Příklad 6.11

Příklad 6.3

Zadání: Na svislé pružině o zanedbatelné hmotnosti je zavěšena destička o hmotnosti m = 20 g a na ní leží závaží o hmotnosti m1 = 5 g. Rozkmitáme-li pružinu, zjistíme, že perioda kmitů je T₁ = π/3 s. Poté závaží m₁ nahradíme jiným o hmotnosti m₂ = 25 g. Jaká je vzdálenost ∆L, o kterou se posune destička vůči předchozí poloze (tj. poloze se závažím m₁)?

m m₁

m m₂

∆l1

∆l₂ T₁,ω₁

Řešení: Pro případ kmitání destičky m a závažíčka m₁ má pro tuhost pružiny k pohybová rovnice tvar:

(m+m₁)¨y=−ky.

Řešením této diferenciální rovnice je funkce y(t) = Asin (ω₁t+ϕ), kde konstanty A a ϕ závisejí na počátečních podmínkách. Úhlová frekvence ω₁ a perioda kmitů T₁ jsou dány jako:

ω1 =

r k m+m₁ T₁ = 2π

ω = 2π rm

k , odkud si můžeme vyjádřit tuhost pružiny

k = 4π²

T₁² (m+m₁).

Nyní sledujme prodloužení pružiny (viz obrázek). Pro destičku m a závažíčko m1 se pružina prodlouží o ∆l₁. Po záměně závažíčka m₂ za m₁ se pružina prodlouží ještě o ∆l₂, čili celkové prodloužení je v tomto případě ∆l₁ + ∆l₂. Vyjádříme-li si toto pomocí rovnic pro rovnováhu sil (rovnováha tíhové síly a síly pružnosti), dostaneme:

(m+m₁)g = k∆l₁

(m+m2)g = k(∆l1+ ∆l2)

∆l2 = (m2−m1)g

k .

Z poslední rovnosti dosazením za tuhost pružiny obdržíme výsledný vztah a číselný výsledek 21.8 cm.

∆l₂ = T₁² 4π²

m₂−m₁ m+m₁ g

1

Příklad 6.4

Zadání: Na pružinu o zanedbatelné hmotnosti a tuhosti k zavěsíme závaží o hmotnosti m a rozkmitáme jej. Určete periodu T, fázový posuv ϕ a amplitudu kmitů A, víte-li, že v čase t = 0 má závaží kinetickou energiiE_k0 rovnu trojnásobku potenciální energie pružnosti E_p0.

Řešení: Obecné řešení pohybu harmonického oscilátoru má tvar:

y(t) = Asin (ωt+ϕ),

kde A, ω a ϕ značí po řadě amplitudu kmitů, úhlovou frekvenci a fázový posuv. Rychlost v(t) získáme derivací okamžité výchylky y(t) podle času.

v(t) = dy(t)

dt =Aωcos (ωt+ϕ)

Pro úhlovou frekvenci kmitání tělesa o hmotnosti m na pružině s tuhostí k platí známý vztah:

ω= rk

m, perioda kmitů je tedy:

T = 2π ω = 2π

rm k

Amplitudu kmitů A a fázový posuv ϕvypočítáme ze znalosti počátečních podmínek.

y₀ =y(t = 0) = Asinϕ v0 =v(t = 0) = Aωcosϕ

Fázový posuv dostaneme, vydělíme-li první rovnici druhou. Amplitudu získáme sečtením kvadrátů obou rovnic.

y₀ v0

= 1 ω

sinϕ cosϕ tgϕ = y₀

v₀ω.

y²₀ +v₀ ω

2

= A²sin²ϕ+A²cos²ϕ A² = y₀²+ v²₀

ω²

Velikost počáteční výchylky y0 a počáteční rychlosti v0 spočítáme z počátečních hodnot kine- tické a potenciální energie. Kinetická energii závažíE_ka potenciální energie pružnostiE_pjsou dány jako:

E_k = 1 2mv², E_p = 1

2ky². 1

Počáteční výchylkay0 a počáteční rychlost v0 jsou tedy:

y₀ =

r2E_p0 k =

r2E_k0 3k , v₀ =

r2E_k0 m ,

kde jsme využili znalosti, že ze zadání platíE_k0 = 3E_p0. Dosaďme tedy zpět do předchozích vztahů a vypočítejme fázový posuv a amplitudu.

tgϕ =

q2Ek0

3k

q2Ek0

m

rk m tgϕ =

√3

3 ϕ₁ = π

6 ϕ₂ = 7π

6

A² = 2Ek0

3k +2Ek0

m m

k A² = 8E_k0

3k A =

r8E_k0 3k

2

Příklad 6.11

Zadání: Uvnitř koule o poloměruR a hustotě % je kulová dutina o poloměru R/4 ve vzdálenosti R/4 od středu koule (viz obrázek který je řezem v rovině procházející středy obou koulí). Jaká je velikost gravitačního zrychlení v bodě P (vzdálenost a od povrchu koule), když pro stejnou kouli, ale bez dutiny je v bodě P velikost gravitačního zrychlení g?

a

P R

R/4

Řešení: Jak známo gravitační pole (intenzita a potenciál) homogenní plné koule o hmotnosti M vně této koule má stejný tvar jako gravitační pole hmotného bodu o stejné hmotnosti M umístěného do jejího středu. Hodnota x-ové složky intenzity gravitačního pole velké koule bez dutiny v bodě P je tedy:

K_x⁽¹⁾(P) = κM

(a+R)² =g.

Pro malou kouli na místě a o velikosti dutiny má x-ová složka intenzity gravitačního pole v bodě P velikost:

K_x⁽²⁾(P) = κm a+R+^R₄2.

Poznamenejme, že z důvodu symetrie jey-ová iz-ová složka obou intenzit gravitačního pole nulová.

Mezi hmotnostmi m malé koule aM velké koule platí vztah:

m =%V₂ =MV2

V₁ =M

4

3π ^R₄3 4

3πR³ = M

64

Výsledná hledaná hodnotax-ové složky intenzity gravitačního pole v bodě P pro zadanou kouli s dutinou je rovna rozdílu intenzit Kx⁽¹⁾(P) aKx⁽²⁾(P).

K_x(P) = K_x⁽¹⁾(P)−K_x⁽²⁾(P) = κM

(a+R)² − κm a+ ⁵₄R2

K_x(P) = κM

(a+R)² 1− (a+R)² 64 a+⁵₄R2

!

K_x(P) = g

"

1−

a+R 8a+ 10R

2#

1