KMITÁNÍ V POHONECH VÝROBNÍCH STROJ Ů

Č ESKÉ VYSOKÉ U Č ENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

Fakulta strojní

___________________________________________________

Ústav výrobních stroj ů a za ř ízení

KMITÁNÍ V POHONECH VÝROBNÍCH STROJ Ů

Doc. Ing. Pavel Sou č ek, DrSc.

Doc. Ing. Antonín Bubák, Ph.D.

Rok vydání 2021

This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NoDerivatives 4.0 International License.

To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nd/4.0/ or send a letter to Creative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA.

3

Úvodní slovo k přepracovanému vydání skript

Souček, P., Bubák, A.: Vybrané statě z kmitání v pohonech výrobních strojů (ČVUT 2008, ISBN 978-80-01-04048-5)

Tato publikace se zabývá pouze některými dílčími problémy z oblasti kmitání s hlavním zaměřením na pohony posuvů NC obráběcích strojů.

Vzhledem k tomu, že jde o dynamické vlastnosti nejen mechanických částí, ale i zpětnovazebních obvodů, je třeba při výkladu vstoupit i do oblasti regulace a teorie signálů. Z tohoto důvodu považujeme za účelné zařadit v úvodní kap.1 některé partie z matematiky, bez nichž se nelze v těchto dvou souvisejících disciplínách obejít a které nebývají pro strojního inženýra (bohužel) součástí základního kurzu. Jde hlavně o funkce komplexní proměnné, Fourierovu a hlavně Laplaceovu integrální transformaci, u které je

"nematematickým" způsobem naznačen i její fyzikální význam, který často studentům uniká.

Pro výklad stability (např. u výše zmíněných regulačních pohonů posuvů, ale i u modelů procesu samobuzeného kmitání při obrábění) bylo nutné zařadit Cauchyho teorém o změně argumentu a navazující Nyquistovo kritérium. Znalost Laurentovy řady a reziduové věty je prospěšná při rozboru impulzního buzení dynamických soustav v kap.4.

Za součást kap.1 lze považovat i Dodatek 1, věnovaný metodě geometrického místa kořenů (GMK, Root Locus), která je mnohdy používána automaticky jen jako softwareová

"černá skřínka" bez zamyšlení nad hlubšími souvislostmi.

Z psychologických důvodů je potřebný matematický aparát uveden hned v úvodní kapitole a čtenář, kterému se podaří úspěšně překonat odpor k jejímu přečtení, se bude v dalších kapitolách lépe orientovat.

Znalost chování jednohmotové dynamické soustavy na úrovni kap.2 patří k základnímu vzdělání strojního inženýra. Jako příprava na rozbor soustav s více stupni volnosti je v ní uveden výpočet rovinného kmitání jednohmotového ortogonálního systému.

Výklad chování systémů s více stupni volnosti v kap.3 je orientován na pohony posuvů NC obráběcích strojů, kde jde většinou o sériové řazení poddajných částí. Zvláštní důraz je věnován dynamické poddajnosti nejen samotné mechanické stavby, ale i poddajnosti, způsobené vlastním regulačním algoritmem zpětnovazebního polohového řízení NC stroje.

Rozbor vede na obecnou matici celkové poddajnosti posuvové osy. Kmitání jedné hmoty v rovině i prostoru je uvedeno kvůli procvičení modální transformace a může pomoci při odhadu poddajnosti uložení hřídelů a vřeten obráběcích strojů.

Souvislost časových průběhů sil hnacích motorů a jejich frekvenčních spekter při buzení dynamických soustav je obšírně vysvětlena v kap.4. Jde o zásadní aplikaci 2.Newtonova zákona při řešení potíží s klidným rozbíháním a brzděním strojů (nevyjímaje vačkové mechanizmy) bez škodlivých vibrací. Zároveň si čtenář ujasní důležitou skutečnost, že dynamický systém přijímá energii na svých vlastních kmitočtech.

Závěrečnou kap.5 je třeba chápat jako nejnutnější úvod pro zkoumání stability dráhového řízení NC obráběcích strojů se zahrnutím vlivu řezného procesu. Klasické metody teorie samobuzeného kmitání uvažují pouze dynamiku samotné mechanické konstrukce, resp. jejího zjednodušení na rovinný kmitavý systém, často jen jednohmotový. Do rozboru je ale nutno zahrnout i poddajnost samotné regulace hnacího motoru, která je dána regulačním algoritmem a je jakousi obdobou mechanické pružiny, ovšem se specifickým a ze strojařského hlediska netradičním chováním. Proces samobuzeného kmitání při obrábění je zpětnovazebním dějem a kvůli názornosti je vysvětlen pouze na případu ortogonálního soustružení - zapichování. Výpočet řezné síly je přitom zjednodušen na přímou úměru s průřezem třísky. Náročnější čtenář sice najde v literatuře více jiných přístupů, ale stále chybí univerzálně použitelný prostředek k predikci řezných sil, hlavně při frézování.

Formát kap.5 byl zvolen odlišně od ostatních kapitol jen ve tvaru prezentace s minimem doprovodného textu a měl by čtenáře povzbudit ke hlubšímu a kritickému zamyšlení nad tématem, jehož výzkum není v současnosti zdaleka uzavřen.

V závěrečném Dodatku 2 je zdůrazněna jednotná kvantifikace mechanických i elektrických přírodních dějů a čtenář si uvědomí, že při návrhu NC stroje není namístě striktní oddělování profesí "strojař - konstruktér" a "elektrikář - pohonář".

4

Přehled nejčastěji používaných dynamických modelů

V následující tabulce je uvedeno několik jednoduchých dynamických modelů procesu soustružení (konkrétně ortogonálního zapichování), z nichž některé budou zmíněny v dalším textu.

1. Jednohmotový pasivní systém 2. Jednohmotový model pohonu

3. Dvojhmotový lineární pasivní systém 4. Dvojhmotový rotační systém

5. Dvojhmotový model lineárního pohonu 6. Dvojhmotový model rotačního pohonu

7. Rovinné kmitání jedné hmoty 8. Prostorové kmitání jedné hmoty

9. Jednohmotový model pohonu, radiální kmitání vřetena

10. Dvojhmotový model pohonu, radiální kmitání vřetena

5

1. Matematický aparát 1.1 Základní pojmy z teorie signál ů

Funkce času ^f

( )

^{t (též stručně} „signál“) je definována obecně v intervalu ^t∈

(

^{−∞, +∞}

)

^a

může být i komplexní (např. v elektrotechnice), takže je možno ji rozložit na reálnou a imaginární část a definovat komplexně sdruženou funkci ^f

( )

^t a absolutní hodnotu:

( )

^{t f j f}

f =Re + Im ^{, f}

( )

^{t =Re f − jImf , f}

( )

^{t = Re2f +Im2f} (1.1) Poznámka: Většinou budeme vyšetřovat reálné funkce času, ale i ty lze vyjádřit v komplexním tvaru, např. harmonické funkce sin,cos pomocí Eulerových vztahů (1.2):

ωt j ωt

e^±jωt

=

cos

±

sin

e

^jωt

+ e

^−jωt

= 2 cos ω t

e^jωt

−

e^−jωt

=

2jsin^ωt (1.2)

Eulerovy vztahy v komplexní rovině

Pro

ω

t

= π

2 je e^{±jπ 2}

= ±

j, takže ^j2

⁼ ( )

^{ejπ 2 2}

⁼

^ejπ

^{= −}

¹

a například

( )

²

⁼

^{2 2}

⁼

²

⁼

^0,207879...

=

e ^π e ^π e^−π

j^{j j j j} , a dále ^{jjj =}

( )

^{e−π2 j =e−jπ2 =−j atd.}

Dále definujeme tyto pojmy:

- okamžitý výkon signálu…. ^f

( )

^{t 2 = f}

( ) ( )

^{t ⋅f t =Re2 f +Im2 f} (1.3a) - signálem vykonaná práce (okamžitá energie v čase t)….

 ( )

∞

−

= ^t f t dt

E ² (1.3b) Na zvoleném časovém intervalu - např. t∈ 0,T - se dále vyjadřuje

- střední hodnota signálu….

⁼

^T



^f

( )

^{t dt}

f_STŘ T

0

1 (1.4)

- střední výkon….^P=_T ^T



^f

( )

^{t dt=}_T ^T



^f

( ) ( )

^{t ⋅ f t dt}

0 0

2 1

1 (1.5a)

- efektivní hodnota….

⁼

^T



^f

( )

^{t dt}

f_EFF T

0

1 2

(1.5b) Efektivní hodnota je myšlený náhradní konstantní signál, mající stejný střední výkon jako signál časově proměnný (tj. střední výkon signálu je kvadrátem jeho efektivní hodnoty).

1.2 Fourierova ř ada periodické funkce (kmito č tové spektrum)

Reálná periodická funkce času ^f

( )

^t je definována obecně v intervalu ^t∈

(

^{−∞, +∞}

)

^{a má}

dobu periody T =2

π ω

₀,

ω

₀...úhlový kmitočet [rad/s] resp. [1/s]. Reciproká hodnota

6 f

T =

1 je kmitočet v jednotkách [Hz] (pozor na záměnu s označením funkční hodnoty

( )

^t

f !!!). U periodické funkce je možno posouvat meze integrace:

( ) (

^{t f t T}

)

f

= +

^,

 ( ) ⁼

^T



^+a

( )

a T

dt t f dt t f

0

Funkci lze rozložit do Fourierovy řady

( ) 

^∞

( )

=

+ +

=

1

0

0 cos

sin

n

n

ST^Ř an nωt b nωt

f t

f (1.6)

což je nekonečná řada harmonických složek, majících celistvé n−násobky základního kmitočtu

ω

₀ ^(důkaz tohoto fundamentálního tvrzení i s omezujícími podmínkami, které jsou v technické praxi většinou splněny, je v lit.[1]).

Reálné koeficienty řady jsou

( )  ( )



⁼

= ^T _n ^T

n f t n t dt

b T dt t n t T f a

0

0 0

0 2 cos

,

2 sin

ω ω

(1.7)

Protože součiny ^f

( )

^t sinⁿ

ω

0^{t, f}

( )

^t cosⁿ

ω

0^t mají též periodu T, u koeficientů a_n,b_n se někdy uvádějí posunuté meze integrace −T 2, +T 2. Provedeme-li formální substituci

(

n

)

n n

(

n

)

n

(

n n

)

n

n C , b C , a b

a

=

sin

− ϕ =

cos

− ϕ ϕ =

arctg

−

přejde Fourierova řada (1.6) na součet navzájem fázově posunutých složek

( ) 

^∞

( )

=

ϕ + +

=

1

cos 0 n

n

ST^Ř Cn nω t

f t

f (1.8) Dosadíme-li n =0 do (1.7), platí navíc a₀

=

0, b₀

=

C₀

=

2f_STŘ,

ϕ

₀

=

0.

Zavedeme nový komplexní koeficient ^{An =bn− jan =}_T^T



^f

( )

^{t ⋅e−jn tdt}

0

1 0

2

ω (1.9)

Při uvažování záporných indexů lze psát

2 , 2

2 , 2

, _{n n} ^{0 0 0} _n ^{n n n n}

n n

ja b ja A b

b f ja b b

b a

a _STŘ

= +

= −

=

− =

=

−

=

_{− − −} ^{− −}

Vztah (1.6) dále zestručníme na tvar součtu pro všechna celá čísla n včetně nuly

( ) 

^=+∞

−∞

=

=

ⁿ + n

t jn ne A t

f ^ω0 (1.10) Koeficienty A_n, A_−n jsou navzájem komplexně sdružené, tj. A_n =A_−n a platí pro ně

STŘ n n

n n

n n

j n n j

n

n a b C A f

A A A

e A A e A

A ^{n n} + = =

=

⋅

=

⋅

=

⋅

= ₋ ⁻ ₋ ^{2 2} , ₀

2 , 2

, ^ϕ

ϕ (1.10a)

Fourierova řada v komplexním tvaru (1.10) je součet množiny komplexně sdružených dvojic vektorů A_n, A_−n, rotujících protisměrně úhlovými rychlostmi ±ⁿ

ω

₀ (viz obr.1.1) a ve výsledku nutně vede zpět na reálné časové průběhy. Reálné i komplexní vyjádření Fourierovy řady (1.8) a (1.9),(1.10) jsou si zcela rovnocenná. Pod názvem frekvenční spektrum funkce ^f

( )

^t se zobrazuje zvlášť průběh amplitudy i fázového posuvu.

Rozlišujeme tedy spektrum

- reálné amplitudové a fázové (tzv. jednostranné): C_n,

ϕ

_n

=

fce

( ) ω

, n∈ 0,+∞) - komplexní amplitudové a fázové (tzv. oboustranné): ^A_n,

ϕ

_n

=

^fce

( ) ω

, ^n∈

(

^−∞,+∞

)

^.

7

Často se přidává přívlastek „čárové“ spektrum, neboť jde o posloupnost osamělých hodnot (spektrálních čar) na diskrétní množině kmitočtů

ω

=ⁿ

ω

₀ - viz obr.1.2.

Obr.1.1 Zobrazení harmonického pohybu rotujícími vektory

Obr.1.2 n−tá složka spektra periodické funkce

1.3 St ř ední výkon periodické funkce

I když je vyšetřovaná funkce času reálná, můžeme pomocí F. řady v komplexním tvaru (1.10) vyjádřit funkci komplexně sdruženou

( ) 

^=+∞

−∞

=

− −

=ⁿ

n

t jn ne A t

f ^ω0

a dosadit do vztahu pro střední výkon (1.5a):

( ) ( )  ( ) 



^=+∞

−∞

=

− −

⋅

=

⋅

=

T n

n

t jnω n T

dt e

A t

T f dt t f t T f P

0 0

1 0

1

Zaměníme pořadí sumace a integrace:

( )  

 

^=+∞

−∞

= +∞

=

−∞

= −

+∞

=

−∞

=

− ⋅ − = ⋅ =

= ⁿ

n n n

n

n n n

n

T

t jnω

n f t e dt A A A

A T

P ²

0

1 0 (1.11) Posloupnost reálných čísel A_n ² je tzv. oboustranné výkonové spektrum funkce ^f

( )

^{t .}

Střední výkon n−té harmonické složky P_n je třeba složit z výkonů obou komplexně sdružených částí

2 2

2 2

n n n

n A A C

P

= +

₋

=

a celkový střední výkon je



= ⁿ P_n P

0

(1.12) Důležitý vztah (1.12) – tzv. Parsevalův teorém – umožňuje zjistit střední výkon periodického signálu ze součtu výkonů jednotlivých harmonických složek (včetně výkonu střední hodnoty!!). Množina čísel C_n² 2 je tzv. jednostranné výkonové spektrum.

Efektivní hodnota n−té harmonické složky je odmocninou ze středního výkonu, tj.

n 2

nEFF C

f

=

.

Příklad 1: Pro další úvahy je důležitá znalost frekvenčního spektra časově posunuté funkce

(

^{t a}

)

f − . Použitím (1.9) a substitucí x=t−a, dx=dt vychází

( )  ( )



⁻

−

− −

− = ⋅ ⋅

⋅

−

= ^{T a}

a

x jnω a

jnω T

t jnω

n f x e dx

T dt e e

a t T f

A ^{0 0 0}

0

1

Protože a=konst a posunutí mezí integrace nehraje roli, dostáváme

8

a jn n

n A e

A = ⋅ ^{− ω0 , tj.} A_n

=

A_n,

ϕ

_n

= ϕ

_n

−

n

ω

₀a

Amplitudové spektrum se tedy s časovým posunem funkce nemění. Tuto vlastnost často využijeme, neboť nás budou zajímat hlavně velikosti amplitud a vhodným časovým posunem funkce lze ulehčit integraci v (1.9). Výškovým posunutím funkce se změní její střední hodnota, tedy pouze hodnota amplitudového spektra na nulovém kmitočtu .

Příklad 2: Spektrum nekonečné řady pravoúhlých impulzů o výšceBa šířce a- viz obr.1.3:

- integraci (1.9) stačí provést v intervalu −a 2, +a 2 a n−tý komplexní koeficient je

( ) ( )

2 2 2 sin

2 sin

0 0 0

0 2

2

0

a n

a n T

a aB T n

n dt B T e

A B

a

a

t

n jn

ω ω ω

ω =

ω

⋅ = ⋅

= ⁺



−

− (1.13)

Shodou okolností zde vychází oboustranné spektrum reálné, což znamená, že v čase t=0 probíhají všechny vektory A_n, A_−n právě reálnou osou.

Zlomek je akceptovatelný i pro n=0 s ohledem na známou limitu

sin 1

lim _→0 =

x x

x , takže A₀ =aB T , což je střední hodnota funkce. Zpětným výpočtem (1.10) získáme časový průběh

( ) 

^=+∞

( )

−∞

=

⋅ +

= ⁿ

n

t

e jn

a n

a n T

t aB

f ⁰

2 2 sin

0

0 ω

ω ω

V tomto příkladu si povšimneme hodnot T−násobku amplitudového spektra:

( )

_{T A aB}

a n

a aB n

A

T⋅ _n = ⋅ ⋅ ₀ =

0

0 ,

2 2 sin

ω

ω

nebo též sin , 2

0a n x x

aB x A

T⋅ _n = ⋅ = ω (1.14) Vychází charakteristický tvar absolutní hodnoty funkce

x x

sin - viz obr.1.4, který mj. podle příkladu 1 nezávisí na vodorovném časovém posunu řady impulzů.

Obr.1.4 T−násobek amplitudového spektra řady obdélníkových impulzů, silně - perioda T, slabě i silně – perioda 2T (každý druhý impulz vynechán) Nulové hodnoty spektra by mohly nastat při kmitočtech

n

ω

₀

= ±

2k

π

a, n...celé, k

=

1,2... (ale jen když se do nich s kmitočtem ⁿω₀ „strefíme“!!).

Jednotlivé spektrální čáry o výšce T⋅ A_n jsou od sebe vzdáleny o konstantní krok ω₀ ^{a z} (1.14) je zřejmé, že jejich koncové body budou nezávisle na hodnotě T ležet na stále

Obr.1.3 Nekonečná řada pravoúhlých impulzů

9

stejné křivce (obálce), odpovídající spojitému průběhu funkce

x

aB⋅ sinx . Se zvětšením periody funkce T =2π ω₀ se vzdálenosti ω₀ mezi jednotlivými spektrálními čarami zmenší, ale obálka svůj tvar nezmění. Vliv periody funkce na hustotu spektrálních čar je patrný z obr.1.4.

Poznámka: Na obr.1.4 jsou slabě znázorněny další spektrální čáry, které přibudou k čarám původním tím, že ve výchozí řadě impulzů z obr.1.3 vynecháme každý druhý, tj. zvýšíme periodu funkce ^f

( )

^t na dvojnásobek. Počet harmonických složek se zdvojnásobil a amplitudy poklesly na polovinu, což laikovi nemusí korespondovat s dvojnásobnou „redukcí“ původní funkce.

Tento pouze zdánlivý rozpor souvisí s matematickým chápáním pojmu „nekonečno“, neboť se stále jedná o nekonečnou řadu impulzů a plocha pod čarou u jejich prořídlé řady je stále nekonečná.

Výše učiněný závěr je obecně platný:

- obálka T−násobku amplitudového spektra periodické funkce se nemění při změně periody, mění se pouze hustota spektrálních čar.

1.4 Spektrum neperiodické funkce (Fourierova transformace)

Při rostoucí periodě se čáry v obr.1.4 zahušťují a v mezním případě osamělého impulzu bude mezera mezi nimi (tedy přírůstek na ose kmitočtů) nekonečně malá:

∞

→

T , ω₀= 2π → ω, ω₀=ω n

T d (1.15) Průběh T−násobku čárového spektra se stane spojitou funkcí kmitočtu

ω

, tvar obálky zůstane zachován. Tím je též řečeno, že amplitudy A_n jednotlivých harmonických složek budou nekonečně malé a jejich kmitočty budou ležet nekonečně blízko sebe. Toto tvrzení dokážeme pro obecnou funkci ^f

( )

^t limitním přechodem (1.15) ve vztazích (1.9) a (1.10), přičemž změníme hranice integrace z 0→T na −T 2→T 2^:

( )

ⁿ

( )

^{j t jn t}

n

n n

e dt e t f t

f ⁰

0

02

0 ω ω

ω ω

ω

ω

ω π

+∞ +

∞

− +∞ −

→=

−∞

→=

⋅

⋅

=  

(1.16)

kde zavedeme označení

( )

^{j f}

( )

^{t e dt}

{ }

^f

( )

^t

A

t

t

t

j

=

F

⋅

=

⁼



^+∞

−∞

=

− ω

ω

(1.17) Spojitá funkce kmitočtu (1.17) je tzv. Fourierův integrál (též F. transformace, F. obraz) nebo též frekvenční spektrum funkce ^f

( )

^t . Dosazením ^A

( )

^j

ω

do (1.16) získáme postupně výraz

( )

^→



^+∞

( )

=

−∞

→=

⋅

+

=

ⁿ

n

n n

t

e jn

j A t

f

0

0

0

2 0

1

ω ω

ω ω

ω

ω π ω

a přechodem ze součtu na integrál vyjde konečně vztah pro tzv. zpětnou Fourierovu transformaci funkce ^f

( )

^t ve tvaru

( )

π

( )

ω ω

{ ( )

ω

}

ω ω

ω d A j

e j A t

f ^{j t} F⁻¹

+∞

=

−∞

=

+ =

⋅

= ₂¹



(1.18) Vztahy (1.17),(1.18) vyjadřují podobně jako (1.9),(1.10) fakt, že neperiodickou funkci ^f

( )

^t

lze nahradit nekonečným součtem dvojic protisměrně rotujících vektorů ^A

(

± ^j

ω )

, které jsou komplexně sdružené , tj. ^A

(

− ^jω

) (

=^A+ ^jω

)

. Jejich úhlové rychlosti (kmitočty) se ale

10

na rozdíl od periodické funkce liší o nekonečně malou hodnotu ^dω^{. Funkce} A

( )

j

ω

,

(

^j

ω )

A

−

je možno vyjádřit též pomocí absolutní hodnoty (modulu) a úhlu (argumentu) v tzv. polárním tvaru

( ) ( )

^j

ω

^{A j}

ω

^{ejϕ A}

(

^j

ω ) ( )

^{A j}

ω

^{e jϕ}

A

= ⋅

,

− = ⋅

⁻ (1.18a) a podobně jako u periodických funkcí rozlišujeme tzv.

- spojité amplitudové spektrum ^A

( )

^j

ω

- spojité fázové spektrum

( ) ( ) ( ) ^{ω ω}

ω

ϕ

A j

j A Re arctgIm

=

Dosazením za e^{−jω t} =^cosωt− j^sinωt do (1.17) získáme vztahy pro reálnou a imaginární část spektra

( )  ( ) ( )

^+∞

 ( )

−∞

= +∞

−∞

=

−

=

=

t t

tdt t

f j

A tdt

t f j

A

ω

^cos

ω

^{, Im}

ω

^sin

ω

Re (1.19)

Reálné spektrum je sudou funkcí kmitočtu, imaginární spektrum je funkcí lichou.

Poznámky: 1) Spojitá funkce kmitočtu ^A

( )

^j

ω

je rovnicí obálky T − násobků spektrálních čar (viz např. obr.1.4), jak je možno zjistit srovnáním se vztahem (1.9) po převedení periody T na jeho levou stranu. Pozorný čtenář si uvědomí, že amplitudy harmonických složek neperiodické funkce musí být nekonečně malé, neboť hustota spektrálních čar roste bez omezení až ke spojitému průběhu spektra. Rozpor se skutečností, že čísla ^A

( )

^j

ω

^{mají přesto konečnou}

velikost, je vysvětlen převedením zlomku ¹T =ω₀ ²π do součtu (1.16), takže se nakonec objeví v integrálu (1.18) v podobě ^d

ω

²

π

^;

2) Vztahy (1.17),(1.18) jsou rovnocennými formami vyjádření téže funkce, pouze jsme přešli od času jakožto nezávisle proměnné veličiny k jeho reciproké hodnotě – kmitočtu. V mnoha technických oborech je výhodné se oprostit od vžitého pojmu „nezávisle ubíhající čas“ a pracovat raději s kmitočtem;

3) Integrace (1.17) bude u reálných technických funkcí probíhat většinou jen v intervalu

) , 0

∞

∈

t , kdežto interval kmitočtů

^{ω ∈} ( ^{− ∞}

^,

^+∞ )

v (1.18) musí s ohledem na Eulerovy vztahy zůstat zachován !!

4) Fyzikální rozměr amplitudového spektra ^A

( )

^j

ω

^určíme z fyzikálního rozměru původní funkce času ^f

( )

^t vynásobením sekundou. Je-li např. ^f

( )

^{t průbě}h síly v [N], amplitudové spektrum má rozměr [Ns].

1.5 Spektra vybraných funkcí

Protože ve výrazu (1.17) je absolutní hodnota součinitele e^{−jω t} rovna jedné a tudíž nepřispívá k celkové divergenci integrálu, stačí k existenci Fourierova integrálu pouze podmínka



₋^+∞_∞ ^f

( )

^{t dt<∞} …tzv. „absolutní integrovatelnost“ funkce ^f

( )

^t (1.19a) Integrace (1.17) je zcela analogická jako u (1.9).

1) Spektrum časově posunuté funkce ^f

(

^t−^a

)

^:

( ) ( )

^{j A j e j a}

A ω = ω ⋅ ^{− ω} , tj. amplitudové spektrum se nemění a fázový posuv dostává navíc složku úměrně rostoucí s kmitočtem:

( )

^j

ω

^A

( )

^j

ω

A = , ϕ

( ) ( )

ω =ϕ ω −ω ^a

2) Obdélníkový impulz o výšceBa šířce a v intervalu t∈ −a 2,+a 2 - viz obr.1.5:

11

( ) ( )

aB a A

aB a j

A = ⋅ , ₀ =

2 2 sin

ω

ω ω

(1.20)

Spektrum je v případě impulzu souměrného okolo počátku pouze reálné, srovnej s (1.13),(1.14) a s obr.1.4. Jeho nulové hodnoty jsou na kmitočtech

ω

=±²k

π

a^, k =1,2...

Poznámka: Hodnota amplitudového spektra ^A

( )

^j

ω

^při

nulovém kmitočtu není na rozdíl od případu periodické funkce rovna střední hodnotě funkce (ta je u osamělého obdélníkového impulzu na intervalu ^t∈

(

^{−∞, +∞}

)

nulová!!). U neperiodické funkce je to plocha pod funkčním průběhem. Tento poznatek je zvláště názorný v případě, že funkce ^f

( )

^t je silou, působící na hmotu m, neboť s ohledem na 2.Newtonův zákon

( )

^{t dt d}

( )

^mv

f

=

je

( ) ( ) ( ) ( ) (

0

)

0 0

v v v

0

= 

^{f tdt}

= 

^dm

=

^prom

=

^konst

=

^m

−

A

a a

(plocha silového impulzu je rovna přírůstku hybnosti).

Interval působení síly je zde t

∈

0,a , amplitudové spektrum je ale stejné jako v případě

2 , 2 a a

t

∈ − +

!!

3) Diracův impulz (znak

δ ( )

^{t ):}

Jedná se o nekonečně úzký i vysoký obdélníkový impulz s jednotkovou plochou (bližší vysvětlení viz kap.1.11). Časový interval je t

∈ −

a 2,

+

a 2 ^{, výška} B

=

1 a, a

→

0.

Limitním přechodem v (1.20) dostáváme

( )

^{j =}

{ } ( )

^{t =1}

A

ω

F

δ

(1.21) Amplitudové spektrum je jednotkové - viz obr.1.6, fázové je nulové. Diracův impulz tedy obsahuje harmonické složky všech kmitočtů

^ω

^∈

(

^{−∞, +∞}

)

se stejnou amplitudou, které jsou v čase t=0 ve fázi (protisměrně rotující komplexně sdružené vektory při t=0 právě procházejí reálnou osou).

Poznámky: 1) Diracův impulz je sice nerealizovatelný, jeho teoretický význam je však zásadní, jak poznáme později. Např. silovým impulzem tohoto tvaru by bylo možno vybudit mechanickou konstrukci na všech kmitočtech současně. V praxi se tento experiment realizuje alespoň v omezeném pásmu kmitočtů úderem tzv. modálního kladívka (hovoříme o širokopásmovém buzení);

2) Z obr.1.5 a 1.6 můžeme vypozorovat, že rozšiřování impulzu (zvětšování míry a) má za následek vodorovné "smršťování" spektra a naopak (v případě nekonečně úzkého Diracova impulzu se

prostřední vrchol z obr.1.5 "roztáhne" do nekonečné šíře). To je v souladu s již dříve uvedenou poznámkou, že jsme přešli z veličiny "čas [s]" na reciprokou veličinu "kmitočet [1/s]".

4) Spektrum součtu funkcí

Protože integrace je operací aditivní a lineární, platí po aplikaci vztahu (1.17):

- jestliže existuje dvojice funkcí ^f1

( ) ( )

^t ,^f2 ^t a jejich Fourierovy obrazy ^A1

( )

^j

ω

, ^A2

( )

^j

ω

, potom platí

( ) ( )

{

^K1^f1 ^t +^K2^f2 ^t

}

=^K1^A1

( )

^j

^ω

+^K2^A2

( )

^j

^ω

F (1.22)

kde konstantyK₁,K₂ mohou být i komplexní.

Obr.1.5 Osamělý obdélníkový impulz a jeho amplitudové spektrum

Obr.1.6 Diracův impulz a jeho amplitudové spektrum

12 5) Spektrum derivace a integrálu

Zde se omezíme na funkce, definované v intervalu t∈ 0,∞) a pro t <0 bude ^f

( )

^{t =0.}

Integraci (1.17) provedeme per-partes:

{ }

^fɺ

( )

^t

F

 ( ) ( )

⁼



^+∞

( )

= +∞ −

=

= +∞ −

=

=

−

= ⋅ + ⋅

⋅

=

^t

t

t t j

t t t j

t

t

j dt f t e j f t e dt

e t f

0 0 0

ω ω

ω

ω

ɺ a po dosazení mezí

{ }

^fɺ

( )

^{t = jω⋅A}

^{( ) ( )}

^{jω − f 0+}

F (1.23) Podobně vychází pro integrál



₀^{t f}

( ) ^τ

^d

^τ

jakožto pro funkci horní meze integrace

( ) ( )

ωω τ

τ j

j d A

t f

=









₀

F (1.24) V tomto případě nezáleží na počátečních podmínkách.

Poznámka: Ke stejným závěrům bychom došli i u vztahu (1.9) pro periodickou funkci:

- derivace znamená násobení původního spektra činitelem ^jnω₀^; - integrace znamená dělení činitelem ^jnω₀^.

1.6 Integrace sou č inu funkcí, energie neperiodického signálu

V technické praxi se často vyskytuje potřeba integrovat součin dvou časových průběhů. S využitím jejich spekter (1.17) a zpětné transformace (1.18) dostaneme

( ) ( ) ( ) ( ) ⁼













⋅

⋅

=

⋅  



^=+∞

−∞

=

+∞

=

−∞

= +∞ +

=

−∞

=

t

t

t t j

t

dt d e j A t

f dt

t f t f

ω ω

ω

ω

π

²

ω

1 2

1 2

1

( ) ( ) ^{⋅ ⋅ =}

=

⁼



^+∞



−∞

=

+∞

=

−∞

= t + t

t

j d dt

e j A t f

ω ω

ω

ω

π

^{1 2}

ω

2 1

(a dále po záměně pořadí integrace)

( ) ( ) ^{⋅ =}

=

⁼



^+∞



−∞

=

+∞

=

−∞

= ω +

ω

ω

ω

π

^{A j}

ω

^{f t e dt d}

t

t

t j 1

2 2

1 ⁼



^+∞

( ) ( ^{⋅ −} ) ⁼

−∞

= ω ω

ω ω π

^{A2 j}

ω

^{A1 j d} 2

1

( ) ( )



^+∞

=

−∞

=

⋅

=

^ω

ω

ω ω π

^{A2 j}

ω

^{A1 j d} 2

1 (1.25) Speciálně při ^f1

( )

^{t = f}2

( ) ( )

^{t = f t} vychází tzv. Parsevalův (též Rayleighův) teorém pro neperiodickou funkci

( )  ( )



^=+∞

−∞

= +∞

=

−∞

=

=

^ω

ω

ω π

^{A j}

ω

^d dt

t f

t

t 2 2

2

1 (1.26)

vyjadřující celkovou energii signálu v intervalu ^t

^∈ ( ^{− ∞}

^,

^+∞ )

^{. Výraz A}

^{( )}

^j

^ω

^2d

^ω

představuje část energie, kterou přenáší složka signálu ^f

( )

^{t na kmitočtu}

ω

^{v kmitočtovém} pásmu ^dω. Integrací (1.26) dospíváme k podobnému závěru jako u periodických funkcí – srovnej s tvrzením (1.11) a (1.12):

- celková energie signálu je součtem dílčích energií na jednotlivých kmitočtech, které ale u neperiodické funkce tvoří spojitou množinu

^{ω ∈} ( ^{− ∞}

^,

^+∞ )

^.

Výraz A

( )

j

ω

² nese název „spektrální hustota energie“.

1.7 Diskrétní Fourierova transformace (DFT)

U spojitých signálů zpracovávaných počítačem jsou k dispozici funkční hodnoty v konečném časovém úseku T. Funkce ^f

( )

^{t je v ně}m tzv. ovzorkována, tj. zachycena jako

13

množina hodnot fk = f

( )

kTs , kde T_s =konst je tzv. vzorkovací perioda (matematický popis vzorkování je v kap.1.11). Počet funkčních hodnot (vzorků) je N =T T_s , pořadové číslo vzorku k=0,1,2,3...N−1. Spojitě ubíhající čas t je nahrazen „diskrétním“ časem

N k T

kT_s = . I když je funkce ^f

( )

^t neperiodická, můžeme ji s ohledem na omezený interval měření považovat za periodickou s periodou T a použít (1.9),(1.10). Je tedy

( )

⁼

= _s

k f kT

f

 

^=+∞

−∞

= +∞

=

−∞

=

+

= ⋅

⋅

ⁿ

n

N k jn n n

n

N kT jnT

n e A e

A

π

π 2

2

(1.27) a n−tý koeficient převedeme z integrálního tvaru na součtový (náhradou dt→T_s):

( ) 



⁻

=

− = ⋅ − ⋅

⋅

= ¹

0

2

0

1

1 ₀ ^N

k

N s kT jnT k s T

t jn

n f e T

dt NT e

t T f A

ω π



⁻

=

−

⋅

= ¹

0

1 ^N 2 k

N k jn k e N f

π

(1.28) ...

k pořadové číslo vzorku vyšetřované funkce ^f

( )

^t

...

n pořadové číslo harmonické složky.

Pro výpočet je výhodné, je-li počet vzorků N celistvou mocninou čísla 2, neboť vede na čtvercovou matici N

×

N ^{s ně}kterými užitečnými vlastnostmi.

Příklad 3: Je k dispozici 8 vzorků funkce,N =8, k=0,1,2....7,n−tý koeficient spektra je



=

⋅ −

= ⁷

0

4

8 1

k

nk j k

n f e

A

π

(1.29) Pro danou hodnotu n je A_n součtem 8 členů (sčítáme podle rostoucího indexu k). Zavedeme

stručné označení pro základní směry (násobky −

π

4):

0 =1

⋅

−j

e , e^−j⋅4 =d

π

, e^{−j⋅ 4} =−j

2π

, e^{−j⋅ 4} =c

3π ,

4 1

4

−

⋅ =

− π j

e , e^{−j⋅ 4} =b

5π

, e^{−j⋅ 4} = j

6π

, e^{−j⋅ 4} =a

7π viz 8 bodů na jednotkové kružnici v obr.1.7.

Při výpočtu koeficientu A₁ krokujeme po jednotkové kružnici v záporném smyslu s přírůstkem úhlu −

π

4, tj.

v pořadí 1,d,−j,c,−1.... U koeficientu A₂ je úhlový krok dvojnásobný, tj. v pořadí 1,−j,−1, j,1..., u koeficientu A₃ trojnásobný, tj. 1,c, j,d,−1... atd. Rovnici (1.29) je možno pro všechny koeficienty A_n najednou zapsat v maticové podobě

1 0

−

=

=

N n

....

n složky

. harm

číslo ....

n

































×

































−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

×

=

































7 6 5 4 3 2 1 0

7 6 5 4 3 2 1 0

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

8 1

f f f f f f f f

d j c b

j a

j j

j j

c j d a

j b

b j a d

j c

j j

j j

a j b c

j d

A A A A A A A A

1 ...

. ...

0

−

=

=

N k

k vzorku

číslo pořad

k

(1.30)

postupné násobení k vzorkůod 0

→

N

−

1

Obr.1.7 Jednotková kružnice

14

Čtvercová matice o rozměru 8×8 (tzv. matice

[

^DFT

]

) je symetrická a má další výhodné vlastnosti, zobecnitelné i na větší počet vzorků, pokud bude N celou mocninou čísla 2:

1) Protože dvojice prvků a,d a b,c jsou komplexně sdružené (a samozřejmě též j

j,− ), je 2.řádek matice komplexně sdružený s posledním, 3.řádek je komplexně sdružený s předposledním atd., takže obecně (počínaje n

=

1) je n−tý řádek komplexně sdružený s

(

^N−n

)

- tým. To vyplývá i z následující úpravy

( ) _k

N k jn N

jn k jk

N n N j

e e

e e

π π π

π ^{2 2}

2 2

=

⋅

=

⁻

−

−

jejímž výsledkem je číslo komplexně sdružené k poslednímu součiniteli v (1.28). Stejným způsobem bychom zjistili, že totéž platí i pro sloupce, tj. druhý sloupec je komplexně sdružený s posledním, třetí s předposledním atd;

2) Funkční hodnoty f_k jsou reálné, takže musí být při komplexně sdružených řádcích sdružené i příslušné koeficienty, tj. A₁

=

A₇ ^, A₂

=

A₆ atd., neboli

n n

N A

A ₋

=

(1.31) 3) Vyjmeme-li z matice

[

^DFT

]

^{první ř}ádek i sloupec, které obsahují jen jedničky, zůstane submatice prvků ^{N k}

jn

e

π

−2

, která má rozměr

(

^N−1

) (

^{× N−1}

)

^{a kromě výše}

uvedených pravidel o komplexní sdruženosti řádků i sloupců je symetrická podle obou diagonál. Z rovnice (1.30) je rovněž vidět, že koeficient



⁻

=

= ¹

0 0

1 ^N

k

fk

A N je střední hodnotou funkce ve vyšetřovaném intervalu.

Poznámky: 1) Dokonalejší formou DFT je FFT („rychlá (fast) Fourierova transformace“), která využívá výhod speciálního tvaru matice

[

^DFT

]

^{k usnadnění souč}inu (1.30);

2) Program MATLAB pod procedurou FFT pouze násobí matici

[

^DFT

]

vektorem funkčních hodnot

[ ]

fk a neprovádí dělení počtem vzorků N jako v (1.30), takže výsledkem je

( )

fk N An

FFT = ⋅

Platnost spektra vypočteného z DFT

Z rovnice (1.30) získáme stejný počet koeficientů spektra A_n, jako je počet zadaných vzorků

fk funkce ^f

( )

^t (kterých je N ). Je ale třeba si uvědomit, že relevantní je pouze první polovina koeficientů, jak vyplývá z následující úvahy:

- funkce ^f

( )

^{t je př}i DFT uvažována jako periodická s periodou T =NT_s, takže jednotlivé vypočtené harmonické složky (spektrální čáry) leží na kmitočtech

n_⋅²Tπ _,

1 ...

2 , 1 ,

0 −

= N

n .

Podle tzv. Shannonova teorému by vzorkovací kmitočet ω_V =²π T_s měl být alespoň dvakrát vyšší než nejvyšší kmitočet, obsažený ve vzorkované funkci, tj. ω_V ≥2ω_max. Kmitočet nejvyšší harmonické složky tak může být maximálně

s

V N T T

n Tπ ω π π

ω = ⋅ ≤ = ⋅ =

2 1 2

max

max , takže nejvyšší pořadový index složky je

max N 2

n

=

(1.32) Na základě této podmínky je třeba z množiny vypočtených koeficientů

An vyloučit všechny komplexně sdružené na vyšších kmitočtech (tj. pro n>N 2) – viz obr.1.8.