kartézské souřadnice Kinematika

Kinematika

• hmotný bod: těleso s nekonečně malými rozměry, ale nenulovou hmotností, tj. žádné otáčení, žádná deformace atd.

bodová hmotnost

• popis pohybu hmotného bodu – tj. poloha hmotného bodu v závislosti na čase

• trajektorie: křivka, kterou vytváří koncový bod polohového vektoru

• polohový (radius) vektor

• parametrické vyjádření trajektorie kartézské souřadnice

Fyzikální veličiny

Míry fyzikálních vlastností: X = x [X]

• skalární : invariantní vůči volbě souřadnicové soustavy

• vektorové: závisí na volbě souřadnicové soustavy 1 D

• skalár: x

2 D

• skalár: x

• vektor: (x,y)

• vektor:  x

3 D

• skalár: x

• vektor: (x,y,z)

n D

• skalár: x

• vektor: (x₁, x₂, ..., x_n)

Vektorové veličiny

Označení:

vektor:

velikost vektoru: nebo

x-ová složka vektoru: nebo y-ová složka vektoru: nebo z-ová složka vektoru: nebo

Transformace souřadnic – otočení v rovině

P

• kartézská soustava souřadnic: x, y

• kartézská soustava otočená kolem osy z: x’, y’





x

y

Transformace souřadnic – otočení v rovině

Transformace souřadnic – otočení v rovině

Transformace souřadnic – otočení v prostoru

• kartézská soustava souřadnic: x, y, z

• otočení kolem osy o o úhel 

Transformace souřadnic – obecně

• původní soustava souřadnic:

• nová soustava souřadnic:

• skalár je veličina invariantní při transformaci souřadnic:

• vektor je trojice veličin , která se při transformaci souřadnic transformuje jako souřadnice:

Vektorové fyzikální veličiny

• velikost vektoru: (skalár)

často se píše:

• součet / rozdíl vektorů:

Vektorové fyzikální veličiny

• skalární součin: (skalár)

velikost průmětu vektoru do směru:



• vektorový součin v 3D:

Vektorové fyzikální veličiny

(vektor kolmý na a )



tvoří pravotočivý systém

Pravotočivá

Kartézská soustava souřadnic

Levotočivá

jednotkové vektory ve směru souřadnicových os

Kartézská soustava souřadnic

• ortonormální báze

 ^{x , y , z} 

x z

y

Kartézská soustava souřadnic

• polohový (radius) vektor

 ^{x , y , z} 

x z

y

velikost polohového vektoru:

Obecné souřadnice

• kartézské souřadnice: x, y, z

• obecné souřadnice: q₁, q₂, q₃

 ^q

^{, q}

^{, q}



x x 

 ^q

^{, q}

^{, q}



y y 

 ^q

^{, q}

^{, q}



z z 

 ^{x y z} 

q

q



, ,

 ^{x y z} 

q

q



, ,

 ^{x y z} 

q

q



, ,

Polární soustava souřadnic



• kartézská soustava souřadnic: x, y

• polární soustava souřadnic: r, 

P = [x,y]

x

y

polární souřadnice

  ^{t  t}

 

  ^{t r}

r 

Rovnoměrný pohyb po kružnici









 2

T

kartézské souřadnice

  ^{t r r}   ^t

x  cos   cos 

  ^{t r r}   ^t

y  sin   sin 

x y

r

trajektorie časová závislost souřadnic

Rovnoměrný pohyb po kružnici

kruhovy-pohyb.py

Rovnoměrný pohyb po kružnici + zmenšování r

polární souřadnice

  ^{t  t}

 

  ^{t r v t}

r 









 2

T

kartézské souřadnice

  ^{t r}  ^{r v t}    ^t

x  cos  



cos 

  ^{t r}  ^{r v t}    ^t

y  sin  



sin 



x y

r

v

  2

0

0

r

T

v

 r 

r

 0

Rovnoměrný pohyb po kružnici + zmenšování r

spirala.py

  20 10

0

0

r

T

v

 r 

r

 0 . 9 r

Rovnoměrný pohyb po kružnici + zmenšování r

spirala.py

Kruhový pohyb + kmity



polární souřadnice

  ^{t  t}

 

  ^{t r A}  ^{f t} 

r 

 sin 2 







 2

T

f

A

kartézské souřadnice

  ^t  ^{r A}  ^{f t}     ^t

x 

 sin 2 

cos 

  ^t  ^{r A}  ^{f t}     ^t

y 

 sin 2 

sin 

r

x y

1

. 0 r A 



 2

 10 f

pruzina.py

Trajektorie

Cylindrická soustava souřadnic





 cos

 x



 sin

 y

z z 

• kartézská soustava souřadnic: x, y, z

• cylindrická (válcová) soustava souřadnic: , , z

2

2

y

x 

 

x arctg y

  z z 

x

y

 z

r

cylindrické souřadnice

  t  t

 

  t  r









 2

T

  t v t z 

v_z – rychlost stoupání

Cylindrická soustava souřadnic

kartézské souřadnice

  ^{t r}   ^t

x   cos   cos 

  ^{t r}   ^t

y   sin   sin 

  ^{t v t}

z 

sroubovnice.py

Sférická soustava souřadnic





 cos sin

r x 



 sin sin

r y 

 cos r z 

• kartézská soustava souřadnic: x, y, z

• sférická soustava souřadnic: r, , 



2 2

2

y z

x

r   

z y x

arctg 

 

x arctg y

 

x

y

 z

r

Kinematika

• hmotný bod: těleso s nekonečně malými rozměry, ale nenulovou hmotností, tj. žádné otáčení, žádná deformace atd.

• popis pohybu hmotného bodu – tj. poloha hmotného bodu v závislosti na čase

• trajektorie: křivka, kterou vytváří koncový bod polohového vektoru

kartézské souřadnice

  ^t

x x 

  t y y 

  ^t

z z 

cylindrické souřadnice

  t



 

  ^t



 

  t z z 

sférické souřadnice

  t r r 

  ^t



 

  t



 

• parametrické vyjádření trajektorie

• polohový (radius) vektor

Ortogonální obloučky



x d s d kartézské souřadnice:

y d

 ^d

^d



d s  x  y

 ^d

^d

 

^d

^d



d s  x  y  r  r 





 d sin d cos

d x  r  r





 d cos d sin

d y  r  r

r

s d

d



 d d s

 r x

s d

d

 y

s d

d



x y

 cos r x 

 sin r y 



r d

 d r polární souřadnice:

s d

x

y

Ortogonální obloučky

kartézské souřadnice:

soustava souřadnic h₁ h₂ h₃ q₁ q₂ q₃

kartézská 1 1 1 x y z

cylindrická 1  1   z

sférická 1 r

r sin 

h_i – Laméovy koeficienty

např. sférická soustava souřadnic

objemový element:

d V  r

sin  dr d  d 

element prostorového úhlu:

d   sin  d  d 

Python

https://www.anaconda.com/products/individual

Python

https://www.anaconda.com/products/individual

Python

Spyder

Python - Spyder