(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 a 2 – b 2 = (a + b)(a – b)

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9

Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0536

Název projektu školy: Výuka s ICT na SŠ obchodní České Budějovice

Šablona III/2: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Číslo šablony: VY_32_INOVACE_MAT_417

Předmět: Matematika

Tematický okruh: Rovnice, nerovnice a jejich soustavy

Autor, spoluautor: Mgr. Jiří Domin

Název DUMu: Rozklad kvadratického trojčlenu

Pořadové číslo DUMu: 17

Stručná anotace:

Prezentace obsahuje základní typy kvadratických trojčlenů

Ročník: 1.

Obor vzdělání: 63-41-M/01 Ekonomika a podnikání, 65-42-M/02 Cestovní ruch

Metodický pokyn: Žáci použijí poslední snímek k ověření vyloženého učiva

Výsledky vzdělávání: Žák bezchybně rozloží základní kvadratické trojčleny.

Vytvořeno dne: 26.4.2013

Pokud není uvedeno jinak, uvedený materiál je z vlastních zdrojů autora.

P ř edpoklad:

Znalost vzorc ů :

(a + b) ² = a ² + 2ab + b ² (a – b) ² = a ² – 2ab + b ² a ² – b ^{2 =} (a + b)(a – b)

Výraz typu: ax ² + bx + c (a, b, c jsou nenulová čísla)

KVADRATICKÝ TROJČLEN

Rozklad pomocí kořenů kvadratické rovnice

Nap ř .:

2x ² + 5x – 12

troj č len položíme roven 0

2x

+ 5x – 12 = 0 D = 5

-4.2.(-12) = 121 > 0 x

= x

=

Pak platí 2x

+ 5x – 12 = 2(x- )(x+4) Což m ů žeme ješt ě upravit:

2x − 5 − 12 = 2 − 3

2 + 4 = 2 − 3 + 4

2 3 4

11 5 + =

− 4

4 11 5 − = −

−

2

3

Má-li kvadratická rovnice ax ² + bx + c = 0

a) 2 kořeny různé x ₁ , x ₂ ^⇒

ax ² + bx + c = a(x - x ₁ )(x - x ₂ ) a) dvojnásobný kořen x ₁ ^⇒

ax ² + bx + c = a(x - x ₁ ) ²

a) žádný kořen ^⇒ nelze trojčlen rozložit

P ř íklady:

1) Rozložte na sou č in:

− 5 + 6

Výraz položíme roven 0 a vy ř ešíme jako rovnici:

− 5 + 6 = 0 = 5 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 1 ⇒ = 1

; = − −5 ± 1

2 = 5 ± 1

2

= 5 + 1

2 = 3 = 5 − 1

2 = 2 Výsledek:

− 5 + 6 = − ⋅ −

2) Upravte daný výraz a ur č ete, kdy má smysl:

4 + 10 − 6 2 + 7 + 3

Rozložíme kvadratické troj č leny v č itateli a jmenovateli na sou č in Č itatel:

4 + 10 − 6 = 0

= 10 − 4 ⋅ 4 ⋅ −6 = 100 + 96 = 196 ⇒ = 14

; = −10 ± 14

2 ⋅ 4 = −10 ± 14 8

= −10 + 14

8 = 4

8 = 1

2 = −10 − 14

8 = −24

8 = −3

Jmenovatel:

2 + 7 + 3 = 0

= 7 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 49 − 24 = 25 ⇒ = 5

; = −7 ± 5

2 ⋅ 2 = −7 ± 5 4

= −7 + 5

4 = −2

4 = − 1

2 = −7 − 5

4 = −12

4 = −3

Nyní se vrátíme k rozkladu:

4 + 10 − 6 2 + 7 + 3 =

4 ⋅ − 1

2 − −3 2 ⋅ − − 1

2 − −3

= 4 − 2 + 3 2 + 1 + 3

= 4 − 2 2 + 1

Podmínky ur č íme z jmenovatele:

2 + 7 + 3 = 2 ⋅ + 1

2 + 3 ⇒

≠ − 1

2 ; ≠ −3

P ř íklady na procvi č ení:

Rozložte na součin

1) − 5 + 6 − 2 ⋅ − 3 2) 7 + 19 − 6 7 ⋅ −

* ⋅ + 3

3) − − 2 − 2 ⋅ + 1

4) +,-./0.1š3-: ^5*6576

6

57 ⁵⁷⁶

65 ; ≠ ±2