Dostala jsem možnost využít svůj model k rozvržení směn na celý měsíc květen 2021. Bylo potřeba model trošku poupravit na základě požadavků zaměstnavatele. Model vychází z předchozích modelů, tj. využiji omezující podmínky (2.1)—(2.10). K modelu doplním tentokrát i účelovou funkci.
2.5.1 Ekonomický model
Firma Váš praktik s.r.o. potřebuje na měsíc květen naplánovat směny šestnácti asistentům na dvě různá pracoviště odběrového centra COVID-19. Tato centra se nachází v hl. m. Praha.
První odběrové místo se nachází v městské části Horní Měcholupy (dále jen HM) a druhé se nachází nedaleko letiště Václava Havla, nese pracovní název Ruzyně (dále jen Ruzyň).
Těmto šestnácti asistentům je potřeba naplánovat směny tak, aby měli přiděleno co nejvíce směn v měsíci. Ty směny, které nebudou přiděleny šestnácti asistentům firmy Váš praktik s.r.o., budou přiděleny dvěma externím asistentům, kteří jsou velmi flexibilní, tudíž nemají žádné požadavky. Asistenti jsou rozděleni do dvou skupin kvůli dvěma různým pracovištím.
Skrze sociální sítě mi kolegové z odběrového centra poslali své požadavky. V požadavcích jsou uvedené následující informace: místo odběrového centra, kde chtějí pracovat, kolik směn v měsíci chtějí mít přiděleno, a jaké dny mohou pracovat. Tyto požadavky jsem si zpracovala do souboru MS Excel.
V datovém souboru jsou uvedeny jak požadavky zaměstnavatele, tak zaměstnanců.
Požadavek z hlediska zaměstnavatele je počet osob, které musí být přiřazeny na směnu.
Požadavky poskytnuty zaměstnanci obsahují počet směn, který by chtěli v měsíci odpracovat a jaké dny mohou pracovat. Cílem mého modelování je přiřadit co nejvíce směn.
29 měsíce května 2021, k je počet asistentů pracujících v druhém odběrovém centru, hmijij představuje přiřazení i-tého asistenta na j-tou směnu prvního odběrového místa, ahmi je maximální možný počet přidělených směn i-tých asistentů prvního odběrového místa, bhmj je počet požadovaných asistentů na j-tou směnu prvního odběrového centra, pozdhmij
představuje, zda i-tý asistent může být přidělen na j-tou směnu prvního odběrového místa, rijkj představuje přiřazení i-tého asistenta na j-tou směnu druhého odběrového centra, aruzyni je maximální možný počet přidělených směn i-tých asistentů druhého odběrového místa, bruzynj je počet požadovaných asistentů na j-tou směnu druhého odběrového centra, pozdruzynkj představuje, zda i-tý asistent může být přidělen na j-tou směnu druhého odběrového místahmijij arijkj jsou binární proměnné.
Význam účelové funkce a omezujících podmínek modelu:
- Účelová funkce (2.21) zajištuje, aby bylo přiřazeno co nejvíce asistentů na požadované směny.
30
- Omezující podmínka (2.22) obstarává to, aby neměl i-tý asistent v Horních Měcholupech přiřazeno více směn, než je stanovený maximální počet. Podmínka (2.26) vyjadřuje totéž pro odběrové místo Ruzyň.
- Omezující podmínky (2.23) se stará o to, aby na j-tou směnu v Horních Měcholupech byl přiřazen požadovaný počet i-tých asistentů. Podmínka (2.27) vyjadřuje totéž pro odběrové místo Ruzyň.
- Nerovnice (2.24) zajištuje, aby byla splněna podmínka, zda i-tý asistent může být přiřazen na j-tou směnu v Horních Měcholupech. Nerovnice (2.28) vyjadřuje totéž pro odběrové místo Ruzyň. Je to podmínka <= a ne rovnice z důvodu úpravy dopravního problému. V klasickém dopravním problému by to vedlo k nulovým hodnotám proměnných, kde minimalizujeme účelovou funkci. V tomto upraveném modelu máme maximalizační účelovou funkci. Proto je možné využít podmínku nerovnosti.
- Omezující podmínka (2.25) zajištuje, aby proměnné hmijij byly binární.
- Omezující podmínka (2.29) zajištuje, aby proměnné rijkj byly binární.
K řešení budu využívat stejný datový soubor jako v předchozích modelech. V souboru jsou připravené požadavky zaměstnanců a zaměstnavatele. Pro ilustraci je uvedena část požadavků v tabulce 2.11. Celá tabulka požadavků obou odběrných míst je uvedeno v příloze F.
Tabulka 2.11 Ukázka požadavků odběrového místa Ruzyně, zdroj: vlastní zpracování
Ruzyně 29.5.2021 30.5.2021 31.5.2021
Počet požadovaných směn
Do daného listu si připravím tabulku a nadefinuji si oblasti, kam se mi budou importovat data ze systému MPL for Windows. Dalším krokem bude přepis celého modelu (2.21)—(2.29) dle syntaxe do systému. Níže ve výpisu 2.5 je uveden celý kód.
Výpis 2.5 Kód v MPL pro rozvržení všech pracovníků na směnu za měsíc květen 2021
31 8 DATA
9 ahm[i]:=ExcelRange("smeny_vysetrime_kveten!ahm");
10 bhm[j]:=ExcelRange("smeny_vysetrime_kveten!bhm");
11 pozdhm[i,j]:=ExcelRange("smeny_vysetrime_kveten!pozdhm");
12 aruzyn[k]:=ExcelRange("smeny_vysetrime_kveten!aruzyn");
13 bruzyn[j]:=ExcelRange("smeny_vysetrime_kveten!bruzyn");
14 pozdruzyn[k,j]:=ExcelRange
("smeny_vysetrime_kveten!pozdruzyn");
15 BINARY VARIABLES
16 hmij[i,j]Exportto ExcelRange("smeny_vysetrime_kveten!hmij");
17 rij[k,j] Export to ExcelRange("smeny_vysetrime_kveten!rij");
18 MODEL
19 max z=sum(k,j:rij[k,j])+ sum(i,j:hmij[i,j]);
20 SUBJECT TO
21 početsměnS[i]:sum(j:hmij[i,j])<=ahm[i];
22 pocetzamS[j]:sum(i:hmij[i,j])<=bhm[j];
23 pozadavkys[i,j]:hmij[i,j]<=pozdhm[i,j];
24 početsměnS[k]:sum(j:rij[k,j])<=aruzyn[k];
25 pocetzamS[j]:sum(k:rij[k,j])<=bruzyn[j];
26 pozadavkys[k,j]:rij[k,j]<=pozdruzyn[k,j];
27 END
Po nalezení optimálního řešení jsem získala podobu rozvržení směn asistentů. Níže v tabulce 2.12 je uvedena část řešení. Celé řešení je uvedeno v příloze G.
Cílem tohoto modelu bylo přidělit asistentům maximální možný počet směn. Optimální řešení této úlohy je přiřazení 139 směn ze 162. Neobsazené směny se přidělí dvěma externím asistentům. Níže v tabulce 2.12 je vidět, že pomocí binárních proměnných systém přiřazoval směny konkrétním asistentům na základě jejich požadavků. V ukázkové tabulce má asistentka Michaela přidělené tři směny, zatímco asistentka Terezie nemá přidělenou žádnou. V této tabulce se nemusí každý vyznat, proto jsem transformovala tuto tabulku s binárními hodnotami do přehlednější tabulky, kde je zobrazeno pouze datum, jméno asistenta a místo pracoviště. Ukázku výstupu můžeme nalézt v tabulce 2.13. Celé řešení je uvedeno v příloze H.
32
Tabulka 2.12 Ukázka rozvržení asistentek na směny v odběrovém místě Ruzyně, zdroj: vlastní zpracování
Ruzyně 22.5.2021 23.5.2021 24.5.2021 25.5.2021
Jméno R O R O R O R O
Tabulka 2.13 Ukázka rozvržení asistentek na směny, zdroj: vlastní zpracování
Směny květen
pozn. - = neobsazená směna, x= zavřeno
Když jsem začala pracovat v odběrovém centru, tak si všechny asistenti zapisovali směny najednou ve sdíleném souboru. Stávalo se, že si navzájem směny přepisovali anebo nedostali takové, které preferovali. Dalším důvodem bylo přetížení systému, kdy si velký počet osob zobrazoval jeden datový soubor. Postupem času se od tohoto způsobu zapisování směn ustoupilo. Vždy se zvolila jedna asistentka, které se zašlou všechny požadavky a ona dle toho naplánuje směny. Plánování směn jí však zabralo hodiny času. Proto jsem navrhla, že bych ráda zkusila využít svou bakalářskou práci k reálnému plánovaní směn. Hlavním důvodem byla úspora času. Návrh přijali a moje formulace matematického modelu v této části práce splnila účel. Využití tohoto matematického modelu pro reálné přiřazení směn asistentek ve dvou odběrových místech mělo velmi pozitivní ohlas. Aby bylo možné model dále v testovacím centru využívat, musela by si firma zakoupit licence programu MPL a řešitele Gurobi pro komerční účely, nebo by bylo třeba pro řešení úlohy použít některý z volně dostupných řešitelů.
33 2.5.3 Rozšířený matematický model
Zkusím si upravit předchozí model tak, aby přiřazoval směny dle vah. Váhy zde budou představovat, stupeň preferencí přiřazení směn. Škála preferencí bude od 0—3, kde nula bude znamenat, že na směnu nechce (nemůže) být přiřazen. Hodnota 1 vyjadřuje, že daný asistent na směnu může být přiřazen, ale raději by preferoval volno, například pro své potřeby učit se do školy, či odpočinek po práci v nemocnici. Hodnota 2 znamená, že by daný asistent chtěl být přiřazen na směnu, ale z důvodu omezených pracovních dní tak snížil preferenci těchto směn o jedničku. Hodnota 3 vyjadřuje, že daný asistent chce přidělit danou směnu nejvíce. Preference jsou zadány dle požadavků asistentek, ukázka je uvedena v tabulce 2.14.
Matematický model se bude lišit pouze v účelové funkci a omezující podmínky budou totožné s předchozím modelem, tj. (2.22)—(2.29).
Účelová funkce bude mít následující podobu:
maximalizace
kde vaha_pozdruzynkj jsou parametry preferencí asistentů z odběrového místa Ruzyň a vaha_pozdhmij jsou parametry preferencí asistentů z odběrového místa Horní Měcholupy. Značení indexů je shodné jako v předchozích modelech, pokud není uvedeno jinak.
Postupuji stejně jako v předchozích modelech. Nadefinuji si oblasti v MS Excel a zapíšu si matematický model do MPL dle syntaxe, která bude obsahovat omezující podmínky (2.22)—(2.29) a účelovou funkci (2.30). Celý výpis kódu je uveden níže ve výpisu 2.6.
Výpis 2.6 Kód v MPL pro rozvržení všech pracovníků na směnu za měsíc květen 2021 s preferencemi 1 TITLE Tranova_BP;
34
18 hmij[i,j] Export to ExcelRange
("smeny_vysetrime_kveten_vaha!hmij");
19 rij[k,j] Export to ExcelRange
("smeny_vysetrime_kveten_vaha!rij");
Po nalezení optimálního řešení jsem získala novou podobu rozvržení směn asistentů, kde jsou splněny jejich preference získání směn. Níže v tabulce 2.15 je uvedena část řešení.
Požadavky s preferencemi a celé řešení jsou uvedeny v příloze I a J.
Tabulka 2.14 Ukázka požadavků s preferencemi v odběrovém místě Ruzyně, zdroj: vlastní zpracování
Ruzyně 22.5.2021 23.5.2021 24.5.2021 25.5.2021
Jméno R O R O R O R O
35
Tabulka 2.15 Ukázka rozvržení asistentek na směny s preferencemi v odběrovém místě Ruzyně, zdroj:
vlastní zpracování
Ruzyně 22.5.2021 23.5.2021 24.5.2021 25.5.2021
Jméno R O R O R O R O
Michaela 0 0 0 0 1 0 1 0
Terezie 0 0 0 0 0 0 0 0
Quang 0 0 0 0 0 1 0 0
Dana 1 0 0 0 0 0 0 0
Alexandra 0 0 1 0 0 0 0 0
Vari 0 1 0 1 0 0 0 1
Počet osob na
směnu 1 1 1 1 1 1 1 1
Cílem tohoto modelu bylo přidělit asistentům směny dle jejich preference na škále 0—3.
Optimální řešení této úlohy je přiřazení 138 směn ze 162. Hodnota účelové funkce je 243.
Účelová funkce tedy násobí všechny přidělené směny s danou váhou mezi sebou. Tuto hodnotu se snažíme maximalizovat, ale sama o sobě nám nic neříká. Maximalizací účelové funkce získáváme přiřazené směny od nejvíce preferovaných po nejméně preferované.
Neobsazené směny se přidělí dvěma externím asistentům. Výše v tabulce 2.15 je vidět, že pomocí binárních proměnných systém přiřazoval směny konkrétním asistentům na základě jejich požadavků. V ukázkové tabulce 2.15 má asistentka Michaela přidělené dvě směny, zatímco v tabulce 2.13 měla přidělené tři směny. Z tabulky 2.13 a z tabulky 2.15 vidíme, že směnu 24.5.2021, kterou měla Michaela přiřazenou v předchozím modelu, v nynějším modelu nemá, protože z tabulky 2.14 vidíme, že na daný den má Terezie větší preferenci k přidělení směn, proto jí také daná směna byla přiřazena. Takto program postupoval u přidělení všech směn.
36
Závěr
Cílem mé práce bylo formulovat matematický model pro přiřazování směn zaměstnancům ve firmě Váš praktik, s.r.o. a jeho pomocí nalézt optimální rozvržení směn asistentům na dvou odběrových místech na květen 2021. V první části práce jsem se věnovala teoretickému základu. V této části byly zmíněny základní pojmy spojené s praktickou částí jako je například definice matematického modelu a jeho další využití. V druhé části práce jsem se věnovala praktické aplikaci matematického modelu.
Matematické modely použité v praktické části práce jsem odvodila z modelu dopravního problému, kde kapacity dodavatelů odpovídaly maximálnímu počtu směn zaměstnanců, které byli schopni odpracovat, a požadavky odběratelů odpovídaly požadavkům zaměstnavatele na počet přiřazených zaměstnanců na danou směnu. Modely byly primárně tvořeny pomocí binárních proměnných. Bylo vytvořeno celkem šest modelů. První čtyři modely byly řešeny bez účelové funkce, protože zde nebylo co maximalizovat, popřípadě minimalizovat. Platy zaměstnanců byly dány fixně, tzn. i náklady zaměstnavatele, hledala jsem pouze libovolné řešení splňující zadané podmínky. První model přiřazoval směny s omezujícími podmínky, kde jsem měla za cíl splnit dvě kritéria, a to splnění počtu zaměstnanců na směně a počet směn, které chtěli zaměstnanci odpracovat. Druhý model navazoval na první a navíc byly přidány dvě omezující podmínky, které udávají informaci, jaké dny mohli zaměstnanci pracovat. Třetí model měl stejnou matematickou formulaci jako druhý a byla zde ještě uvedena podmínka, aby každý zaměstnanec měl přiřazenou alespoň jednu směnu. Ve čtvrtém modelu jsem se snažila přeformulovat model, kde proměnné nebudou binární ale pouze celočíselné. Formulace tohoto modelu opět vycházela z předchozích. Pátý matematický model byl využit k plánovaní směn asistentům pro měsíc květen 2021. V tomto modelu jsem využila účelovou funkci k maximalizaci počtu přidělených směn. Využila jsem zde omezující podmínky z pohledu zaměstnanců, kde jsou uvedena kritéria, jaké konkrétní dny mohou pracovat a maximálně kolik směn by chtěli odpracovat. Dále jsou zde omezující podmínky z pohledu zaměstnavatele, a to určitý počet přidělených asistentek na směnu. To vše pro dvě různá odběrová místa. Poslední model měl omezující podmínky shodné s pátým modelem. Model se lišil pouze v účelové funkci, kde jsem nemaximalizovala počet přiřazených směn, ale maximalizovala jsem preference při přiřazování směn. Ve vstupních datech zaměstnanci uvedli preference 0–3, jak moc by chtěli mít přiřazenou směnu, kde 0 znamenala, že směnu nechtějí a naopak preference 3 znamenala, že daná směna je jimi nejvíce preferovaná.
V této práci jsem se zaměřila primárně na plánování směn asistentům pro dvě odběrová centra. Pro plánování směn testerů by byl model obdobný pouze by se přejmenovali proměnné. Největší rozdíl by byl ve vstupních datech, kde by se lišil počet testerů a jejich požadavky.
Při úspěšné aplikaci pátého matematického modelu v praxi byl splněn cíl této bakalářské práce. Ve skutečnosti byl model i firmou využit.
37
V případě potřeby jsou zde další možnosti rozšíření matematického modelu. Dle mého uvážení bych v budoucnu při psaní diplomové práce, chtěla rozšířit tento model tak, že bych naplánovala směny dle vytíženosti testovacího centra. Tím je myšleno, že by se vstupní data propojila s objednávkovým systémem, poté by se upravovaly pracovní doby a dle poptávky by se navyšovala kapacita zaměstnanců. Další možné rozšíření modelů by bylo plánování směn jak testerům, tak asistentům. Brala bych v úvahu nové preference, jako například s kým nejvíce by chtěli spolupracovat. Jelikož jsou pokročilé řešitele zpoplatněné, tak další možné téma k zpracování by bylo zjednodušit tento model a zkusit ho vyřešit v MS Excel pomocí doplňku řešitel.
38
Použitá literatura
Boublík, Z. (2020) Aktuality, Hygienická stanice hl. m. Prahy. Dostupné z:
http://www.hygpraha.cz/dokumenty/v-ceske-republice-jsou-prvni-tri-potvrzene-pripady-nakazy-koronavirem--z-toho-dva-v-praze-4614_4614_161_1.html.
ECDC (2021) Questions and answers on COVID-19: Basic facts, European Centre for Disease Prevention and Control. Dostupné z: https://www.ecdc.europa.eu/en/covid-19/questions-answers/questions-answers-basic-facts.
Jablonský, J. (2007) Operační výzkum: Kvantitativní modely pro ekonomické rozhodování. třetí. Praha: Professional publishing.
Jablonský, J. (2011) Programy pro matematické modelování. druhé. Praha: Oeconomica.
Jablonský, J. a Lagová, M. (2014) Lineární modely. třetí. Praha: Oeconomica.
KUCHARSKI, Adam J., a další (2020) Early dynamics of transmission and control of COVID-19: a mathematical modelling study, The lancet infectious diseases. Dostupné z:
https://www.thelancet.com/article/S1473-3099(20)30144-4/fulltext.
Md Nazmul Hassan, Md. Shahriar Mahmud, Kaniz Fatema Nipa, a Md. Kamrujjaman (2021) ‘Mathematical Modeling and Covid-19 Forecast in Texas, USA: a prediction model analysis and the probability of disease outbreak’. Cambridge University Press. Dostupné z:
Mostafa, B., Mohamed A., K. a Messaoud, B. (2021) ‘A mathematical model for the spread of COVID-19 and control mechanisms in Saudi Arabia’. Advances in Difference Equations.
Dostupné z:
https://advancesindifferenceequations.springeropen.com/track/pdf/10.1186/s13662-021-03410-z.pdf.
MZCR (2021) Aktuálne o koronaviru, Ministerstvo zdravotnictví České republiky.
Dostupné z:
https://onemocneni-aktualne.mzcr.cz/covid-19?utm_source=general&utm_medium=widget&utm_campaign=covid-19.
Novák, J. P. a Borský, P. (2021) O projektu vyšetři.mě, Vyšetři.mě. Dostupné z:
https://www.vysetri.me/o-projektu/.
39
Ondřej Májek, Ondřej Ngo, Jiří Jarkovský a Monika Ambrožová (2020) ‘Metodický popis užívaných stochastických modelů pro predikce pravděpodobného vývoje epidemie COVID-19 v ČR’. MZČR. Dostupné z: https://www.uzis.cz/res/file/covid/covid-COVID-19-prediktivni- https://www.uzis.cz/res/file/covid/covid-19-prediktivni-modely-metodika.pdf.
vlada.cz (2020) Informace ke koronaviru a nemoci covid-19, Vláda České republiky.
Dostupné z: https://www.vlada.cz/cz/media-centrum/aktualne/aktualni-informace-ke-koronaviru-sars-cov-2-puvodne-2019-ncov-179250/.
WHO (2020) Coronavirus, World health organization. Dostupné z:
https://www.who.int/health-topics/coronavirus#tab=tab_1.
I
Přílohy
Příloha A: Tabulky požadavků zaměstnanců firmy Váš praktik, s.r.o.
Viz soubor MS Excel Tranová BP.xlsx, list pozadavky_zam.
Příloha B: Rozvržení směn zaměstnanců bez požadavků
Viz soubor MS Excel Tranová BP.xlsx, list reseni_bez_pozd_zam.
Příloha C: Rozvržení směn zaměstnanců s požadavky
Viz soubor MS Excel Tranová BP.xlsx, list reseni_s_pozad_zam.
Příloha D: Rozvržení směn zaměstnanců s požadavky s doplňující podmínkou
Viz soubor MS Excel Tranová BP.xlsx, list reseni_s_pozad_zam_min_1_smena.
Příloha E: Rozvržení směn zaměstnanců bez podmínky binární proměnné
Viz soubor MS Excel Tranová BP.xlsx, list reseni_bez_podm_bin.
Příloha F: Požadavky asistentek na měsíc květen 2021
Viz soubor MS Excel Tranová BP.xlsx, list smeny_vysetrime_kveten.
Příloha G: Rozvržení směn asistentek na měsíc květen 2021
Viz soubor MS Excel Tranová BP.xlsx, list smeny_vysetrime_kveten.
II
Příloha H: Rozvržení směn asistentek na měsíc květen 2021
Viz soubor MS Excel Tranová BP.xlsx, list přepis směn.
Příloha I: Tabulka preferencí asistentek na měsíc květen 2021
Viz soubor MS Excel Tranová BP.xlsx, list smeny_vysetrime_kveten_vaha.
Příloha J: Rozvržení směn asistentek na měsíc květen 2021 s preferencemi
Viz soubor MS Excel Tranová BP.xlsx, list smeny_vysetrime_kveten_vaha.