2.7.13 Mocniny s racionálním mocnitelem

(1)

1

2.7.13 Mocniny s racionálním mocnitelem

• 2³ = ⋅ ⋅2 2 2 ² 1₂ 1

2 2 2 2

− = =

⋅

• Ale co znamená

2

23?

( )

² ² ⁼

^{( )}

²^p ² ⁼²¹ ²²^p ⁼²¹

2p=1 1

p=2 ⇒ Možná platí: ²⁼

( )

² ¹²^.

Př. 1: Spočti:

( )

^{2 a}³ 2 do dvou sloupc⁸ ů, jednak klasicky pomocí vzorců pro úpravy odmocnin a jednak nahrazením

( ) ( )

⁼ ¹² a použitím vzorců pro úpravy mocnin.

( )

² ³ ⁼ ²³ ⁼ ²²^{⋅ =}² ²²^⋅ ²⁼^{2 2}

( )

²

8 4 4

2 = 2 =2

1 3 3 1 1

1 1

2 2 2 2

2 2 2⁺ 2 2 2 2

 

= = = =

 

 

( )

¹ ⁸¹

8 8 2 2 4

2 = 2 =2^⋅ =2 Př. 2: Navrhni nahrazení třetí odmocniny mocninou.

3 p

a =a použijeme

( )

³ ^a ³ ⁼^a^.

( )

³ ^a ³ ⁼

^{( )}

â^p ³ ⁼â¹ â³^p ⁼â¹

3p=1 1

p=3 ⇒ ³ ^a ⁼

( )

^a ¹³

Př. 3: Podobně jako v příkladu 1 ověř, že je možné třetí odmocninu nahradit racionálním mocnitelem.

( )

³ â ⁷ ⁼ ³ â⁷ ⁼ ³â⁶^{⋅ =}â ³â⁶ ³â ⁼â²³ â

( )

³ ^a ¹² ⁼

^{( )}

^a⁴ ³ ⁼^a⁴

( )

³ â ⁷ ⁼^^_â¹³^^_⁷ ⁼â⁷³ ⁼â²⁺¹³ ⁼â²²¹³ ⁼â²³â

( )

³ â ¹²⁼^^_â¹³^^_¹² ⁼â¹²³ ⁼â⁴

Pro každé kladné reálné číslo a, pro každé přirozené číslo n platí:

1 n a =an . Pro každé kladné reálné číslo a, pro každé celé číslo m, pro každé přirozené

číslo n platí:

m n am =an. Př. 4: Zapiš pomocí racionálního mocnitele:

a)⁷3 b) ⁶ a³ c)⁵ a⁻⁶ d)

6

4

1 a

 

 

 

a)

1 73=37 b)

3 1

6 a3 =a6 =a2 ^c)⁵ ^a⁻⁶ =^a⁻⁶⁵d)

( ) ( )

6 6 3

4 6 4 2

4 4 6

1 1

a a a

a a

− − −

 

= = = =

 

 

(2)

2

Pro všechna kladná reálná čísla a,b a pro všechna racionální čísla r,s platí:

( )

â^r ^s ⁼â^{r s} ^{ }^{ }_{ }_bâ ^r ⁼â_b^r^r

^{( )}

^{a b} ^r ⁼^{a b}^r ^r^{a a}^r ^s ⁼â^{r s}⁺ â_a^r^s ⁼â^{r s}⁻

Př. 5: Zjednoduš výrazy:

a)

2 4

3 3

a ⋅a ^b)

9 4 2

a3

 

 

  c)

2 3 1 2

a a

d)

2 3 1 3

a a a⁻

⋅

a)

2 4 2 4 6

3 3 3 3 2

a a a a a

⋅ = + = = ^b)

9

4 2 9 4 36

3 2 3 6 6

a a a a

⋅

  ⋅

= = =

 

  c)

2

2 1 4 3 1

3

3 2 6 6 6

1 2

a a a a a

a

− −

= = = = d)

2

2 1

3 1

3

3 3

1 3

a a a a

a

 

+ − − 

 

−

⋅ = =

Př. 6: Částečně odmocni převedením na racionálního mocnitele ⁶ a¹⁵ .

15 5 1 1

6 a15 =a6 =a2 =a2⁺2 =a2⋅a2 =a2 a

Př. 7: Zjednoduš následující výrazy převedením na racionálního mocnitele.

a) ¹²2 ¹⁸ b) ⁴ 4 c)³ a a¹⁰ a)

18 3 1

12218 =212 =22 =21⁺2 =2 2 b) ⁴⁴⁼⁴¹⁴ ⁼

( )

²² ¹⁴ ⁼²²⁴ ⁼²¹² ⁼ ²

c)

( ) ( ) ( )

1 1

6

1 3 10 3 1 1

3 a a10 a a10 2 a a2  a a5 3 a6 3 a3 a2

=  = ⋅  = ⋅ = = =

   

Př. 8: Vyjádři součin pomocí jediné odmocniny převedením na racionálního mocnitele.

a) 3⋅³ 9 b) 3⋅⁴3⋅⁵9 c) a⋅³ a²⋅⁶a⁵ ^. a) ³^⋅³⁹^{= ⋅ = ⋅}³¹² ⁹¹³ ³¹²

( )

³² ¹³ ^{= ⋅ =}³¹² ³²³ ³^{1 2}^{2 3}⁺ ⁼³^{3 4}⁶⁺ ⁼³⁷⁶ ^{= ⋅}³ ⁶³

b)

2 10 5 8 23

1 1

20 3 5

4 2 4 5 20 20

3 3 9 3 3 3 3 3 3 3

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = + + = = ⋅

c)

2 5 1 2 5 3 4 5 12

1

3 2 6 5 2 3 6 2 3 6 6 6 2

a a a a a a a a a a

+ + + +

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = = =

Př. 9: Petáková:

strana 63/cvičení 49 e) h) i) strana 63/cvičení 50 e) strana 63/cvičení 51 b) c) f) strana 63/cvičení 42 c) f)