr´ımek.
3.10. Kolika zp˚usoby m˚uˇzeme 6 div´ak˚u posadit do divadeln´ı ˇrady (ˇrada m´a 6 sedadel) tak, aby Theofil a Angel´ına sedˇeli vedle sebe?
Rozliˇs´ıme dvˇe moˇznosti: zda Angel´ına sed´ı po Theofilovˇe levici nebo pravici. V obou pˇr´ıpadech je pak povaˇzujeme za
”jedin´eho“ div´aka a poˇc´ıt´ame, kolik existuje moˇznost´ı, jak posadit pˇet div´ak˚u do ˇrady.
Celkem m´ame 2·P(5) = 2·5! = 2·120 = 240.
3.11. Spoˇc´ıtejte, kter´ych v´ybˇer˚u existuje v´ıce:
(a) moˇznost´ı, jak z deseti dan´ych karet vybrat 3 bez ohledu na poˇrad´ı, nebo (b) jak seˇradit r˚uzn´ych dan´ych pˇet karet do ˇrady?
Poˇcty obou v´ybˇer˚u spoˇc´ıt´ame:
(a) C(10,3) =(10
3
)= 103··92·8 = 10·3·4 = 120.
(b) P(5) = 5! = 120
Oba v´ybˇery maj´ı stejn´y poˇcet moˇznost´ı.
