Hlavní práce5859_xnejm04.pdf, 455.3 kB Stáhnout

(1)

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE

FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY

DIPLOMOVÁ PRÁCE

2007 Milan Nejman

(2)

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE

FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY

Hlavní specializace : Matematické metody v ekonomii

Název diplomové práce

Testování Grangerovy kauzality mezi akciovými indexy a HDP

Diplomant : Milan Nejman

Vedoucí diplomové práce : Prof. Ing. Roman Hušek, CSc.

(3)

Prohlášení :

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma „Testování Grangerovy kauzality mezi vývojem akciových indexů a HDP“ zpracoval samostatně. Veškerou použitou literaturu a další podkladové materiály uvádím v seznamu použité literatury.

Praha, 16.5.2007 Milan Nejman

………

(4)

Věnování :

Tuto práci věnuji svým rodičům, bez jejichž všestranné pomoci bych se jen těžko mohl plně věnovat studiu ekonomie.

Poděkování :

Rád bych tímto poděkoval všem vyučujícím z katedry ekonometrie, kteří mi ochotně

pomáhali s mojí diplomovou prací, zejména pak vedoucímu mé diplomové práce prof. Ing. Romanu Huškovi, CSc. za jeho vynikající přístup a cenné připomínky, které

výrazně napomohly ke vzniku mé diplomové práce.

(5)

Obsah

SEZNAM TABULEK, OBRÁZKŮ A VÝSTUPŮ... 7

1. ÚVOD... 8

2. VÝZNAM FINANČNÍHO TRHU... 10

3. FUNKCE BURZY... 10

4. BURZOVNÍ INDEXY... 13

5. TEORIE EFEKTIVNÍHO TRHU... 15

6. EKONOMICKÉ INDIKÁTORY... 18

7. AKCIOVÝ TRH JAKO PŘEDSTIHOVÝ INDIKÁTOR... 20

7.1 ANO, CENY AKCIÍ MOHOU PREDIKOVAT EKONOMICKÝ RŮST... 20

7.2 NE, CENY AKCIÍ NEMOHOU PREDIKOVAT EKONOMICKÝ RŮST... 23

8. DVĚ POJETÍ KAUZALITY... 24

8.1 KLASICKÁ KAUZALITA VE SMYSLU PŘÍČINNÉ ZÁVISLOSTI... 24

8.2 KAUZALITA V GRANGEROVĚ POJETÍ... 26

9. STATISTICKÝ APARÁT... 31

9.1 STACIONARITA... 31

9.2 VAR MODELY... 34

9.3 STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ GRANGEROVY KAUZALITY... 35

9.4 TESTY DIAGNOSTICKÉ KONTROLY... 39

10. EMPIRICKÁ ČÁST... 41

10.1 TESTOVÁNÍ GRANGEROVY KAUZALITY MEZI PX A REÁLNÝM HDPČ_ESKÉREPUBLIKY... 42

10.1.1 INDEX PX, POPIS PROMĚNNÝCH... 42

10.1.2 TEST STACIONARITY ČASOVÝCH ŘAD... 43

10.1.3 FORMULACE EKONOMETRICKÉHO MODELU... 44

10.1.4 ODHAD PARAMETRŮVAR(3) MODELU... 44

10.1.5 DIAGNOSTICKÁ KONTROLA VAR(3) MODELU... 45

10.1.6 TEST GRANGEROVY KAUZALITY... 46

10.1.7 FUNKCE ODEZVY PX,HDP... 47

10.1.8 ZHODNOCENÍ VÝSLEDKŮ... 47

10.2 TESTOVÁNÍ GRANGEROVY KAUZALITY MEZI DAX30 A REÁLNÝM HDPN^ĚMECKA... 48

10.2.1 INDEX DAX, POPIS PROMĚNNÝCH... 48

10.2.7 FUNKCE ODEZVY DAX,HDPN... 53

10.3 TESTOVÁNÍ GRANGEROVY KAUZALITY MEZI FTSE A REÁLNÝM HDPVELKÉ BRITÁNIE... 54

10.3.1 INDEX FTSE, POPIS PROMĚNNÝCH... 54

10.3.7 FUNKCE ODEZVY FTSE,HDPVB... 59

11. ZÁVĚR... 60

(6)

LITERATURA... 63

INTERNETOVÉ ZDROJE – ZDROJE DAT... 65

PŘÍLOHA 1 OBRÁZKY... 66

PŘÍLOHA 2 STATISTICKÉ VÝSTUPY... 71

PŘÍLOHA 3 POUŽITÁ DATA - ČASOVÉ ŘADY... 80

(7)

Seznam tabulek, obrázk ů a výstup ů

TABULKA 1 POPIS PROMĚNNÝCH PX,HDP... 42

TABULKA 2 POPIS PROMĚNNÝCH DAX,HDPN... 48

TABULKA 3 POPIS PROMĚNNÝCH FTSE,HDPVB... 54

TABULKA 4 SHRNUTÍ VÝSLEDKŮ... 60

TABULKA 5 TEST GRANGEROVY KAUZALITY PRO G7 EKONOMIKY... 61

OBRÁZEK 1 1DIFFSARHDP PRVNÍ DIFERENCE ZHODNOT SARHDP... 66

OBRÁZEK 2 1DIFFPX PRVNÍ DIFERENCE ZHODNOT PX... 66

OBRÁZEK 3 2DIFFRSAHDP DRUHÉ DIFERENCE ZHODNOT SARHDP... 66

OBRÁZEK 4 2DIFFPX DRUHÉ DIFERENCE ZHODNOT PX... 66

OBRÁZEK 5 P^ŮVODNÍ VERSUS VYROVNANÉ HODNOTY... 67

OBRÁZEK 6 REZIDUA MODELU 2DIFFPX,2DIFFRSAHDP... 67

OBRÁZEK 7 ANALÝZA FUNKCE ODEZVY 2DIFFPX,2DIFFRSAHDP... 67

OBRÁZEK 8 Č_ASOVÉŘADY HDPN A DAX... 68

OBRÁZEK 9 REZIDUA MODELU 2DIFFDAX,2DIFFHDPN... 68

OBRÁZEK 10 ANALÝZA FUNKCE ODEZVY 2DIFFDAX,2DIFFHDPN... 68

OBRÁZEK 11 2DIFFHDPVB DRUHÉ DIFERENCE ZHODNOT HDPVB... 69

OBRÁZEK 12 2DIFFFTSEDRUHÉ DIFERENCE ZHODNOT FTSE... 69

OBRÁZEK 13 REZIDUA MODELU 2DIFFFTSE,2DIFFHDPVB... 69

OBRÁZEK 14 ANALÝZA FUNKCE ODEZVY 2DIFFFTSE,2DIFFHDPVB... 70

VÝSTUP 1 TEST JEDNOTKOVÝCH KOŘENŮ 2DIFFPX,2DIFFRSAHDP... 71

VÝSTUP 2 TEST OPTIMÁLNÍ DÉLKY ZPOŽDĚNÍ 2DIFFPX,2DIFFRSAHDP... 71

VÝSTUP 3 TEST VÝZNAMNOSTI PROMĚNNÝCH 2DIFFPX,2DIFFRSAHDP... 71

VÝSTUP 4 ODHAD PARAMETRŮ MODELU VAR(3) 2DIFFPX,2DIFFRSAHDP... 72

VÝSTUP 5 TESTY DIAGNOSTICKÉ KONTROLY 2DIFFPX,2DIFFRSAHDP... 73

VÝSTUP 6 TEST JEDNOTKOVÝCH KOŘENŮDAX,HDPN... 73

VÝSTUP 7 TEST JEDNOTKOVÝCH KOŘENŮ2DIFFDAX,2DIFFHDPN... 74

VÝSTUP 8 TEST OPTIMÁLNÍ DÉLKY ZPOŽDĚNÍ 2DIFFDAX,2DIFFHDPN... 74

VÝSTUP 9 TEST VÝZNAMNOSTI PROMĚNNÝCH 2DIFFDAX,2DIFFHDPN... 74

VÝSTUP 10 ODHAD PARAMĚTRŮ MODELU VAR(5)2DIFFDAX,2DIFFHDPN... 75

VÝSTUP 11 TESTY DIAGNOSTICKÉ KONTROLY 2DIFFDAX,2DIFFHDPN... 76

VÝSTUP 12 TEST JEDNOTKOVÝCH KOŘENŮ2DIFFFTSE,2DIFFHDPVB... 77

VÝSTUP 13 TEST OPTIMÁLNÍ DÉLKY ZPOŽDĚNÍ 2DIFFFTSE,2DIFFHDPVB... 77

VÝSTUP 14 TEST VÝZNAMNOSTI JEDNOTLIVÝCH PROMĚNNÝCH 2DIFFFTSE,2DIFFHDPVB... 77

VÝSTUP 15 ODHAD PARAMETRŮ MODELU VAR(5) 2DIFFFTSE,2DIFFHDPVB... 78

VÝSTUP 16 TESTY DIAGNOSTICKÉ KONTROLY 2DIFFFTSE,2DIFFHDPVB... 79

(8)

1. Úvod

Cílem mé diplomové práce je pomocí nástrojů ekonometrické analýzy otestovat vztah Grangerovy kauzality mezi vývojem akciových indexů a HDP v České republice, Německu a Velké Británii. Neméně důležitou součástí však je i popsání jednotlivých teoretických východisek, zvážení různých argumentů pro a proti existenci tohoto vztahu.

Ve druhé kapitole se zaměřím na vysvětlení významu finančního trhu. Uvedu především různé formy efektivnosti, z nichž nejdůležitější pro tuto prácí bude efektivnost informační.

Ve třetí kapitole se budu věnovat významu a funkcím burzovního trhu. Burzovní trh, jakožto standardizovaný trh, svými funkcemi zajišťuje určité žádoucí charakteristiky tržní ekonomiky.

Ve čtvrté kapitole vysvětlím podstatu burzovního indexu, uvedu i různé způsoby jejich konstrukce, včetně faktorů působících na vypovídací schopnost daného indexu.

V páté kapitole se zaměřím na způsob, jakým funguje informačně efektivní trh.

Takový trh, přestože je pouze teoretickou konstrukcí, má nezastupitelné místo ve většině moderní ekonomické a finanční literatury. Vysvětluje totiž, jak vypadá „správně fungující” trh a jaké předpoklady k tomu musí být splněny. Do této práce jsem se jej rozhodl zařadit proto, že efektivní trh je nezbytnou podmínkou pro existenci vztahu Grangerovy kauzality mezi akciovými indexy a HDP.

V šesté kapitole objasním různé přístupy k hypotéze o akciovém trhu jako předstihovém indikátoru ekonomické aktivity.

Sedmá kapitola pojednává o ekonomických indikátorech , tyto indikátory zde jsou roztříděny.

Osmá kapitola vymezuje pojem kauzality. V první části je rozebrána kauzalita ve smyslu příčinné závislosti, v druhé části je diskutována a popsána kauzalita Grangerova.

V deváté kapitole je popsána problematika VAR modelů, zaměřím se zde také na způsob testování Grangerovy kauzality.

V desáté kapitole se na empirických datech pokusím ověřit správnost hypotézy o akciovém trhu jako předstihovém indikátoru HDP.

(9)

Testování provedu na datech akciového indexu PX v případě ČR, DAX 30 pro Německo a FTSE 100 pro Velkou Británii. Ověřím stacionaritu časových řad, zkonstruuji modely VAR a otestuji Grangerovu kauzalitu.

V poslední kapitole uvedu závěry studie a provedu srovnání s podobnými studiemi provedenými ve světě.

(10)

2. Význam finan č ního trhu

Finanční trh je považován za neoddělitelnou součást vyspělé tržní ekonomiky. Jeho význam lze spatřovat především v zajištění přesunu dočasně volných finančních prostředků od přebytkových jednotek k jednotkám deficitním na bázi nejvyššího rizikově očištěného výnosu. Tímto způsobem je na trhu zabezpečována alokační efektivnost (finanční prostředky jsou alokovány k té deficitní jednotce, která nabídne jejich nejvyšší zhodnocení při akceptaci daného rizika) a tím i efektivní využívání finančních zdrojů, což je nezbytné pro bezproblémový chod ekonomiky.

Další důležitou determinantou finančního trhu je míra jeho informační efektivnosti ve smyslu rychlé a adekvátní reakce cen akciových instrumentů na novou, neočekávanou, kurzotvornou informaci (viz teorie efektivních trhů).

Pod operativní efektivností trhu rozumíme takovou alokaci zdrojů , která je spojena s minimálními transakčními náklady (např. náklady v podobě provizí brokerům). Významnou součástí finančního trhu je trh akciový, jenž je zástupcem kapitálového trhu, tedy trhu dlouhodobých finančních instrumentů.

3. Funkce burzy

Burzu lze vymezit jako „zvláštním způsobem organizované shromáždění subjektů, kteří se osobně tváří v tvář scházejí na přesně vymezeném místě (prezenční burza) nebo jsou propojeni prostřednictvím počítačové sítě bez osobního setkávání (elektronická burza) a obchodují s přesně vymezenými instrumenty (např. akcie, dluhopisy, podílové listy, plodiny, devizy), přesně vymezeným způsobem, podle přesně vymezených pravidel, v přesně vymezeném čase” (Veselá, 2005). Burzou se v následujícím textu bude rozumět burza akciových instrumentů.

(11)

Mezi nejvýznamnější funkce, které burza plní, patří

1. Obchodní funkce (funkce likvidity)

Obchodovatelnost finančního instrumentu je velice ceněnou vlastností. Pod obchodovatelností se rozumí možnost tento instrument prodat za cenu, která odpovídá působení tržních sil nabídky a poptávky po tomto finančním nástroji. V případě, že by neexistovala možnost transformace investičních instrumentů v likvidní prostředky (hotovost), investoři by museli požadovat vyšší výnos. Bezproblémově obchodovatelný instrument se tedy vyznačuje vysokou likviditou, což má pozitivní vliv na snížení nákladů emitenta (v podobě snížení prémie za nelikviditu).

Na burze je likvidita zajištěna buď tím, že je obchodováno s vysoce kvalitními (bonitními) nástroji , popřípadě je likvidita „dodávána” uměle pomocí existence market makerů (tvůrců trhu). Market maker je aktivní burzovní zprostředkovatel, jehož povinností je neustále kotovat nákupní a prodejní kurzy. V tom případě je obchodovatelnost zaručena tím, že market maker je ochoten vystupovat v zrcadlových pozicích k příkazům klientů.

2. Alokační funkce

Burza zajišťuje alokační efektivnost na trhu (viz význam finančního trhu), a to pouze v případě, že burza plní roli sekundárního i primárního trhu (na primárním trhu probíhají emise nových cenných papírů).

3. Funkce spekulace

Cílem spekulace není dlouhodobě investovat, ale dosahovat spekulačních zisků na základě cenových diferencí. Ve své podstatě je spekulace vysoce riziková činnost, založená na predikci budoucí ceny určitého aktiva. Existence spekulace zvyšuje likviditu trhu, na druhou stranu v případě destabilizující spekulace dochází k velkým cenovým výkyvům v relativně krátkých časových úsecích. Tato volatilita zvyšuje riziko investice do daného instrumentu. Poměrně přesně vystihl vliv spekulace na ekonomiku John Maynard Keynes :

„Spekulanti nezpůsobí škodu, zůstanou-li mýdlovými bublinami na povrchu pravidelného proudu podnikání. Situace se však stane vážnou, jakmile se podnikání stane mýdlovou bublinou ve víru spekulace“ (Keynes,1936).

(12)

Při destabilizující spekulaci navíc dochází k výskytu tzv. spekulačních bublin. Tato situace je charakterizována výraznými odchylkami ceny určitého aktiva od „správné” (vnitřní) hodnoty. Cena poté již není odrazem fundamentálních faktorů, jimiž by měla být determinována a vytrácí se její informační hodnota, která je nezbytná pro správnou alokaci zdrojů.

4. Funkce arbitráže

Arbitráž lze charakterizovat jako „posloupnost obchodů, jež vede ke kladnému bezrizikovému zisku, aniž by na počátku byly potřeba zdroje” (Málek,2007). Jedná se o snahu dosáhnout zisku z cenových diferencí, přičemž všechny ceny jsou známé. Tím se arbitráž odlišuje od spekulace, kde alespoň jedna cena je očekávaná (predikovaná). Arbitráž zajišťuje zákon jedné ceny na různých trzích (identická aktiva se musí prodávat za stejnou cenu).

Omezujícím faktorem těchto obchodů jsou transakční náklady, například v podobě dopravních nákladů. V současné době je pro arbitrážní obchody díky rozvinuté výpočetní technice velmi omezený prostor. Arbitráž teoreticky vede k neomezenému zisku, v praxi však dochází k návratu do bezarbitrážního pásma. Význam burzy v tomto případě spočívá v tom, že garantuje potřebnou likviditu pro využití arbitrážní příležitosti.

5. Funkce cenotvorná (informační)

Tato funkce je jednou z nejdůležitějších funkcí, kterou burza (respektive obecně trh) plní. F.A. von Hayek chápe cenový systém jako „zařízení na registraci změn nebo jako telekomunikační systém, který individuálním výrobcům umožňuje sledovat pohyb pouze několika málo ukazatelů, aby mohli, tak jako inženýr, který sleduje ručičky několika málo přístrojů, přizpůsobit svou činnost změnám, o kterých se možná nikdy nedozvědí nic více než to, co právě odráží pohyb cen” (Hayek, 1945). Cenu lze tedy chápat jako určitý druh symbolu, jenž v sobě inkorporuje veškeré informace o vzácnosti daného aktiva. V případě finančních instrumentů je cena determinována současnou hodnotou budoucích peněžních toků z daného aktiva plynoucích, z toho plyne, že cena tohoto aktiva do sebe musí aborbovat veškeré současné i budoucí relevantní informace. Je nutné si uvědomit, že pouze správně oceněná akcie v sobě odráží byť subjektivní pohled investorů o budoucím stavu světa. Pokud tedy přijmeme pohled na cenu akcie, jako na „predikci budoucnosti”, lze předpokládat, že současný kurz akcie bude předstihovým indikátorem HDP (ekonomické aktivity). Potvrdit

(13)

tuto hypotézu bude mým úkolem v empirické části, kde se ji pokusím otestovat na 3 trzích (na trhu českém a 2 vyspělých zahraničních). Vzhledem k tomu, že český trh lze stále hodnotit jako informačně nepříliš efektivní, lze předpokládat, že nutná podmínka pro existenci akciového indexu, jakožto předstihového indikátoru HDP nebude splněna (nutná podmínka v podobě efektivního trhu – viz níže).

4. Burzovní indexy

Burzovní index je agregátní indikátor, který vypovídá o vývoji na trhu (tržní index) nebo v určitém odvětví (odvětvový index). Jedná se o „měřítko trhu” (tržní benchmark) tzn.

cenné papíry tento index tvořící (báze indexu) by měly být reprezentany trhu, tedy zachycovat věrně jeho chování. Pro účely této práce bude uvažován index akciový.

V závislosti na způsobu konstrukce indexu lze rozlišit dva typy indexů :

a) Tržní průměr

Vznikne jako prostý nebo vážený průměr z cen akcií, které tvoří bázi. Takto konstruovaný index má oproti indexu tržnímu sníženou vypovídací hodnotu, neboť je silně citlivý na změnu cen akcií s vyššímy kurzy, oproti tomu stejná změna cen akcií s nižšími kurzy celkový index příliš neovlivní. Přes zjevné nevýhody takovéto konstrukce indexu, existují některé světoznámé indexy právě v této podobě (např. Dow Jones Industrial Average nebo Dow Jones Transportation Average).

b) Tržní index

Tyto indexy jsou počítány na základě tržní kapitalizace (každá akcie dostane váhu odvozenou od její tržní kapitalizace). Jedná se tedy o hodnotově vážený index.

Časová řada tohoto indexu se odvíjí od určitého výchozího data, přičemž výchozímu dni je přiřazen určitý počet bodů. Nejznámějšími indexy tohoto druhu jsou americký Standard and Poor’s 500 Stock Composite Index a britský FTSE.

(14)

Faktory, na kterých závisí vypovídací schopnost indexu, jsou :

a) Velikost báze (počet akcií v indexu)

S rostoucím počtem zahrnutých akcií, by měl index věrněji kopírovat chování celého akciového trhu.

b) Reprezentativnost báze

V bázi indexu by měly být takové typy akcií, které dohromady zachycují chování trhu jako celku. Je tedy vhodné do báze zařadit co možná nejrůznorodější akcie (akcie firem s malou, střední i velkou tržní kapitalizací, akcie firem z různých odvětví).

c) Stanovení vah

• Stanovení vah podle tržní hodnoty (podle tržní kapitalizace)

Váha akcie v indexu je určena jako podíl tržní hodnoty dané akcie na celkové tržní hodnotě indexu (v %). Takto konstruovaný index je schopen adekvátně reagovat na změny kurzů akcií. Jedná se o nejvíce rozšířený způsob konstrukce akciových indexů.

• Všechny akcie v bázi indexu mají stejnou váhu

Všem akciím zahrnutým do indexu je přidělena váha n

1 . Je zřejmé, že takto musí docházet ke zhoršení vypovídací schopnosti indexu.

d) Vhodná jednotka

Vzhledem k tomu, že nelze vzájemně porovnávat index vzniklý jako tržní průměr a hodnotově vážený index, je nutné při interpretaci sledovat i typ konstrukce indexu.

Problematice konstrukce, výhod a nevýhod jednotlivých typů indexů jsem věnoval pozornost především proto, že v této práci bude akciový index zastupovat agregovaný pohled

(15)

na akciový trh (bude měřit optimismus respektive pesimismus investorů ohledně budoucího vývoje trhu). Proto je kvalitní akciový index jedním ze základních předpokladů možnosti z něj usuzovat na budoucí vývoj ekonomické aktivity.

5. Teorie efektivního trhu

Teorie efektivních trhů (přesněji teorie informačně efektivních trhů) vznikla v 60.

letech 20. století (Fama, 1965). Za informačně efektivní trh lze považovat trh, kde ceny obchodovaných instrumentů jsou schopny rychle a přesně reagovat na jakoukoli novou, neočekávanou, kurzotvornou informaci. Na takovémto trhu nedochází k diskrepancím mezi tržním kurzem a vnitřní hodnotou akcie.

Základní předpoklady efektivního trhu (Haugen,1990) :

a) Ziskový motiv investorů

Musí existovat dostatek investorů, kteří neustále vyhledávají příležitost k zisku, ohodnocují akcie a aktivně na trhu participují. Tím vyrovnávaji disproporce v kurzech.

b) Neexistují informační bariéry

Jakákoliv nová informace je dostupná všem investorům v přibližně stejnou dobu. Tyto informace by měly být levné, aktuální, kompletní a pravdivé.

c) Konkurenční prostředí

Na trhu se vyskytuje velké množství nezávislých, navzájem si konkurujících investorů. d) Funkční infrastruktura

Jedná se především o bezchybně fungující obchodní systém burzy a systém vypořádávání obchodů.

(16)

e) Kvalitní právní prostředí

Právní normy by měly působit na regulované subjekty symetricky a musí existovat vymahatelnost práva.

f) Likvidní trh

Charakteristiky efektivnosti (Haugen,1990):

1. Na efektivním trhu je reakce na novou, neočekávanou informaci okamžitá, skoková a přesná.

2. Pohyb kurzu je náhodný a lze ho popsat tzv. náhodnou procházku.

3. Z dlouhodobého hlediska nemůže investor dosáhnout nadprůměrného výnosu.

4. Na efektivním trhu selhávají všechny investiční strategie (fundamentální, technická a psychologická analýza). Teorie efektivního trhu tedy působí proti efektivnosti analýz.

Je nutné si uvědomit, že náhodnost pohybu kurzů není důsledkem iracionality trhu.

Naopak, náhodná procházka je důsledkem vysoce racionálního počínání investorů. Tím, že neustále reagují na nové informace a tyto informace jsou pomocí jejich nákupních či prodejních příkazů zapracovávány do tržních kurzů, dochází k neustálému ohodnocovacímu procesu, jehož výsledkem je „správná” cena. Tato „správná” cena respektive změny této ceny jsou pak odrazem procesů v reálném světě (zemětřesení, nová naleziště nerostných surovin, občanské války atd.).

Na trhu lze rozlišit 3 druhy efektivnosti :

a) Slabá efektivnost

Akciový trh nazveme slabě efektivní, pokud aktuální akciové kurzy v sobě mají zahrnuty veškeré informace obsažené v jejich historických řadách. V tomto případě platí, že relativní změny kurzů splňují hypotézu náhodné procházky. Na slabě efektivním trhu tedy

(17)

b) Středněsilná efektivnost

Jedná se o formu efektivnosti, kdy akciové kurzy odrážejí nejen veškeré historické informace, ale také všechny veřejně dostupné informace. Z toho plyne, že žádný investor obchodující na základě fundamentální a technické analýzy, nemůže na trhu dlouhodobě dosahovat výnosu. Toto se netýká obchodování na základě neveřejných informací (insider trading).

c) Silná efektivnost

Při této formě efektivnosti v sobě akciové kurzy zahrnují veškeré informace, veřejně dostupné i nedostupné. Kurzy akcií jsou v tomto případě v každém okamžiku rovny jejich vnitřní hodnotě. Selhávají veškeré investiční strategie založené na veřejných i nevřejných informacích (inside informace).

Nechť

P

_t₊₁ je cena v čase t+1 ,

Φ

_t je informační množina v čase t (soubor disponibilních informací v čase t).

Pak lze střední hodnotu budoucí ceny v čase t (při existenci dané informační množiny) vyjádřit vztahem

t t

t

P P

E (

₊₁

Φ ) =

Řekneme, že

• Trh je slabě efektivní, pokud je výše uvedená rovnice splněna pro

informační množinu

Φ

SE , tzn. množinu obsahující veškeré informace z historických časových řad.

• Trh je středněsilně efektivní, pokud je výše uvedená rovnice splněna pro

Φ

SSE , která mimo množinu

Φ

SE obsahuje i současné veřejně dostupné informace.

(18)

• Trh je silně efektivní, pokud je výše uvedená rovnice splněna pro

Φ

SIE , tzn. množinu obsahující minulé i současné, veřejně i neveřejné informace.

Platí :

Φ

SE

⊂ Φ

^SSE

⊂ Φ

^SIE _.

6. Ekonomické indikátory

Ekonomické indikátory (ukazatele) patří mezi jedny z nejvíce sledovaných ukazatelů v ekonomice. Tyto indikátory lze rozdělit na 3 hlavní skupiny :

• Předstihové (vedoucí, řídící) indikátory

• Souběžné (synchronní) indikátory

• Opožďující se indikátory

Kritériem je zde časová souvstažnost řídících a řízených veličin. U předstihových ukazatelů se bod zvratu projeví s předstihem, u opožďujících se ukazatelů naopak s časovým odstupem před bodem zvratu u řízené veličiny. Je logické, že pro potřeby např. makroekonomického prognózovaní jsou používány především ukazatele předstihové.

Mezi předstihové indikátory HDP patří např. nasmlouvané zakázky ve stavebnictví, zisky dodavatelů vstupů, objem a počet zahajovaných investic, produktivita práce, očekávání spotřebitelů, peněžní zásoba, vývoj úrokových měr, kurzy akcií a další.

Do skupiny souběžných indikátorů patří např. fyzický objem podnikatelských aktivit nebo míra nezaměstnanosti.

K opožďujícím se indikátorům řadíme např. příjmy domácností, maloobchodní obrat a úroky z dlouhodobých úvěrů.

(19)

Vzhledem k tomu, že ekonomika je komplexní systém a faktorů determinujících určitý jev je většinou více, bývá někdy konstruován tzv. kompozitní předstihový index (composite leading index). Takovýto index vznikne agregací více individuálních předstihových indikátorů (na bázi vážených průměrů vybraných ukazatelů). Proto také lépe reprezentuje multikauzální a multifaktorovou podstatu pohybů v ekonomice a je tedy schopný „odstínit”

větší procento falešných signálů.

K alternativním pokusům o predikci budoucího ekonomického vývoje mj. patří :

• Metody extrapolace časových řad

Předpokládá se zde časová setrvačnost vývoje ukazatelů v delším časovém období.

Pomocí statistických extrapolačních metod se následně stanoví dlouhodobý trend a na základě tohoto trendu se usuzuje na budoucí vývoj.

• Expertně-intuitivní metody

Zde je kladen důraz na odhady odborníků, kteří na základě zkušeností a pomocí speciálních expertních technik, dokáží predikovat vývoj v dané oblasti v blízké budoucnosti.

(20)

7. Akciový trh jako p ř edstihový indikátor

Vývoj na akciovém trhu je ekonomy považován za indikátor vývoje budoucí ekonomické aktivity. Znamená to tedy, že agregátní pokles akciového trhu („bear market”) bude podle ekonomické teorie v budoucnu následován recesí, naopak agregátní vzestup na akciovém trhu („bull market”) předpovídá budoucí zlepšení ekonomické situace.

V této kapitole se pokusím uvést několik argumentů, které podporují respektive vyvracejí správnost výše uvedené hypotézy.

7.1 Ano, ceny akcií mohou predikovat ekonomický r ů st

a) První přístup vychází z tradičního ohodnocovacího modelu.

Platí, že

cena akcie = ∑

^∞

=1

( 1 + ) ) (

t

t t

k firmy Zisk

,

kde k je diskontní faktor, tedy míra, jakou jsou diskontovány budoucí firemní zisky. Předpokládejme, že tato míra je v čase konstantní.

Podle této rovnice jsou ceny akcií rovny současné hodnotě očekávaných firemních zisků. Je-li očekáváno budoucí zvýšení firemních zisků, ceny akcií mají tendenci k růstu a vice versa.

Jelikož firemní zisky jsou přímo propojeny s chováním reálné ekonomiky, ceny akcií budou ovlivněny očekáváními ohledně budoucí ekonomické situace. Očekávají-li investoři vstup ekonomiky do recese, očekávají logicky i nižší budoucí firemní zisky a vzhledem k výše uvedené rovnici musí ceny akcií klesat. Na druhou stranu pokud investoři anticipují ekonomický růst, současně očekávají i budoucí zlepšení ziskovosti firem, zvyšuje se zájem (poptávka) po akciových instrumentech a ceny akcií rostou.

(21)

Platí 1. transmisní mechanismus:

Očekávaný růst HDP Očekávaný pokles HDP

Očekávaný růst zisků Očekávaný pokles zisků

Vyšší vnitřní hodnota akcií Nižší vnitřní hodnota akcií

Zvýšení atraktivity akcií Snížení atraktivity akcií

Růst současných cen akcií Pokles současných cen akcií

Je tedy zřejmé, že investoři mají zájem na predikci budoucího vývoje ekonomiky.

A jsou-li ve svých predikcích úspěšní, pak akciový trh odráží budoucí vývoj HDP (pomocí 1.transmisního mechanismu) a akciový trh se stává předstihovým indikátorem vývoje ekonomické aktivity.

Je důležité si uvědomit, že ceny akcií jsou silně závislé na tom, jak jsou na trhu formována očekávání investorů. Dva základní modely popisující očekávání investorů jsou model adaptivního a racionálního očekávání.

Model adaptivního očekávání předpokládá, že očekávání jsou tvořena „pohledem dozadu”, tedy na základě minulých zkušeností a historických dat.

Oproti tomu model racionálního očekávání je založen na předpokladu, že

„individuální ekonomické subjekty formují svá subjektivní očekávání tak, že přitom využívají efektivně veškeré podstatné a jim dostupné informace (tj. minulé i současné), takže jejich prognózy vycházejí z postulátů ekonomické teorie, disponibilních informací a z adekvátní datové základny” (Hušek, 1999). V tomto případě hovoříme o tzv. „forward looking market” tedy dopředuhledícím trhu, kde se investoři nesnaží pouze adaptovat na stávající situaci ale snaží se i anticipovat chování ostatních tržních subjektů (např. politiku makroekonomických institucí, strategii významných tržních subjektů atd.). Na dopředuhledícím trhu platí, že co je trhem očekáváno, to se stane skutečností. Pro

(22)

správnou funkci dopředuhledícího trhu je největším nebezpečím rozvinutí obchodování na základě technické a psychologické analýzy. Tyto analýzy na rozdíl od analýzy fundamentální nevycházejí z fundamentálních faktorů (faktory spojené s fungováním reálné ekonomiky tzn. úrokové sazby, měnové kurzy atd.) a narušují tak správnou funkci dopředuhledícího trhu.

Aby byl akciový index předstihovým indikátorem HDP, je samozřejmě nutné aby se na trhu očekávání formovala racionálně, tedy aby prognózy ekonomických subjektů nebyly zatíženy systematickou chybou jako v případě adaptivních očekávání. Toto silně souvisí s informační (cenotvornou) funkcí akciového trhu a s teorií efektivních trhů.

b) Druhý přístup je založen na efektu bohatství.

Tradiční makroekonomické modely často předpokládají, že spotřeba domácností nezáleží pouze na příjmu, ale také na akumulovaném bohatství. Vzestupy (poklesy) v cenách akcií pak zvyšují (snižují) bohatství domácností a firem a následně zvyšují (snižují) agregátní spotřebu. A jelikož spotřeba tvoří velkou část HDP lze s určitým zpožděním sledovat změny v reálné ekonomice.

Platí 2. transmisní mechanismus:

Zvýšení cen akcií Snížení cen akcií

Zvýšení bohatství ekonom. Snížení bohatství ekonom.

subjektů subjektů

Vyšší agregátní spotřeba Nižší agregátní spotřeba

HDP = C + I + G + NX HDP = C + I + G + NX

Zvýšení tempa růstu HDP Snížení tempa růstu HDP

(23)

Přestože obě teorie tvrdí totéž (akciový trh je předstihovým indikátorem HDP) , směr kauzální závislosti v obou teoriích je různý. Zatímco v tradičním ohodnocovacím modelu očekávání investorů ohledně budoucího vývoje ekonomiky kauzálně působí na ceny akcií (do cen akcií jsou inkorporovány veškeré dostupné informace), u efektu bohatství změny v cenách akcií kauzálně působí na změny v reálné ekonomice.

7.2 Ne, ceny akcií nemohou predikovat ekonomický r ů st

a) Kritika je především zaměřena na předpoklad racionálně se formujících očekávání na trhu. Kritikové argumentují, že očekávání ohledně budoucího vývoje jsou zatížena lidskou chybou, která způsobuje, že akciové trhy občas dávají falešné signály ohledně budoucího vývoje ekonomiky. Proto je nutné zjistit zda se akciový trh jako celek chová informačně efektivně. Pro informačně efektivní trh je pak tento argument bezpředmětný.

b) Dalším problémem je vliv destabilizující spekulace a výskyt spekulačních bublin.

Destabilizující spekulace odchyluje tržní cenu akcie od fundamentální hodnoty (cena s nejvyšší informační hodnotou). Blíže viz funkce spekulace v kapitole Význam a funkce burzy. Tento problém je opět eliminován v případě platnosti teorie efektivních trhů.

c) Třetím problémem je jaké zpoždění zvolit pro testování. Způsobuje pokles akciových trhů recesi v horizontu 6 měsíců , 1 roku nebo 2 let?

Jedním z příkladů, kdy akciový trh podle kritiků poskytl falešný signál, byl krach na americké burze v říjnu roku 1987. Jednalo se o nejvyšší jednodenní propad akciového indexu DJIA, který však nebyl následován očekávanou recesí.

Tento propad byl způsoben mnoha okolnostmi např. vlivem pojišťovatelů portfolia (např. Veselá,1999), výskytem spekulativní bubliny a technickými problémy na trhu.

(24)

Důležité je, že mezi zásadními faktory propadu nebylo očekávání recese investory , a proto ani nebyl důvod proč by mělo k recesi dojít (viz forward looking market a 1.transmisní mechanismus).

8. Dv ě pojetí kauzality

8.1 Klasická kauzalita ve smyslu p ř í č inné závislosti

Kauzalita ve smyslu příčinné závislosti je pojem spíše filozofický (např. Aristoteles, D.Hume), v této kapitole se jej přesto pokusím definovat a vysvětlit.

S problematikou kauzality velmi úzce souvisí pojem korelace. Primárním úkolem korelační analýzy je změřit sílu vzájemné závislosti dvou či více proměnných. Přestože spolu korelace a kauzalita velmi silně souvisí, nelze je vzájemně zaměňovat. Platí známé pravidlo, že výskyt korelace nutně neimplikuje kauzalní vztah („correlation does not necessarily imply causation”). Toto tvrzení velmi dobře vystihuje následující citát, který v zájmu autentičnosti ponechávám v původním znění :

„A statistical relationship, however strong and however suggestive, can never establish causal connexion: our ideas of causation must come from outside statistics, ultimately from some theory or other” (Kendall, Stuart,1961)

Jinak řečeno, příčina a důsledek (základní stavební kameny kauzální analýzy) musí být vymezeny pomocí např. ekonomické teorie.

Aby se dalo tvrdit, že X kauzálně působí na Y, existují 3 oběcně uznávané předpoklady, které musí být splněny (Kenny, 1979) :

(25)

1) Časová precedence mezi X a Y (X nastává před Y) 2) Souvislost mezi X a Y

3) Nikoliv zdánlivá závislost mezi X a Y

ad 1) Časová precedence mezi X a Y (X nastává před Y).

Aby se dalo tvrdit, že X kauzálně působí na Y, musí být splněno, že X nastává v čase před Y. Znamená to, formálně vyjádřeno, že

X

_t může kauzálně působit na

Y

_t₊_k

pouze v případě, že

k > 0

. Je tedy nemožné, aby

Y

_t₊_k kauzálně působilo na

X

t ,protože pak by byl porušen požadavek časové precedence (je samozřejmě možné aby

Y

_t kauzálně působilo na

X

_t₊_k ) . Z předchozího vyplývá, že kauzální vztah je vztahem asymetrickým.

Přestože, jak jsem uvedl, kauzalita „zpět v čase” neexistuje, v některých případech by se mohlo zdát, že je tato podmínka porušena. Představme si, že na trhu existuje rozšířený názor, že ekonomika směřuje do recese. V obavě z budoucí recese dojde k zásahu centálních institucí, tedy vlády ČR a ČNB, které budou prostřednictvím fiskální a monetární politiky intervenovat. Mohlo by se zdát, že budoucí recese způsobila dnešní zásahy centrálních orgánů. Ve skutečnosti však příčinou zásahu nebyla budoucí recese, ale očekávání ohledně budoucí recese.

ad 2) Funkční vztah mezi X a Y.

Druhou podmínkou je požadavek na existenci funkčního vztahu mezi příčinou a důsledkem. Zde nabývá na významu statistický aparát, jmenovitě regresní a korelační analýza.

ad 3) Nezdánlivý vztah mezi X a Y .

Aby bylo možno vztah mezi X a Y považovat za nezdánlivý, nesmí existovat třetí proměnná Z, která kauzálně působí jak na X , tak na Y , přičemž vztah mezi X a Y zmizí, je–li s proměnnou Z manipulováno. Tento problém je také nazýván problém vyloučené proměnné nebo problém třetí proměnné a výsledkem je tzv. „nonsense-correlation” neboli

(26)

zdánlivá korelace či regrese. Mnoho analytiků v tomto vidí největší problém kauzální analýzy.

Známým příkladem „zdánlivého“ vztahu je korelace mezi velikostí bot u dětí (X) a jejich slovní zásobou (Y). Tento vztah je zkreslený, neboť se tu vyskytuje třetí proměnná (čas), která kauzálně působí jak na velikost bot i na slovní zásobu. Jako další příklad lze uvést Yule-Simpsonův paradox (Simpson,1951).

8.2 Kauzalita v Grangerov ě pojetí

C. W. J. Granger, spolu s Robertem Englem nositel „Ceny Švédské národní banky za rozvoj ekonomické vědy na památku Alfreda Nobela“ za rok 2003 (někdy nesprávně nazývané Nobelova cena za ekonomii) se zasloužil o vybudování konceptu kauzality především ve své práci Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross- Spectral Methods (1969). Granger stál však také u zrodu kointegrační analýzy, konceptu stacionarity a zdánlivé regrese. „Nobelova cena” mu byla udělena za rozvoj „metod pro analýzu ekonomických časových řad se společným trendem (kointegrace) a jejich prognózování”.

Grangerova kauzalita (Granger,1969,Sims,1972) není kauzalitou ve smyslu příčinné závislosti. Při výskytu Grangerovy kauzality je nutně splněn pouze jeden z předpokladů, na příčinnou kauzalitu kladených. Tímto předpokladem je časová precedence mezi X a Y. Při testování Grangerovy kauzality se tedy jedná pouze o zjištění, zda změny proměnné X předcházejí změnám proměnné Y. Podmiňuje-li X proměnnou Y , zpožděné hodnoty X mohou být významné v rovnici pro Y. Platí-li tato a nikoliv opačná závislost, existuje jednosměrná kauzalita od X k Y (X je silně exogenní v rovnici pro Y), neboli X podmiňuje Y ve smyslu Grangerovy kauzality. Snažíme-li se tedy statisticky postihnout Grangerovu kauzalitu, musíme se pokusit změřit korelaci mezi běžnou hodnotou jedné proměnné a minulými hodnotami jiných proměnných.

V následujícím textu budou uvedeny základní 3 axiomy, z nichž vychází koncept Grangerovy kauzality.

(27)

Uvažujme svět, kde všechny proměnné jsou měřeny v ekvidistantních intervalech mezi pozorováními, kde t = 1,2 …T . Symbolem

Ω

_n označme veškerou dostupnou informaci (informační množina) k okamžiku n a označme

Ω

_n -

Y

_n veškerou informaci vyjma informace získané z proměnné

Y

_t až do okamžiku n, kde

Y

_n

∈ Ω

n . Nechť

Ω

n neobsahuje žádné náhodné proměnné měřené v časových okamžicích t > n, může však obsahovat očekávání, či předpověďi na období t > n. Pro tyto očekávání a předpověďi bude opět platit

Y

_n

∈ Ω

n . Dále nechť

Ω

_n ^a

Y

n jsou náhodné proměnné.

AXIOM A (Granger,1980): Současnost a minulost mohou kauzálně působit na budoucnost, obrácený vztah však neplatí.

Tento axiom je již vysvětlen v kapitole Klasická kauzalita ve smyslu příčinné závislosti.

AXIOM B :

Ω

_n neobsahuje žádnou nadbytečnou informaci, tzn. je-li proměnná

Z

n deterministicky funkčně závislá na jedné či více proměnných z množiny

Ω

_n , pak by

Z

n měla být odstraněna z

Ω

_n ^.

Toto znamená, že je-li např. HDP měřeno v CZK a zároveň v EUR (po přepočtu měnovým kurzem) není důvodu zařadit obě proměnné do univerzální informační množiny

Ω

n . V tomto případě je

HDP

_EUR deterministicky funkčně závislé na

HDP

_CZK a mělo by být z informační množiny odstraněno.

Řekněme, že nás zajímá pravdivost tvrzení, že proměnná Y ovlivňuje proměnnou X . V čase n bude hodnota

X

_n₊₁ náhodnou proměnnou, a pak tedy může být charakterizována pomocí pravděpodobnosti ve formě

Pr( X

_n₊₁

∈ A )

, pro danou množinu A.

(28)

Obecná definice:

Pokud platí

) Pr(

)

Pr( X

_n₊₁

∈ A Ω

_n

≠ X

_n₊₁

∈ A Ω

_n

− Y

_n , pro dané A,

pak

Y

_n ovlivňuje

X

_n₊₁.

Znamená to tedy, že aby se vyskytla kauzalita mezi

Y

_n a

X

_n₊₁ , musí proměnná

Y

n obsahovat jedinečnou informaci o průběhu hodnot proměnné

X

_n₊₁ v budoucnosti.

AXIOM C :Všechny kauzální vztahy, jejich směr, síla a zpoždění jsou konstantní v čase (časově invariantní).

Tento axiom je nutné zavést, přestože v realitě nejspíše nebude splněn. Představuje předpoklad, že základní parametry modelu zůstávají časově invariantní.

Nyní budou definovány pojmy kauzalita, zpětná vazba, okamžitá kauzalita a kauzální zpoždění (Granger,1969)

Nechť

A

_t je stacionární stochastický proces,

_

A

t reprezentuje množinu minulých hodnot

{ A

_t₋_j

; j = 1 , 2 ,..., ∞ }

a

_ _

A reprezentuje množinu sout časných a minulých hodnot

{ A

_t₋_j

; j = 1 , 2 ,..., ∞ }

.Dále nechť

_

A

k reprezentuje množinu

} ,..., 1 ,

;

{ A

_t₋_j

j = k k + ∞

.

Označme optimální, nestranný odhad

A

_t (získaný metodou nejmenších čtverců), který využívá hodnot

B

_t, jako

P

_t

( A B )

. Pak například

( | )

_

X X

P

_t bude optimální

prediktor procesu

X

_t , přičemž bude využito pouze minulých hodnot

X

_t . Časová řada

(29)

chyby odhadu bude značena jako

ε

_t

( A B ) = A

_t

− P

_t

( A B )

. Nechť

σ

²

( A B )

je rozptyl časové řady

ε

_t

( A B )

.

Nechť

U

_t je veškerá informace od času t-1 a nechť

U

_t

− Y

_t označuje veškerou tuto informaci kromě informace získané z časové řady

Y

_t .

DEFINICE 1: Kauzalita

Je-li

σ

²

( X | U )

<

( | )

_______

2

X U − Y

σ

^{, pak}^řekneme, že Y kauzálně působí na X a označíme jako

Y

_t

⇒ X

_t _.Řekneme, že

Y

_t kauzálně působí na

X

_t , pokud je možno lépe odhadnout

X

_t s pomocí veškeré informace, než pomocí informace bez zahrnutí

Y

_t .

DEFINICE 2: Zpětná vazba

Pokud

( | )

2 _

U

σ X

^<

σ

²

⁽ ^X ^| ^U

^_______

− ^Y ⁾

^,

)

| (

2 _

U

σ Y

^<

σ

²

⁽ ^X ^| ^U

^_______

− ^X ⁾

^,

pak řekneme, že existuje zpětná vazba a označíme

Y

_t

⇔ X

_t , to znamená, že existuje zpětná vazba, pokud

X

Y

_t a zároveň

Y

X

_t .

DEFINICE 2: Okamžitá kauzalita

Pokud

( | , )

_ _ 2 _

Y U

σ X

<

( | )

2 _

U

σ X

, pak řekneme, že se existuje okamžitá kauzalita. Jinak řečeno, současná hodnota

X

_t je lépe předpovídána, pokud je známa současná hodnota

Y

_t , než když známa není.

(30)

DEFINICE 2: Kauzální zpoždění

Platí-li, že

Y

_t

⇒ X

_t , pak definujeme (celočíselné) kauzální zpoždění m tak, že je to nejmenší hodnota k taková, že platí

) ) (

|

2

(

k Y U

X −

σ

<

σ

²

( X | U − Y ( k + 1 ) )

.

Tudíž znalost hodnot

Y

_t₋_j ; j = 0,1,…,m-1 nemůže zlepšit schopnost predikce procesu

X

_t .

Jak již bylo řečeno, předpokládá se stacionarita časových řad. V případě řad

nestacionárních ,

( | )

2 _

U

σ X

bude záviset na čase t a existence kauzality se pak může měnit v čase.

(31)

9. Statistický aparát

9.1 Stacionarita

Velmi důležitou částí samotného statistického testování bude ověření, zda jsou použité časové řady stacionární. Problém stacionarity a zdánlivé regrese začal být seriózně diskutován v 70. a 80. letech 20. století v dílech Grangera, Englea a Newbolda (Granger, Newbold,1974).

Ukázalo se, že tradiční statistické metody mohou poskytovat zkreslené výsledky, pokoušíme- li se je aplikovat na nestacionární časové řady, tedy řady vykazující trend. Nebezpečím zdánlivé regrese je především to, že aplikací metody nejmenších čtverců získáme statisticky významné odhady parametrů regresní funkce, přestože pracujeme s časovými řadami, které spolu nesouvisí.

DEFINICE: Stacionarita (Arlt, Arltová, 2007)

Pro stochatistický proces

{ X

_t

, t = 0 , ± 1 , ± 2 ,...}

definujme následující pojmy:

funkce středních hodnot :

µ

_t

= E ( X

_t

)

,

varianční funkce:

σ

_t²

= D ( X

_t

) = E ( X

_t

− µ

_t

)

, kovarianční funkce mezi

X

_t a

X

_t₋_k , k= …-2,-1,0,1,2,…

) )(

( )

,

( t t − k = E X

_t

− µ

_t

X

_t₋_k

− µ

_t₋_k

γ

,

korelační funkce mezi

X

_t a

X

_t₋_k , k= …-2,-1,0,1,2,…

k t t

k t k t

t t

−

= −

− γ σ σ

ρ ( , ) ⁽ ^, ⁾

_,

Platí-li pro všechna t, že

µ

_t

= µ , σ

_t²

= σ

² a kovarianční a korelační funkce závisí pouze na časové vzdálenosti náhodných veličin, tj. pro t a t-k

(32)

k

t t k

t

t γ γ

γ ( , − ) = ( , + ) =

k

t t k

t

t ρ ρ

ρ ( , − ) = ( , + ) =

,

potom se daný proces nazývá slabě stacionární resp. kovariančně stacionární (v tomto případě platí, že alespoň 1. a 2. moment nezávisí na čase).

Testy stacionarity :

1. Graf časové řady – vizuální kontrola, zda časová řada vykazuje trend.

2. ACF, PACF (autokorelační a parciální autokorelační funkce).

Je-li první hodnota ACF blízká 1, je velká pravděpodobnost, že časová řada je nestacionární.

3. Testy jednotkových kořenů – DF test ( Dickey-Fuller test ) resp. ADF test.

Možnosti eliminace trendu :

1. Zahrnutí proměnné čas do množiny vysvětlujících proměnných modelu.

2. Využití prvních popřípadě vyšších diferencí z dat původní časové řady.

Mezi I(0) procesy (tj. integrované řádu nula) řadíme procesy AR, MA, smíšený proces ARMA a proces bílého šumu.

Časové řady obsahující trend (nestacionární časové řady) lze generovat pomocí stochastického procesu (Hušek,1999)

Y ( t ) = f ( t ) + u

_t , (9.1)