2.2.3 Spokojíme se i s přibližnou hodnotou — diferenciál funkce
Pojem diferenciálu funkce y = f(x) v bodě a názorně ukazuje obrázek 2.38. Předpokládejme, že ke grafu funkce lze v jeho bodě ha, f(a)i sestrojit tečnu. Uvažujeme o grafu funkce f(x) v intervalu [a, a+h], kdehjepřírůstekproměnnéx.Přírůstek funkční hodnotyneboli diference funkcef(x) mezi bodyx=aax=a+hje ∆f =f(a+h)−f(a). Diferenci lze „složitÿ sečtením přírůstku na tečně, který je v obrázku vyznačen symbolem df(a)(h), a hodnoty χa(h), kterou lze považovat za funkční hodnotu jisté funkce χa v bodě h. Platí
x f(x) =f(a+h)
x=a+h y
α df(a)(h)
∆f =f(a+h)−f(a) sečna
tečna
a f(a)
Obr. 2.38 Diferenciál funkce v daném bodě.
∆f =f(a+h)−f(a) = df(a)(h) +χa(h) = htgα+χa(h) =f0(a)h+χa(h). (2.25) Přírůstek na tečně, který můžeme také psát ve tvaru
df(a)(x−a) =f0(a)(x−a), (2.26)
je lineární funkcí proměnné h=x−a a nazývá se diferenciálem funkce f(x) v bodě a. Pokud existuje v bodě a derivace f0(a), lze diferenciál definovat. Jaký je jeho význam poznáme, když prošetříme chování funkceχa(h) v okolí hodnotyh = 0. Platí
χa(h) =f(a+h)−f(a)−f0(a)h =⇒ χa(h)
h = f(a+h)−f(a)
h −f0(a). Limita pravé strany této rovnosti pro h→0 zjevně existuje a je rovna nule. Proto také
h→0lim
χa(h) h = 0.
Co znamená tento výsledek? Budeme-li snižnovat hodnotu h, budou se k nule blížit nejen funkční hodnoty funkce χa(h) samotné, ale dokonce i hodnoty získané jejich podělením malým číslem h! S klesající hodnotou h jde tedy funkce χa k nule rychleji než úměrně h. Protože
128 KAPITOLA 2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
ovšem diferenciál je hodnotě h přímo úměrný, můžeme usoudit, že pro velmi malé h je jeho příspěvek ke změně funkční hodnoty podle vztahu (2.25) podstatný, zatímco příspěvek χa(h) je zanedbatelný. Přibližně bychom tedy mohli diferenci f(a+h)−f(a) nahradit diferenciálem f0(a)h a hodnotu χa(h) považovat za chybu, které se touto náhradou dopouštíme.
Pozn.: Jistě není třeba zdůrazňovat, že diferenciál je přesně definovaným matematickým ob-jektem, přestože se využívá k přibližnému stanovení funkčních hodnot a k aproximacím funkcí.
Je lineární funkcí určenou sklonem grafu funkce f(x) v konkrétním bodě a.
Příklad 2.45: Přibližné určení funkční hodnoty
Jak můžeme přibližně určit například hodnotu√3
7,94? Tato hodnota bude jistě blízká dvěma, neboť√3 8 = 2.
Uvažme proto funkci
f(x) =√3
x, f(8) = 2 a položme a= 8, h=−0,06. Přibližně platí
f(a+h)−f(a) .
=f0(a)h =⇒ p3
7,94−√3 8 .
=1
38−2/3·(−0,06) .
=−0,005 =⇒ p3 7,94 .
= 1,995. Na kalkulačce zjistíme, že přesnější hodnota je například 1,994 987 448.
Diferenciál ovšem nepotřebujeme jen proto (a ani hlavně proto), že občas zapomeneme kalkulačku a potřebujeme znát nějaké číselné hodnoty. Velmi často pomůže při obecných apro-ximativních postupech, kdy chceme nahradit funkci f(x) funkcí lineární.
Příklad 2.46: Matematické kyvadlo
Matematickým kyvadlem rozumíme malou kuličku o hmotnostimzavěšenou v homogenním tíhovém poli~g na nepružném (nenatahovacím) vlákně délky` a zanedbatelné hmotnosti. Kulička je uvedena do pohybu tak,
τ ϕ
T~
m~g
~g
Obr. 2.39 Matematické kyvadlo.
aby se pohybovala ve svislé rovině xy. Její trajektorií je oblouk kružnice o poloměru `. Pohyb je v závislosti na čase popsán úhlovou výchylkouϕ(t), tj. úhlem, který svírá vlákno v okamžiku t se svislým směrem ~g. Na kuličku působí svislá tíhová sílam~g a tahová síla vláknaT~, odpor prostředí zanedbáváme. Složka zrychlení ve
2.3. INTEGROVÁNÍ — „SČÍTÁNÍÿ MNOHA MALÝCH PŘÍSPĚVKŮ 163 z funkce f(x) v mezích [a, b] pomocí takzvané Leibnizovy–Newtonovy formule jako
Zb
a
f(x) dx= [F(x)]ba =F(b)−F(a). (2.48) Příjemnou vlastností tohoto výsledku je, že dává stejnou hodnotu pro všechny primitivní funkce k funkcif(x). Ty se sice mohou lišit o konstantu, v rozdílu F(b)−F(a) se však tato konstanta nakonec neprojeví, vyruší se. Co však vztah (2.48) znamená? A jak je vůbec určitý integrál definován? Je vztah (2.48) jeho definicí, nebo je důsledkem nějaké jiné definice, vybudované třeba na základě geometrických úvah? Pravá podstata integrování je skutečně jinde než ve vztahu (2.48), i když bezprostřední souvislost s primitivní funkcí zde existuje. Myšlenka in-tegrování opravdu vzešla z geometrických požadavků, konkrétně požadavku zjišťování délek, obsahů a objemů geometrických útvarů. V současné době existuje celá řada typů určitých inte-grálů. Nejnázornější z nich jeRiemannův integrál, kterým se budeme v tomto odstavci zabývat.
2.3.1 Plocha pod grafem dlážděná proužky
Riemannův integrál z funkcef(x) na intervalu [a, b] lze definovat obecněji, než to nyní učiníme my. Pro geometrické, fyzikální či jiné přírodovědné aplikace totiž postačí uvažovat o spojitých funkcích na intervalu [a, b], zatímco obecná definice pracuje s funkcemi, které nutně nemusí být spojité.
Formulujme nyní geometrický problém, který je základem definice integrování. Nechť je funkcef(x) (integrovaný objekt) spojitá na (uzavřeném) intervalu [a, b] (integrační obor). Graf této funkce spolu s přímkami o rovnicích x=a a x=b a osoux vymezí v souřadnicové rovině xyrovinný útvar (obr. 2.47). Pro lepší názornost předpokládejme, že funkcef(x) je na intervalu [a, b] nezáporná a útvar tak celý leží v horní polorovině roviny xy. Chceme zjistit obsah tohoto útvaru. (Intuitivní představa nám říká, že v případě spojitého grafu funkce f(x) bude určitě možné našemu obrazci obsah přisoudit. I když toto přesvědčení musíme teprve matematicky dokázat, uvažujme prozatím tak, jako kdyby bylo oprávněné.) Z elementární geometrie známe nějaké vzorce pro výpočet obsahů (obdélník, trojúhelník, lichoběžník, kruh). Jak jich ale využít pro řešení našeho problému a zjistit obsah útvaru alespoň přibližně? Asi nás hned napadne nakreslit útvar třeba na milimetrový papír a spočítat všechny čtverečky o obsahu 1 mm2, které se do útvaru vejdou. Uvědomíme-li si, že náš útvar není zcela obecný, ale je omezen hned třemi přímkovými úseky a teprve čtvrtý je obecnou křivkou, vidíme, že takové „měřeníÿ lze velice zjednodušit. Nakreslíme útvar na milimetrovou síť tak, aby osa x splývala se stranou některé řady čtverečků. Pak stačí jen sečíst obsahy sloupečků, obdélníků s milimetrovou podstavou, které jsou v obrazci obsaženy. Dostaneme tak obsah obrazce poměrně přesně. A právě taková je myšlenka integrování. Poněkud obecnější situaci, kdy proužky nemají stejně velkou podstavu, ukazuje obrázek 2.47. V obrázku je na ose x vyznačeno dělení intervalu [a, b]. Je to soubor
2.3. INTEGROVÁNÍ — „SČÍTÁNÍÿ MNOHA MALÝCH PŘÍSPĚVKŮ 175
x y
y=x2
y= 1/x
y=−ex 1
-1 1 2
Obr. 2.50 Obrazec omezený několika grafy.
= 1
3x3+ ex 1
0
+ [lnx+ ex]21= 1
3+ e−1 + ln 2 + e2−e = e2+ ln 2−2 3.
Zkusme si nyní rovinný obrazec představit jako hmotné těleso, třeba kus vystřiženého plechu.
Předpokládejme nejprve, že materiál je homogenní, tj. všechny kousky materiálu o jednotkové ploše, ať jsou vystřiženy z kteréhokoli místa, mají stejnou hmotnost. Hmotnost plošné jednotky materiálu nazýváme plošnou hustotou, zadáváme ji v kg·m−2 a značíme třeba σ. Z fyzikál-ních důvodů je třeba požadovat, aby σ > 0. Pokud bychom chtěli popisovat pohyb takového hmotného rovinného útvaru, zjistili bychom, že pro tento popis jsou důležité následující fyzikální charakteristiky, související s rozložením hmotnosti útvaru: celkováhmotnost, polohatěžiště(též středu hmotnosti) amomenty setrvačnostivzhledem k různým osám, kolem kterých může těleso rotovat. Pro jednoduchost opět předpokládejme, že obrazec je omezen osou x, přímkamix=a a x=b a grafem spojité nezáporné funkcef(x).
Hmotnost rovinného obrazce
Celkovou hmotnost homogenního tělesa určíme snadno. Dostaneme ji jako součin plošné hustoty a obsahu obrazce:
µ=σP =σ
b
Z
a
f(x) dx.
190 KAPITOLA 2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
z
y
x
a ti ti+1 b
A0
Ai
Ai+1
An
|AiAi+1|
∆`i
Obr. 2.56 Ke křivkovému integrálu.
Celková délka lomené čáry složené z úseků A0A1,A1A2, . . ., An−1An je L(D) =
n−1
X
i=0
r
x(ti+1)−x(ti)2+y(ti+1)−y(ti)2+z(ti+1)−z(ti)2.
Kdo očekává, že pro normu děleníD jdoucí k nule bude limita této veličiny představovat délku obloukuC, nemýlí se. Jistě nakonec půjde o nějaký integrál. Měli bychom tedy umět představit si délku L(D) jako součet určitého typu pro vhodnou funkci f(t) a dělení D.
Protože jsme předpokládali, že funkce x(t),y(t) a z(t) jsou na intervalu [a, b] nejen spojité, ale dokonce mají i derivaci (zatím ještě nepotřebujeme předpoklad, že i derivace jsou spojité), můžeme pro ně použít Lagrangeovu větu o střední hodnotě z odstavce 2.1.7 (věta 2.2). V každém z intervalů (ti, ti+1) existuje alespoň jedna trojice čísel ξi, ηi aζi takových, že platí
x(ti+1)−x(ti) = x0(ξi)(ti+1−ti), y(ti+1)−y(ti) = y0(ηi)(ti+1−ti), z(ti+1)−z(ti) = z0(ζi)(ti+1−ti).
Délku úsečky mezi bodyAi a Ai+1 můžeme proto zapsat ve tvaru
r
x0(ξi)2+y0(ηi)2+z0(ζi)2(ti+1−ti).
Všimněme si, že pro každou z funkcíx(t),y(t) a z(t) je bod v intervalu (ti, ti+1), pro který je tečna ke grafu funkce rovnoběžná se sečnou spojující krajní body grafu v tomto intervalu, obecně
199