Logaritmická funkce

Vzdělávací materiál

vytvořený v projektu OP VK

Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0211

Název projektu: Zlepšení podmínek pro výuku na gymnáziu

Číslo a název klíčové aktivity: III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Anotace

Název tematické oblasti: Funkce a jejich vlastnosti Název učebního materiálu: Logaritmická funkce Číslo učebního materiálu: VY_32_INOVACE_M0108 Vyučovací předmět: Matematika

Ročník: 2.

Autor: RNDr. Jaroslav Hajtmar

Datum vytvoření: 18.2.2013 Datum ověření ve výuce: 20.2.2013 Druh učebního materiálu: Prezentace

Očekávaný výstup: Student si dělá poznámky k probíranému tématu Metodické poznámky: Materiál je určen jako osnova výkladu nového učiva

resp. pro účely opakování

Logaritmická funkce

RNDr. Jaroslav Hajtmar

18.2.2013

Logaritmická funkce

𝑓 : 𝑦 = log _𝑎 𝑥 𝑎 ∈ ℝ ⁺ − {1}

(𝑎 – základ logaritmické funkce)

Speciální případy:

Přirozený logaritmus

(𝑒 – Eulerovo číslo 2,7182818284…)

𝑓 ₁ : 𝑦 = log _𝑒 𝑥 = ln 𝑥

Dekadický logaritmus

𝑓 ₂ : 𝑦 = log ₁₀ 𝑥 = log 𝑥

Vlastnosti:

✓ 𝑦 = log_𝑎 𝑥 je inverzní funkce k exponenciální funkci 𝑦 = 𝑎^𝑥

✓ Definiční obor: 𝒟(𝒻) = (0, +∞).

✓ Obor funkčních hodnot ℋ(𝒻) = ℝ.

✓ Není omezená zdola ani shora

✓ Nemá minimum ani maximum.

✓ Monotonnost funkce záleží na hodnotě základu 𝑎: Je-li 𝑎 ∈ (0, 1), je funkce klesající.

Je-li 𝑎 ∈ (1, +∞), je funkce rostoucí.

✓ Je prostá funkce.

✓ Grafem je logaritmická křivka.

Graf logaritmické funkce

H^{ERB ´A}Rˇ 13

Logaritmick´a funkce

je funkceinverzn´ık exponenci´aln´ı funkci

f : y= log_ax, a >0, a6= 1, D(f) = (0,+∞), H(f) =R, f : y= logx= log₁₀x, D(f) = (0,+∞), H(f) =R, f : y= lnx= log_ex, e = 2.71828182. . . D(f) = (0,+∞), H(f) =R.

Obr. 1.10: Grafy logaritmick ´ych funkc´ı Vlastnosti:

i) graf logaritmick´e funkce jelogaritmick´a kˇrivka, ii) logaritmick´a funkce jeprost´a,

iii) logaritmick´a funkce jespojit´a,diferencovateln´aahladk´a, iv) f jerostouc´ıproa >1aklesaj´ıc´ıpro0< a <1,

v) f nen´ı omezen´a zdola ani shora, nem´a minimum ani maximum.

Vztahy:

a^logax =x prox >0, log_aa^x =x prox∈R.

verze 0.44

[Použitý cizí zdroj –viz Herbář funkcí]

Logaritmický růst

Předpokládaný růst počtu živočichů v omezeném životním prostoru. Při zmenšování prostoru se růst populace stabilizuje. Je vidět velmi dobré přizpůsobení křivky datům.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Populace

Čas

Populace

Populace Log. (Populace)

Počítání s logaritmy

Logaritmické pravítko – nezbytná početní pomůcka v minulosti.

𝑓 : 𝑦 = log _𝑎 𝑥

Grafy logaritmických funkcí

𝑔 : 𝑦 = 𝑏 ⋅ log _𝑎 (𝑥 + 𝑐) + 𝑑

>>>>> <Reset>

>>>>> <Reset>

>>>>> <Reset>

>>>>> <Reset>

>>>>> <Reset>

>>>>> <Reset>

>>>>> <Reset>

>>> <Reset>

>>> <Reset>

>>> <Reset>

>>> <Reset>

>>> <Reset>

>>> <Reset>

Použité materiály a zdroje

Girg P., Nečesal P., Polák J., Herbář funkcí [online]. 2012 [cit. 2013-04-21]. File: her- bar_funkci.pdf. Dostupný z WWW:<http://mi21.vsb.cz/modul/herbar-funkci>. Ilustrace: archiv autora

Použité obrázky jsou uvnitř textu označeny textem [Použitý cizí zdroj – ]. Neoznačené ilustrace a animace pocházejí z archivu autora.