Hlavní práce7841_xptam04.pdf, 864.5 kB Stáhnout

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE

FAKULTA FINANCÍ A Ú Č ETNICTVÍ

KATEDRA BANKOVNICTVÍ A POJIŠŤOVNICTVÍ Hlavní specializace: Finance

M ě nové opce

Diplomant : Bc. Martin Ptáček

Vedoucí diplomové práce: doc. Mgr. Jiří Málek, Ph.D.

P r o h l a š u j i ,

že tuto diplomovou práci jsem vypracoval zcela samostatn ě a uvádím v ní veškeré prameny, které jsem použil.

Bc. Martin Ptá č ek

V Praze dne 28. 12. 2007

Tímto bych cht ě l pod ě kovat doc. Mgr. Ji ř ímu Málkovi, Ph.D

.

za

odborné rady a p ř ipomínky p ř i vedení této diplomové práce.

Osnova

Úvod...6

1. Historie finančních derivátů...8

2. Obchodování s měnovými opcemi...10

2.1. Philadeldelphia Stock Exchange (PHLX)... 10

2.2. Chicago Mercantile Exchange ... 11

2.3. Mimoburzovní trh (OTC) ... 11

3. Měnové opce ...15

3.1. Hodnota opce ... 17

3.2. Maximální zisky a maximální ztráty... 20

4. Vztahy pro měnové opce ...21

4.1. Podmínky homogenity ... 21

4.2. Put – call parita pro evropské měnové opce ... 24

4.3. Parita úrokových sazeb ... 27

4.4. Put – call parita pro americké měnové opce ... 29

4.5. Arbitrážní vztahy pro měnové call opce ... 31

4.5.1. Omezení pro evropskou měnovou call opci... 31

4.5.2. Striktní nerovnost mezi americkou a evropskou měnovou call opcí ... 31

4.5.3. Omezení pro americkou měnovou call opci ... 32

4.6. Arbitrážní vztahy pro měnové put opce... 34

4.6.1. Omezení pro evropskou měnovou put opci ... 34

4.6.2. Omezení pro americkou měnovou put opci ... 34

4.6.3. Striktní nerovnost mezi americkou a evropskou měnovou put opcí... 35

5. Binomický oceňovací model pro evropské měnové call opce...38

5.1. Binomický model pro více period... 43

5.2. Binomický oceňovací model pro americké měnové call opce... 45

5.3. Binomický oceňovací model pro evropské měnové put opce ... 46

5.4. Binomický oceňovací model pro americké měnové put opce ... 50

6. Garman – Kohlhagenův model ...51

6.1. Konvergence binomického modelu ke Garman-Kohlhagenově modelu ... 58

7. Citlivost měnových opcí ...60

7.1. Delta ∆... 60

7.2. Gama Γ ... 61

7.3. Rho ρ... 63

7.4. Lambda λ... 63

7.5. Theta Θ ... 65

8. Opční strategie ...67

8.1. Spreads... 67

8.1.1. Vertical bull spread s call a vertical bull spread s put... 67

8.1.2. Verticall bear spread s call a vertical bear spread s put ... 68

8.1.3. Butterfly spread s call a butterfly spread s put... 69

8.1.4. Calendar spread s put a s call ... 70

8.1.5. Condor... 71

8.2. Straddle ... 72

8.3. Strip a strap ... 73

8.4. Strangle ... 74

9. Exotické měnové opce ...76

9.1. Barrier options ... 76

9.2. Average options ... 79

9.3. Compound options ... 80

9.4. Look Back options ... 82

9.5. Basket options ... 84

9.6. Chooser options ... 84

Závěr ...86

Literatura a použité zdroje ...88

Seznam obrázků, grafů a tabulek ...90

Přílohy...91

Příloha A ...91

Příloha B ...94

Úvod

V průběhu 70. a 80. let se vlivem nestability finančních trhů spočívající v enormním nárůstu volatility úrokových sazeb, kurzů cenných papírů i měnových kurzů podstatně zvýšila rizika pro všechny subjekty finančního trhu. Výsledkem snah o hledání možností, jak se proti zvýšeným rizikům zajistit, byl vznik a prudký rozvoj nových instrumentů, pro které se vžil termín finanční deriváty. Do skupiny finančních derivátů patří také měnové opce, o kterých pojednává tato diplomová práce.

Hlavním cílem této práce je podrobná charakteristika měnových opcí s důrazem na jejich vlastnosti a metody oceňování. Celá práce je rozdělena do devíti kapitol.

První kapitola je úvodní a zabývá se historií finančních derivátů.

Druhá kapitola pojednává o obchodování na nejvýznamnějších světových derivátových burzách. Dále srovnává burzovní a mimoburzovní opční trh.

Třetí kapitola je definiční. Je zde charakterizován vlastní pojem měnové opce.

Dále jsou zde vysvětleny další důležité pojmy, které s opcemi souvisí.

Ve čtvrté kapitole jsou uvedeny vztahy typické pro měnové opce. Je zde také odvozen vztah put – call parity jak pro evropské, tak i pro americké měnové opce.

Pátá kapitola popisuje základní oceňovací model pro evropské opce – tzv.

binomický oceňovací model. Tento model je založen na diskrétních časových okamžicích. Od jednoperiodického binomického modelu se přes určení parametrů modelu dostaneme k víceperiodickému binomickému modelu.

Úkolem šesté kapitoly je přiblížit odvození Black – Scholesova oceňovacího modelu. Tato formule představuje vůbec nejpoužívanější model pro ohodnocování evropských opcí. Black – Scholesův model je zde dále upraven pro potřeby ohodnocování evropských měnových opcí na tzv. Garman – Kohlhagenův model. Pomocí výpočtů s reálnými daty je v této kapitole naznačena konvergence výše zmíněného binomického modelu k tomuto modelu.

Obsahem sedmé kapitoly jsou základní opční charakteristiky: delta, gama, rho, lambda a theta. Každá opční charakteristika popisuje, jakým způsobem ovlivňuje jeden jediný faktor hodnotu opce.

Nejdůležitější opční strategie, jako jsou strategie typu spreads, straddle, strip a strap, strangle, jsou popsány v osmé kapitole.

Závěrečná devátá kapitola pojednává o problematice exotických měnových opcí.

Přehled exotických měnových opcí bude zahájen popisem bariérových opcí vypsaných na cizí měnu. Tyto opce patří mezi nejpopulárnější exotické opce. Následující text bude dále zaměřen na average option a compound option. Nakonec budou ještě zmíněny exotické opce typu look back, basket a chooser.

1. Historie finan č ních derivát ů

Na světě se první opce a futures objevily již v antickém Řecku. První opce zde byly sjednávány na olivy, které ještě nedosáhly své zralosti. Dále se trh s opcemi vyvíjel následujícím způsobem:

17. století

Během 15. století se pěstění tureckých tulipánů rozšířilo po celé Evropě zejména do Holandska. Již od roku 1630 byly zobchodovány první futures na tulipány.

Krize obchodu s deriváty přišla v roce 1637, kdy se zdánlivě bezrizikový trh s touto komoditou zhroutil. Tisíce lidí přišlo o své celoživotní úspory. Toto je známo jako tulipánová mánie.

18. století

V roce 1728 Royal West-Indian and Guinea Company, monopolní společnost obchodující v Karibiku a v Africe, vydává svoje první opce na své akcie. Tyto akcie byly emitovány v roce 1734.

19. století

V roce 1848 skupina obchodníků zakládá Chicago Board of Trade (CBOT), dnes největší a nejstarší derivátovou burzu na světě. První standardizované futures byly zobchodovány v roce 1860.

V roce 1870 vznikla New York Cotton Exchange.

V roce 1880 byl zaveden zlatý standard.

20.století

• V roce 1914 bylo opuštěno od zlatého standardu kvůli první světové válce.

• V roce 1919 byla Chicago Produce Exchange přejmenována na Chicago Mercantile Exchange, dnes nejvýznamnější future burza na Eurodolar, cizí měny a komodity.

• V roce 1944 byl zaveden Brettenwoodský měnový systém z důvodů stabilizace měnových kurzů.

• V roce 1970 bylo opuštěno od Brettenwoodského měnového systému.

• V roce 1979 byl podepsán Smithsonian Agreement, kterým byl zaveden pevný měnový kurz.

• V roce 1972 se na International Monetary Market (IMM) obchodují futures na mince, měny a drahé kovy.

• V roce 1973 CBOT poprvé obchoduje s call opcemi. Čtyři roky na to i s put opcemi. Byl zrušen Smithsonian Agreement a zaveden řízený plovoucí měnový kurz.

• V roce 1975 CBOT prodává první futures na úrokovou míru.

• V roce 1979 byl zaveden evropský měnový systém a byla představena evropská měnová jednotka (ECU).

• V roce 1982 se začaly obchodovat jako standardizované kontrakty první měnové opce.

• V roce 1991 byla podepsána Maastrichtská smlouva.

• V roce 1999 byla zavedena bezhotovostní platba v Euro.

• V roce 2001 bylo zavedeno Euro jako hotovostní peníze.

2. Obchodování s m ě novými opcemi

Opční kontrakty se obchodují buď prostřednictvím burzy nebo prostřednictvím bankovního trhu OTC (over the counter). Burzovní opce jsou charakterizovány svou vysokou standardizací, ať co do množství dané měny nebo termínu uzavření. Naproti

tomu bankovní opce nabízejí možnost přizpůsobení obsahu kontraktů přáním a potřebám zákazníků, i když i zde existuje jistá nezbytná míra standardizace

umožňující dostatečnou likvidnost.

2.1. Philadeldelphia Stock Exchange (PHLX)

Philadeldelphia Stock Exchange¹ byla založena již v roce 1790 a je nejstarší burzou v USA. Po mnoho let byla největší burzou obchodující měnové opce.

V posledních letech však toto prvenství přebírá Chicago Mercantile Exchange (CME), která obchoduje stále větší objemy měnových opcí.

Obchody s měnovými opcemi na PHLX můžeme rozdělit do dvou kategorií - na

standardizované opční kontrakty (standardized currency options contracts) a nestandardizované opční kontrakty (customized currency options contracts).

Na PHLX se obchoduje šest standardizovaných měnových opčních kontraktů, jejichž základní měnou je americký dolar (USD) a podkladovou měnou jedna z těchto měn: australský dolar (AUD), britská libra (GBP), kanadský dolar (CAD), Euro (EUR), japonský jen (JPY), švýcarský frank (CHF).

Následující tabulka ukazuje velikost jednoho kontraktu pro jednotlivé měnové opce:

AUD GBP CAD EUR JPY CHF

50 000 31 250 50 000 62 500 6 250 000 62 500

Na PHLX jsou pro tyto měny k dispozici oba typy opcí - jak evropská, tak americká.

Standardizované opční kontrakty můžeme dále rozlišovat podle doby splatnosti.

PHLX nabízí tzv. mid-month – opce splatné uprostřed měsíce, month-end – opce splatné na konci měsíce a long-term – dlouhodobé opce. Obecně, opční kontrakty jsou splatné v měsících březen, červen, září, prosinec a ve dvou dalších nejbližších měsících.

Emitentem a zároveň garantem všech opčních kontraktů na Philadeldelphia Stock Exchange je Options Clearing Corporation (OCC) - clearingový dům, který vstupuje jako prostředník do všech opčních obchodů, čímž eliminuje riziko protistrany a zároveň provádí konečné vypořádání obchodů.

Smyslem standardizace opcí je zajistit větší koncentraci nabídky a poptávky a tím i větší likviditu trhu.

Jako odpověď na rostoucí oblibu over-the-counter trhů zavedla PHLX tzv.

customized currency options contracts - nestandardizované opční kontrakty. Tyto kontrakty jsou ušité na míru obchodníkům se specifickými požadavky ohledně realizační ceny či času splatnosti opce. Na tomto trhu může být zobchodována jakákoliv měnová opce, která má ve svém základu měnu obchodovanou na PHLX. Velikost jednoho kontraktu je stejná jako v případě standardizovaných opcí.

2.2. Chicago Mercantile Exchange

Tato burza byla založena v roce 1898 původně jako burza obchodující zemědělské komodity. Avšak rychle se rozvíjela a brzy se stala jednou z největších burz obchodující finanční deriváty.

V polovině 80. let začala poprvé obchodovat měnové opce. Dnes se dá říct, že se jedná o největší burzu na světě co do množství nabízených měnových opční kontraktů či do objemu zobchodovaných transakcí .

2.3. Mimoburzovní trh (OTC)

Mezibankovní trh s měnovými opcemi je dnes zdaleka největším a nejdůležitějším trhem s měnovými deriváty. Je to způsobeno zejména tím, že na tomto

trhu jsou přizpůsobovány požadavkům svých klientů – například pokud jde o částku a termín splatnosti.

Na druhou stranu zde existuje z důvodu absence clearingového domu větří riziko protistrany než v případě burzovních opcí.

Tab. č.1 Srovnání burzovního a OTC trhu²

Burzovní trh OTC

Velikost kontraktu specifikovaná nestandardizovaná

Transparentnost trhu vysoká nízká

Doba splatnosti standardizovaná nestandardizovaná

Typ opce většinou americké opce evropské i americké opce

Realizační cena standardizovaná nestandardizovaná

Obchodní systém metoda veřejného křiku

elektronický elektronický (síť dealerů)

Regulace Securities Exchange

Commission, Options Clearing

Corporation, National Association of

Securities Dealers, atd.

samočinně regulovaný

Riziko nesené clearingovým

domem riziko protistrany

Účastníci obchodů drobní investoři institucionální a korporátní

investoři

institucionální a korporátní investoři

Graf č.1 Podíl jednotlivých druhů OTC opcí na celkovém stavu otevřených pozic k 31. 12. 2006

Nominální hodnota

16,3%

74,0%

9,7%

měnové opce úrokové opce akciové opce

Hrubá tržní hodnota

12,9%

41,9%

45,2% měnové opce

úrokové opce akciové opce

Zdroj: International banking and financial market developments, BIS 2007

Struktura mimoburzovních opcí může být posuzována na základě stavu otevřených pozic vyjádřených v nominální, respektive v hrubé tržní hodnotě. Z grafů je patrné, že většina mimoburzovních opcí je tvořena úrokovými opcemi. Podíl měnových opcí v nominální hodnotě činí 16,3 %. Měnové opce jsou zastoupeny v hrubé tržní hodnotě nejmenším podílem, necelými 13 %.

Graf č.2 Podíl jednotlivých druhů burzovních opcí na celkovém stavu otevřených pozic k 31. 12. 2006 a obratu za rok 2006 (dle počtu kontraktů)

Stav otevřených pozic

5,9%

80,3%

0,2%

2,2% 11,4%

měnové opce úrokové opce

opce na akciové indexy akciové opce

komoditní opce

Obrat

8,4%

47,0%

42,7%

1,6% 0,4%

měnové opce úrokové opce

opce na akciové indexy akciové opce

komoditní opce

Zdroj: International banking and financial market developments, BIS 2007

Z výše uvedených grafů je patrné, že největší podíl na burzovních opcích mají akciové opce a opce na akciový index. Minimální množství burzovních opcí je tvořeno opcemi měnovými.

3. M ě nové opce

Měnové opce jsou finančními instrumenty, které řadíme mezi termínové operace zvané měnové deriváty.

Opce mají mezi měnovými deriváty jako jediné to specifikum, že držitel tohoto derivátu má právo, a nikoli povinnost, plnit dohodnutý kontrakt. Opce je tedy právo pro držitele koupit nebo prodat podkladové aktivum, v našem případě měnu, za pevně stanovenou cenu a v pevně stanovené době, resp. období.

Opce s právem, resp. povinností koupit nazýváme – call opce Opce s právem, resp. povinností prodat nazýváme – put opce

Pokud držitel opce může své právo uplatnit kdykoli během doby života opce, potom hovoříme o opci americké. V případě, kdy držitel může své právo uplatnit pouze v době expirace, potom hovoříme o opci evropské. Oba druhy opcí mohou být kdykoli během svého života prodány nebo koupeny.

Smluvní strany, které spolu uzavírají opční kontrakty musí znát:

druh kontraktu (call, put: americká, evropská) podkladové aktivum, tedy měnu a její množství měnu, ve které se měna kótuje

dobu expirace

realizační cenu tzv. strike price výši prémie

Opce se podle vztahu spotové a realizační ceny nachází buď:

„mimo peníze“ – S < X pro call, X < S pro put

„na penězích“ – S = X pro call i put

„ v penězích“ – S > X pro call, X > S pro put S – spotový kurz

Využití opce holderem

Využití opce holderem

opční prémie Pr opční prémie Pr

Obr. č. 1 Zisk a ztráta z opčních pozic – call a put opce

Zisk / Ztráta

Holder

S

Writer X X + Pr

Zisk / Ztráta

Holder

S Writer

X + Pr X

3.1. Hodnota opce

Držitel opce musí samozřejmě prodávajícímu za své právo zaplatit, a to cenu, která se nazývá prémie.

Tato prémie se udává na jednotku měny. Prémie se skládá z vnitřní a časové hodnoty³.

Vnitřní hodnota (intrinsic value) call opce IVC je definována jako rozdíl mezi spotovým kurzem S a realizační cenou X, přičemž nemůže nabývat záporných hodnot:

[

^0,S-X

]

=max

IVC .

Vnitřní hodnota opce nabývá nulové hodnoty, jestliže je call opce „mimo peníze“, tzn. spotový kurz je nižší než realizační cena. Vnitřní hodnota put opce IV_P je definována jako rozdíl mezi realizační cenou a spotovým kurzem, přičemž opět nemůže nabývat záporných hodnot:

[

^0,X-S

]

=max

IVP .

Put opce „mimo peníze“, kdy je spotový kurz vyšší než realizační cena, nemá tedy zápornou hodnotu, ale pouze nulovou vnitřní hodnotu.

Časová hodnota opce je definována jako rozdíl mezi výší prémie Pr a vnitřní hodnotou opce IV.

Zatímco vnitřní hodnota je dána rozdílem mezi realizační cenou a spotovým kurzem v daném okamžiku, časová hodnota je dána třemi faktory – délkou období zbývající do splatnosti opce, rizikovostí příslušné měny a úrokovým diferenciálem:

1. Časová hodnota opce je klesající funkcí času. Přesněji řečeno, časová hodnota opce klesá s blížící se dobou splatnosti opce. V době dospělosti opce je časová hodnota opce jako funkce času rovna nule (viz.obr.2).

Časová hodnota opce

Obr. č. 2 Časová hodnota opce

Čas zbývající do expirace opce

2. Časová hodnota opce je dále rostoucí funkcí rizikovosti podkladové měny.

Zvýšení volatility spotového kurzu vede u jinak dvou identických opcí ke zvýšení časové hodnoty opce.

3. Růst úrokového diferenciálu domácí měny definovaného jako rozdíl domácí a zahraniční bezrizikové úrokové míry, vede k růstu časové hodnoty kupní opce, a naopak. V případě prodejní opce vede růst úrokového diferenciálu k poklesu časové hodnoty opce, a naopak.

Obr. č. 3 Vnitřní a časová hodnota kupní a prodejní opce Call opce

Prc Ivc

Pr_c´

Vnitřní hodnota opce

Časová hodnota opce

S

Put opce

Prp Ivp

Prp´

Vnitřní hodnota opce

Časová hodnota opce S

3.2. Maximální zisky a maximální ztráty

O emitentovi (writer) opce hovoříme jako o té straně kontraktu, která je v krátké pozici – short, a naopak držitel (holder) opce je v pozici dlouhé – long.

Tyto dvě strany mohou zaujmout celkem čtyři různé pozice: koupě call, prodej call, koupě put, prodej put. V každé této pozici může dosáhnout zisku nebo ztráty.

Následující tabulka ukazuje maximální možné zisky a ztráty v jednotlivých pozicích⁴.

Tab. č.2 Maximální zisky a ztráty z opčních kontraktů

Maximální zisk Maximální ztráta koupě call – dlouhá pozice (long call) neomezen prémie prodej call – krátká pozice (short call) prémie neomezena koupě put – dlouhá pozice (long put) realizační cena prémie

- prémie

prodej put – krátká pozice (short put) prémie realizační cena - prémie

4. Vztahy pro m ě nové opce

Ocenění opčního práva, respektive stanovení prémie pro měnové call či měnové put opce provádějí různé opční teorie. Do dnešní doby jich bylo vyvinuto několik. Tyto teorie nejsou bohužel zcela jednoduché. Používají složitější matematický aparát na úrovni diferenciálního počtu a teorie pravděpodobnosti. Dříve než budou některé z nich uvedeny, je potřeba charakterizovat základní vlastnosti měnových opcí.

V této části budou uvedeny základní charakteristiky měnových opcí pomocí jednoduchých matematických vztahů.

4.1. Podmínky homogenity

Podmínka homogenity vyjadřuje, že cena opce je nezávislá ve vztahu k objemu spotové a realizační ceny. Tato vlastnost může být popsána následujícími vztahy:

^C

(

λ^S

( )

^{t ,}λ^X

)

^{= λ C}

(

^S

( )

^t,X

)

, P

(

λ^S

( )

^{t ,}λ^X

)

^{= λ P}

(

^S

( )

^t,X

)

^, ∇ λ >0 . (4.1.1)

Jinými slovy, investor by měl být lhostejný k opci, která je vypsána např. na dva americké dolary a jejíž realizační cena je např. 30 Kč a ke dvěma stejným opcím, které znějí na americký dolar a přitom vykazují poloviční realizační cenu.

Výše uvedené homogenní vztahy dovolují, že cena opce pro jednu jednotku cizí měny může být násobena velikostí sjednaného kontraktu.

Můžeme tedy psát:

C

(

^{S t}

( )

^,X

)

^{= X C}

( )

_



 



St ,1

X , P

(

^{S t}

( )

^,X

)

^{= X P}

( )

_



 



St ,1

X . (4.1.2) Tato rovnice odpovídá podmínce homogenity (4.1.1), přičemž za λ dosazujeme 1/X.

Oproti opčním kontraktům na cenné papíry, vydaných v domácí měně, se na měnové opce můžeme dívat ze dvou úhlů pohledu, totiž z pozice domácího nebo zahraničního investora.

To znamená, že například na call opci vypsanou na Euro v amerických dolarech můžeme nahlížet jako na put opci vypsanou na americký dolar v Eurech.

Mějme tedy měnový kurz S

( )

t = USD/€. Z pohledu amerického investora stojí call opce na tento měnový pár, s výplatní funkcí max

[

^0,S

( )

^{T -X}

]

^{, C}

(

^S,X

)

^{$, resp.}

C

(

^S,X

)

^/S

( )

t €. Na tuto call opci může být také nahlíženo z pohledu německého investora

jako na put opci vyjádřenou v amerických dolarech s výplatní funkcí X max

( )

^

 



 −

T S X

1 , 1

0 . Tato opce bude ve Frankfurtu stát XP

( )

^







X T S

, 1

1 €, protože

( )

^t

S 1 a S

( )

t mají stejnou volatilitu⁵.

Pro měnové opce platí následující vztah:

( ) ( ( ) ) ( )

^





= 

X t XP S X t S t C S

, 1 , 1

1

( ) ( ( ) ) ( )

^





= 

X t XC S X t S t P S

, 1 , 1

1 .

Pro větší názornost uveďme příklad⁶.

Uvažujme spotový měnový kurz S

( )

t = 1,4 $/€ a následující opce:

1. Jednoroční evropská call opce na € vyjádřená v dolarech s realizační cenou 1,42 $ a s opční prémií 0,0306 $. V den s platnosti má držitel této opce právo koupit

1 € za 1,42 $. Výplatní funkce této opce v dolarech je potom max

[

^S

( )

^{T -1,42,0}

]

5 WYSTUP, U. FX Options and Structured Products. Wiley: Har/Cdr edition, 2007, s. 8

2. Jednoroční evropská put opce na $ vyjádřená v Eurech s realizační cenou 0,7042

42 , 1

1 = € a s opční prémií 0,0154 €. V den splatnosti má držitel této put

opce právo vzdát se 1 $ a obdržet 0,7042 €. Hodnota Eura bude

( )

^{1T .}

S Výplatní funkce této opce v Eurech bude potom

max

( )

^

 



 −

T S

1 1,42

0, 1 .

Je zřejmé, že jestliže bude uplatněna call opce vyjádřená v dolarech, musí být také uplatněna put opce vyjádřená Eurech. Platí totiž, že opce budou uplatněny v případě, že S

( )

t >1,42, respektive

( )

^T

S 1 42 , 1

1 > .

Pro další výklad ekvivalencí těchto dvou opcí uvažujme následující dvě transakce:

1. Nákup jednoroční evropské call opce na € denominované v dolarech s realizační cenou 1,42 $ a o velikosti

42 , 1

1 (viz. podmínka homogenity). Cena této opce bude

42 , 1

1 0,0306 $ = 0,02155 $.

2. Nákup evropské put opce na $ denominované v Eurech s realizační cenou 0,7042 €.

Cena této opce v dolarech bude 1,4 $/€ * 0,0154 € = 0,02155 $.

Tabulka č.3 porovnává výplatní funkce těchto dvou opcí. Aby neexistovala možnost arbitráže, musí mít tyto opce stejnou cenu.

Tab. č.3 Ekvivalence evropské call opce v dolarech a evropské put opce v Eurech Transakce

t

$ €

T

S

( )

T <1,42 S

( )

^{T ≥1,42}

$ € $ € 1. nákup

42 , 1

1 call opce (na €) v $ -0,02155 -

0 0 -1 42 , 1 1

2. směna $ na €

Nákup put opce (na $) v €

-0,02155 0,0154

-0,0154 0 0 -1 42 , 1 1

4.2. Put – call parita pro evropské měnové opce

Vztah put – call parity pro evropské měnové opce byl poprvé odvozen J.O. Grabbem v roce 1983. Put – call parita je důležitý teoretický nástroj pro zkoumání

call a put opcí.

Je definována jako vzájemný vztah mezi cenou put a call opce, které mají stejné podkladové aktivum (stejnou měnu), stejnou realizační cenu a stejnou dobu splatnosti.

Tento vzájemný vztah je silnější pro evropské opce (jedná se o rovnost) a volnější pro americké opce (vyjádřena nerovností).

V této části bude odvozena put – call parita pro evropské měnové opce.

Uvažujme dvě strategie.

Strategie A: Nákup portfolia A, které se skládá z jedné evropské call opce C

( )

^t

a určitého množství hotovosti vyjádřeného vztahem Xe^−rT, kde X je částka uložená za domácí bezrizikovou úrokovou míru na čas T.

Strategie B: Pořízení portfolia B, které obsahuje jednu jednotku zahraniční měny

^S

( )

^{t e−rfT, kde S}

( )

t je velikost spotového měnového kurzu na začátku držby opce. Tato částka bude uložena za bezrizikovou zahraniční úrokovou míru na čas T.

Hodnoty těchto dvou portfolií jsou znázorněny v následující tabulce.

Je zřejmé, že portfolio A bude mít v čase T vždy hodnotu přinejmenším tak velkou, jakou bude mít portfolio B.

Přesněji řečeno, pokud bude spotová cena měnového kurzu v době splatnosti opce menší než realizační cena

(

^S

( )

^T < ^X

)

, call opce nebude využita a právě v tomto případě bude mít portfolio A hodnotu X a tedy větší než portfolio B. Portfolio A je konstruováno tak, že obsahuje call opci a současně takové množství finančních prostředků, aby v době vypršení call opce bylo možno v případě potřeby tuto opci uplatnit. Uplatnění call opce znamená, že požaduji dodání jedné jednotky zahraniční měny a jsem připraven za ni zaplatit realizační cenu X. V době uplatnění opce proto musím mít částku X k dispozici.

Tuto částku však nemusím mít v čase t. Na počátku postačuje takový obnos, který bez jakéhokoliv rizika dosáhne částky X v okamžiku uplatnění opce. V čase t mi stačí mít částku Xe^−rT.

Abychom předešli arbitrážním příležitostem, musí platit následující vztah:

C

( )

^{t + Xe−rT≥ S}

( )

^{t e−rfT}, respektive C

( )

^{t ≥ S}

( )

^{t e−rfT-Xe−rT.}

Protože hodnota evropské call opce je vždy nezáporná tedy C

( )

^{t ≥ 0 , mů}žeme psát:

C

( )

^{t ≥ max}

[

^S

( )

^{t e−rfT −Xe−rT,0}

]

^{. (4.2.1)}

Portfolio t T

S

( )

T <X S

( )

^{T ≥X}

A: 1 call + hotovost

B: 1 jednotka zahr. měny C

( )

^{t + Xe−rT}

( )

^{t e rfT}

S ⁻

X S

( )

^T

S

( )

^T

S

( )

^T

Strategie C: Nákup portfolia C, které se skládá z jedné evropské put opce P

( )

t a jedné

jednotky zahraniční měny ^S

( )

^{t e−rfT}

Strategie D: Pořízení určitého množství hotovosti vyjádřeného vztahem Xe^−rT

Hodnoty těchto dvou portfolií jsou znázorněny v následující tabulce.

Aby nedocházelo k arbitrážním situacím, musí platit:

P

( )

^{t + S}

( )

^{t e−rfT≥ Xe−rT}, respektive P

( )

^{t ≥ Xe−rT- S}

( )

^{t e−rfT.}

Protože hodnota evropské put opce je vždy nezáporná, tedy P

( )

^{t ≥ 0, mů}žeme psát:

P

( )

^{t ≥}

[

^{0,Xe−rT −S}

( )

^{t e−rfT}

]

^{. (4.2.2)}

Povšimněme si, že strategie A a C v čase splatnosti opce mají stejnou hodnotu – max

[

^S

( )

^T,X

]

^.

Náklady na zaujetí pozice v případě strategie A jsou C

( )

^{t +Xe−rT}, a podobně tomu bude v případě strategie C, kde náklady budou činit P

( )

^{t + S}

( )

^{t e−rfT.}

Protože se jedná o evropskou opci, která nemůže být uplatněna dříve než v čase expirace, náklady těchto dvou strategií musí být na počátku stejné.

C

( )

^{t + Xe−rT=P}

( )

^{t + S}

( )

^{t e−rfT}. (4.2.3) Tento vztah je znám jako put - call parita pro evropské měnové opce.

Portfolio t T

S

( )

T <X S

( )

^{T ≥X}

C: 1 put + 1 jednotka zahr.měny D: hotovost

P

( )

^{t +S}

( )

^{t e−rfT}

Xe⁻rT

S

( )

^T

X

X X

Představme si, že by náklady na strategii A byly větší, než náklady na pozici C.

Za této situace by existovala možnost arbitráže.

Zisku bychom mohli dosáhnout koupí bezrizikového diskontovaného dluhopisu v cizí měně, vypsáním call opce, koupí ekvivalentního množství put opce a výpůjčkou současné hodnoty realizační ceny opce:

C

( )

^{t + Xe−rT>P}

( )

^{t + S}

( )

^{t e−rfT.}

Opačně, jestliže by náklady strategie C byly větší než náklady na pozici A, dosáhli bychom arbitrážního zisku vypsáním put opce, následnou koupí call opce, prodejem bezrizikového diskontovaného dluhopisu v cizí měně a půjčkou současné hodnoty realizační ceny.

C

( )

^{t + Xe−rT<P}

( )

^{t + S}

( )

^{t e−rfT.}

Ať už hodnota měny roste či klesá, pravá i levá strana put – call parity se navzájem vyvažují. Praktický význam put – call parity spočívá v tom, že jestliže známe tři ze čtyř veličin v rovnici, snadno můžeme dopočítat implikovanou hodnotu čtvrté položky.

Výše uvedené vztahy mohou být ještě zjednodušeny pomocí forwardového kurzu, což bude ukázáno v dalším odstavci.

4.3. Parita úrokových sazeb

Vztah pro put – call paritu měnových opcí může být zjednodušen pomocí parity úrokových sazeb.

Parita úrokových sazeb může být odvozena jednak pomocí put – call parity měnové opce (4.2.3) a jednak ze znalosti skutečnosti, že termínový kontrakt na měnu může být sestaven pomocí koupené call opce a vypsané put opce.

Předpokládejme, že obě opce jsou vypsány na stejnou měnu, ve stejnou dobu, obě mají stejnou realizační cenu, stejný je i termínový kurz a též i stejný čas splatnosti shodný s termínovým kurzem.

Tyto vztahy jsou zobrazeny v tabulce č.4 Tab. č.4 Parita úrokových sazeb

Termínový kontrakt t T

S

( )

^{T ≤} F F ≤ S

( )

^T

Nákup měnového

termínového kontraktu 0 -

[

^F-S

( )

^T

]

^S

( )

^{T - F}

Ekvivalentní portfolio Nákup call opce, kde X = F Vypsání put opce, kde X = F

- C P

0

-

[

^F-S

( )

^T

]

^S

( )

^{T - F}

0 Suma ekvivalentního

portfolia P - C -

[

^F-S

( )

^T

]

^S

( )

^{T - F}

Protože ekvivalentní portfolio v čase T vyplácí stejné částky jako termínový kontrakt na měnu, musí mít v současnosti stejnou hodnotu tzn. P – C = 0.

To znamená s pomocí put – call parity (4.2.3):

P – C = – S

( )

^{t e−rfT} +^F e^−rT, kde X=F .

Dosazením nuly do levé strany rovnice získáme vztah pro paritu úrokových sazeb (4.3.1).

( )

^{t e(r rf)}

S

F = ⁻ , (4.3.1) kde F znamená forwardový kurz.

Dosazení rovnice (4.3.1) do vztahu pro put – call paritu dostáváme:

P = C +

(

^X −^F

)

e^−rT. (4.3.2)

Tento vztah nám říká, že dnešní hodnota evropské měnové put opce je stejná jako identická evropská měnová call opce plus současná hodnota rozdílu realizační ceny a forwardového kurzu.

4.4. Put – call parita pro americké měnové opce

Pro opce, které mohou být uplatněny před časem splatnosti nelze vyjádřit vztah pro put – call paritu rovností, ale nerovností.

Cena jedné americké měnové put opce by nikdy neměla být větší než cena jinak stejné americké měnové call opce snížená o cenu zahraničního bezrizikového diskontovaného dluhopisu vyjádřeného v domácí měně zvýšená o její realizační cenu.

Na druhé straně by tato cena neměla být nikdy menší než-li cena jinak stejné americké měnové call opce snížená o dnešní měnový kurz a zvýšená o současnou hodnotu její realizační ceny.

Put – call paritu pro americké měnové opce představuje následující vztah:

X e S c p X S e

c− ^−rfT + ≥ ≥ − + ^−rT . (4.4)

Kdyby neplatily výše uvedené nerovnosti, bylo by možné dosáhnou arbitrážního zisku.

Tabulka č.5 ukazuje sestavení arbitrážního portfolia v případě držby opce do splatnosti.

Nejdříve budeme dokazovat sporem pravou nerovnost dolní hranice vztahu (4.4):

X e S c

p< − + ^−rT .

V případě dolní hranice vztahu (4.4) musíme my jako vypisovatel call opce dodat držiteli jednu jednotku zahraniční měny a za ní obdržíme realizační cenu X. Zahraniční měnu však můžeme koupit hned na začátku kontraktu a financovat ji domácím úvěrem.

Mimo to ještě vlastníme put opci, kterou můžeme, pokud není bezcenná, prodat na

Jestliže call opce bude předčasně uplatněna, máme možnost uložit obdrženou částku ve velikosti realizační ceny X za bezrizikovou úrokovou sazbu.

Do strategie vstupujeme zcela bez peněz, neboť prodejem c a výpůjčkou e^−rTX dostaneme více peněz, než kolik budeme potřebovat na nákup p a měny S.

Naše strategie nám umožnila v tomto případě generovat zisk bez jakýchkoliv počátečních finančních prostředků, což samozřejmě nelze. Musí proto platit vztah (4.4).

Důkaz horní hranice vztahu (4.4) je následující. Opět předpokládáme, že platí:

p X S e

c− ^−rfT + < .

V případě horní hranice vztahu (4.4) musíme my jako vypisovatel put opce držiteli zaplatit realizační cenu a za ní dostáváme jednu jednotku zahraniční měny. S ní můžeme splatit zahraniční výpůjčku. Protože na začátku kontraktu jsme uložili na domácím trhu částku velikosti realizační ceny, můžeme s ní tuto realizační cenu zaplatit a ještě navíc získáme úrokový výnos. Na konci kontraktu vlastníme call opci, kterou za předpokladu, že není úplně bezcenná, můžeme prodat na sekundárním trhu.

Tato strategie nám rovněž umožňovala dosažení zisku za jakýchkoliv podmínek bez počáteční investice. Proto musí vždy platit nerovnost (4.4).

Tab. č.5 Americké měnové opce

Dolní hranice t T

S

( )

^{T ≤} X S

( )

^{T ≥ X}

Nákup americké call Vypsání americké put Nákup zahr.měny Výpůjčka v domácí měně

- p c - S

X e^−rT

X – S

( )

^T

0 S

( )

^T

- X

0 -

[

^S

( )

^{T -X}

]

S

( )

^T

- X Suma arbitrážního

portfolia

- p + c – S+e^−rTX>0 0 0

Horní hranice S

( )

^{T ≤} X S

( )

^{T ≥ X}

Vypsání americké put Nákup americké call Výpůjčka v zahr. měně Půjčka v domácí měně

p - c e^−rfTS - X

-

[

^X-S

( )

^T

]

0 - S

( )

^T

X e^rT

0 S(T) – X

- S

( )

^T

X e^rT Suma arbitrážního

portfolia p−c+e^−rfTS−X > 0 X

(

^{erT −1}

)

^{>0 X}

(

^{erT −1}

)

^>0

4.5. Arbitrážní vztahy pro měnové call opce

V této části budou uvedeny některé arbitrážní vztahy charakteristické pro měnové opce.

Tyto arbitrážní vztahy jsou založeny na předpokladu dokonalého kapitálového trhu. Dalším předpokladem je neexistence transakčních nákladů, daní nebo poplatků. Přístup k informacím je zcela bezplatný.

Zápůjční úroková sazba je stejně velká jako depozitní úroková sazba. Prodej na krátko je povolen.

4.5.1. Omezení pro evropskou měnovou call opci

Pro evropskou měnovou call opci platí, že její cena není nikdy větší než cena zahraničního bezrizikového diskontovaného dluhopisu vyjádřeného v domácí měně. Na druhé straně by tato cena neměla být nikdy záporná nebo menší než rozdíl mezi cenou zahraničního bezrizikového diskontovaného dluhopisu vyjádřeného v domácí měně a současnou hodnotou realizační ceny opce tzn.

e^-rTF = e^−rfS≥ C ≥ ^max

[

^S

( )

^{t e−rfT −Xe−rT,0}

]

^{= max}

[

^0,e−rT

⁽

^F−X

⁾ ]

. (4.5.1) Pro přehlednost je výše uvedený vztah vyjádřen též pro forwardový měnový kurz, což je odvozeno z rovnice parity úrokových sazeb (4.3.1).

4.5.2. Striktní nerovnost mezi americkou a evropskou měnovou call opcí Cena jedné americké měnové call opce je vždy větší než každá jí odpovídající cena evropské měnové call opce

c > C . (4.5.2)

4.5.3. Omezení pro americkou měnovou call opci

Pro americkou měnovou call opci platí, že její cena není nikdy větší než hodnota současného měnového kurzu. Na druhou stranu není nikdy menší než vnitřní hodnota nebo cena jinak stejné evropské měnové call opce tzn.

S ≥ c ≥ ^max

[

^S-X,C

]

^{≥ max}

[

^{0,S-X,e−rfTS−e−rTX}

]

^{= max}

[

^0,S-X,e−rT

⁽

^F−X

⁾ ]

^.

(4.5.3.1) Americká call opce může být kdykoliv uplatněna. Pokud by platilo

c

(

^S,X

)

<S-X, (4.5.3.2) mohli bychom realizovat bezrizikovou investici. Prodali bychom měnu za cenu S, koupili call opci za c

(

^S,X

)

) a tuto opci okamžitě uplatníme, takže získáme měnu zpět. Peníze z prodeje měny nám na tuto operaci budou stačit, neboť na koupi opce a následně měny při uplatnění opce potřebujeme c

(

^S,X

)

^{+ X. Přič}emž ze vztahu (4.5.3.2) vyplývá c

(

^S,X

)

+ X< S.

Jestliže je americká call opce předčasně uplatněna, máme možnost uložit cizí měnu za zahraniční bezrizikovou úrokovou sazbu. Současně však ztrácíme úrokový výnos z případného uložení realizační ceny za domácí bezrizikovou úrokovou sazbu.

V případě, že je domácí bezriziková úroková sazba menší nebo rovna zahraniční bezrizikové úrokové sazbě, je pro nás výhodnější uložit tuto částku na zahraničním trhu.

V této situaci se očekává velká prémie za americkou opci ve srovnání s evropskou opcí, která je „v“ nebo „na penězích“.

Opačně, pokud je domácí bezriziková úroková sazba větší než zahraniční bezriziková úroková sazba, potom by mohly být ceny americké a evropské call opce, která je „na penězích“, prakticky stejné (viz.obr.č.4). Platil by tedy vztah

c ≥ C . (4.5.3.3)

X e^−(r−rf)T

V případě amerických měnových call opcí má smysl jejich předčasné uplatnění.

Pravděpodobnost předčasného uplatnění opce bude tím větší, čím větší bude zahraniční úroková sazba vůči té domácí.

Cenová omezení call opcí pro různé úrovně domácí úrokové míry ve vztahu ke stálé zahraniční úrokové míře jsou znázorněny v obr.č. 4.

Obr. č. 4 Cenové omezení pro měnovou call opci

S - X

C,c e^−rfTS- e^-rTX pro r r_f c

C

X

, e^{−( )r−rf T}X, S kde rf<r kde rf>r

Máme-li dvě opce, americké či evropské, které si liší pouze realizační cenou, potom cena call opce s nižší realizační cenou je vždy větší nebo stejná.

C

( )

X1 ≥C

( )

X2 c

( )

X1 ≥c

( )

X2 pro X2≥X1 . (4.5.3.4)

Call opce představuje právo koupit. V tomto případě není důležité, zda-li máme

celé období životnosti opce (americké opce). Mít možnost něco koupit levněji je pro kupujícího vždy výhoda, kupující si vždy vybere nižší cenu. Hodnota call opce s nižší realizační cenou tedy bude vždy větší.

Máme-li dvě americké call opce na tutéž měnu, se stejnou realizační cenou, ale s různou dobou splatnosti, potom opce s delším časem do splatnosti musí mít větší nebo přinejmenším stejnou cenu jako opce s kratším časem do splatnosti.

c

( )

T 2 ≥ c

( )

T pro T1 2 ≥ T1 . (4.5.3.5)

Tento vztah neplatí nutně pro evropské call opce.

4.6. Arbitrážní vztahy pro měnové put opce 4.6.1. Omezení pro evropskou měnovou put opci

Cena jedné evropské měnové put opce nikdy nebude větší než je současná hodnota její realizační ceny. Na druhé straně by tato cena neměla být nikdy záporná nebo nižší než je rozdíl mezi současnou hodnotou realizační ceny a cenou zahraničního diskontovaného bezrizikového bondu vyjádřeného v domácí měně.

Tzn.

e^-rTX ≥ P ≥ ^max

[

^{0,e−rTX −e−rfTS}

]

^{= max}

[

^0,e−rT

⁽

^{X −F}

⁾ ]

. (4.6.1) Pro přehlednost je výše uvedený vztah vyjádřen též pro forwardový měnový kurz,

což je odvozeno z rovnice parity úrokových sazeb (4.3.1).

4.6.2. Omezení pro americkou měnovou put opci

Cena americké měnové put opce by na jedné straně neměla být nikdy větší než je její realizační cena. Na druhou stranu není nikdy menší než vnitřní hodnota nebo cena jinak stejné evropské put opce, tzn.

X ≥ p ≥ ^max

[

^X-S,P

]

^{≥ max}

[

^{0,X −S,e−rTX −e−rfTS}

]

^{= max}

[

^{0,X −S,e−rT}

⁽

^{X −F}

⁾ ]

(4.6.2)

4.6.3. Striktní nerovnost mezi americkou a evropskou měnovou put opcí Cena jedné americké měnové put opce je vždy větší než každá jí odpovídající cena evropské měnové put opce:

p > P . (4.6.3.1)

Jestliže je americká put opce předčasně uplatněna, máme možnost uložit realizační cenu opce za domácí bezrizikovou úrokovou sazbu. Současně však ztrácíme úrokový výnos z případného uložení cizí měny za zahraniční bezrizikovou úrokovou sazbu.

V případě, že je domácí bezriziková úroková sazba větší nebo rovna zahraniční bezrizikové úrokové sazbě, je pro nás výhodnější uložit tuto částku na domácím trhu.

V této situaci se očekává velká prémie za americkou opci ve srovnání s evropskou opcí, která je „v“ nebo „na penězích“.

Opačně, jestliže je domácí bezriziková úroková sazba menší než zahraniční bezriziková úroková sazba, potom by mohly být ceny americké a evropské put opce, která je „na penězích“, prakticky stejné (viz.obr.č.5).

Platilo by

p≥P .

V případě americké put opce je smysluplná její předčasná realizace.

Pravděpodobnost předčasného uplatnění opce bude tím větší, čím větší bude domácí úroková sazba vůči té zahraniční.

Cenová omezení put opcí pro různé úrovně domácí úrokové míry ve vztahu ke stálé zahraniční úrokové míře jsou znázorněny v obr.č.5.

Obr. č. 5 Cenové omezení pro měnovou put opci

X P,p

X e^−rT X - S

e^-rTX -e^−rfTS pro rf r

p P

X

e^−(r−rf)TX S

e^−(r−rf)TX kde rf>r

kde rf<r

Máme-li dvě opce, americké či evropské, které si liší pouze realizační cenou, potom cena put opce s nižší realizační cenou je vždy větší nebo stejná.

P

( )

X1 ≤ P

( )

X2 p

( )

X1 ≤ p

( )

X2 pro X2 ≥ X1 (4.6.3.2)

Put opce přestavuje právo prodat. Tudíž, jestliže prodáváme, je pro nás vždy lepší prodávat za vyšší cenu. Každý prodávající chce při prodeji utržit co možná nejvíce, a proto si při prodeji vždy vybere toho, kdo mu nabízí nejvíce. Jestliže máme tedy při prodeji garantovanou vyšší cenu, tedy máme put opci s vyšší realizační cenou, potom to je pro nás jako pro prodávajícího výhodou. Hodnota put opce s vyšší realizační cenou tedy bude vždy větší.

Máme-li dvě americké put opce na tutéž měnu, se stejnou realizační cenou, ale s různou dobou splatnosti, potom opce s delším časem do splatnosti musí mít větší nebo přinejmenším stejnou cenu jako opce s kratším časem do splatnosti.

p

( )

T 2 ≥p

( )

T , kde T1 2>T1 . (4.6.3.1)

Výše uvedený vztah neplatí nutně pro evropské put opce.

5. Binomický oce ň ovací model pro evropské m ě nové call opce

Binomický oceňovací model je modelem pro oceňování opcí diskrétní v čase, který předpokládá, že cena podkladového aktiva (v našem případě měny) se mění v pravidelných časových intervalech. Tento model představuje konstrukci jakéhosi ,,stromu“, který znázorňuje možné pohyby cen dané měny.

Tento ,,strom“ je v literatuře nazýván binomickým stromem. Poprvé byl tento model formulován v roce 1979 pány Coxem, Rossem a Rubensteinem.

V následující části bude odvozen tento model pro oceňování evropské měnové opce za následujících předpokladů:

1. V každé periodě může měnový kurz buď s pravděpodobností q vzrůst (na uS), nebo s pravděpodobností (1-q) klesnout (na dS) (viz.obr.č.6).

2. Měnový kurz nemůže být záporný, tzn. u > d >0

3. Úroková parita mezi domácí r a zahraniční r_f bezrizikovou úrokovou sazbou je definována jako:

Rf R r

r r

f

B +

= +

= 1

1 , kde r, rf > 1 (5.1)

Aby neexistoval prostor pro bezrizikovou arbitráž, musí platit následující vztah:

d < r < u . _B

Důkaz: Jestliže vynásobíme výše uvedenou nerovnost měnovým kurzem, dostáváme

S d < S r < S u , _B

respektive s pomocí úrokové parity z rovnice (4.3.1):

S d < F < S u ,

kde F …. forwardový měnový kurz

Je zřejmé, že dnešní forwardový kurz na konci příští periody by měl ležet mezi dvěmi možnými úrovněmi budoucího měnového kurzu.

Předpokládejme, že bude platit:

S d < S u < F .

Za této situace můžeme bez jakýchkoliv nákladů dosáhnout bezrizikového zisku.

Nejprve prodáme termínový kontrakt na měnu, který je v současnosti zdarma. Na konci příští periody můžeme měnu za oba možné kurzy (Sd, resp. Su) koupit a za vyšší termínový kurz F prodat.

Kdyby naproti tomu platilo:

F < S d < S u ,

měli bychom dnes termínový kontrakt koupit. Na konci příští periody dostáváme za termínový kurz měnu, kterou můžeme za vyšší cenu (Sd, resp. Su) okamžitě prodat.

V následující části se budeme snažit odvodit hodnotu evropské měnové call opce pomocí jednoperiodického binomického modelu (viz.obr.č.6).

Současnou hodnotu evropské call opce označíme C, hodnotu evropské call opce v době expirace označíme Cu při vzestupu měnového kurzu (uS) a Cd při poklesu měnového kurzu (dS). V čase expirace je hodnota call opce rovna max

[

^0,S

( )

^{T -X}

]

^,

kde S

( )

^{T =}

(

^uS,dS

)

^.

Sestavíme tzv. ekvivalentní portfolio, které se skládá jednak z B jednotek domácích bezrizikových diskontovaných bondů v domácí měně a z Bf jednotek zahraničních diskontovaných bezrizikových bondů v cizí měně.

V současnosti bude činit hodnota ekvivalentního portfolia vyjádřená v domácí měně B+SB_f. V čase expirace bude hodnota ekvivalentního portfolia B r+S

( )

^{T B}f r , f

kde S

( )

^{T =}

(

^uS,dS

)

^.

Volíme takové množství domácích a zahraničních diskontovaných obligací, aby v čase expirace platilo:

uS Bf rf + B r = Cu

(5.2) dS B_f r_f + B r = C_d .

Obr .č. 6 Jednoperiodický binomický model pro evropskou měnovou call opci

uS Cu = max

[

^0,uS-X

]

S C

dS Cd = max

[

^0,dS-X

]

uS Bf rf + B r

S Bf + B

dS Bf rf + B r

Vyjádřením diskontovaných dluhopisů na pravou stranu dostáváme vztah:

(

−

)

^≥0

= −

f d u

f S u d r

C B C

(5.3)

(

−

)

^≤0

= −

r d u

dC

B uC^{d u} .

V ekvivalentním portfoliu bude zahraniční diskontovaný dluhopis držen v dlouhé pozici, zatímco domácí diskontovaný dluhopis v krátké pozici. Platí, že 0≤Bf ≤1.