SUR LA STRUCTURE DES ENSEMBLES LINEAIRES DI FINIS PAR UNE CERTAINE PROPRII TI MINIMALE.

SUR LA STRUCTURE DES ENSEMBLES LINEAIRES DI FINIS PAR UNE CERTAINE PROPRII TI MINIMALE.

PAR

L. TCHAKALOFF

SOFIA.

La formule des accroissements finis, celle de Taylor, certaines formules dans la th6orie de l'interpolation etc. renferment un hombre inddtermin6 ~ dont on ne connalt au cas g6n6ral que les limites entre lesquelles il peut varlet. Comme j'ai d6montr6 ailleurs 1, l'intervalle de variabilit6 du hombre ~ peut 8tre %duit "s un intervalle plus petit que celui donn6 par la th6orie g6n6rale, lorsqu'il s'agit de l'application de ces formules aux polynomes %els d'un certain deg%. Ainsi dans le cas de la formule des accroissements finis,

(i)

f ( b ) - - f ( a ) = (b - - a ) f ' ( ~ )

on peut affirmer que, a,~ d6signant le plus grand z6ro du polynome de Legendre

2 n n ! d x n ( x ' 2 - I) ~,

's tout polynome %el . f ( x ) de deg% ~ 2n correspond au moins un ~ de l'intervalle

()2" a + b b - - a a + b b - - a

2 2 2 2

1 S u r le t h 6 o r ~ m e des a c c r o i s s e m e n t s finis. C o m p t e s r e n d u s de l ' A c a d ~ m i e des Sciences de Paris, t. I 9 2 , 193i , p. 32; S u r l ' i n t e r v a l l e de v a r i a b i i i t 6 de ~ d a n s la f o r m u l e

b b

a a

Id., t. ] 9 2 , I93 L p. 330; S u r u n e propridt6 des p o l y n o m e s t r i g o n o m d t r i q u e s . I d , t. I 9 5 , I932 , p. 4 I I .

78 L. Tchaka.loff.

satisfaisant s (I); de plus, c'est le plus petit intervalle jouissant de la m6me propri6t6. On peut done dire que, 6tant donn6s a, b > a et n, l'intervalle (2) de variabilit6 de ~ dans la formule (I) repr6sente un intervalle minimum par rap- port s la classe des polynomes r6els de degr~ ~ 2n. Au lieu de chercher un tel intervalle on pourrait poser le probl~me d'une fa~on plus g6n6rale en deman- dant s'il existe un ensemble minimum jouissant de propri6t6s analogues. I1 s'agit donc de l'exis~ence et de la structure d'un ensemble Mk de nombres r6els tel que I ~ ~ tout polynome r6el f ( x ) de degr6 ~ k correspond un nombre ~ de Mk sa~isfaisant ~ (I) et 2 ~ aucune part'ie propre de Mk ne poss~de pas la propri~t~ I ~ L~ mSme question se pose aussi pour la formule de Taylor et pour les autres formules analogues appliqu~es aux polynomes rdels d'un certain degrd. Dans ce qui suit je me propose de r~soudre ce probl~me dans route sa g~ndralitd en appropriant convenablement ma m~thode que j'ai ddj~ appliqude au problSme des intervalles minima.

Dans le w I je rappelle quelques d~finitions et propridtds relatifs s une chalne de polynomes de Tchdbycheff correspondant s une certaine fonction crois- sante ~)(x) et j'~nonce le problSme g4nSral s r~soudre. Les trois paragraphes suivants sont consacr~s aux d~monstrations de trois th~or~mes qui nous donnent la rdsolution complSte du probl~me posd. Enfin dans le w 5 je m'occupe de quelques applications des thdor~mes g~n4raux comprenant comme des cas patti- cullers les rdsultats que j'ai obtenus aux notes cites.

Ici je publie pour la premiSre fois les d~monstrations des th~or6mes en question dont je me suis borng de donner seulement les ~nonc~s dans une note ~ pr~sent~e 's l'Acaddmie des Sciences de Paris le 2I aofit I93 3.

I. Soit ~p(x) une fonction monotone non d~croissante, d~finie pour route va- leur de la variable rdelle x. Supposons de plus que les k + i int~grales de Stieltjes

que /p(x) a au moins n = / - ~ / + I points de croissance. Oil convergent 3 et

L z J

'~ S u r u n p r o b l e m e d e m i n i m u m c o n c e r n a n t u n e c e r t a i n e c l a s s e d e p o l y n o m e s . C. R. t. Iq7 , p. 572.

o~ b

P o u r c e l a i l f a u t e t i l s u f f i t q u e f x k d ~ p ~ l i m f x k d ~ p e x i s t e .

J b ~ J

- - ~ a ~ L ~ a

Sur la structure des ensembles lin4aires d4finis par une certaine propri4t4 minimale. 79 d 4 m o n t r e f a c i l e m e n t qu'il existe une cha~ne de n + I polynomes (polynomes de Tch4bycheff g4n4ralis&)

(3) /Do----Co, Pl(x), P 2 ( x ) , . . . , ;',,(x) tels que

I ~ P~(x) est de degr4 ~;

2 ~ le coefficient de x ~' dans

P~(x)

est 4gal s un n o m b r e positif c~ donn4 d'avance;

3 ~ ;P,(x).P~,(x)d~p

= o pour ,.t.~ v e t tt + r _--< k.

. 2 - - o r

Les polynomes (3) sont d'ailleurs c o m p l S t e m e n t d&erminds p a r les condi- tions I ~ , 2 ~ et 3 ~ g l ' e x c e p t i o n du p o l y n o m e

P,,(x)

lorsque k es~ pair; dans ce cas

P~,(x)

p e u t 8~re remplac4 p a r t o u t p o l y n o m e de la famille

P~(x) + cP~-~(x)

off c d4signe une c o n s t a n t e r4elle et arbitraire. Signalons les propridt4s suivantes des polynornes ~P,(x):

a) Les coefficients de

P,(x)

sont rdels;

o o

b) ~P~(x)Q(x)d~ = o

p o u r t o u t p o l y n o m e

Q(x)

de degr4 # tel que tt < v

et tt'+ ~ <= k;

c)

P~(x)

a tous ses z4ros r4els et simples;

d) Quel que soit le h o m b r e r4el c, les z4ros d u p o l y n o m e

P, + cP,-1

sont aussi r4els et simples; p o u r ~ ~ 2 e n t r e deux z4ros cons4cutifs de ce p o l y n o m e est compris u n et u n seul z4ro de

P~-l(x).

Soient a' et fl' les z&os e x t r e m e s de

P~-l(x) (a'<=fl ') et a

et

fl>a

les z4ros extr&nes de

P,(x)+

cP~-i(x); lorsque c c r o l t de - - oo s + oo a et fl sont des f o n c t i o n s c o n t i n u e s et d4croissantes de c d o n t l~ premiAre d i m i n u e c o n s t a m m e n t de a' g - - 0 r et la seconde de + oo g fl'.

e) Si la f o n c t i o n ~(x) est c o n s t a n t e p o u r x < a et p o u r x > b, t o u s l e s z&os de

P~(x)

sont c o m p r i s dans l'intervalle fini a _--< x =< b, u n e e x c e p t i o n 4ven- tuelle p o u v a n t avoir lieu p o u r

P~(x)

lorsque k est pair

(k---2n--2).

2. Envisageons la classe Ck de t o u s l e s p o l y n o m e s r4eis ~(X) de degr4 --_<k satisfaisant s la c o n d i t i o n

o o

(4)

19~(x)dVo(x) = o.

a ]

80 L. Tchakaloff.

I 1 est dvident que t o u t p o l y n o m e ~(x) de la classe Ck s'annule au moins pour u n e w l e u r %elle ~ de x qui varie en g~n~ral avee ~(x). J e me propose de r e s t r e i n d r e a u t a u t que possible le c h a m p de variabilit~ des h o m b r e s ~ ainsi ob- tenus. Je vais t o u t de suite p%ciser le sens que j ' a t t r i b u e ~ux mots ))autant que possible~). Convenons de dire q u ' u n ensemble E k de n o m b r e s %els est u n ensemble minimum par rapport ~ la classe Ck lorsqu'il r e m p l i t les conditions suivantes :

I ~ '~ t o u t polynome ~0(x) de Ck c o r r e s p o n d au moins u n ~ de Ek tel que 2 ~ ~ucune partie p r o p r e (c'est ~ dire a u c u n sous-ensemble vrM) de Ek ne j o u i t pas de la proprid% I~ en d ' a u t r e s termes, quel que soit le n o m b r e ~ de Ek, on p e u t lui fMre e o r r e s p o n d r e un p o l y n o m e ~(x) de Ck qui ne s'annule dans Ek que p o u r x = ~.

Notre but est de ddterminer effeetivement tousles ensembles minima eorrespon- dant it la elasse Ck de polynomes.

Dans nos r e e h e r c h e s nous nous servirons souvent de deux r e m a r q u e s qui ddcoulent i m m d d i a t e m e n t de la d5finition ci-dessus et qu'on p e u t ~noncer ainsi:

a) Si E ' e t E sont deux ensembles m i n i m a par r a p p o r t ~ G%, tels que E ' ~ E , on a E ' = E .

b) Si le p o l y n o m e ~v(x) de Ck n ' a q u ' u n seul z6ro %el ~, le n o m b r e ~ ap- p a r t i e n t ~t t o u t ensemble m i n i m u m Ek.

Considgrons d ' a u t r e p a r t la classe Ck de t o u s l e s polynomes %els f ( x ) de deg% < k et ~ppelons l'ensemble E~ de n o m b r e s %els un ensemble mi~imum par rapport ~t la classe C~ lorsqu'il j o u i t des propridt~s suivantes"

I bis ~1~ t o u t p o l y n o m e f ( x ) de C~ c o r r e s p o n d au moins u n ~ de ~?~, tel que

(5)

z bi~ a u c u n e p a r t i e p r o p r e de JZ~ ne poss~de pas 1~ propri~t~ I his.

J e dis que l'ensemble des ensembles Ek est identique uvee r e n s e m b l e des ensembles E~. En d ' a u t r e s termes, u n ensemble m i n i m u m Ek est en m~me t e m p s un ensemble m i n i m u m /~. et % c i p r o q u e m e n t . Soit en effet Ek un ensemble mi- n i m u m p a r r a p p o r t "~ la elasse C~. Si f ( x ) est u n p o l y n o m e queleonque de la classe Ck et si l'on d~finit le h o m b r e A par l'Squation

Sur la structure des ensembles lin6aires d6finis par une certaine propri6t~ minimale. 81

o o ov

on voit que ~ ( x ) = f ( x ) -

A

appurtient s Ck et que, par cons6quent, il existe un ~ de Ek tel que f ( ~ ) = A ; l'6quation (5) est donc toujours v6rifi6e par un de Ek, et cela quel que soit le polynome

f(x)

^{de C~.} Soit d ' a u t r e p a r t ~0 n n nombre quelconque de E~. D'aprSs la condition 2 ~ il existe un polynome ~f(x) de Ck qui ne s'annule duns Ek que pour x = ~0. Or cela signifie que, si l'on pose darts (5)

f(x)=

~(x), cette 6quation n'est pas satisfaite par aucune valeur de ~ a p p a r t e n a n t s E~ saul par ~ = ~0. Done les conditions I bi~ et 2 bi~ sont satisfaites si l'on y remplace ]~k par Ek.

On dgmontre aisgment par la vole r~ciproque que t o u t ensemble Ek est en mSme temps un ensemble Ek.

L'analyse prdc~dente nous montre que le problgme de l'existence et de la structure des ensembles Ek est le mgme que celui des ensembles

Ek.

2 .

P r e m i e r eas: /~ i m p a i r (/c ~ 2 n - - 1 ) .

D4signons par x0 le z6ro de

Pl(x)= Cl(X- x0). Si ]g

est ggal ~ I, on volt sans peine que E 1 ne peut contenir que le seul nombre ~-= x 0 et que l'ensemble form6 de cet 616ment unique est en effet u n ensemble m i n i m u m par r a p p o r t h. C~.

k + l

Supposons m a i n t e n a n t que n . . . est sup6rieur s et d6signons par

2

x l, x e , . . . , x~ les zgros de

P~(x),

ranggs par ordre de g r a n d e u r croissante. Soit u n nombre positif et tachons de d~terminer le nombre r6el ~ de sorte que le polynome de degr6 / c

(6) T (x) = (x -- ~) e + (x ~ t

appartienne ~ C~. L a condition (4) appliqude s ce polynome nous donne, aprSs quelques rgductions faciles, l'6quation lin6aire en

a o

f P~ d ~ + ~(x0--~)Io=o.

(x~-- ~) (x -- x~) ~

1 1 - - 3 4 1 9 8 . Acta mathematica. 63. I m p r i m 6 le 20 m a r s 1934.

82 L. Tehakaloff.

x 0 6 t a n t c o m p r i s e n t r e x 1 et x~, on en e o n c l u t que ~ d i m i n u e de x , ~ - - o s Xo + o l o r s q u e e crolt de + o s + ~ . )~ t o u t h o m b r e ~ s a t i s f a i s a n t a u x in6galit6s x o < ~ < x~ on p e u t donc f a i r e c o r r e s p o n d r e u n h o m b r e positif ~ tel que le poly- n o m e (6) a p p a r t i e n n e fr C~ et ne s ' a n n u l e p a s p o u r a u c u n e v a l e u r r6elle de x s a u f p o u r x = ~. On d 6 m o n t r e de m ~ m e l ' e x i s t e n e e d ' u n p o l y n o m e de la f o r m e

~(~) = ( ~ - ~ ) ~ + ( x _ - x,)'~ (~ > o)

a p p a r t e n a n t s 6~ et ne p o s s 6 d a n t q u ' u n seul z6ro ~ choisi d ' a v a n c e e n t r e xl et Xo. E n t e n a n t c o m p t e du f a i r que P l ( x ) = c ~ ( x - - X o ) est aussi u n p o l y n o m e de 6'k qui ne s ' a n n u l e que p o u r x----Xo, n o u s p o u v o n s affirmer, d ' a p r b s la re- m a r q u e b) du p a r a g r a p h e pr6e6dent (p. 8o), que tout ensemble m i n i m u m E k contient les ~ombres de l ' i n t e r v a l l e ouvert x~ < x < x,~.

9 k + I

N o u s allons d ' a u t r e p a r t d 6 m o n t r e r que, m - n est sup6rieur ~ 2, 2

u n p o l y n o m e a r b i t r a i r e de Ck s ' a n n u l e au m o i n s u n e fois s l ' i n t 6 r i e u r du m ~ m e i n t e r v a l l e . Soit ~(x) un tel p o l y n o m e . J e dis que le p o l y n o m e

~(X) = - - ~P(X,) ( x - - x v ) Pn(Xv)!

de degr6 ~ k - - i a p p a r t i e n t aussi ~ Ck. E n effet, la diff6rence @(x) - - q~(x) s ' a n n u l a n t p o u r x = Xl, x~, . . . , x , , on a i d e n t i q u e m e n t

a)(x) - ~(x) + P.(~)Q(x), off Q(x) d6signe

de - - ~ ~ + r 1 6 2

e'est-~-dire

(7)

un p o l y n o m e de degr6 _--< n - - I . On en d6duit en i n t 6 g r a n t

i

9 ( x ) d ~ =

f

f ( x ) d f +

; P.(~)Q(~)dO=o,

- - o o - - a o - - ~

~o

F, A,,f(x.) = o, oa A. - - j ~(x--

x.lP~(~,,)! e~.

Les coefficients A~ 6 r a n t positifs, la f o r m u l e (7) m o n t r e que, si t o u s l e s n o m b r e s q~(x~) ne sont p a s nuls, il y e n a d e u x de signes contraires. E n tous cas ~(x)

Sur la structure des ensembles lin~aires d~finis par une certaine propri~t~ minimale. 83 s'annule doric au moins u n e lois s l'int~rieur de l'intervalle x~ < x < x~. Cet intervalle f a i s a n t p a r t i e de t o u t ensemble minimum, il est & i d e n t , d'upr~s la r e m a r q u e a) du w I (p. 8o), qu'il reprdsente, duns le eas consid~rd, le seul en- semble m i n i m u m .

Le r a i s o n n e m e n t n ' e s t plus applicable au casn---- 2 ( k ~ - 3 ) p u i s q u ' i l p o u r r a i t a r r i v e r que ~(x) ~it deux z4ros qui c o i n c i d e n t avec x~ et xe ~ x~ sans en avoir un troisi~me e n t r e x 1 et x~. Mais, duns ce cas exceptionnel, les p o l y n o m e s de C.~ qui ne s ' a n n u l e n t pus e n t r e x 1 et x~ ont la f o r m e sp~ciale ~ ( x ) ~ QP~(x), Q d6signant un p o l y n o m e du p r e m i e r degrd ou bien une constante, et il suffit de j o i n d r e s l'intervalle x~ < x < x~ u n e de ses extr4mit~s p o u r o b t e n i r un en- semble m i n i m u m p a r r a p p o r t ~ Ca; on ob~ient ainsi deux intervaUes semi-ferm~s qui r e p r ~ s e n t e n t les seuls ensembles m i n i m a p a r r a p p o r t s C a.

l~ous pouvons dnoncer les rgsultats ci-dessus comme suit:

T h d o r b m e I. Soit k un nombre naturel impair, k ~- 2 n - - I , et d&ignons p a r x~ et xn les zdros extremes du polynome de Tchdbyeheff Pn(x). S i k est supdrieur it 3, le seul ensembleminimum p a r rapport it la classe Ck est l'intervalle ouvert x~ < x ~ x,~; dans le cas k : 3 il existe deux ensembles m i n i m a eo~'ncidant avec les deux intervalles se~d-ouverts x 1 ~ x ~ x~ et x~ ~ x ~= x 2, oh x~ e~ x.~ sont les z~ros de P~(x); enfin il existe un seul ensemble m i n i m u m p a r rapport it la elasse C~ qui ne contient qu'un nombre x o, zdro du polynome t)l(x).

w

D e u x i ~ m e cas: k > 2 et p a i r ( k : 2 n - - 2 , n > 2).

Les zdros du p o l y n o m e

(8) Q(x) =

dtant r 6 e l s et simples quel que soit le coefficient r~el e, convenons de dire que les h o m b r e s u et fl > u sont conjuguds lorsqu'i!s coincident avec les z~ros ex- trSmes d ' u n p o l y n o m e de la f o r m e (8). E n d6signant p a r c~' et fl' les zdros ex- t r e m e s de P~-1 (x), on a l e s i n , g u i l t , s

et l'on volt sans peine q u ' o n p e u t choisir a r b i t r a i r e m e n t Fun des n o m b r e s con-

84 L. Tchakaloff.

jugu6s a e t fl en dehors de l'intervalle a'--<_x-- <_ fl'; l ' a u t r e est alors compl~%ement d6termin4. De plus, lorsque a crolt de --ar g a', le nombre conjugu4 fl crolt aussi de fl' g + ~ . - - Nous allons utiliser dans ce qui suit le lemme suivant:

L e m m e I. D & i g n o n s p a r ~ et fl deux hombres conjugu& et par ~ et # >

les z&os de P~(x). S i les hombres ~ et ~., satisfont a u x indgalit&

(9) a=<~t__<s tt_<}'.a__<fl, / ~ - - Z < ~ - - ~ t < f l - - c ~ ,

il existe u , polynome 9D(x) de la classe C.2n-2 n' a y a n t que les deux z&os r&ls ~ et ~2.

I1 suffit de d4montrer que, Q(x) & a n t le polynome (8) d o n t les z4ros ex- trSmes sont a et fl, il existe u n e > o tel que le polynome

0~(~) 1

(~o) ~(x) = ( x - g , ) ( x - g.,) ~ + ( ~ _ =)~(x-#71

appartienne "s C.~,,-u. Dans ce but nous 4crirons le produit ( x - - ~ ) ( x - - ~ ) sous les deux formes suivantes:

(x - - ~ ) ( x - - ~) = A (x - - a) ~ + B ( x - - a ) ( x - - fl) + C(x -- #)~, (x - - ~ ) ( x - - ~,,) = L ( x -- Z) '~ + M ( x - - Z)(x - - p,) + N ( x - - ,)~, off

(I1)

A =

(fl

- - g')

(#- (fl-

~), ~) >= o, L - ( i t - g , ) ( t t - g , ) < o,

b - - Z ) "~

A + C > o , E n t e n a n t compte des relations

c - - ( ~ " g ' ) ( ~ - ~') _-> o, (#-- ~)~

x = ( z - ~,)(z-- ~) < o, b - z ) ~

L + N < o .

oo or

d ~ - o ( x - - Z ) ( x - - t ~ ) d ~ - o ,

( x - 1 ( - # ) ,

la condition (4), appliqude au polynome (IO), n o u s donne l'4quation lin4aire en

o o c~ oo oo

A j ( x _ f l ) , a ~ . v + . / ( x 2 a ) ~ d ~ p + ~ L (x--1)'d~p + N ( x - - # ) ~ d g a = o

- - o o - - 0 o - - ~ - - ~

d o n t la racine est bien positive et finie, d'aprgs les in4galit4s (2 I).

Bur la structure des ensembles lin~aires d~finis par une eertaine propridt~ minimale. 85 Nous sommes m a i n t e n a n t en ~tat de m o n t r e r que l'intervalle ouvert a < x < fl d o n t les extr~mit~s sont des n0mbres conjuguds, repr~sente u n ensemble m i n i m u m par r a p p o r t s C 89 E n d~signant par x~, x ~ , . . . , x,~ les zdros 4u polynome correspondant (8) (x'~=a, x'~=fl), et par ~(x) u n polynome arbitraire de C2n-~, on ddmontre comme au paragraphe pr@~dent que le polynome de degrd ~ 2 n - - 2

, [ l

9 ( x ) = ,

a p p a r t i e n t '2 la classe C~,,~2. On a en effet O ( x : ) = ~(x:), de sorte que la diifd- rence O ( x ) - ~(x) repr~sente le produit de Q(x) par u n polynome ]~(x I de degr5 n - - ~ . D'apr~s les propri~t~s connus des polynomes ~(x), P~(x) et P~_~(x), on a

"

O x d~p= qJ(x d ~ + x R x ) d ~ = o ,

c'est-~-dire

~ oo

, , , - - f [ Q(x) _ A '

- - o r

Les intdgrales A'~ ~tant positives, on conclut de (x2) que, si tous les ~(x:) n e sont pas nuls, il y en a deux de signes contraires. Le polynome ~(x) s'annule donc n@essairement au moins une f0is ~ l'intdrieur de l'intervalle a < x < ft.

Soit d'autre part ~0 u n nombre quelcvnque du m~me intervalle. P o u r que cet intervalle soit un ensemble m i n i m u m par rapport ~ 689 il f a u t encore qu'il existe u n polynome ~(x) de C2~-2 qui ne devient pas n u l pour aucune valeur de x entre a et /~ sauf pour x = ~o-

Lorsque ~o est eompris entre les z~ros extr6mes a' et fl' de P,~-l(x), nous avons ddjs ~tabli au paragraphe pr@ddent la possibilitd de construire u n poly- home de la classe C2~-3 (appartenant, par consdquent, aussi s lu classe C2~-2) qui a l e seul z~ro ~o.

Supposons m a i n t e n a n t que ~o appartienne 's l'intervalle semi-ouvert fl' _-< x < ft.

Vu les in~galitds a < a' =< s < tt =< fl' < fl les hypotheses du lemme I sont remplies si l'on pose ~ l : a , ~ : ~ 0 ; il existe donc un polynome ~(x) de C2~-2 ne poss6dant que le seul z~ro ~o entre a et ft. On dgmontre de m~me que, si ~o satisfait aux indgalit~s a < ~o<=a ', il existe un polynome de C2~-2 qui ne s'annule sur l'axe r~el que pour x = ~ o et x ~ f l . On peut done touiours eonstruire un polynome

86 L. Tchakaloff.

de C2,+-2 qui ne s ' a n n u l e que p o u r une seule v a l e u r de x d a n s l ' i n t e r v a l l e a < x < fl, choisie d ' a v a n c e , c. q. f. d.

N o u s a v o n s ainsi & a b l i que t o u t i n t e r v a l l e o u v e r t d o n t les exgr&nit~s song deux h o m b r e s conjuguds r e p r g s e n t e u n e n s e m b l e m i n i m m n p a r r a p p o r t g C2,~-2.

U n tel i n t e r v a l l e ~tant d~termin~ c o m p l ~ t e m e n t p a r la v a l e u r de la c o n s t a n t e rSelle c d a n s la c o m b i n a i s o n lin4aire (8), il existe une infinitg n o n d 6 n o m b r a b l e d ' e n s e m b l e s m i n i m a p a r r a p p o r t g C2,,-2.

L o r s q u e le n o m b r e r6el c t e n d vers + z~ ou - - ~ , le plus g r a n d z6ro du p o l y n o m e (8) t e n d vers fl' ou + ~ et le plus p e t i t t e n d vers - - ~ ou cz'. N o u s allons m o n t r e r r i g o u r e u s e m e n t que les d e u x intervalles infinis a ' < x < zr et - - ~ < x < fl' r e p r 6 s e n t e n g aussi des ensembles m i n i m a p a r r a p p o r t g C,2,,-~.

C o n s i d & o n s darts ce b u t un p o l y n o m e ef(x) de C89 qui n ' e s t p a s i d e n g i q u e m e n t nul. N o u s p o u v o n s alors supposer, sans r e s t r e i n d r e la gdngralitS, que ef(x) t e n d vers + ~ p o u r x - ~ + r162 Choisissons la c o n s t a n t e ~ ~ o de mani~re que le degr~ de

ef(x)--eP~-l(X)

soit i n f d r i e u r '2 z n - - z . E n d d s i g n a n t p a r a~ ( v = I, Z, . . . , n - - I ) les z~ros de

P~-~(x),

on a

?I--I

ef(x)- QP~-](x)- Z ef(a~,) (x--a:j~;+--i(a+)]

= ~9,t,--1 " R ,

off R ( x ) est u n p o l y n o m e en x de degrd ~ n - - z , de sorte que

j , y, i(+ %?) 1

e / ' , ~ _ , d + + e f ( a + ) . - . . . , , d ~ p = o .

9 = 1 ,J \ [ - - ,) n - - l ~ a ~ ) l

L e s coefficients des n - - I quangit6s ef(a~) 6tang positifs, la derni~re 6 q u a t i o n ne p e u t s u b s i s t e r que lorsque au m o i n s u n e de ces quantit6s est n6gative, ou bien lorsque e = o et e f ( a , ) = o p o u r v = I, 2, . . . , n - - I. D a n s t o u t cas le p o l y n o m e ef(x) d o l t s ' a n n u l e r p o u r un x s u p 6 r i e u r a u plus p e t i t z&o a ' de

P~-l(x).

Soit d ' a u g r e p a r t ~o u n h o m b r e sup6rieur '2 a ' et s u p p o s o n s d ' a b o r d que

~) < fl'. C o m m e nous a v o n s d6jg m o n t r 6 a u w 2, on p e n t d & e r m i n e r u n poly- n o m e de la classe (/2n-a n ' a y a n t que le z & o r6el unique x = ~o. Darts le cas o~ ~ 0 > f l .= nous p o u v o n s choisir les n o m b r e s c o n j u g u e s a et /~ de m a m e r e que . . . . fl > ~o, et c o n s t r u i r e e n s u i t e un p o l y n o m e de la classe C2~+-2 a y a n t la f o r m e

Q+(x) ]

~e + , off

(~

-

~)(*

- ~ o ) t ( ~ - -)'~(* -

~)+j

# - ~ 0 .

Sur la structure des ensembles lin6aires d6finis par une certaine propri6t~ minimale. 87 I1 est 6vident que, dans les deux cas, il existe u n p o l y n o m e de C~,~_~ qui possbde duns l'intervalle infini a ' < x < ~ le z6ro unique et choisi d ' a v a n c e x ~ ~0, ce qui prouve que cet intervalle reprdsente bien un ensemble m i n i m u m p a r r a p p o r t '~ C ~ - ~ .

On d 6 m o n t r e p a r une modification convenable des r a i s o n n e m e n t s ei-dessus que l'intervalle infini - - ~ < x < fl' est aussi u n ensemble minimum.

J u s q u ' s prdsent nous n ' a v o n s considdr6 que des ensembles m i n i m a p a r rap- p o r t s la classe C~n-2 qui r e p r 6 s e n t e n t des intervalles ouverts (finis ou infinis).

P o u r nous f a i r e une id6e de la s t r u c t u r e d ' u n ensemble m i n i m u m quelconque, envisageons un tel ensemble E et supposons qu'il ne coincide pas avec l ' u n des intervalles infinis a' ~ x ~ or et - - ~ ~ x ~ fl'. 5Tous savons d~j~ que E e o n t i e n t t o u s l e s h o m b r e s de l'intervalle o u v e r t a ' < x < f l ' . Mais cet intervalle ne pour- rait pas r e p r d s e n t e r un ensemble m i n i m u m mSme si 1'on lui a j o u t e l'un ou les deux de ses extrdmitds a' et fl', puisqu'il est p a t t i e p r o p r e de t o u t in~ervalle

< x < fl d o n t les extr~mitds sont des h o m b r e s conjugu~s. Or il est facile de voir q u ' a u moins un des h o m b r e s a', fl' doi~ a p p a r t e n i r g ~/; en effet, on p e u t ddterminer, d'apr~s le lemme I, le n o m b r e p0sitif s de sorte que le p o l y n o m e

( x - ( x - y) + ( x - (x) ( x -

soit de la classe C2n-2; ici a et fl d~signent deux n o m b r e s conjugu~s quelcon- ques et Q(x) - - le p o l y n o m e c o r r e s p o n d a n t . Supposons p a r exemple que fl' est u n n o m b r e de E . L ' e n s e m b l e compl~mentaire /~ de E possSde alors au moins u n n o m b r e fl sup~rieur ~ fl' puisque, dans le cas contraire, tous les n o m b r e s supdrieurs s a' d e v r a i e n t a p p a r t e n i r ~ E et cet ensemble coinciderait avec l'inter- valle a ' < x < r162 c o n t r a i r e m e n t s n o t r e hypoth~se. Ddsignons p a r a l e n o m b r e conjugud de fl et par ~ un n o m b r e quelconque s a t i s f a i s a n t aux in~galit~s a < ~ ~ a'.

Les h y p o t h e s e s du lemme I ~,tant satisfaites si l'on pose ~1 ~ ~, ~2 ~ /~, il est dvident que ~ est ndcessairement u n h o m b r e de E . E n d ' a u t r e s termes, t o u t n o m b r e de l'intervalle a <x_--<a' a p p a r t i e n t ~ E . D'au~re p a r t tous les h o m b r e s fl' ne p o u v a n t pas a p p a r t e n i r ~ E , l'ensemble compl~mentaire /~ c o n t i e n t des n o m b r e s =< a. Soit a 0 la limite supdrieure exacte de ces nombres. D'apr~s sa d~finition, % est caract~ris~ p a r les propridtds s u i v a n t e s : I ~ l'intervalle a 0 < x ~ a' fair p a t t i e de /~; 2 ~ dans t o u t voisinage de a 0 il-y-a des h o m b r e s (dventuellement

88 L. Tchakaloff.

te nombre a 0 m~me) qui n'appartiennent pas s E . Soit flo le hombre conjugu@

de a o. Je dis que l'ensemble E est identique avec l'intervalle ouvert a o < x < 3o.

I1 suffit pour cela de montrer que tout hombre de l'intervalle ~ ' < x < f l o est un nombre de E. En dgsignant par ~ un tel nombre, nous pouvons choisir le nombre a I de l'ensemble E aussi rapproch5 de a o que le hombre c0njugu~ cor- respondant fll soit supSrieur s ~. Le lemme I assure l'existence d'un polynome de la classe C2n-~ n ' a y a n t que les deux z~ros r~els a~ et ~ dont le premier appartient s E et, par consequent, le second fair ndcessairement partie de E . Doric tout nombre de l'intervalle a o < x < f l o est un nombre de E , ce qui prouve que E coincide avec cet intervalle.

Les r~sultats de l'analyse prdcddente peuvent @tre 5noncds ainsi:

Th@or~me II. n ~tant un uombre naturel > z, tout eusemble-minimum p a r rapport h la classe C2n-2 repr~seute un intervalle ouvert, f i n i ou i~fini. Pour que l'intervalle a < x < fl soit un tel ensemble, il f a u t et il suffit que ses extr~mit~s a, fi soient les z~ros extremes d'un polynome de la forme

+

e dtant une eonstante rdelle et arbitraire. I1 y a de plus deux intervalles i~.fi~is jouissant de la mOme proprietY, ~ savoir les intervalles - - r162 < x -< fl' e t a ' < x < ~ ,

oh a' et fl' > a' d@signent les z&'os extrOmes de P,,,-l(X).

T r o i s i ~ m e c a s : k ~ 2 .

Soit E un ensemble minimum par rapport ~ la classe (~. On voit sans peine que tout polynome du premier degr@ appartenant ~ Ce coincide ~ un fac- teur constant pros avec Pl(x); le z@ro unique Xo de Pl(x) est dvidemment un nombre de E . Le lemme suivant caractdrise compl~tement les polynomes du second degr6 de la classe C2:

Lemme II. Pour que le polynome qg(x) du second degrd appartienne ('~ la classe 6~, il f a u t et il suffit qu'il ait deux z~ros r~els a et ~ liJs p a r la relatio~

/ /

(i 3) - = = ( x - Xo) d w .

Sur la structure des ensembles lin~aires ddfinis par une certaine propri4t~ minimale. 89 E n effet, ~(x) p e u t ~tre m i s sous la f o r m e

~(x) = c(x-Xo) ~ + ~'(X-~o) + ~(%) (~ ~ o) et la c o n d i t i o n (4) d e v i e n t

/ ,/

c ( X - - X o ) ~ d ~ + ~(Xo d O = o,

c'est-s f(xo) = - - e~ ~.

L a dernigre r e l a t i o n c o m b i n g e avee lira ~0(x)__e m o n t r e bien que f ( x ) a

x ~ ~ X 2

deux z6ros r6els cc et ~ li~s p a r (I3).

D e u x n o m b r e s r~els ~ et fl > a s a t i s f a i s a n t ~ la r e l a t i o n (I3) - - b r e f deux n o m b r e s conjugu~s - - v6rifient t o u j o u r s les in~galitgs ~ < x o < fl et F u n d'eux, p a r e x e m p l e ~, p e u t gtre pris a r b i t r a i r e m e n t dans l ' i n t e r v a l l e - ~ < x < xo;

l ' a u t r e est alors e o m p l g t e m e n t d~termin~.

Soit A l ' e n s e m b l e des n o m b r e s de E inf6rieurs ~ Xo et A ' l'ensemble eom- p l 6 m e n t a i r e de A p a r r a p p o r t s l ' i n t e r v a l l e infini I : - - ~ < x < xo, de sorte que

A + A ' = I , A A ' = o .

_~ t o u t n o m b r e a ' de A ' c o r r e s p o n d u n n o m b r e e o n j u g u 6 b > x0. L ' e n - semble B des n o m b r e s b ainsi o b t e n u s est u n s o u s - e n s e m b l e de E . En effet, ~ t o u t n o m b r e b de B c o r r e s p o n d u n n o m b r e conjugu~ a ' de A' et u n p o l y n o m e q~(x) = ( x - - a ' ) ( x - - b ) de la classe C~ d o n t le plus p e t i t z~ro a ' n ' a p p a r t i e n t p a s s E ; donc b dolt ~tre u n ~l~ment de E . Or r e n s e m b l e E ' = A + (Xo)+ B est un e n s e m b l e m i n i m u m p a r r a p p o r t s C2 puisque de deux n o m b r e s conjugu~s u n et u n seul a p p a r t i e n t s E'. E ' ~ t a n t un sous-ensemble de E , on en c o n c l u t que ces deux e n s e m b l e s sont identlques.

L ' a n a l y s e prgcgdente n o u s m o n t r e en m ~ m e t e m p s qu'~ t o u t e n s e m b l e A de n o m b r e s < x o c o r r e s p o n d de la m a n i ~ r e indiqude plus h a u t un e n s e m b l e B de n o m b r e s supdrieurs ~ x o de sorte que A + (Xo) + B e s t u n e n s e m b l e m i n i m u m p a r r a p p o r t s C~. :Nous a v o n s ainsi d 5 m o n t r ~ le t h g o r ~ m e s u i v a n t :

9 (

Th6or~rae I I I . Posons ~ = (X--Xo)~d~p: d~p et partageons t o u s l e s hom- bres infdrieurs ge x o en deux e~sembles compldmentaires A et A '~. L a formule

4 Un des ensembles A et A' peut ~tre vide.

12--34198. Acta mathematica. 63. Imprlm6 le 21 mars 1934.

90 L. Tchakaloff.

T 2

b ~ x o + - - - ~

X o - -

f a i t correspondre ~ tout hombre a' de A ' un nombre b sup~rieur ~ Xo. E n ddsig- nant p a r B l' ensemble des hombres b ainsi obtenus, l' ensemble A + (Xo) + B reprdsente l'ensemble m i n i m u m le plus g~n&'al par rapport ~ la classe G~.

Applications.

I. Considdrons eomme premier exemple le cus off ~(x) n'u qu'un hombre fini de points de croissance. ]~tant dorm,s les m hombres positifs A~, Ag, . . . , Am et les m nombres rdels et cliff,rents

a ] ~ a 2 ~ " " ~ a m ,

d~finissons ~O(x) de lu m~nibre suivante:

~ ( x ) = o pour x < a ~ ;

gz(x) : A l + A 2 + . + A , pour as,<:x < a,,+~, ~ I , 2 , . . . , n ? , - - I ;

~ 0 ( x ) : A I + A 2 + . . . + A ~ pour x ~ a m . Lu condition (4) devient alors

(i4) Asqg(a~) + A,~qD(a~) + . . . + A~qD(am) = o.

Pour v < m l e polynome P~(x) est donn6 pa,r

I - X X 2 " " 9 X ~

Po P: Pg '"ps, m

On u spdciulement

p~(~) = ~ , ~ ( z - ~ s l ( x - ~ , ) . ( ~ - ~ ) , ~ = A : A . ~ . A,~ H (~,--~,1~.

#*, v : l

Sur la structure des ensembles lindaires d6finis par une certaine propri6t6 minimale. 91 Si l ' o n e n t e n d p a r 6~ la classe de t o u s les p o l y n o m e s rdels 9(x) de degr6 _--< k soumis s la c o n d i t i o n (I4), en d 6 m o n t r e f a c i l e m e n t p a r u n e a n a l y s e directe que p o u r k_--> 2 m - - I ~ 3 il n ' e x i s t e q u ' u n ou deux e n s e m b l e s m i n i m a r e p r 6 s e n t a n t des i n t e r v a l l e s o u v e r t s ou s e m i - o u v e r t s d o n t les extr6mit6s coincident avec a~

et a,~. Au c o n t r a i r e , lorsque k est i n f 6 r i e u r s 2 m - - I , les th6or~mes g6n6raux I, I I et I I I s o n t applicables au cas sp@eial consid6r6 p u i s q u e le n o m b r e m des

de croissance de ~ p ( x ) e s t alors _ - - > [ ~ [ + I.

p o i n t s

On o b t i e n t ainsi le t a b l e a u suivunt:

i ~ k ~ 2 m - - I > 3 . L ' i n t e r v a l l e o u v e r t a l < x < a m r e p r 6 s e n t e le seul en- semble m i n i m u m .

2 ~ k ~ 2 m - - I = 3 . I1 existe d e u x e n s e m b l e s m i n i m a e o i n e i d a n t avec les i n t e r v a l l e s s e m i - o u v e r t s a 1 ~ x < a 2 et a a < x ~_< a s.

3 ~ k - - - - 2 n - - I , 2 < n < r n . E u d 6 s i g n a n t p a r x~ et x~ les z6ros extr@mes du p o l y n o m e P~(x), l ' i n t e r v a l l e o u v e r t xl < x < x,~ r e p r 6 s e n t e le seul e n s e m b l e m i n i m u m .

4 ~ k - ~ 3, m > 2. I1 n ' y a que d e u x e n s e m b l e s m i n i m a : Xl----<x < x ~ et x l < x=<x2, off xl et x 2 sont les z6ros de P~(x).

5 ~ k = 2 n - - 2, m => n > 2. C h a q u e e n s e m b l e m i n i m u m /#2~-2 r e p r 6 s e n t e un intervMle o u v e r t (fini ou infini); p o u r que l ' i n t e r v a l l e fini c ~ < x < f l soit u n en- semble m i n i m u m , il f a u t et il suffit que a et fi soient les z6ros e x t r 6 m e s d ' u n p o l y n o m e de la f o r m e

.s (X) "~- {3/)'~,--1 (X),

off c est u n e c o n s t a n t e r6elle et a r b i t r a i r e . E n d 6 s i g n a n t p a r a ' et f i ' > a" les z6ros e x t r 6 m e s de P ~ - l ( x ) , les i n t e r v a l l e s infinis

- - ~ < x < ~ ' et d < x < + ~

repr@sentent aussi d e u x e n s e m b l e s m i n i m a .

2~ A ~a~

6 ~ k = 2 , r n > I. P u r t u g e o n s t o u s l e s h o m b r e s infdrieurs s x o - ~ A , en d e u x e n s e m b l e s c o m p l d m e n t a i r e s A et A' et raisons c o r r e s p o n d r e s t o u t h o m b r e a' de A' u n n o m b r e b sup6rieur s x0, tel que

m

Y, b) = o .

92 L. Tdhakaloff.

En d6signant p a r B l'ensemble des n o m b r e s b ainsi obtenus, la somme A + (Xo) + B repr~sente l'ensemble m i n i m u m E~ le plus g6n6ral.

2. T h 6 o r e m e des accroissements finis.

Si l'on d6finit ~p(x) p a r les conditions

~)(X) = - - I p o u r

~p (x) = x p o u r

~p(x) = I p o u r

X ~ - - I , - - I ~ X ~ I , X > I ~ l'6qu~tion (4) se t r a n s f o r m e en

( I 5 )

1

f (x)dx o

- - i

et les p o l y n o m e s

Pn(x)

d e v i e n n e n t les p o l y n o m e s de L e g e n d r e . L a elasse Ck des polynomes rdels q~(x) de degr6 ~ k satisfaisant ~ (I5) est identique, eomme on le voit sans peine, avec celle des p o l y n o m e s de la f o r m e

99(X) = 2 f ' ( x ) - - f ( I ) + f ( - - I),

off

f(x)

p a r c o u r t tous les p o l y n o m e s r6els de degr6 G k + I. Un ensemble mi- n i m u m Ek n ' e s t a u t r e chose q u ' u n ensemble de n o m b r e s r6els j o u i s s a n t des pro- pri6t6s suivantes:

I ~ s t o u t p o l y n o m e r6el

f(x)

de degr6 < k + I c o r r e s p o n d au moins u n de Ek v6rifiant la f o r m u l e des accroissements finis

(i6) f ( I ) - - f ( - - I ) = 2f'(~) ;

2~ ~0 6rant un n o m b r e quelconque de Ek, il existe un p o l y n o m e r6el

f(x)

de degr~ ~ k + I tel que la f o r m u l e (I6) n ' e s t pas satisfaite p a r a u c u n h o m b r e de Ek different de ~o.

3. Formule de T a y l o r .

a e t b > a 6rant deux n o m b r e s r6els et m un n o m b r e naturel, posons

= - s ( b - - p o u r < a,

m

Sur la structure des ensembles lin~aires ddfinis par une certaine propri~t~ minimale. 93

~p(x) - ~ - - ! ( b - - x ) "~ pour a <= x <= b ,

m

~ p ( x ) = o p o u r x > b . L ' d q u a t i o n (4) devient

j

t) ' ( b - - x ) ' ~ - l ~ ( x ) d x o

( i 7 ) =

a

et la classe C~. des p o l y n o m e s r~els ~0(x) satisfaisant ~ (I7) est identique avec la classe des polynomes de la f o r m e

m-i (b --a)~ ~, (b --'~a)mf(ra) (x) = - J ' ( 5 ) + Y, ... ~i

"/'()(") + (x)'

V ~ 0

off

f(x)

p a r c o u r t t o u s l e s p o l y n o m e s rdels de degrd ~ m + k. Q u a n t aux poly- homes

P~(x),

ils coincident, dans le cas considdrd, avec les polynomes hyper- g~omdtriques d~finis p o u r v ~ o, I, 2, . . . p a r la f o r m u l e

a x ~ { ( ~ - . ) ~ ( x - b ) ~ + ~ - q .

Un ensemble-minimum Ek p a r r a p p o r t "2 Ck est caract6ris6 p a r les proprid- t6s suivantes :

I ~ s t o u t p o l y n o m e rdel

f(x)

de degr6 _--< m + k c o r r e s p o n d u n ~ de l'en- semble Ek satisfaisant s la f o r m u l e de T a y l o r

m - - 1

- - 9 " ___~f(~)(~);(b - - ~

(I8)

f(b) = ~_~ ( ~ f(')(a) +

,=0

2 ~ quel que soit le h o m b r e ~0 de Ek il existe un p o l y n o m e r6el

f(x)

de degrd _--< m + k et tel que la f o r m u l e (I8) n ' e s t pas v~rifige p a r a u c u n ~ de Ek diff6rent de go.

4. Formule de Cavalieri-Simpson.

f(x)

dtant une f o n c t i o n ddfinie et possgdant des ddriv~es continues j u s q u ' a u quatri~me o r d r e dans l'intervalle - - I ~ x _--< I, on a i d e n t i q u e m e n t 5

5 Voir p. ex. G. PEANO, Residuo in Formula de quadratura Cavalieri-Simpson. Enseigne- m e n t m a t h 4 m a t i q u e , X V I I I (I916), p. I24.

94: L. Tchakaloff.

1 1

f

(I9) f ( x ) d x ~- 1 {f(__ I) + 4f(o) + f(I)} -- I u ( x ) f r V ( x ) d x '

3

- - 1 - - 1

o a ~ ( x ) = (~ - I ~ l ) ~ ( ~ § s l * [ ) , - ~ ~ x ~ I .

La fonetion continue u(m) ne changeant pas de

1 1

-- I < x < I, on peut poser (x)fIV(x)dx = f i r

- - 1 - - I

I < g < I, de sorte que le dernier terme (ou le reste) dans la formule (i9) prend la forme R - - 9 o f Iv(g). I Les th4or6mes g4n4raux ~tablis plus haut nous p e r m e t t e n t de restreindre le champ de variabilit4 du hombre g lorsqu'il s'agit de l'application de la formule

signe dans l'intervalle u ( . ) d . = 4 2 v ( g ) ~veo

5

(20)

fiIx, x= lfl- l

1 - - 1

+ 4 f ( o ) + f ( I ) } - - 9 0 f I Iv(~)

aux polynomes r4els. I1 suffit pour cela de poser u ( x ) = o en dehors de l'inter-

x

valle - - ~ < x < ~ et ~ ( x ) =

f u(r

^{L ~} suite des polynomes de Tch~bycheff attaeh6s g la fonetion eroissante ainsi d6finie ~(x) commence par

P 0 = ~, e l ( x ) - - x ,

r~(x)

= . ~ - - - ² , I"s~X ~ ~ X a - - x , ^{~ / , I} ...

21 4

Ek ddsignant un ensemble minimum par rapport "s la classe Clr des poly- nomes ~(x) de degrd _--< k soumis '2 la condition

1

f gD(x)dg, -- f u(x)~(x)dx =

- - a v - - 1

0 ~

le mSme ensemble jouit des deux propridtds suivantes qui le caractdrisent com- pl6tement:

I o ~ tOUt p o l y n o m e r d e l f ( x ) de degr~ ~ k + 4 correspond au moins un de Ek satisfaisant ,2 la formule (20);

2 ~ quel que soit le nombre Go de Ek il existe un polynome rdel f ( x ) de

Sur la structure des ensembles lin6aires d6finis par une certaine propri6t4 minimale. 95 degr6 =< k + 4 tel que la f o r m u l e {2o) n ' e s t pas exacte p o u r a u c u n e valeur ~ de E~ diff4rente de g0.

P a r exemple le h o m b r e ~ dans la f o r m u l e (20) p e u t gtre enferm~ darts

I I

l'intervalle - - - < x < lorsque f ( x ) d4signe u n p o l y n o m e r4el de degr4 < 9 et

2 2

cette l i m i t a t i o n p o u r g est la meilleure possible.

5. P o l y n o m e s

trigonom~triques.

Consid6rons la classe D,~_~ des polynomes t r i g o n o m & r i q u e s

T(O) - - a~ cos O + bl Sin O + . . . + a,~_~ cos ( n I)O + b,,-i sin @ - I) @ d ' o r d r e < n - - I , g coefficients r~els et sans t e r m e constant. Nous appellerons p a r analogie u n ensemble ~,r,_l de n o m b r e s a p p a r t e n a n t g l'intervalle - ev < ~9 < ~v un ensemble minimum 2ar rapport ~ D,~-I lorsqu'il j o u i t des deux propri&~s:

I ~ t o u t p o l y n o m e de ~Dn-1 s'annule au moins p o u r u n 69 de Mn-~;

2 ~ O o & a n t un n o m b r e quelconque de M ~ - I , il existe un p o l y n o m e de la classe Dn-1 ne s'annulan~ pas p o u r a u c u n e v a l e u r 0 de M,~ 1 d i f f & e n t e de O 0.

L a t r a n s f o r m a t i o n x ~ - t g (9 & a b l i t une c o r r e s p o n d a n c e b i u n i v o q u e e n t r e

2

les intervalles - - z < 69 < e~ et - - ~ < x < ~ c o n s e r v a n t l ' o r d r e n a t u r e l de leurs points. U n p o l y n o m e t r i g o n o m 6 t r i q u e T(O) se t r a n s f o r m e ainsi en une f o n c t i o n r a t i o n n e i l e de la f o r m e (I + x~)'~-i ' oil ~(x) est u n p o l y n o m e alg6brique r4el de ~0(x) degr4 < 2 n - - 2 soumis g la condition

- - ~ - - o o

I n v e r s e m e n t , g t o u t p o l y n o m e alg6brique q~(x) de degrd g 2 n - - 2 satis~aisant g la c o n d i t i o n (2I) c o r r e s p o n d p a r la t r a n s f o r m a t i o n x = t g ~ 0 un p o l y n o m e tri- g o n o m 6 t r i q u e 27(0) d ' o r d r e ~ n - - I et sans t e r m e constantl L e probl~me des ensembles m i n i m a M ~ - I est ainsi r a m e n 4 a u probl~me a n a l o g u e de la classe C2,,~-2 de p o l y n o m e s r~els ~o(x) de degr4 ~ 2 n - - 2 assujetis g la c o n d i t i o n (2~).

E n p o s a n t

96 L. Tchakaloff.

dt

~D(x) = (I -~- t2) n '

- - o r

la r6solution c o m p l e t e de ce p r o b l ~ m e est donn6e p a r les ~h6orSmes I [ et I I I des p a r a g r a p h e s pr6c6dents. L a c h a l n e des p o l y n o m e s de T c h 6 b y c h e f f a t t a c h 6 s ,2 la f o n c t i o n ~p(x) d6finie plus h a u t c o n t i e n t n + I t e r m e s ; elle c o m m e n c e p a r P o - - I, P ~ ( x ) ~ 2 x et t e r m i n e p a r

A +

- 2 i { ( x + -

E n a d o p t a n t p o u r n > z les n o t a t i o n s du w 3, un calcul facile n o u s m o n t r e que les z6ros e x t r e m e s des p o l y n o m e s

Q(x) = P~(x) + cP~_~(x) et -Pn-l(X) sont donn6s p a r

7 ^7g 7

a = - - c o ~ g ~L , p = c o ~ g ... , o~ c = c o t g 7

?t n 0 < 7 < ~ r

217

, f l -~ e o t g 9

iT}

L a t r a n s f o r m a t i o n x = t g 2 , ( - - J r < O < ~) fair c o r r e s p o n d r e a u x trois inter- valles a < x < f l , - - ~ < x < f l ' , a ' < x < a r r e s p e c t i v e m e n t les intervalles

2 : r C - - 2 ~ 2:7~ 2:re

Tt ~t n n

L e h o m b r e 7 p o u v a n t d 6 s i g n e r u n h o m b r e quelconque e n t r e o et ~ , n o u s p o u v o n s done affirmer, d ' a p r ~ s le th6orbme I I , que p o u r n > z u n ensemble- m i n i m u m M~-x n ' e s t a u t r e chose q u ' u n intervalle o u v e r t de l o n g u e u r 2r . . . zzc

n f a i s a n t p a r t i e de l ' i n t e r v a l l e - - ~ < (9 < ~.

Le c a s n = z p e u t @tre trait6 soit en a p p l i q u a n t le t h 6 o r ~ m e I I I du w 4, soit p a r u n e vole direete en o b s e r v a n t que les p o l y n o m e s t r i g o n o m 6 t r i q u e s de la elasse consid~r~e o n t alors la f o r m e /'((9) = a s i n ( 6 ) - - O0) off a et (90 sont des e o n s t a n t e s r6elles et a r b i t r a i r e s .

P o u r o b t e n i r un e n s e m b l e m i n i m u m M1, il suffit de p a r t a g e r t o u s l e s n o m - bres de l ' i n t e r v a l l e - - ~ < (9 < o en deux e n s e m b l e s c o m p l 6 m e n t a i r e s A e t A';

Sur la structure des ensembles lin6aires d6finis par une certaine propri6t6 minimale. 97 en d6signant p a r B l'ensemble des n o m b r e s de A' a u g m e n t e s de z , la somme "

A + ( o ) + B repr6sente l'ensemble m i n i m u m M1 le plus g6n6ral.

Remarque.

I1 est plus n a t u r e l de modifier u n peu la d6finition d ' u n en- semble m i n i m u m M,~-I en a d m e t t a n t que les n o m b r e s de Mn-1 a p p a r t i e n n e n t s l'intervalle semi-ouvert - - ~ ~ @ < z qui repr6sente un syst~me c o m p l e t de h o m b r e s non-congrus p a r r a p p o r t au m o d u l e 2 z . On d~montre facilement, en a d o p t a n t cette nouvelle d6finition, q u ' u n ensemble m i n i m u m p a r r a p p o r t "~ la classe D ~ - I (n > z) n ' e s t a u t r e chose q u ' u n sous-intervalle o u v e r t de l o n g u e u r

2 J g

2 ~ - - , f a i s a n t p a r t i e de l'intervalle primitif, ou bien la somme des deux intervalles

2 ~

- - z ~ O < - - z + 7 - - - - et - - z + 7 < O < z , n

off 7 d6signe une c o n s t a n t e quelconque comprise e n t r e 2z_ et 2.z.

13--34198. A e t a mathemat~ca. 63. Imprim6 le 28 avril 1934.