Limitní v¥ty

8 Výb¥rové charakteristiky

Statistická indukce

= metoda, která dovoluje stanovit vlastnosti celku (základního souboru) na základ¥ pozorování jeho £ásti (náhodného výb¥ru)

ˆ nap°. ve výb¥ru 100 lidí bude pr·m¥r IQ 110 →st°ední hodnota IQ bude v okolí 110 (V jakém okolí? S jakou pravd¥podobností?)

Výb¥rové charakteristiky

popula£ní parametr výb¥rová charakteristika (konstanta) (náhodná veli£ina) st°ední hodnotaµ výb¥rový pr·m¥rX mediánx_0.5 výb¥rový mediánXe_0.5 sm¥rodatná odchylkaσ výb¥rová sm¥rodatná odchylka S

pravd¥podobnostπ relativní £etnostp

Odhady parametr· populace

ˆ bodový odhad

ˆ intervalový odhad

Limitní v¥ty

Slabý zákon velkých £ísel M¥jme nekone£ný náhodný výb¥rX1, X2, ...z rozd¥lení se st°ední hodnotouµa kone£ným rozptylem, kde X₁, X₂, ... jsou nekorelované náhodné veli£iny. Potom platí, ºe výb¥rový pr·m¥rX_n vypo£ítaný z prvníchnpozorování se pron∞blíºí ke st°ední hodnot¥µ, coº zapisujeme

n→∞lim

P |Xn−µ|

< ε

= 0 ∀ε >0.

Centrální limitní v¥ta Jsou-liXi nezávislé náhodné veli£iny se stejnou st°ední hodnotouµa se stejným ko- ne£ným rozptylem σ², pak výb¥rový pr·m¥r má p°i dostate£n¥ velkém po£tu pozorování p°ibliºn¥ normální rozd¥lení, a´ uºXi pocházejí z libovolného rozd¥lení.

Xn∼N

µ,σ² n

D·sledky centrální limitní v¥ty

Sou£et nhodnot:

Xn∼N

µ,σ² n

→Xn·n=

n

X

i=1

Xi∼N nµ, nσ²

Relativní £etnost pbinomického rozd¥lení:

p∼N

π;π(1−π) n

Rozdíl výb¥rových pr·m¥r·:

X1−X2∼N

µx−µy,σ²₁ n₁ +σ₂²

n₂

Rozdíl relativních £etností p1−p2 binomického rozd¥lení:

p1−p2∼N

π1−π2;π1(1−π1) n1

+π1(1−π1) n2

Spojitá rozd¥lení vyuºívaná p°i statistické indukci

χ

- rozd¥lení (Pearsonovo)

ˆ Denován jako sumankvadrát· normovaných normálních rozd¥lení X₁, ..., X_n∼N(0; 1) :

n

X

i=1

X_i²∼χ²_n

ˆ Má jediný parametr - po£et stup¬· volnosti

ˆ Pouºití p°i odhadu rozptylu

S²

σ²(n−1)∼χ²_n−1

Studentovo (t) rozd¥lení

ˆ Máme-li Z∼N(0; 1)aV ∼χ²_k pak náhodná veli£ina T = Z

pV /k

má Studentovot rozd¥lení.

ˆ Má jediný parametr - po£et stup¬· volnosti

ˆ Pouºití p°i odhadu st°ední hodnoty bez p°esné znalosti rozptylu

X−µ S

√n∼t_n−1

(p°i znalosti st°ední hodnoty pouºíváme normální rozd¥lení)

ˆ Pro vysoká nplatítn→N(0; 1)

Fisher-Snedecorovo ( F ) rozd¥lení

ˆ Denován jako normovaný podíl dvouχ²rozd¥lení V ∼χ²_m, w∼χ²_n:

V m W n

∼Fm,n

ˆ Má dva parametry - po£ty stup¬· volnosti obou χ² rozd¥lení

ˆ Pouºívá se k testování shody rozptyl·