Příklady zkouškové obtížnosti lze nalézt ve zkouškových písemkách z Matematiky III, které jsou vystaveny zde: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/edu.php?edutype=archpis ———-VÝSLEDKY

I. TAYLORŮV POLYNOM 1. Najděte Taylorův polynom k-tého řádu v bodě 0 pro funkce:

a)tg(x), k = 3 b) sin(sinx), k = 5 c) ^1+x+x_1−x+x²₂, k= 4 d)cos(sinx), k = 5 e)sin(1−cosx), k = 3 f)e^2x−x2, k= 5 g) _ex^x−1, k = 4 h) log(cosx), k= 6

2. Odhadněte absolutní chybu aproximace sinx≈x−^x₆³ na intervalu [−1/2,1/2].

3. Spočtěte √

5 s přesností 10⁻² 4. Spočtěte limity

a) lim

x→0

sinx−x+x³ 6

x⁵ b) lim

n→∞

n²−cotg²(_n¹)

c) lim

x→0

2 sin(sinx)−sin(2x)√³ 1+x²

x⁵ d) lim

x→0

cosx−1+x² 2 x⁴

e)lim

x→0n⁴

cos(_n¹)−exp(−_2n¹2)

f) lim

x→0

e^xsinx−x(1+x)

x³ g) lim

x→0

sin(e^(x2)−1)−1+cos(√ 2x) x⁴

h) lim

x→0

(1+sinx)^x−exp(x²)+x³ 2

x⁴ i) lim

n→∞

√6

n⁵

sin(^√1_n)− ^√₆¹

nlog(1 + √3¹

n)

Další příklady k procvičení lze nalézt například v sekci I zde:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/MFF/MA/ma2-2015-16.pdf.

Příklady zkouškové obtížnosti lze nalézt ve zkouškových písemkách z Matematiky III, které jsou vystaveny zde:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/edu.php?edutype=archpis

———-VÝSLEDKY———-

1. a)x+¹₃x³ b)x−¹₃x³+₁₀¹x⁵ c)1+2x+2x²−2x⁴ d)1−¹₂x²+₂₄⁵ x⁴ e) ^x₂² f)1+2x+x²−²₃x³−⁵₆x⁴−₁₅¹x⁵ g)1−¹₂x+₁₂¹x²− ₇₂₀¹ x⁴ h)−^x₂² −₁₂¹x⁴− ₄₅¹x⁶

2. ₃₈₄₀¹

3.2 +¹₄ −₆₄¹ +₂¹9 −₂⁵₁₄ = 2.23602294922

4. a) ₁₂₀¹ b) ²₃ c) ³₅ d) ₂₄¹ e)−₁₂¹ f) ¹₃ g) ²₃ h) ¹₆

II. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE, ÚVOD

Vyjádřete primitivní funkce na maximálních intervalech existence 1. Příklady na integrování "přímo":

a)R

x⁹+_x¹ −5e^x+x⁻³−cosxdx b) R

2e^3x−√⁵

5−xdx c)R _x²_+3x+6

x⁴ dx d) R

x(1−x)¹⁰dx

2. Příklady na integrování "per partes":

a)R

x³sinxdx b) R

e^xcosxdx c)R

xⁿe^xdx , n∈N d) R

xlogxdx e)R

xe^xcosxdx

3. Příklady na integrování pomocí substituce:

a)R

cotgxdx b)R _x²

cos²x³ dx c)R _x

1+x⁴ dx d)R ₁

xlogxdx e)R _x

√

x²+5dx f)R ₁

xlogxlog(logx)dx 4. Další příklady k procvičení:

a)R

1− _x¹2

px√

xdx b)R

(2^x+ 3^x)²dx c)R ₁

x² sin(¹_x) dx d)R _sinx

√

cos³xdx e)R _x²

(8x³+27)^2/3 dx f)R _arctgx

1+x² dx g)R ₂^2x

9^x−4^x dx h)R

arctgxdx i)R

x²sin(2x) dx j)R √

xlog²xdx k)R

x²e^−2xdx l)R

logx x

2

dx m)R

x⁵e^x3dx n)R e

√xdx o)R

xsin√

xdx p)R

cos²xdx

———-VÝSLEDKY———- 1.a) ^x₁₀¹⁰ + log|x| −5e^x− _2x¹₂ −sinx na(−∞,0)a (0,∞) b) ²₃e^3x+^5(5−x)

6 5

6 , x∈R c)−¹_x −_2x³2 −_x²3 na(−∞,0)a (0,∞) d) −^(1−x)₁₁¹¹ +^(1−x)₁₂¹²

2. a) −x³cosx+ 3x²sinx+ 6xcosx −6 sinx, x ∈ R b) ¹₂(e^xsinx+e^xcosx), x ∈ R c) In := R

xⁿe^xdx = xⁿe^x−nIn−1;I₁:=xe^x−e^x, x∈R

d) ¹₄(2x²logx−x²), x∈(0,∞) e) ¹₂e^x(xsinx+xcosx−sinx), x∈R 3. a)log|sinx|na každém z intervalů(kπ,(k+ 1)π), k∈Z

b) ¹₃tgx³ na každém z intervalů (p³

−^π₂ +kπ,p³ _π

2 +kπ), k∈Z c)¹₂arctgx², x∈R d)log|logx|na(0,1)a (1,∞) e)√

x²+ 5, x∈R f)log|log(logx)|na (1, e) a (e,∞) 4. a) ^4(x₇√²4⁺⁷⁾

x , Df = (0,∞) b) _{log 4}^4x + 2_{log 6}^6x +_{log 9}^9x , Df =R c)cos(¹_x), Df =R\ {0}

d) ^√_cos² _x, Df =S

k∈Z(−^π₂ + 2kπ,^π₂ + 2kπ) e) ¹₈√³

8x³+ 27, Df =R\ {−³₂} f) ¹₂arctg²x, Df =R g)− ¹

2 log²₃ log|1−(²₃)^2x|, D_f =R\ {0}

h)xarctgx−¹₂log(1 +x²), D_f =R i)−^2x2₄⁻¹cos(2x) + ^x₂sin(2x), D_f =R j) ²₃x^3/2 log²x−⁴₃logx+ ⁸₉

, Df = (0,∞) k)−^e−2x₂ (x²+x+¹₂), Df =R l)−_x¹(log²x+ 2 logx+ 2), Df = (0,∞) m) ¹₃(x³−1)e^x3, Df =R n)2(√

x−1)e

√x, Df = (0,∞)

o)2(6−x)√ xcos√

x−6(2−x) sin√

x, D_f = (0,∞) p) ^x₂ +^sin(2x)₄ , D_f =R

II. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE, POKRAČOVÁNÍ

Vyjádřete primitivní funkce na maximálních intervalech existence 5. Příklady na integrování pomocí druhé věty o substituci:

a)R√

4−x²dx b)R ₁

(1−x²)^3/2 dx c)R ₁

(x²+a²)^3/2 dx (a >0) 6. Příklady, kde se musí funkce "lepit":

a)R

|x|dx b)R

|cosx|dx c)R

max{x, x²}dx d)R √

x⁶dx e)R

sin|2x−1|dx f)R

|sinx+ cosx|dx g)R

e^−|x|dx h)R

|2x+ 1|dx

7. Integrace racionálních funkcí:

a)R _5x⁶_−20x⁵_+20x⁴_+x²_−4x+11

(x−2)² dx b)R _2x+1

x²+4x−5dx c)R _8x³_−5x²_−15x+24

(x+1)²(2x²−6x+5)dx d)R _3x+1

(9x²−12x+6)² dx e)R ₁

e^2x+e^x−2dx f)R ₁

x

log(2x) log²(x)+3

8. Goniometrické substituce:

a)R _sin³_x+sinx

cos³x+cosxdx b)R ₁

(2+cosx) sinxdx c)R ₁

cos²x(4 sin²x−1)dx d)R _sinxcosx

1+sin⁴x dx e)R _sin²_x

1+sin²xdx f)R ₁

5+cosxdx

g)R ₁

(sin²x+2 cos²x)²dx

———-VÝSLEDKY———- 5. a)2 arcsin^x₂ + sin(2 arcsin^x₂) = 2 arcsin^x₂ +^x₂√

4−x², D_f = (−2,2) b)tg(arcsinx) = ^{√ x}

1−x², D_f = (−1,1) c)_a¹₂ sin(arctg^x_a) = ^x

a²√

a²+x², D_f =R 6. a) ¹₂|x|x, x∈R b)F(x) =

sinx+ 4k x∈[−^π₂ + 2kπ,^π₂ + 2kπ], k∈Z

−sinx+ 4k+ 2 x∈(^π₂ + 2kπ,3^π₂ + 2kπ), k∈Z

c)F(x) =







x³

3 x∈(−∞,0)

x²

2 x∈[0,1]

x³

3 +¹₆ x∈(1,∞)

d) ¹₄|x|x³, x∈R e)F(x) =

−¹₂cos(2x−1) x≥ ¹₂

1

2cos(2x−1)−1 x < ¹₂ f)F(x) = (−1)^k(−cosx+ sinx) +k2√

2, x∈[−^π₄ +kπ,−^π₄ + (k+ 1)π], k ∈Z

g)F(x) =

e^x−2 x <0

−e^−x x≥0 h)F(x) =

−(x²+x) x <−¹₂ x²+x+¹₂ x≥ −¹₂

7. a)x⁵+x−_x−2⁷ , D_f =R\ {2} b) ³₂log|x+ 5|+¹₂log|x−1|, D_f =R\ {1,−5}

c)3 log|x+ 1| − _x+1² +¹₂log(2x²−6x+ 5) + 2 arctg(2x−3), D_f =R\ {−1}

d)−_{6(9x2−12x+6)}¹ +

√ 2

8 arctg(^3x−2√

2 ) +_4(9x2^3x−2−12x+6) =

√ 2

8 arctg(^3x−2√

2 ) + _12(9x^9x−82−12x+6), D_f =R e)−^x₂ +¹₃log|e^x−1|+¹₆log(e^x+ 2), D_f =R\ {0} f) ¹₂log(log²x+ 3) +^{log 2√}

3 arctg(^log√x

3 ), D_f = (0,∞) 8. a) ³₂log(cos²x+1)−2 log|cosx|, D_f =R\S

k∈Z{^π₂+kπ} b) ¹₃log(cosx+2)−¹₂log(cosx+1)+¹₆log(1−cosx) =

1 6log

_(1−cos

x)(cosx+2)² (1+cosx)³

, D_f =R\S

k∈Z{kπ} c) ¹₃tgx+ ²

3√ 3log

√ 3 tgx−1

√ 3 tgx+1

, D_f =R\S

k∈Z{^π₂+kπ,^π₆+kπ,−^π₆+kπ}

d) ¹₂arctg(sin²x), D_f =R e)F(x) =

( arctg(tgx)−^√1

2arctg(√

2 tgx) +kπ(1−1/√

2) x∈(−^π₂ +kπ,^π₂ +kπ), k∈Z

π 2 − ^π

2√

2 +kπ(1−1/√

2) x= ^π₂ +kπ, k∈Z

f)F(x) =







√1

6arctgq

2

3tg (^x₂) +k^√π

6 prox∈(−π+ 2kπ, π+ 2kπ), k∈Z

π 2√

6 +k^√π

6 prox=π+ 2kπ, k∈Z

g)F(x) = ( ₃^√₂

8 arctg

tg√x 2

− ^tgx

4(tg²x+2)+kπ³

√ 2

8 prox∈(−^π₂ +kπ,^π₂ +kπ), k∈Z

π 2

3√ 2 8 +kπ³

√ 2

8 prox= ^π₂ +kπ, k∈Z

II. HLEDÁNÍ PRIMITIVNÍ FUNKCE, POKRAČOVÁNÍ II

Vyjádřete primitivní funkce na maximálních intervalech existence 9. Příklady s odmocninou:

a)R ₁

x

qx+1

x−1dx b)R _x

√−x²+2x+8dx c)R ^√_x2+x+1

x² dx d)R√

x²+ 2x−3 dx

———-VÝSLEDKY———- 9. a)log(

qx+1

x−1 + 1)−log

qx+1 x−1 −1

−2 arctg qx+1

x−1, Df =R\(−1,1]

b)2 arctg qx+2

4−x −√

−x²+ 2x+ 8, Df = (−2,4)

c)¹₂log

2√

x²+x+1−x−2 x

−

√ x²+x+1

x + log(2√

x²+x+ 1 + 2x+ 1), D_f =R\ {0}

d) ¹₂(x+ 1)√

x²+ 2x−3−2 log(x+ 1 +√

x²+ 2x−3), Df =R\(−3,−1)

Další příklady k procvičení lze nalézt například v kapitole 9 zde:

http://matematika.cuni.cz/ikalkulus.html.

III. NEWTONŮV INTEGRÁL Vypočtěte následující integrály

1. a)R₂

0 |1−x|dx b)R∞ 0

1

x²+3x+2dx c)R_100π

0

√1−cos 2xdx d)R_e

1 e

|logx|dx e)R_{log 2}

0

√e^x−1 dx

f)R2π

0 x²cosxdx 2. a)R∞

−1

√ 1 x+1+√

(x+1)³ b)R5π 0

1

sin²x+2 cos²xdx c)R3 1

1 x√

−x²+4x−3dx d)R5π/6 π/6

cos 2x

|sinx−cosx|dx e)R6π

0 x_2+sin(x^sin(x2)2)dx (Hint: pro výpočet integrálu z _2+sin(t)^sin(t) se můžete podívat do poznámek k přednášce) 3. a)R∞

−∞ e^x

e^2x+e^x+1dx b)R₁

0 x²arctgxdx c)R_2π

0 1

2+sinxdx d)R∞ 0

1 (x+1)√

x²+1dx

Další příklady k procvičení lze nalézt například v sekci V zde:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/MFF/MA/ma2-2016-17.pdf a také v sekcích VII, IX zde:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/data/ma215-cv.pdf a také v kapitole 10 zde:

http://matematika.cuni.cz/ikalkulus.html

———-VÝSLEDKY———- 1. a)1 b)log 2 c)200√

2 d)2−²_e e)2−^π₂ f)4π 2. a)π b)5

√2

2 π c) ^√π

3 d)−1 e)57π(1−2

√3 3 ) +

√3π

9 + arctg(tg(18π²))−²

√3 3 arctg

2 tg(18π√ ²)+1 3

3. a) ²

3√

3π b) ¹₆(log 2−1 +π/2) c)²

√3

3 π d) ^√1

2log 2+√

2 2−√

2

=√

2 log(1 +√ 2)

IV. KONVERGENCE NEWTONOVA INTEGRÁLU 1. Vyšetřete konvergenci následujících integrálů

a)R1 0

1

e^√x−1 dx b)R1 0

√x

√1−x⁴ dx c)R1 0

log(1−cosx)

√3

x(x−1) dx d)R∞ 1

e^x

x⁴ dx e)R∞ 8

x+1

(x+4)³ sinxdx 2. Vyšetřete konvergenci následujících integrálů

a)R₁

0 1

√3

x(e^x−e^−x)dx b)R₁

0(logx)e^−x2dx c)R∞ 0

arctanx

x² dx d)R∞

1 sin^{2 1}_xdx e)R₁

0 1 e^x−cosxdx f)R^π₂

0 √ 1

sinxcosxdx g)R^π₂

0 √ 1

sinx√

cosxdx h)R^π₂

0 tgxdx i)R^π₂

0 √1

tgxdx j)R1

0 x^−10xdx k)R1 0

log(1−x²) x²√

1−x² dx l)R∞

0 π−2 arctanxdx m)R1 0

arccosx

log²(1/x)dx n)R2 1

√x−1

√x−√³ xdx

3. Vyšetřete konvergenci následujících integrálů (příklady zkouškové obtížnosti) a)R∞

1

p4

e^1/x2 −e^{−1/x2log(x+1)}_x+1 dx b)R1

0 log(arctgx)^{π/2−arcsin}_(e1−x−1)^2xdx c)R5 0

log(x²−10x+26) xe^1/x(5−x)^5/2 dx d)R∞

1

1−cos1 x

3/4

q sin1

x

arctg

3 +^log_x^x

dx e)R1 0

e^2x2−e^x2 x³√

sinx log(2 + arctgx) dx

———-VÝSLEDKY———- 1. a) K (konverguje) b) K c) K d) D (diverguje) e) K

2. a) K b) K c) D d) K e) D f) D g) K h) D i) K j) K k) K l) D m) D n) K 3. a) K b) D c) K d) D e) D

V. RIEMANNŮV-STIELTJESŮV INTEGRÁL 1. Spočítejte hodnotu následujících Riemannových-Stieltjesových integrálů a)R1

0 x²dx³ b)R1

0 x²de^x c)Re

1(x+ 4) d(e^x+ logx)

d)R3

0 e^xdg(x), kdeg(x) :=







1 pokud0≤x <1 3 pokud1≤x≤2

−1 pokud2< x≤3

e)R3

1 x²dg(x), kdeg(x) :=







1 pokud x= 1 2 pokud 1< x <2 3 pokud 2≤x≤3

———-VÝSLEDKY———- 1. a) ³₅ b)e−2 c)(e+ 3)e^e+ 3−3e d)2e−4e² e)5

VI. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE PRVNÍHO ŘÁDU

Najděte všechna maximální řešení následujících diferenciálních rovnic 1. a)y⁰ = 3x²y² b)y⁰ =√

ye^−x c)yy⁰ = ^1−2x_y d)xy⁰ =−2−y,y(1) = 1 2. a)xy⁰ =−(x+y) b)xyy⁰ =y²−x²

3. a)y⁰ = ^y_x−1 b)xy⁰+y= logx+ 1 c)y⁰+^x+1_x y= 3xe^−x,y(1) =−¹_e

4. a)y⁰+ycosx= sin 2x,y(0) = 3 b)y⁰ = ^y_sinx^logy,y(^π₂) = ¹_e c)xy⁰ =ylog^y_x,y(1) =e³

Další příklady k procvičení lze nalézt například zde:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barta/pcODR/a také v sekcích II, III, V zde:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/archiv/s21314l.pdf

———-VÝSLEDKY———-

1. a) Stacionární řešení je ys(x) = 0,x∈R. Pro každé c∈Rjsou maximálními řešeními funkce y_c¹(x) = _x⁻¹3+c, x∈(−∞,−√³

c) a y²_c(x) = _x⁻¹3+c, x∈(−√³ c,∞) b) Stacionární řešení jey_s(x) = 0,x∈R. Pro každé c >0je maximálním řešením funkce

y_c(x) =

(0 x∈(∞,−logc]

1

4(c−e^−x)² x∈(−logc,∞)

c) Stacionární řešení nejsou. Pro každéc∈Rjeyc(x) =p³

3(x−x²+c)maximální řešení definované na intervalech:

pokudc <−¹₄ pakx∈R; pokudc=−¹₄ pakx∈(−∞,¹₂)nebox∈(¹₂,∞); pokudc >−¹₄ pakx∈(−∞,¹₂− q1

4 +c) nebox∈(¹₂ −q

1

4+c,¹₂ + q1

4 +c) nebo x∈(¹₂ + q1

4 +c,∞).

d)y(x) = ³_x−2,x∈(0,∞)

2. a) Pro každé K ∈R\ {0} jsouy(x) =−^x₂ + ^K_x,x ∈(−∞,0)nebo x∈(0,∞) maximální řešení. Dalším řešením jey(x) =−^x₂,x∈R

b) Pro každéc∈Rjsou maximálními řešeními y(x) =±xp

2c−logx²,x∈(−e^c,0)nebox∈(0, e^c) 3. a)y(x) =−xlog|x|+cx,x∈(−∞,0)nebo x∈(0,∞),c∈R b)y(x) = logx+ ^c_x,x∈(0,∞),c∈R c)y(x) = (x²−²_x)e^−x,x∈(0,∞)

4. a)y(x) = 2(sinx−1) + 5e^−sinx,x∈R b)y(x) =e^−tgx2,x∈(0, π) c)y(x) =xe^1+2x,x∈(0,∞)

VII. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DRUHÉHO ŘÁDU

1. Uvažujte rovnici y⁰⁰−y = ^e_e^xx^−e+e^−x−x. a) Dokažte, že {e^x, e^−x} tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice na intervalu(−∞,∞) b) Nalezněte obecné řešení rovnice na intervalu(−∞,∞) c) Nalezněte řešení splňu- jící počáteční podmínkuy(0) = ^π₂ + 3,y(1) = (e+ ¹_e) arctg(e) +e+²_e.

2. Uvažujte rovniciy⁰⁰−_x⁴y⁰+_x⁶2y= 3x s počáteční podmínkou y(1) = 3, y⁰(1) = 10. a) Dokažte, že {x², x³} tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice na intervalu(0,∞) b) Nalezněte řešení rovnice.

3. Uvažujte rovnici y⁰⁰ − _x^2x+2_2+2xy⁰ + _x2+2x² y = x² + 2x s počáteční podmínkou y(−1) = 0, y⁰(−1) = 4/3.

a) Dokažte, že {x², x+ 1} tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice na intervalu (−2,0) b) Nalezněte řešení rovnice.

4. Nalezněte obecné řešení rovnic

a)y⁰⁰+ 6y⁰+ 10y= 0 b)y⁰⁰−8y⁰+ 7y= 0 c)y⁰⁰−6y⁰+ 9y= 8e^x d)y⁰⁰−2y⁰+ 5y= cosx e)y⁰⁰−2y⁰+ 10y= _{cos 3x}^9ex f)y⁰⁰+ 3y= sin(√

3x) + 3 cos(√ 3x)

5. Nalezněte maximální řešení diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou a)y⁰⁰−2y⁰= 8x+ 4,y(0) = 1,y⁰(0) = 4 b)y⁰⁰+y⁰ = _1+e^ex2x,y(0) = ^π₄ −¹₂log 2,y⁰(0) = 0 c)y⁰⁰−4y⁰+ 4y=x²+ 2e^2x,y(0) = 0,y⁰(0) = 0

Další příklady k procvičení lze nalézt například v kapitolách 3 a 5 zde:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barta/pcODR/a také v sekci VI zde:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/archiv/s21314l.pdf

———-VÝSLEDKY———-

1. a) b)y(x) = (e^x+e^−x) arctge^x+c₁e^x+c₂e^−x,x∈R c)y(x) = (e^x+e^−x) arctge^x+e^x+ 2e^−x,x∈R 2.y(x) = 3x³logx+ 2x²+x³,x∈(0,∞)

3.y(x) = ¹₆x⁴+²₃x³+ ¹₂x²+x+ 1,x∈(−2,0)

4. a)y(x) =c₁e^−3xsinx+c₂e^−3xcosx,x∈R b)y(x) =c₁e^x+c₂e^7x,x∈R

c)y(x) = 2e^x+c1e^3x+c2xe^3x,x∈R d)y(x) = ¹₅cosx−₁₀¹ sinx+c1e^xcos 2x+c2e^xsin 2x,x∈R e)y(x) = 3xe^xsin 3x+ log|cos 3x|e^xcos 3x+c1e^xsin 3x+c2e^xcos 3x,x∈(^π₆ +k^π₃,^π₂ +k^π₃),k∈Z f)y(x) =x(

√3 2 sin(√

3x)−¹₆√

3 cos(√

3x)) +c1sin(√

3x) +c2cos(√

3x),x∈R

5. a)y(x) =−3 + 4e^2x−2x²−4x,x∈R b)y(x) = arctg(e^x)−¹₂log(1 +e^2x)e^−x−^{log 2}₂ +^{log 2}₂ e^−x,x∈R c)y(x) =x²e^2x+^x₄² +^x₂ +³₈ −³₈e^2x+¹₄xe^2x,x∈R

VIII. OTEVŘENÉ A UZAVŘENÉ MNOŽINY, SPOJITOST, PARCIÁLNÍ DERIVACE 1. Pomocí vět z přednášky dokažte, že funkce f(x, y) = (xy+ sin(e^x+y))² je spojitá.

2. Rozhodněte, zda následující množiny jsou otevřené ev. uzavřené a určete vnitřek.

a){_n¹ : n∈N} ∪ {0} b){[x, y]∈R²: x≤0, y >0} c){[x, y]∈R² : x²+e^y >17}

d){[x, y]∈R²: |x−y|=x−y} e){[x, y, z]∈R³: x≥0, y >0, x+y= 2, z ≤0}

3. Spočtěte parciální derivace funkcí všude, kde existují a)e^xy b)xy+yz+zx c)|x| · |y| d)|y+ cosx| e)f(x, y) =

( e

−π

x2+3xy+3y2 (x, y)6= 0, 0 (x, y) = (0,0) 4. Určete a nakreslete definiční obor funkce f a vyšetřete její parciální derivace a)f(x, y) = arcsin_|x|+1^|y| b)f(x, y) =p

y⁶−x³

Další příklady k procvičení lze nalézt například v sekci II zde:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/FSV/m2-2015-16.pdfa také v sekci IX zde:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/MFF/MA/ma2-2016-17.pdf

Příklady zkouškové obtížnosti lze čerpat ze zkouškových písemek z Matematiky II na FSV zde:http://www.karlin.

mff.cuni.cz/~kalenda/edu.php?edutype=archpis

VII. OTEVŘENÉ A UZAVŘENÉ MNOŽINY, SPOJITOST, PARCIÁLNÍ DERIVACE - VÝSLEDKY

2. a) Množina je uzavřená s prázdným vnitřkem b) Množina není uzavřená ani otevřená. Vnitřek je {[x, y] ∈ R² : x < 0, y > 0} c) Množina není uzavřená, je otevřená d) Množina je uzavřená, není otevřená, vnitřek {[x, y] : x > y} e) Ani uzavřená ani otevřená, vnitřek prázdný

3. a) ^∂f_∂x =ye^xy, ^∂f_∂y =xe^xy pro(x, y)∈R². b) ^∂f_∂x =y+z, ^∂f_∂y =x+y, ^∂f_∂z =x+y pro(x, y, z)∈R³.

c)^∂f_∂x(x, y) = |y|sgnx pro x 6= 0. ^∂f_∂y(x, y) = |x|sgny pro y 6= 0. ^∂f_∂x(0,0) = ^∂f_∂y(0,0) = 0. ^∂f_∂x(0, y) pro y 6= 0 a

∂f

∂y(x,0) prox 6= 0 neexistují. d) ^∂f_∂x(x, y) = −sgn(y+ cosx)·sinx, ^∂f_∂y(x, y) = sgn(y+ cosx), pokud y 6= −cosx.

∂f

∂y(x,−cosx) neexistuje pro x∈R. ^∂f_∂x(kπ,(−1)^k+1) = 0 prok∈Z. ^∂f_∂x(x,−cosx) neexistuje pro x6=kπ. e) ^∂f_∂x = e⁻

π

x2+3xy+3y2·_(x2^π(2x+3y)+3xy+3y²)²,^∂f_∂y =e⁻

π

x2+3xy+3y2·_(x2^π(3x+6y)+3xy+3y²)² pro(x, y)6= (0,0); v bodě(0,0)jsou obě parciální derivace nulové.

4. viz. výsledky zkouškových písemek z Matematiky II na FSV zde: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/

edu.php?edutype=archpis. Konkrétněji, viz. varianta A z roku 2004/2005 a varianta D z roku 2010/2011.