Matematika II: Pracovní listy do cviˇcení

(1)

Radomír Paláˇcek, Petra Schreiberová, Petr Volný

Katedra matematiky a deskriptivní geometrie

VŠB - Technická univerzita Ostrava

(2)

(3)

139.

Ry 157 - Pˇrímá metoda ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z

x⁵−2x+^x

2

3

dx b) Z

(√ x+√⁴

x)dx c)

Z 2x−1

√x dx d)

Z 3 xdx

Rešeníˇ Video Teorie: 11, 12, 13 ˇRešené pˇríklady: 68, 69, 70

Základní integrály

1.

Z

0dx=c 2.

Z

xⁿdx= ^x

n+1

n+1 +c 3.

Z

e^xdx=e^x+c 4.

Z

a^xdx= ^a

x

lna +c 5.

Z 1

xdx=_ln|_x|+_c 6.

Z

sinx dx =−cosx+c 7.

Z

cosx dx =sinx+c 8.

Z 1

cos²xdx=tanx+c 9.

Z 1

sin²xdx=−cotx+c 10.

Z 1

√1−x²dx=arcsinx+c 11.

Z 1

1+_x²^dx=arctanx+c 12.

Z f⁰(x)

f(x)^dx=_ln|f(x)|+c f = f(x) g=g(x) 13.

Z

(f ±g)dx= Z

f dx± Z

gdx 14.

Z

(k· f)dx=k Z

f dx,k ∈_R

(4)

140.

Ry 158 - Pˇrímá metoda ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z 2

x

3−xe^x

dx b)

Z dx

1+cos 2x c)

Z 2

x³ −₂dx d) Z

(₂^x−_cosx)dx

1.

Z

0dx=c 2.

Z

xⁿdx= ^x

n+1

n+1 +c 3.

Z

e^xdx=e^x+c 4.

Z

a^xdx= ^a

x

lna +c 5.

Z 1

xdx=_ln|_x|+_c 6.

Z

cosx dx =sinx+c 8.

Z 1

cos²xdx=tanx+c 9.

Z 1

Z f⁰(x)

Z

(f ±g)dx= Z

f dx± Z

gdx 14.

Z

(k· f)dx=k Z

f dx,k ∈_R

(5)

141.

Ry 159 - Pˇrímá metoda ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z x²e^x−3x

2x² dx b)

Z (√

x+3)² x√

x dx c)

Z x²−1 x−1 dx

1.

Z

0dx=c 2.

Z

xⁿdx= ^x

n+1

n+1 +c 3.

Z

e^xdx=e^x+c 4.

Z

a^xdx= ^a

x

lna +c 5.

Z 1

xdx=_ln|_x|+_c 6.

Z

cosx dx =sinx+c 8.

Z 1

cos²xdx=tanx+c 9.

Z 1

Z f⁰(x)

Z

(f ±g)dx= Z

f dx± Z

gdx 14.

Z

(k· f)dx=k Z

f dx,k ∈_R

(6)

142.

Ry 160 - Pˇrímá metoda ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z sin 2x

sin²xdx b)

Z −4

1+x²dx c)

Z 2

√1−x²dx

1.

Z

0dx=c 2.

Z

xⁿdx= ^x

n+1

n+1 +c 3.

Z

e^xdx=e^x+c 4.

Z

a^xdx= ^a

x

lna +c 5.

Z 1

xdx=_ln|_x|+_c 6.

Z

cosx dx =sinx+c 8.

Z 1

cos²xdx=tanx+c 9.

Z 1

Z f⁰(x)

Z

(f ±g)dx= Z

f dx± Z

gdx 14.

Z

(k· f)dx=k Z

f dx,k ∈_R

(7)

143.

Ry 161 - Lineární substituce, obecné vzorce ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z

(2x−5)³dx b) Z

sin(4x−3)dx c)

Z 1

4+x²dx

Rešeníˇ Video Teorie: 17 ˇRešené pˇríklady: 71

Lineární substituce, obecné vzorce

1.

Z

f(ax+b)dx = ¹

aF(ax+b) +c 2.

Z

(ax+b)ⁿdx = ¹ a

(ax+b)ⁿ⁺¹ n+1 +c 3.

Z

e^ax⁺^bdx = ¹

ae^ax⁺^b+c 4.

Z 1

ax+bdx = ¹

aln|ax+b|+c 5.

Z

sin(ax+b)dx =−¹

acos(ax+b) +c 6.

Z

cos(ax+b)dx = ¹

asin(ax+b) +c 7.

Z 1

√a²−x²dx =arcsin x a +c 8.

Z 1

a²+x²dx = ¹

aarctanx a +c

(8)

144.

Ry 162 - Lineární substituce, obecné vzorce ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z

e⁻^6xdx b)

Z dx

−3x+8 c)

Z 2

√9−x²dx

Lineární substituce, obecné vzorce

1.

Z

f(ax+b)dx = ¹

aF(ax+b) +c 2.

Z

(ax+b)ⁿdx = ¹ a

(ax+b)ⁿ⁺¹ n+1 +c 3.

Z

e^ax⁺^bdx = ¹

ae^ax⁺^b+c 4.

Z 1

ax+bdx = ¹

aln|ax+b|+c 5.

Z

sin(ax+b)dx =−¹

acos(ax+b) +c 6.

Z

cos(ax+b)dx = ¹

asin(ax+b) +c 7.

Z 1

√a²−x²dx =arcsin x a +c 8.

Z 1

a²+x²dx = ¹

aarctanx a +c

(9)

145.

Ry 163 - Metoda per partes ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z

xe^2xdx b)

Z lnx

x² dx c)

Z

(x²−3)sin 2xdx

Rešeníˇ Video Teorie: 14, 15 ˇRešené pˇríklady: 72, 73

Metoda per partes

u=u(x) v⁰ =v⁰(x) u⁰ =u⁰(x) v =v(x) Z

(u·v⁰)dx=u·v− Z

(u⁰·v)dx

(10)

146.

Ry 164 - Metoda per partes ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z

(2x−₁)lnx dx b)

Z x

sin²xdx

Metoda per partes

u=u(x) v⁰ =v⁰(x) u⁰ =u⁰(x) v =v(x) Z

(u⁰·v)dx

(11)

147.

Ry 165 - Metoda per partes ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z

e^xsinx dx b)

Z

cos(lnx)dx

Metoda per partes

u=u(x) v⁰ =v⁰(x) u⁰ =u⁰(x) v =v(x) Z

(u⁰·v)dx

Metoda per partes - obrat Z

f(_x)_dx=_h(_x) +_α· Z

f(_x)_dx, _α 6=₁

⇒ Z

f(x)dx= ^h(x) 1−α +c

(12)

148.

Ry 166 - Substituˇcní metoda ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z dx

(x²+1)√

arctanx b)

Z

e^xcos(e^x)dx

Substituce typu ϕ(x) =t Z

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx= Z

f(t)dt

Postup

1. oznaˇcíme substituci ϕ(x) = t

2. rovnost diferencujeme:ϕ⁰(x)dx=dt 3. v integrálu

Z

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx nahra- díme za ϕ(x) promˇennou t a za výraz ϕ⁰(x)dxdiferenciáldt

4. ˇrešíme integrál Z

f(t)dtpromˇennét 5. do nalezené primitivní funkce vrátíme

substituciF(t) +c = F(ϕ(x)) +c

(13)

149.

Ry 167 - Substituˇcní metoda ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z

xcot(1+x²)dx b)

Z (3+lnx)⁵

x dx

f(t)dt

Postup

Z

(14)

150.

Ry 168 - Substituˇcní metoda ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z cosx

p1−sin²xdx b) Z

x²e⁻^x³dx

f(t)dt

Postup

Z

(15)

151.

Ry 169 - Substituˇcní metoda ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z dx

(2+x)√

1+x b)

Z cot√

√ x x dx

Substituce typux = _ϕ(t) Z

f(x)dx= Z

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt

Postup

1. oznaˇcíme substitucix = _ϕ(t)

2. rovnost diferencujeme:dx = ϕ⁰(t)dt 3. v integrálu

Z

f(x)dxnahradíme promˇen- nou x funkcí ϕ(t) a diferenciál dx výra- zem ϕ⁰(t)dt

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt pro- mˇennét

5. do nalezené primitivní funkce vrátíme substituciF(t) +c = F(ϕ⁻¹(x)) +c

(16)

152.

Ry 170 - Substituˇcní metoda + metoda per partes ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z

e

√x

dx b)

Z

arctanxdx

Rešeníˇ Video Teorie: 14, 15, 16, 17 ˇRešené pˇríklady: 73, 74, 75

Metoda per partes

u=u(x) v⁰ =v⁰(x) u⁰ =u⁰(x) v =v(x) Z

(u⁰·v)dx

f(_ϕ(_x))_ϕ⁰(_x)_dx= Z

f(_t)_dt

Substituce typux = ϕ(t) Z

f(x)dx= Z

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt

(17)

153.

Ry 171 - Racionální lomená funkce ˇ

ZadáníVyjádˇrete racionální funkciR(x) = ^x

3+2

x−₁ jako souˇcet polynomu a ryze lomené racionální funkce.

Racionální lomená funkce

R(x) = ^Pⁿ(_x) Qm(x)

Ryze lomená racionální funkce

R(x) = ^Pⁿ(x)

Qm(x)^, ⁿ <m Neryze lomená racionální funkce

R(x) = ^Pⁿ(x)

Qm(x)^, ⁿ ≥m

• každou neryze lomenou racionální funkci lze dˇelením upravit na souˇcet polynomu a ryze lomené racionální funkce

(18)

154.

Ry 172 - Rozklad na parciální zlomky ˇ

ZadáníRozložte na parciální zlomky:

a) R(x) = ^2x−1

x³−4x b) R(x) = ¹

x³−4x²+4x

Parciální zlomky - 2 typy

1. A

(x−_α)^k^, ^kde^k ∈_N;A,α ∈ _R

2. Mx+N

(x²+px+q)^k^, ^kde^k∈ _N

M,N,p,q ∈ _R, diskriminant p² − 4q je záporný

• každou ryze lomenou racionální funkci lze rozložit na souˇcet parciálních zlomk˚u

• poˇcet zlomk˚u odpovídá stupni polynomu ve jmenovateli

Postup

1. najdeme koˇreny polynomu ve jmenovateli 2. napíšeme pˇredpokládaný tvar rozkladu 3. celou rovnici rozkladu vynásobíme poly-

nomem ve jmenovateli

4. nalezneme koeficienty rozkladu:

srovnávací metodou, dosazovací metodou nebo kombinací tˇechto metod

Alternativa pro parciální zlomek dru- hého typu

B(2x+p) +C

(x²+px+q)^k^, ^B,^C,^p,^q ∈ _R;k∈ _N

(19)

155.

Ry 173 - Rozklad na parciální zlomky ˇ

ZadáníRozložte funkciR(x) = ^x

(x−1)(x²+1) na parciální zlomky.

Parciální zlomky - 2 typy

1. A

(x−_α)^k^, ^kde^k ∈_N;A,α ∈ _R

2. Mx+N

(x²+px+q)^k^, ^kde^k∈ _N

M,N,p,q ∈ _R, diskriminant p² − 4q je záporný

• každou ryze lomenou racionální funkci lze rozložit na souˇcet parciálních zlomk˚u

• poˇcet zlomk˚u odpovídá stupni polynomu ve jmenovateli

Postup

1. najdeme koˇreny polynomu ve jmenovateli 2. napíšeme pˇredpokládaný tvar rozkladu 3. celou rovnici rozkladu vynásobíme poly-

nomem ve jmenovateli

4. nalezneme koeficienty rozkladu:

srovnávací metodou, dosazovací metodou nebo kombinací tˇechto metod

Alternativa pro parciální zlomek dru- hého typu

B(2x+p) +C

(x²+px+q)^k^, ^B,^C,^p,^q ∈ _R;k∈ _N

(20)

156.

Ry 174 - Integrace racionální lomené funkce ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z x+2

x³−2x²−8xdx b)

Z 3x−8

(x−4)(x−2)²^dx

Rešeníˇ Video Teorie: 20 ˇRešené pˇríklady: 78, 79, 80

Integrace parciálních zlomk˚u s reálnými koˇreny ve jmenovateli

Z A

x−_α^dx = Aln|x−α|+c

Z A

(x−α)^k^dx= ^A

(1−k)(x−α)^k⁻¹ +c, k ≥2

(21)

157.

Ry 175 - Integrace racionální lomené funkce ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z 3x

(x²+1)(x²+4)^dx ^b)

Z 3x²+4x+33 (x²+9)(3−x)^dx

Integrace parciálních zlomk˚u s komplexními koˇreny ve jmenovateli

Z B(2x+p)

x²+px+qdx=Bln|x²+px+q|+c

Z C

x²+px+qdx= ^C

a arctanx+p/2 a +c,

a= r

q− ^p² 4

(22)

158.

Ry 176 - Integrace racionální lomené funkce ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z x³

x³+xdx b)

Z 2x²−3x+5 x³(x+1) ^dx

Integrace parciálních zlomk˚u

Z A

x−_α^dx= Aln|x−_α|+c

Z A

(x−α)^k^dx= ^A

(1−k)(x−α)^k⁻¹ +c, k ≥2

Z B(2x+p)

x²+px+qdx=Bln|x²+px+q|+c

Z C

x²+px+qdx= ^C

a arctanx+p/2 a +c,

a= r

q− ^p² 4

(23)

159.

Ry 177 - Integrace goniometrických funkcí ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z

sin³xcos²x dx b)

Z

sin²xcos³x dx

Rešeníˇ Video Teorie: 21 ˇRešené pˇríklady: 81, 82, 83, 84

Výpoˇcet integrál˚u typu Z

sin^mxcosⁿx dx, kdem,n∈ _Z

1.mje liché⇒substitucecosx=t 2.nje liché⇒substitucesinx =t 3.minsudé, alespoˇn jedno záporné

⇒substitucetanx=t, pak sinx = √ ^t

1+t² cosx = √ ¹

1+t² dx = ^dt

1+t² 4.minsudé nezáporné

⇒využití vzorc˚u na dvojnásobný úhel:

sin²x = ¹−cos 2x 2 cos²x= ¹+cos 2x

2

(24)

160.

Ry 178 - Integrace goniometrických funkcí ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z sin²x

cos⁶xdx b)

Z

cos⁴x dx

Rešeníˇ Video Teorie: 21 ˇRešené pˇríklady: 81, 82, 83, 84

sin^mxcosⁿx dx, kdem,n∈ _Z

1.mje liché⇒substitucecosx=t 2.nje liché⇒substitucesinx =t 3.minsudé, alespoˇn jedno záporné

⇒substitucetanx=t, pak sinx = √ ^t

1+t² cosx = √ ¹

1+t² dx = ^dt

1+t² 4.minsudé nezáporné

⇒využití vzorc˚u na dvojnásobný úhel:

sin²x = ¹−cos 2x 2 cos²x= ¹+cos 2x

2

(25)

161.

Ry 179 - Integrace goniometrických funkcí ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z 1

2 sinx+1dx b)

Z 1

1+cosx+sinxdx

Rešeníˇ Video Teorie: 22 ˇRešené pˇríklady: 85, 86

R(sinx, cosx)dx, kde R(u,v) pˇredstavuje racionální funkci dvou promˇennýchu=sinxav=cosx

Univerzální substituce

tan x

2 =t, x∈ (−π,π) sinx = ^2t

1+t² cosx = ¹−t²

1+t² x=2 arctant

dx = ² 1+t²dt

(26)

162.

Ry 180 - Integrace iracionálních funkcí ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z 1+5x

√3

x+5dx b)

Z √3

x x+√

x⁵dx

Iracionální funkce integrujeme vˇetšinou substituˇcní metodou.

a) integrand obsahuje výraz √ⁿ ax+b

⇒substituceax+b =tⁿ

b) integrand obsahuje více odmocnin s r˚uznými odmocniteli ⁿ√¹

ax+b, ⁿ√²

ax+b,...

⇒substituceax+b=tⁿ, kdenje nejmenší spoleˇcný násobek ˇcíseln₁,n₂, ...

c) integrand obsahuje výrazp

a²−b²x²

⇒ goniometrická substituce bx = asint nebobx= acost

(27)

163.

Ry 181 - Integrace iracionálních funkcí ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z p

4−_x²_dx _b) ^Z _p ^dx

(₉−x²)³

Iracionální funkce integrujeme vˇetšinou substituˇcní metodou.

a) integrand obsahuje výraz √ⁿ ax+b

⇒substituceax+b =tⁿ

b) integrand obsahuje více odmocnin s r˚uznými odmocniteli ⁿ√¹

ax+b, ⁿ√²

ax+b,...

⇒substituceax+b=tⁿ, kdenje nejmenší spoleˇcný násobek ˇcíseln₁,n₂, ...

c) integrand obsahuje výrazp

a²−b²x²

⇒ goniometrická substituce bx = asint nebobx= acost

(28)

164.

Ry 182 - Neurˇcitý integrál

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z x²+4x+8

x+2 dx b)

Z dx

1+cos 2x

Rešeníˇ Video

(29)

165.

Ry 183 - Neurˇcitý integrál

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z 3^x

√1−9^xdx b)

Z x⁴+₁ x³−5x²+6xdx

Rešeníˇ Video

(30)

166.

Ry 184 - Neurˇcitý integrál

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z sinx

√3

1+_{2 cos}xdx b)

Z

2xe^x⁺¹dx

Rešeníˇ Video

(31)

167.

Ry 185 - Neurˇcitý integrál

ZadáníVyˇrešte:

a)

Z dx

sinx b)

Z ln²x+3 lnx−8

x dx

Rešeníˇ Video

(32)

168.

Ry 186 - Urˇcitý integrál, výpoˇcet a vlastnosti ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z2

1

(3x²+1)dx b) Z1

0

(3−x²)²dx c) Z1

−1

x² 1+x²dx

Newtonova-Leibnizova formule Zb

a

f(x)dx= [F(x)]^b_a =F(b)−F(a)

Vlastnosti

f = f(x) g =g(x)

a) Zb

a

(f +g)dx= Zb

a

f dx+ Zb

a

gdx

b) Zb

a

c f dx =c Zb

a

f dx

(33)

169.

Ry 187 - Urˇcitý integrál sudé a liché funkce ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

π

Z4

−^π₄

(x²+cosx)dx b) Z1

−1

5x

2x²+1dx c)

Z2

−2

2dx

Výpoˇcet integrálu sudé a liché funkce

a) sudá funkce:

Za

−a

f(x)dx=2 Za

0

f(x)dx

b) lichá funkce:

Za

−a

f(x)dx=₀

(34)

170.

Ry 188 - Metoda per partes pro urˇcité integrály ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z1

0

(x+2)e^xdx b)

√ Z 3

0

xarctanx dx

Metoda per partes pro urˇcitý integrál u=u(x) v⁰ =v⁰(x) u⁰ =u⁰(x) v =v(x) Zb

a

(u·v⁰)dx= [u·v]^b_a− Zb

a

(u⁰·v)dx

(35)

171.

Ry 189 - Substituˇcní metoda pro urˇcité integrály ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Ze

1

1+lnx

x dx b)

π2

Z

0

sinx√

cosx dx

Substituˇcní metoda

Zβ

α

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx=

ϕZ(β)

ϕ(α)

f(t)dt

Po zavedení vhodné substituce musíme urˇcit nové meze.

(36)

172.

Ry 190 - Substituˇcní metoda + metoda per partes ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z3

1

xln(x²+2)dx b)

1

Z2

0

arcsin 2xdx

Metoda per partes pro urˇcitý integrál u=u(x) v⁰ =v⁰(x) u⁰ =u⁰(x) v =v(x) Zb

a

(u·v⁰)dx= [u·v]^b_a− Zb

a

(u⁰·v)dx

Substituˇcní metoda

Zβ

α

f(ϕ(x))ϕ⁰(x)dx=

ϕZ(β)

ϕ(α)

f(t)dt

Po zavedení vhodné substituce musíme urˇcit nové meze.

(37)

173.

Ry 191 - Urˇcitý integrál racionální lomené funkce ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

√ Z3

1

x+2

x(x²+1)^dx ^b)

Z2

1

x−1 x³(x+₁)^dx

Rešeníˇ Video Rešené pˇríklady: 95ˇ

Integrace parciálních zlomk˚u Zb

a

A

x−_α^dx= A·[ln|x−α|]^b_a Zb

a

A

(x−_α)^k^dx=

A

(₁−k)(x−_α)^k⁻¹ b

a

, k ≥2

Zb

a

B(2x+p)

x²+px+qdx=B·[ln|x²+px+q|]^b_a Zb

a

C

x²+px+qdx= ^C m·

arctan x+p/2 m

b

a

,

m = r

q− ^p² 4

(38)

174.

Ry 192 - Nevlastní integrál 1. druhu ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a) Z∞

1

x²dx b)

Z1

−_∞

dx x²+2x+5

Výpoˇcet nevlastního integrálu 1. druhu Z∞

a

f(x)dx = lim

c→_∞ Z _c

a f(x)dx Za

−∞

f(x)dx= lim

c→−_∞ Z _a

c f(x)dx

0

y = ¹ x²

−1 1 2 3 4 5

−1 1 2

0

y= ¹

x²+2x+5

−5 −4 −3 −2 −1 1

−1 1

(39)

175.

Ry 193 - Nevlastní integrál 2. druhu ˇ

ZadáníVyˇrešte:

a)

π

Z4

0

dx

sinxcosx b)

Z1

0

lnx dx

Výpoˇcet nevlastního integrálu 2. druhu Zb

a

f(x)dx = lim

c→b⁻

Z _c

a f(x)dx Zb

a

f(x)dx = lim

c→a⁺

Z _a

c f(x)dx

−4

−3

−2

−1 1 2 3

y= ¹

sinxcosx

−π −π/2 0 π/2 π

0

y=lnx

−1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

(40)

176.

Ry 194 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rovinného obrazce ˇ

ZadáníZnázornˇete graf funkcey=_ln^x

2 a vypoˇcítejte obsah plochy ohraniˇcené touto funkcí, osou xa pˇrímkami:

a) x= ¹

2 a x = ³

2 b) x =₂ a x=₄

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Obsah kˇrivoˇcarého lichobˇežníka pro nezápornou funkci f(x) na ha,bi

P= Zb

a

f(x)dx

Obsah kˇrivoˇcarého lichobˇež- níka pro nekladnou funkci f(x)na ha,bi

P=− Zb

a

f(x)dx

(41)

177.

Ry 195 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rovinného obrazce ˇ

ZadáníVypoˇctˇete obsah útvaru (daný útvar znázornˇete) ohraniˇceného osouxa:

a) funkcíy=x²−3 a pˇrímkami:x=−2, x =2. b) jednou kladnou vlnou funkcey=sinx.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

−2

−1 1 2

0 π/2 π 3π/2 2π

0

Pokud funkce mˇení znaménko, je nutno brát ˇcásti nad osou xkladnˇe a ˇcásti pod osouxzápornˇe.

Obsah kˇrivoˇcarého lichobˇež- níka

P= Zb

a

|f(x)|dx

Poznámka:

ve druhém obrázku je osa y k osexv pomˇeru2 : 1.

(42)

178.

Ry 196 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rovinného obrazce ˇ

ZadáníVypoˇctˇete obsah rovinného obrazce (danou plochu znázornˇete) ohraniˇceného kˇrivkamiy =_e^x, y=_e⁻^xax =₁.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Obsah kˇrivoˇcarého lichobˇežníka ohraniˇceného dvˇema funkcemi

pokud platí:

f(x) ≥g(x)naha,bi

⇒P = Zb

a

(f(x)−g(x))dx, kdea,bjsou pr˚useˇcíky funkcí, tzn. ˇrešíme rovnici f(x) = g(x)

(43)

179.

Ry 197 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rovinného obrazce ˇ

ZadáníVypoˇctˇete obsah rovinného obrazce (danou plochu znázornˇete) ohraniˇceného kˇrivkamiy =x²+₁, y =2x²−₃.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Obsah kˇrivoˇcarého lichobˇežníka ohraniˇceného dvˇema funkcemi

pokud platí:

f(x) ≥g(x)naha,bi

⇒P = Zb

a

(f(x)−g(x))dx, kdea,bjsou pr˚useˇcíky funkcí, tzn. ˇrešíme rovnici f(x) = g(x)

(44)

180.

Ry 198 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rovinného obrazce ˇ

ZadáníVypoˇctˇete obsah rovinného obrazce ohraniˇceného osouxa kˇrivkou zadanou parametrickými rovnicemi x=2t−t², y=2t²−t³, kdet∈ h0, 2i.

Obsah kˇrivoˇcarého lichobˇežníka ohra- niˇceného funkcí danou parametrickými rovnicemi

x = ϕ(t)ay =ψ(t), kdet∈ hα;βi

⇒P=

Zβ

α

ψ(t)ϕ⁰(t)dt

0

x=2t−t² y=2t²−t³

−1 1 2

(45)

181.

Ry 199 - Užití urˇcitého integrálu, délka rovinné kˇrivky ˇ

ZadáníVypoˇctˇete délku kˇrivkyy² =x³nah_{0, 2}i.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Délka oblouku kˇrivky naha;bi

l = Zb

a

q

1+ (f⁰(x))²dx

(46)

182.

Ry 200 - Užití urˇcitého integrálu, délka rovinné kˇrivky ˇ

ZadáníVypoˇctˇete délku kˇrivkyy=_{ln sin}xpro π

4 ≤x≤ ^π 2.

Délka oblouku kˇrivky naha;bi

l = Zb

a

q

1+ (f⁰(x))²dx

(47)

183.

Ry 201 - Užití urˇcitého integrálu, délka rovinné kˇrivky ˇ

ZadáníVypoˇctˇete velikost dráhy, kterou urazí bod odt=₀dot=₂pˇri pohybu po kˇrivce dané parametrickými rovnicemi x=t³,y =5t².

Délka oblouku kˇrivky dané parametric- kými rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), kdet ∈ hα;βi

l = Zβ

α

q

(ϕ˙(t))²+ (_ψ^˙(t))²dt

(48)

184.

Ry 202 - Užití urˇcitého integrálu, objem rotaˇcního tˇelesa ˇ

ZadáníVypoˇctˇete objem tˇelesa vzniklého rotací oblastí ohraniˇcené funkcíy=√

2x−₃vh_{2, 3}ikolem osyx.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Objem rotaˇcního tˇelesa

V =π Zb

a

f²(x)dx

V =_π Zb

a

f²(x)−g²(x)dx

(49)

185.

Ry 203 - Užití urˇcitého integrálu, objem rotaˇcního tˇelesa ˇ

ZadáníVypoˇctˇete objem tˇelesa vzniklého rotací grafu funkcey=₂|_sinx|_,x ∈ h_{0, 2π}i, kolem osyx.

−2

−1 1 2

0 π/2 π 3π/2 2π

0

V =π Zb

a

f²(x)dx

V =_π Zb

a

f²(x)−g²(x)dx

Poznámka:

osayk osexje v pomˇeru2 : 1

(50)

186.

Ry 204 - Užití urˇcitého integrálu, objem rotaˇcního tˇelesa ˇ

ZadáníVypoˇctˇete objem tˇelesa, vzniklého rotací oblasti (oblast naˇcrtnˇete) ohraniˇcené funkcemiy=x², y²= x, kolem osyx.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

V =π Zb

a

f²(x)dx

V =_π Zb

a

f²(x)−g²(x)dx

(51)

187.

Ry 205 - Užití urˇcitého integrálu, objem rotaˇcního tˇelesa ˇ

ZadáníVypoˇctˇete objem tˇelesa, vzniklého rotací oblasti (oblast naˇcrtnˇete) ohraniˇcené funkcemiy=_e^x,y= x+₂, kolem osyx.

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

V =π Zb

a

f²(x)dx

V =_π Zb

a

f²(x)−g²(x)dx

(52)

188.

Ry 206 - Užití urˇcitého integrálu, objem rotaˇcního tˇelesa ˇ

ZadáníVypoˇctˇete objem tˇelesa vzniklého rotací parametricky zadané funkcex= ¹−t

1+t,y = ¹

1+t, kdet∈ h0, 1i, kolem osyx.

V =π Zβ

α

ψ²(t)|ϕ⁰(t)|dt

(53)

189.

Ry 207 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rotaˇcní plochy ˇ

ZadáníVypoˇctˇete povrch rotaˇcního tˇelesa vzniklého rotací kˇrivkyy=√

xkolem osyxprox ∈ h_{1, 4}i.

Obsah rotaˇcní plochy

S=2π Zb

a

f(x) q

1+ (f⁰(x))²dx

f(x)≥0

(54)

190.

Ry 208 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rotaˇcní plochy ˇ

ZadáníVypoˇctˇete povrch tˇelesa vzniklého rotací parametricky zadané funkcex=asin 2t,y =2asin²t, kdet∈ h_0,_πi, kolem osyx.

Obsah rotaˇcní plochy

S=2π Zβ

α

ψ(t) q

(ϕ˙(t))²+ (ψ^˙(t))²dt

ψ(t) ≥0

(55)

(56)

191.

Ry 210 - Definiˇcní obor ˇ

ZadáníNaleznˇete definiˇcní obor funkce:

a) z = ^x−y+8

x+y−2 b) z =^p2x+y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Zlomek

jmenovatel je r˚uzný od0

Sudá odmocnina

výraz pod odmocninou je nezáporný

Logaritmus

argument je kladný Tangens

argument je r˚uzný od ^π₂ +k·π, k ∈ _Z

Kotangens

argument je r˚uzný odk·_π, k ∈ _Z

Arkussinus, arkuskosinus argument leží v intervalu h−1, 1i

(57)

192.

Ry 211 - Definiˇcní obor ˇ

a) z = q

y²−1 b) z = ^x+2y

py²−₁ +^px²−₁

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Zlomek

Sudá odmocnina

Logaritmus

Kotangens

(58)

193.

Ry 212 - Definiˇcní obor ˇ

a) z =lnx+lny b) z =ln(y(x+2))

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Zlomek

Sudá odmocnina

Logaritmus

Kotangens

(59)

194.

Ry 213 - Definiˇcní obor ˇ

a) z =^p16−x²−y² b) z = ¹

arcsinxarccosx

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Zlomek

Sudá odmocnina

Logaritmus

Kotangens

(60)

195.

Ry 214 - Definiˇcní obor ˇ

a) z =ln(xy−4) b) z =

s y−x² x³−y

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Zlomek

Sudá odmocnina

Logaritmus

Kotangens

(61)

196.

Ry 215 - Definiˇcní obor ˇ

a) z =arccos

2x²+^2y

2

9 −1

b) z =^p_cos(x−y)

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4

0

Zlomek

Sudá odmocnina

Logaritmus

Kotangens

(62)

197.

Ry 216 - Definiˇcní obor ˇ

ZadáníRozhodnˇete, který definiˇcní obor odpovídá funkciz=arcsinx²+y²−5

4 .

−₅ −₄ −₃ −₂ −₁ ₁ ₂ ₃ ₄

−₅

−₄

−₃

−2

−1 1 2 3 4

0

¬

−₅ −₄ −₃ −₂ −₁ ₁ ₂ ₃ ₄

−₅

−₄

−₃

−2

−1 1 2 3 4

0

−₅ −₄ −₃ −₂ −₁ ₁ ₂ ₃ ₄

−₅

−₄

−₃

−2

−1 1 2 3 4

0

®

Zlomek

Sudá odmocnina

Logaritmus

Kotangens

(63)

198.

Ry 217 - Definiˇcní obor ˇ

ZadáníRozhodnˇete, který definiˇcní obor odpovídá funkciz=^p₁−x²+y+^p₁−x²−y.

y=x²−1

y=−x²+1

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−₃

−₂

−₁ 1 2 3 4

0

¬

y=x²+1

y=−x²−1

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−5

−4

−₃

−₂

−₁ 1 2 3 4

0

y=−x²+1

y=−x²−1

−₅ −₄ −₃ −₂ −₁ ₁ ₂ ₃ ₄

−₅

−₄

−₃

−2

−1 1 2 3 4

0

®

Zlomek

Sudá odmocnina

Logaritmus

Kotangens

(64)

199.

Ry 218 - Definiˇcní obor ˇ

ZadáníRozhodnˇete, který definiˇcní obor odpovídá funkciz= ¹

x²−y² +arcsinx 4 +

q

16−y².

y=x y=−x

−₅ −₄ −₃ −₂ −₁ ₁ ₂ ₃ ₄

−₅

−₄

−₃

−2

−1 1 2 3 4

0

¬

y=x y=−x

−₅ −₄ −₃ −₂ −₁ ₁ ₂ ₃ ₄

−₅

−₄

−₃

−2

−1 1 2 3 4

0

y=x y=−x

−₅ −4 −₃ −₂ −1 1 2 3 4

−5

−₄

−₃

−₂

−₁ 1 2 3 4

0

®

Zlomek

Sudá odmocnina

Logaritmus

Kotangens

Matematika II: Pracovní listy do cviˇcení

Radomír Paláˇcek, Petra Schreiberová, Petr Volný

Katedra matematiky a deskriptivní geometrie

VŠB - Technická univerzita Ostrava

Ry 157 - Pˇrímá metoda ˇ

Ry 158 - Pˇrímá metoda ˇ

Ry 159 - Pˇrímá metoda ˇ

Ry 160 - Pˇrímá metoda ˇ

Ry 161 - Lineární substituce, obecné vzorce ˇ

Ry 162 - Lineární substituce, obecné vzorce ˇ

Ry 163 - Metoda per partes ˇ

Ry 164 - Metoda per partes ˇ

Ry 165 - Metoda per partes ˇ

Ry 166 - Substituˇcní metoda ˇ

Ry 167 - Substituˇcní metoda ˇ

Ry 168 - Substituˇcní metoda ˇ

Ry 169 - Substituˇcní metoda ˇ

Ry 170 - Substituˇcní metoda + metoda per partes ˇ

Ry 171 - Racionální lomená funkce ˇ

Ry 172 - Rozklad na parciální zlomky ˇ

Ry 173 - Rozklad na parciální zlomky ˇ

Ry 174 - Integrace racionální lomené funkce ˇ

Ry 175 - Integrace racionální lomené funkce ˇ

Ry 176 - Integrace racionální lomené funkce ˇ

Ry 177 - Integrace goniometrických funkcí ˇ

Ry 178 - Integrace goniometrických funkcí ˇ

Ry 179 - Integrace goniometrických funkcí ˇ

Ry 180 - Integrace iracionálních funkcí ˇ

Ry 181 - Integrace iracionálních funkcí ˇ

Ry 182 - Neurˇcitý integrál

Ry 183 - Neurˇcitý integrál

Ry 184 - Neurˇcitý integrál

Ry 185 - Neurˇcitý integrál

Ry 186 - Urˇcitý integrál, výpoˇcet a vlastnosti ˇ

Ry 187 - Urˇcitý integrál sudé a liché funkce ˇ

Ry 188 - Metoda per partes pro urˇcité integrály ˇ

Ry 189 - Substituˇcní metoda pro urˇcité integrály ˇ

Ry 190 - Substituˇcní metoda + metoda per partes ˇ

Ry 191 - Urˇcitý integrál racionální lomené funkce ˇ

Ry 192 - Nevlastní integrál 1. druhu ˇ

Ry 193 - Nevlastní integrál 2. druhu ˇ

Ry 194 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rovinného obrazce ˇ

Ry 195 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rovinného obrazce ˇ

Ry 196 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rovinného obrazce ˇ

Ry 197 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rovinného obrazce ˇ

Ry 198 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rovinného obrazce ˇ

Ry 199 - Užití urˇcitého integrálu, délka rovinné kˇrivky ˇ

Ry 200 - Užití urˇcitého integrálu, délka rovinné kˇrivky ˇ

Ry 201 - Užití urˇcitého integrálu, délka rovinné kˇrivky ˇ

Ry 202 - Užití urˇcitého integrálu, objem rotaˇcního tˇelesa ˇ

Ry 203 - Užití urˇcitého integrálu, objem rotaˇcního tˇelesa ˇ

Ry 204 - Užití urˇcitého integrálu, objem rotaˇcního tˇelesa ˇ

Ry 205 - Užití urˇcitého integrálu, objem rotaˇcního tˇelesa ˇ

Ry 206 - Užití urˇcitého integrálu, objem rotaˇcního tˇelesa ˇ

Ry 207 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rotaˇcní plochy ˇ

Ry 208 - Užití urˇcitého integrálu, obsah rotaˇcní plochy ˇ

Ry 210 - Definiˇcní obor ˇ

Ry 211 - Definiˇcní obor ˇ

Ry 212 - Definiˇcní obor ˇ

Ry 213 - Definiˇcní obor ˇ

Ry 214 - Definiˇcní obor ˇ

Ry 215 - Definiˇcní obor ˇ

Ry 216 - Definiˇcní obor ˇ

¬

­

®

Ry 217 - Definiˇcní obor ˇ

¬

­

®

Ry 218 - Definiˇcní obor ˇ

¬

­

®