Alkalmazott statisztika (ajánlott feladat)
Elmélet: ha adott egy „Z” valószínűségi változó, mely standard normáleloszlást követ [N(0,1)], akkor az X=eμ+σ*Z valószínűségi változót „log-normális” eloszlásúnak nevezzük. Másképp: egy μ és σ paraméterű log-normális val. változó logaritmusa N(μ,σ) normáleloszlást követ.
Következésképpen, egy lognormális(-nak feltételezett) adathalmazból úgy becsüljük μ-t és σ-t, hogy az adatoknak vesszük a természetes alapú logaritmusát, majd az így kapott normáleloszlást a szokott módon kielemezzük. (Így konfidenciaintervallum is kapható.)
Egy log-normál eloszlás „nevezetes” mérőszámai:
Módusz: exp(μ-σ2) Medián: exp(μ) Várható érték: exp(μ+0.5*σ2) Szórásnégyzet: (exp(σ2)-1)*(exp(2μ+σ2))
Feltételezéseink szerint elektrolitikus fémleválasztás során a fémben a szemcsék eloszlása lognormális. A túloldalon két (azonos körülmények közt készített) nikkel minta transzmissziós elektronmikroszkóppal mért szemcseméretei találhatóak.
1)
a) Az adatok logaritmusa alapján becsüljük meg μ-t és σ-t, majd b) adjunk hozzájuk 94%-os (szimmetrikus) konfidenciaintervallumot!
2) Tételezzük fel, hogy az adatok lognormális eloszlásból származnak! A fenti összefüggések segítségével számítsuk ki a móduszt, mediánt, várható értéket és szórást! A konfidenciaintervallumot, mint abszolút hibát tekintve, adjuk meg a fenti mennyiségek abszolút és relatív hibáját!
3) Rendezzük az adatokat alkalmas hisztogramokba! A két hisztogram “dobozszélessége” egyezzen meg!
a) Khí-négyzet próba segítségével adjuk meg a valószínűségét hogy az adatok lognormális eloszlást követnek a becsült μ és σ paraméterekkel!
b) Khí-négyzet próba segítségével becsüljük meg, hogy a két minta ekvivalens (az adatok eloszlása azonos)!
Ne feledkezzünk meg róla, hogy a gyakorlaton tanult illeszkedésvizsgálati képletet diszkrét eloszlásokra vezettük be! Folytonos eloszlás esetén, a pi valószínűségek helyére az adott hisztogram osztályba esés valószínűsége áll, ami nem más, mint az eloszlásfüggvény a két határon felvett értékének különbsége. Lognormális eloszlás eloszlásfüggvénye:
ϕ
(
ln(x)−μσ)
ahol ϕ -re a standard normáleloszlás táblázata használandó. Így pl. a 40-45 nm-es osztályba esés valószínűsége μ=4.18 nm és σ=0.47 nm esetén:
p40−45=ϕ
(
ln(450.47)−4.18)
−ϕ(
ln(40)−4.180.47)
=ϕ(−0.79)−ϕ (−1.04)=(1−ϕ(0.79))−(1−ϕ(1.04))=ϕ(1.04)−ϕ (0.79)=0.8508−0.7853=0.0655
Az első mérés: A második mérés
szemcseméretek [nm] szemcseméretek [nm]
42.33 25.39
43 31.61
51.47 31.37
32.13 46.58
59.73 53.63
49.07 55.37
32.41 128.67
28.51 112.03
84.95 66.64
52.91 76.85
45.68 53.68
40.22 39.30
39.38 73.15
41.83 80.43
67.72 81.07
59.72 51.63
36.39 29.76
52.59 75.89
76.3 95.55
33.78 40.15
66.21 52.96
41.5 81.30
37.45 48.53
28.01 46.51
38.47 38.20
35.91 42.90
16.13 37.14
71.22 34.08
53.63 70.54
58.28 53.95
62.52 77.92
74.91 93.08
49.31 60.04
38.51 74.26
44.17 56.58
57.86 76.76
64.08 51.39
27.41 100.90
48.53 105.57
48.31 128.00
48.62 72.63
16.4 67.52
67.35 206.01
51.21 112.19
35.4 151.35
43.44 95.49
51.81 78.58
55.61 82.01
68.93 75.50
47.77 125.59
50.49 129.22
83.83 80.90 53.83 40.08 25.06 83.06 53.97 58.02 63.01 53.73 45.10 59.41
