1.4 Exponenciální funkce a logaritmus

1 Elementární funkce

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce:

1.1 Lineární funkce

Lineární funkceje funkce tvaru

f(z) =az+b ,

kdeaab jsou konečná komplexní čísla. Její derivace je v každém boděz rovna f⁰(z) =a.

Pokuda= 0 pak se funkcefredukuje na konstantní funkcif(z) =b. Jestliže a6= 0, pak jef prostá a inverzní zobrazení je také lineární funkce:

f⁻¹(w) = 1 aw−b

a.

1.2 Mocnina a odmocnina

Pro každé přirozené číslondefinujemen-tou mocninu jako f(z) =zⁿ.

Derivace existuje v každém boděz a platí f⁰(z) =nzⁿ⁻¹.

Příklad 1.1 Dokažte, že pro každé přirozené číslonplatí (zⁿ)⁰ =nzⁿ⁻¹. Pro- tože funkce zⁿ se špatně rozkládá na reálnou a imaginární část, vypočítáme derivaci (zⁿ)⁰ přímo z definice. Pro libovolný bod z0 ∈ C z definice derivace máme:

f⁰(z0) = lim

z→z0

f(z)−f(z0) z−z0

= lim

z→z0

zⁿ−z₀ⁿ z−z0

= lim

z→z0

(z−z₀)(zⁿ⁻¹+zⁿ⁻²z₀+zⁿ⁻³z₀²+· · ·+zz₀ⁿ⁻²+zⁿ⁻¹₀ ) z−z0

= lim

z→z0

(zⁿ⁻¹+zⁿ⁻²z₀+· · ·+zz₀ⁿ⁻²+zⁿ⁻¹₀ )

= nzⁿ⁻¹.

Funkcezⁿpron >1 není prostá. Zřejmězⁿ= 0 právě kdyžz= 0. Proz6= 0 můžeme funkcizⁿ vyjádřit v exponenciálním tvaru:

zⁿ = |z|e^jϕn

=|z|ⁿe^jnϕ,

kde ϕ= argz. Nechť z1 =|z1|e^jϕ1 a z2 = |z2|e^jϕ2 jsou dvě různá komplexní čísla, pak zⁿ₁ = |z1|ⁿe^jnϕ1 a zⁿ₂ =|z2|ⁿe^jnϕ2. Aby tedy platilo zⁿ₁ = z₂ⁿ, musí platit

|z1|=|z2| a nϕ1=nϕ2+ 2kπ prok∈Z.

To znamená, že dva různé body z1 a z2 se n-tou mocninou zobrazí do stej- ného bodu, pokud se rovnají jejich moduly (leží na stejné kružnici se středem v počátku) a pro rozdíl jejich argumentů platí:

ϕ1−ϕ2=k2π n ,

kde k ∈ Z. To znamená, že na kružnici o poloměru |z1| ležín bodů, které se zobrazín-tou mocninou do stejného bodu.

Z výše uvedeného plyne, že inverzní funkce n-tá odmocnina nemůže být jednoznačná, ale bude jednomu bodu přiřazovat množinu onprvcích. Hodnota funkce √ⁿ

z tedy bude množina všech číselw, které splňují rovnici

wⁿ=z . (1)

Příklad 1.2 Dokažte, že proz= 0 je √ⁿ

z={0}a proz∈C\ {0},z=|z|e^jϕ, ϕ= argz, platí

√n

z={wk | k= 0,1, . . . , n−1}, kde

wk= pⁿ

|z|

cosϕ+ 2kπ

n +jsinϕ+ 2kπ n

= pⁿ

|z|e^jϕ+2kπn . Uvědomme si, že pⁿ

|z|představuje odmocninu z reálného oboru.

První část pro z = 0 je jednoduchá. Pokud rovnici 1 napíšeme jen pro moduly, dostaneme |z| = |wⁿ| = |w|ⁿ. Máme tedy, že |z| = 0 právě tehdy, pokud|w|= 0. A protoz= 0 právě tehdy, kdyžw= 0.

Pro druhou část můžeme číslaza wpřevést do exponenciálního tvaru, pro- tožez, w6= 0. Tedy

z=|z|e^jϕ, w=|w|e^jω. Po dosazení do rovnice 1 dostaneme

|w|ⁿe^jnω =|z|e^jϕ. Odtud plyne

|w|ⁿ=|z|, e^jnω =e^jϕ, tzn.

|w|= pⁿ

|z|, nω=ϕ+ 2kπ , k∈Z. Máme tedy pro jednok∈Z:

wk= pⁿ

|z|e^jϕ+2kπn .

Dále je zřejmé, že prok = 0, . . . , n−1 budou hodnoty wk různé a pro k≥n nebok <0 se již budou jen opakovat. Nakreslete si množinu hodnot nějakén-té odmocniny pro jeden pevný bodz!

1.3 Lineární lomená funkce

Nechťa, b, c, djsou konečná komplexní čísla taková, žead−bc6= 0. Funkci tvaru f(z) = az+b

cz+d, f(∞) = a c,

nazvemelineární lomenoufunkcí. Funkce má derivaci pro všechnaz∈Ckromě boduz=−^d_c a platí z derivace podílu dvou funkcí

f⁰(z) = a(cz+d)−c(az+b)

(cz+d)² =acz+ad−acz−bc

(cz+d)² = ad−bc (cz+d)². Bod−^d_c mapuje funkce f na∞ a naopak bod ∞mapuje na ^a_c, takže f je bijekcí zC^∗ naC^∗. Inverzní funkci lze vyjádřit jako

f⁻¹(w) = −dw+b

cw−a , , f(∞) =−d c.

1.4 Exponenciální funkce a logaritmus

Pro komplexní čísloz=x+jy∈Cdefinujemeexponenciální funkcipředpisem:

e^z=e^xe^jy=e^x(cosy+jsiny). Derivace existuje v každém boděz∈Ca platí (e^z)⁰=e^z.

Příklad 1.3 Dokažte, že (e^z)⁰=e^z. Rozdělmee^zna reálnou a imaginární část:

e^z=e^xcosy+je^xsiny .

Máme tedyu(x, y) =e^xcosy a v(x, y) =e^xsiny. Spočteme parciální derivace ua v.

∂u

∂x =e^xcosy ∂v

∂x =e^xsiny

∂u

∂y =−e^xsiny ∂v

∂y =e^xcosy

Vidíme, že všechny parciální derivace jsou spojité a C-R podmínky jsou splněny ve všech bode (x, y) a tudíž derivace existuje pro všechnaz∈Ca platí:

(e^z)⁰= ∂u

∂x+j∂v

∂x =e^xcosy+je^xsiny=e^x(cosy+jsiny) =e^z. Funkcee^z je periodická s periodouj2π, protože

e^z+j2π =e^x+j(y+2π)=e^x(cos(y+ 2π) +jsin(y+ 2π)) =e^x(cosy+jsiny) =e^z. Funkce e^z tedy nemůže být prostá a proto ani logaritmus nemůže být jedno- značná funkce podobně jako v případě odmocniny definujemelogaritmusv bodě zjako množinu bodů wsplňující rovnicie^w=z. Tedy

Log(z) ={w|e^w=z}.

Příklad 1.4 Nalezněte všechna řešení rovnice e^z = a pro a 6= 0. Označme a=|a|e^jϕ,ϕ= arga. Dosazením do rovnice dostaneme

e^z =e^xe^jy=|a|e^jϕ. Odtud plyne

e^x=|a|, e^jy=e^jϕ. Máme tedy

x= ln|a|, y=ϕ+ 2kπ= argz+ 2kπ , k∈Z. To znamená, že

z= ln|a|+j(arga+ 2kπ), k∈Z. Vypočetli jsme tedy hodnotu logaritmu v boděa.

Log(a) ={z|e^z=a}={ln|a|+j(arga+ 2kπ), k∈Z}= ln|a|+jArga . Připomeňme ještě, že hodnotu prok= 0 nazvemehlavní hodnotoulogaritmu a označíme loga. Funkci, která každému boduz∈C,z6= 0 přiřadí hodnotu logz nazývámehlavní větevlogaritmu:

logz= ln|z|+jarg z .

Nakreslete si kam se zobrazí Gaussova rovina komplexních čísel bez bodu 0 funkcí log!

Příklad 1.5 Nalezněte derivaci funkce logz.

Protože funkce logz není definována pro z = 0, neexistuje tam tedy ani derivace. Rovněž pro na množiněM ={z∈C|Rez <0} neexistuje derivace, protože funkce argz (a tím pádem i funkce logz) je nespojitá v každém bodě z∈M.

Hledejme tedy derivaci logz na zbytku Gaussovy roviny. Pro reálnou část máme:

u(x, y) = ln|z|= lnp

x²+y²= 1

2ln(x²+y²). Určeme parciální derivaceupodlexa y.

∂u

∂x = 1

2 2x

x²+y² = x x²+y²,

∂u

∂y = 1

2 2y

x²+y² = y x²+y².

Vidíme, že obě parciální derivace jsou spojité všude kromě bodu (0,0). Bod (0,0) jsme již ovšem výše vyřadili, protože v něm nemá funkce logz derivaci. Z toho plyne, že funkceumá pro námi zkoumané body totální diferenciál.

Výpočet imaginární části logzrozdělíme na tři části: 1. Rez >0, 2. Imz >0 a 3. Imz <0.

1. Pokud Rez >0, můžeme imaginární část funkce logzvyjádřit následovně:

v(x, y) = arctany x. Určeme parciální derivacev podlexay.

∂v

∂x = 1

1 + _x^y2

−y

x² =− y x²+y²,

∂v

∂y = 1

1 + _x^y2 1

x= x

x²+y².

Podobně jako v případěuvidíme, ževmá v požadované oblasti totální di- ferenciál. Navíc také C-R podmínky jsou splněny, takže derivace v případě Rez >0 existuje a je rovna:

(logz)⁰= x

x²+y² −j y

x²+y² = z

|z|² = z zz =1

z.

2. Pokud Imz >0 můžeme imaginární část funkce logzvyjádřit následovně:

v(x, y) =π

2 −arctanx y. Určeme parciální derivacev podlexay.

∂v

∂x = −1

1 +

x y

² 1

y =− y x²+y²,

∂v

∂y = −1

1 +

x y

2

−x

y² = x x²+y².

Vidíme, že i v tomto případě vyšly parciální derivacevstejně. Tudíž i pro případ Imz >0 platí pro derivaci stejný vztah jako v bodě 1.

3. Pokud Imz <0, pakv(x, y) =−^π₂ −arctan^x_y a zbytek výpočtu je stejný jako v bodě 2.

Dostali jsme tedy, že pro body

z∈C\ {w∈C| Rew≤0, Imw= 0}, (t.j. body, které neleží na nekladné reálné ose) platí:

(logz)⁰= 1 z.

Příklad 1.6 Nalezněte derivaci hlavní větve druhé odmocniny:

f(z) =√ z .

Vzhledem k tomu, žef(z) je nespojitá na nekladné reálné poloose (t.j. neexistuje tam derivace), budeme předpokládat, žez6∈ {w∈C| Rew≤0,Imw= 0}.

Vyjádřeme f pomocí exponenciální funkce a logaritmu. Protožez6= 0 mů- žeme napsatz v exponenciálním tvaruz=|z|e^jϕ. Potom

√z=p

|z|e^jϕ2 =e^12ln|z|e^jϕ2 =e^{12(ln|z|+jϕ)}=e^12logz.

Nyní můžeme pro výpočet derivace využít derivace exponenciální funkce a logaritmu a větu o derivaci složené funkce.

(√

z)⁰ = (e^12logz)⁰= 1

2e^12logz1 z =1

2e^12logze^−logz= 1

2e^−12logz= 1 2√

z.

1.5 Trigonometrické a hyperbolické funkce

Podobně jako v reálném oboru definujeme i v komplexním oboru trigonometrické a hyperbolické funkce pomocí exponenciální funkce.

sinz=e^jz−e^−jz

2j cosz=e^jz+e^−jz 2 sinhz= e^z−e^−z

2 coshz= e^z+e^−z 2

Protože se na cvičení objevila otázka, proč se zavádí hyperbolické funkce, tak se na chvíli vraťme do reálného oboru a ukažme souvislosti mezi funkcemi sin, cos, sinh a cosh. Jak asi každý ví, že můžeme pomocí funkcí sin a cos parametricky popsat kružnici o poloměrurse středem v počátku:

x = rcost y = rsint

Podobným způsobem popisují funkce sinh a cosh parametricky pravou větev hyperboly, jejíž asymptoty jsou osy 1. a 4. kvadrantu, t.j.

x = acosht y = asinht

Případné zájemce o další informace odkazuji na stránku http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.html.

Příklad 1.7 Nalezněte všechna řešení rovnice:

sinz= 4 3j . Dosadíme podle definice sinz a dostáváme:

e^jz−e^−jz

2j = 4

3j .

Po vynásobení 2j máme:

e^jz−e^−jz=−8 3. Po vynásobení 3e^jz dostaneme:

3e^j2z+ 8e^jz−3 = 0. Zaveďme novou proměnnoup=e^jz a dosaďme:

3p²+ 8p−3 = 0.

To je kvadratická rovnice, jejíž řešení je p₁ = ¹₃ a p₂=−3. Vrátíme-li se zpět odpke^jz dostaneme dvě rovnice:

e^jz =−1

3, e^jz =−3. Z první rovnice máme:

jz= Log 1

3

={ln 1 3

+j2kπ|k∈Z}={−ln 3 +j2kπ|k∈Z}. Po vyděleníj, což vlastně znamená násobení−j dostaneme:

z={2kπ+jln 3|k∈Z}. Z druhé rovnice dostáváme:

jz= Log(−3) ={ln|3|+j(π+ 2kπ)|k∈Z}={ln 3 +j(2k+ 1)π|k∈Z}. Po vyděleníj:

z={(2k+ 1)π−jln 3 |k∈Z}. Po sjednocení množin řešení z obou rovnic dostaneme:

z={nπ+j(−1)ⁿln 3 |n∈Z}.

Všimněme si, že výsledek je v podstatě hodnota mnohoznačné funkce Arcsin v bodě ⁴₃j. Množinu řešení si zobrazte v Gaussově rovině!