Hlavní práce5339_xhrej03.pdf, 678.8 kB Stáhnout

Vysoká škola ekonomická v Praze

Fakulta informatiky a statistiky

Studijní program: Kvantitativní metody v ekonomice Studijní obor: Statistické a pojistné inženýrství

Diplomant: Jan Hrevuš

Vedoucí diplomové práce: doc. RNDr. Felix Koschin, CSc.

PROSPEKTIVNÍ ÚMRTNOSTNÍ TABULKY A PENZIJNÍ FONDY

akademický rok 2006/2007

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracoval samostatně a že jsem uvedl všechny použité prameny a literaturu, ze kterých jsem čerpal.

V Praze dne

……….

podpis

Poděkování

Rád bych touto cestou poděkoval především doc. RNDr. Felixovi Koschinovi, CSc.

za odborné vedení, velmi vstřícný přístup a mnoho podnětných námětů a rad pro zlepšení kvality výsledné diplomové práce. Dále bych chtěl poděkovat Mgr. Martině Miskolczi za poskytnutí metodiky výpočtu úmrtnostních tabulek Českého statistického úřadu a také všem zaměstnancům penzijních fondů, kteří mi poskytli cenné údaje.

Abstrakt

Diplomová práce se zabývá současnou situací na trhu penzijního připojištění v České republice, primárně si však klade za cíl zmapovat současný stav využívání úmrtnostních tabulek našimi penzijními fondy. Jsou zde uvedeny různé možnosti výpočtu úmrtnostních tabulek ve snaze vybrat tu nejvhodnější a též pokus zavést aspekt stále rostoucí délky života do aktuárských výpočtů. Výpočty jsou založeny na oficiálních datech ČSÚ, podle nichž autor s využitím odborné literatury a vhodného softwarového vybavení konstruuje vlastní úmrtnostní tabulky. Práce upozorňuje mj. na některé nekorektnosti při užívání současných úmrtnostních tabulek a mohla by mít přínos nejen pro penzijní fondy, ale i životní pojišťovny a všechny ostatní instituce, které tyto tabulky pro svoji činnost potřebují.

V první části práce je stručně popsán současný stav penzijního připojištění v ČR, v další části autor konstruuje vlastní úmrtnostní tabulky a výsledky dosazuje do užívaných aktuárských postupů. Nakonec se pokouší vyčíslit rozdíly při různých způsobech výpočtu tabulek.

The research paper concerns the current situation on the market of additional pensioninsurance in the Czech Republic, but primarily proposes to describe the present situation of using life tables by our pension funds. Some of the possible calculations of the life tables are presented in an attempt to choose the best approach, and to also include data on increasing life expectancy. Calculations are based on official data provided by the Czech Statistical Office. Life tables for the writer are based on this information, and the results are calculated using appropriate software and literature.

The research paper demonstrates some inaccuracies in using the present life tables.

This could benefit not only the pension funds and the life insurance companies, but also other institutions, that need these tables.

First, a brief description of the current situation regarding additional pension insurance in the Czech Republic is presented. Then, life tables for the writer are calculated and the results are used according to generally accepted actuarial principles. Finally, attempts are made to calculate differences between the different approaches.

Obsah

Obsah ...5

1. Úvod...6

2. Penzijní připojištění a penzijní fondy ...7

2.1 Penzijní připojištění jako součást systému pojistné ochrany občanů...7

2.2 Právní rámec a základní pojmy penzijního připojištění...9

2.3 Výše dávek penzijního připojištění...11

2.4 Situace na trhu penzijního připojištění v ČR ...13

3. Úmrtnostní tabulky ...16

3.1 Klasické úmrtnostní tabulky ...16

3.2 Prospektivní úmrtnostní tabulky...40

3.3 Alternativní přístupy užívané v praxi ...54

3.4 Porovnání penzijních fondů s ohledem na kalkulovaný vývoj úmrtnosti...55

4. Využití prospektivních úmrtnostních tabulek v penzijním připojištění...58

4.1 Výpočetní aspekty penzí...58

4.2 Ukázkový příklad...60

5. Závěr ...62

Literatura...64

1. Úvod

Ve své diplomové práci se zabývám především úmrtností starších lidí a dopadem jejích změn na fungování penzijních fondů. Důvod výběru tématu byl prostý. Mojí hlavní specializací je statistické a pojistné inženýrství, v rámci své vedlejší specializace se pak zabývám demografií. Přišlo mi proto logické zužitkovat pokud možno co nejvíce vědomostí získaných v rámci všech studovaných oborů. Pomocí statistických metod vybírám nejvhodnější způsob modelování úmrtnosti a dále tvořím úmrtnostní tabulky, které využiji v aktuárských výpočtech.

Stáří bývá z hlediska člověka většinou nevyhnutelnou životní etapou, kdy dochází ke snížení životní úrovně oproti produktivnímu věku, pokud se na něj jedinec předem patřičně nepřipraví. Naše státní důchodové zabezpečení není příliš spravedlivé, hlavně díky redukci výpočtového základu má vyměřený starobní důchod s minulými příjmy pramálo společného a celý systém je přespříliš solidární. Další alternativou, jak se na stáří zabezpečit, mohou být penzijní fondy. Aby ovšem tyto fondy dobře fungovaly, musí jejich výpočty vycházet ze správných vstupních údajů, jimiž jsou mj.

úmrtnostní tabulky. Fondy musí odhadnout co nejpřesněji dobu, po kterou budou v průměru každému z klientů vyplácet doživotní penze, aby mohly v budoucnu dostát svým závazkům. Samotný odhad této průměrné doby výplaty je značně problematický.

Aktuální úmrtnostní tabulky nám poskytují údaje pouze o současném stavu úmrtnosti, a tudíž neposkytují informaci o trendu, a tedy ani o tom, jak by mohla vypadat úmrtnost v době jedincovy smrti. Problematická může být i sama metoda modelování úmrtnosti při tvorbě tabulek. Od konce 80. let totiž u nás dochází k nebývale prudkému poklesu úmrtnosti starých osob, a to zejména mužů, který může mít nepříznivé výsledky na hospodaření penzijních fondů. Při modelování úmrtnosti pro věky přibližně nad 80 let bývají překážkou i relativně velké náhodné odchylky z důvodu malého počtu žijících ve vysokých věcích.

Ve své práci si kladu za cíl zmapovat problematiku penzijního připojištění, zejména jeho výpočetních aspektů. Pokusím se ověřit korektnost v praxi užívaného způsobu tvorby úmrtnostních tabulek, případně navrhnout vlastní řešení a způsob zohlednění rostoucí délky života v aktuárských výpočtech.

Jelikož aktuárské postupy jednotlivých penzijních fondů mohou být předmětem obchodního tajemství, budu muset nejspíš vycházet pouze z volně dostupné odborné literatury a svých úvah. V této práci navržená metodika si neklade za cíl být nejlepší možnou, jedná se pouze o jakousi inspiraci pro cílové skupiny, jak případně zlepšit pojistně-matematické výpočty.

Tato práce je určena nejen penzijním fondům, ale i všem ostatním subjektům, kterých se struktura a změny úmrtnosti v jednotlivých letech života ve stáří týkají. Jedná se zde zejména o životní pojišťovny, kde si klient může u kapitálového či investičního životního pojištění namísto jednorázové výplaty zvolit doživotní důchod.

2. Penzijní připojištění a penzijní fondy

2.1 Penzijní připojištění jako součást systému pojistné ochrany občanů

V dobách dávno minulých byli lidé v případě své objektivní pracovní neschopnosti (tj. v případě stáří, nemoci, mateřství apod.) odkázáni na solidaritu svých příbuzných. Dnes již většina vyspělých států zavedla propracované systémy pojistné ochrany svých občanů. Základem těchto systémů jsou tři pilíře¹. Jedná se o sociální pojištění, penzijní připojištění a individuální pojištění. Ačkoliv se jedná o pojistnou ochranu pro více případů, jak je uvedeno výše, budu se v dalším textu zabývat pouze ochranou v případě stáří, neboť toto bezprostředně souvisí s tématem mé diplomové práce.

2.1.1 Sociální pojištění

První z pilířů je též nazýván sociálním zabezpečením a zahrnuje mj. i povinné důchodové pojištění. Z něj jsou financovány výplaty sociálních důchodů, jako jsou starobní, invalidní, vdovské, vdovecké, sirotčí a další důchody. Tento pilíř je tradiční pojistnou ochranou všech občanů a bývá financován povinnými příspěvky, daněmi a odvody. V České republice je využívána metoda průběžného financování, která je založena na mezigenerační solidaritě, kdy výdělečně činní přispívají na starobní penze dnešních důchodců.

Tato metoda se však v současné podobě zdá neudržitelná. V posledních letech rychle klesala porodnost i úmrtnost, což má za následek významné stárnutí populace, a výdělečně činní budou v budoucnu muset financovat stále větší počet důchodců.

Na grafu 2.1.1 na následující straně je znázorněn výsledek střední varianty projekce ČSÚ. Z grafu je patrné, jak by naše populace podle této varianty stárla.

Zatímco dnes je podíl obyvatelstva nad 65 let přibližně 14 % z celkového počtu obyvatelstva, v roce 2050 by to mohlo být mezi 30,5 % (podle vysoké varianty) a 33 % (podle nízké varianty). Splnění tohoto scénáře ovšem záleží na více faktorech, jimiž jsou vývoj migrace, plodnosti a úmrtnosti. V nynějších tendencích vývoje plodnosti a úmrtnosti nelze v blízké době očekávat nějaké náhlé zvraty s dlouhodobými dopady, neboť tyto procesy mají dlouhou setrvačnost. Vývoj migrace lze odhadovat jen velmi obtížně.

1 CIPRA, T.: Penzijní pojištění a jeho výpočetní aspekty. Praha: Edice HZ 1996.

ISBN 80-86009-04-1, str. 9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

100 000 50 000 0 50 000 100 000

muži ženy

2050

2002

počet obyvatel

Graf 2.1.1 Projekce věkového složení obyvatelstva podle jednotek věku, střední varianta ČSÚ

Pramen: ČSÚ

Pro dočasnou udržitelnost průběžné metody financování důchodového pojištění lze zvyšovat povinné odvody na sociální pojištění výdělečně činných (tzn. zvýšit objem finančních prostředků v systému). Je zde ale problém, jaká výše odvodů je ještě společensky únosná, neboť tyto částky nelze donekonečna zvyšovat. Dále lze zvyšovat hranici věku odchodu do důchodu (tzn. zvýšit počet přispívajících do systému), opět se zde však vyskytuje problém, do jakého věku je člověk schopen podávat odpovídající pracovní výkony. Další možností je zavádět nejrůznější propopulační opatření, kterými by se zvýšil v budoucnu počet ekonomicky aktivních. Tato opatření ale nemají dlouhodobý účinek a ve svém důsledku se mohou dokonce vymstít. Důkazem může být výrazné přechodné zvýšení plodnosti v 70. letech. Až tato generace půjde do penze, bude to znamenat výraznou zátěž pro náš státní důchodový systém. Další z možností, jak zvýšit počet výdělečně činných, kteří by přispívali na osoby v důchodovém věku, je podpora imigrace. Všechna tato opatření dohromady mohou kompenzovat současné stárnutí populace a jeho dopady na penzijní systém. Je však velmi obtížné stanovit parametry těchto opatření tak, aby se opatření vzájemně doplňovala, byla účelná a zároveň společensky akceptovatelná.

2.1.2 Penzijní připojištění

Tento pilíř pojistné ochrany je u nás doplňkovým a dobrovolným k systému sociálního pojištění. Záleží pouze na uvážení každého jednotlivce, zda systému penzijního připojištění využije. Důchody z penzijního připojištění pouze doplňují důchody ze sociálního zabezpečení.

Ke vzniku tohoto systému vedla řada okolností. Jsou jimi především nepříznivý demografický vývoj, díky kterému je stále obtížnější udržet průběžný systém

financování, dále je to výše důchodů ze sociálního zabezpečení, která většinou pokryje jen základní životní potřeby, a pokud by byl člověk odkázán pouze na tyto důchody, došlo by k výraznému poklesu jeho životní úrovně po vstupu do důchodu. Pokles životní úrovně by byl tím vyšší, čím vyšší měl jedinec příjmy během svého produktivního života.

Penzijní připojištění je financováno výhradně fondově, kdy si účastník spoří na svém vlastním účtu, z něhož mu bude ve stáří vyplácen důchod, jehož výše je přímo úměrná naspořené částce. Touto formou připojištění se budu zabývat v celém dalším textu práce.

2.1.3 Individuální pojištění

Tento poslední doplňkový dobrovolný pilíř závisí stejně jako penzijní připojištění na individuální míře zodpovědnosti občana. Jedná se o nejrůznější formy životního pojištění se spořivou složkou, dále spoření během produktivního života a nejrůznější investice.

2.2 Právní rámec a základní pojmy penzijního připojištění

Problematika penzijního připojištění je upravena zákonem č. 42/1994 Sb., o penzijním připojištění se státním příspěvkem, v platném znění. V zájmu přesnosti jednotlivých definic základních pojmů a souvislostí z oblasti penzijního připojištění budu v této podkapitole vycházet právě z výše uvedeného zákona ve znění platném od 1. 1. 2007. Cílem však není kompletní rozbor tohoto poměrně rozsáhlého zákona, proto zde uvedu pouze ty nejzákladnější údaje, které bezprostředně souvisejí s mojí diplomovou prací a které budou pro další text důležité.

2.2.1 Základní pojmy a souvislosti

Zákon vymezuje penzijní připojištění jako shromažďování peněžních prostředků od účastníků penzijního připojištění a státu, nakládání s těmito prostředky a vyplácení dávek účastníkům. Účastníkem může být fyzická osoba starší 18 let. Účast na penzijním připojištění je dobrovolná.

Penzijní připojištění může provozovat pouze penzijní fond, který je akciovou společností. Depozitářem penzijního fondu je banka. Hodnota základního kapitálu činí alespoň 50 000 000 Kč.

Penzijní fond musí mít penzijní statut a penzijní plán, které jsou každému přístupné. Statut musí mj. obsahovat rozsah činnosti penzijního fondu, zaměření a cíle investiční politiky, zásady hospodaření penzijního fondu a způsob použití zisku.

Penzijní plán mj. stanoví druhy penzí a ostatních dávek penzijního připojištění, způsob výpočtu dávek poskytovaných z penzijního připojištění, výši příspěvků, pravidla a způsob placení příspěvků a postup při neplacení a opožděném nebo nesprávném placení příspěvků a zásady, podle kterých se rozděluje zisk z hospodaření penzijního fondu.

Penzijní plán musí být definován jako příspěvkový, kde výše penze závisí na úhrnu příspěvků zaplacených ve prospěch účastníka, podílu účastníka na výnosech z hospodaření fondu a věku, od kterého se poskytuje penze.

Před uzavřením smlouvy musí být účastník seznámen se statutem a penzijním plánem, který je její součástí. Účastník může určit osobu, které v případě jeho smrti vznikne nárok na odbytné. Účastník může penzijní připojištění kdykoliv vypovědět.

Z penzijního připojištění se poskytují tyto dávky: penze, jednorázové vyrovnání a odbytné. Penzí se rozumí doživotní pravidelná výplata peněžní částky, a jde-li o pozůstalostní penzi, výplata peněžní částky po dobu stanovenou penzijním plánem.

Penze lze poskytovat starobní, invalidní, výsluhové a pozůstalostní. Věk stanovený pro nárok na starobní penzi nesmí být nižší než 60 let. Podmínkou nároku na invalidní penzi je přiznání plného invalidního důchodu z důchodového pojištění, na vyplácení výsluhové penze je pak podmínkou dosažení doby penzijního připojištění stanovené penzijním plánem. Pro přiznání pozůstalostní penze je podmínkou nároku úmrtí účastníka.

Výše příspěvku účastníka se stanoví na kalendářní měsíc a nesmí být nižší než 100 Kč. Účastník nemůže platit příspěvek současně u více penzijních fondů. Výši příspěvků může účastník do budoucna změnit. Za účastníka může s jeho souhlasem platit penzijnímu fondu příspěvek nebo jeho část třetí osoba.

Ze státního rozpočtu se poskytují ve prospěch účastníků státní příspěvky. Jejich výši popisuje následující tabulka.

Tabulka 2.2.1 Výše státního příspěvku na účet účastníka

Výše měsíčního příspěvku účastníka v Kč Výše měsíčního státního příspěvku v Kč

100 až 199 50 + 40 % z částky nad 100 Kč

200 až 299 90 + 30 % z částky nad 200 Kč

300 až 399 120 + 20 % z částky nad 300 Kč

400 až 499 140 + 10 % z částky nad 400 Kč

500 a více 150 Kč

Zdroj: Zákon č. 42/1994 Sb. v platném znění

Penzijní fond dále musí rozdělit zisk následujícím způsobem. Nejméně 5 % připadá do rezervního fondu a nejvíce 10 % se rozděluje podle rozhodnutí valné hromady (tj. většinou ve prospěch akcionářů), zbylá část se použije ve prospěch účastníků a osob, jejichž penzijní připojištění zaniklo v roce, za který se zisk rozděluje.

Lidé se přirozeně bojí, že o své mnohdy celoživotní úspory mohou přijít. Zákon ukládá penzijním fondům hospodařit s majetkem s odbornou péčí a s cílem zabezpečit spolehlivý výnos. V zákoně je jasně vymezeno, do čeho může fond investovat. Jedná se většinou o cenné papíry s nízkým rizikem (státní dluhopisy, dluhopisy ČNB aj.), a tudíž i s nízkým zhodnocením. V letech 1994 až 1996 bylo uděleno 46 licencí na poskytování penzijního připojištění, dnes zde působí pouze 10 fondů. Většina zaniklých fondů prošla fúzí, avšak i přes přísné zákonné podmínky finančního umístění jich několik zbankrotovalo (blíže viz kapitolu 2.4) a klienti nebyli plně finančně vypořádání. Nutno dodat, že od roku 1994 byl zákon několikrát novelizován a postupně se podmínky umístění finančních prostředků zpřísňovaly.

Na činnost penzijního fondu a depozitáře dohlíží Česká národní banka a částečně i ministerstvo, které přiděluje státní příspěvky.

Vedle státního příspěvku je tato forma spoření zvýhodněna i daňově. Podle zákona 45/2006 Sb., o daních z příjmů, si může účastník od základu daně odečíst tu část svých ročních příspěvků, která přesáhne 6 000 Kč. Maximální částka, kterou je možno takto odečíst, činí 12 000 Kč ročně.

Zvýhodněny jsou i příspěvky od zaměstnavatele, z nichž se neplatí zdravotní ani sociální pojištění a pro zaměstnance se jedná o příjem, který nepodléhá dani z příjmu.

2.2.2 Asociace penzijních fondů České republiky

Asociace penzijních fondů ČR (APF ČR) k 1. 1. 2007 sdružovala všech deset penzijní fondů aktivních na území ČR a dále poradenské firmy KPMG Česká republika, s.r.o. a Deloitte, s.r.o. jako přidružené členy.

Asociace má za úkol především koordinovat a prosazovat zájmy svých členů, propagovat myšlenku penzijního připojištění a dále podporovat a organizovat vzdělávací a vědeckou činnost. Též například působí během legislativního procesu, kdy připomínkuje a iniciuje související legislativní návrhy. Pro jednotlivé aspekty své činnosti zřizuje odborné komise.

2.3 Výše dávek penzijního připojištění

Ze zákona jsou z penzijního připojištění poskytovány tři druhy dávek. Jedná se o penzi, jednorázové vyrovnání a odbytné.

2.3.1 Jednorázové vyrovnání

Výše jednorázového vyrovnání se stanoví jako úhrn příspěvků zaplacených účastníkem, státem a případně i nějakou třetí osobou, od něhož se odečte suma již vyplacených dávek. Dále se do jednorázového vyrovnání připočte zhodnocení vložených příspěvků za dobu trvání připojištění.

Jednorázové vyrovnání náleží účastníkovi za podmínek stanovených penzijním plánem místo penze. Dále je tato možnost výplaty (vedle odbytného) podle zákona užita při zrušení penzijního fondu bez právního nástupce, pokud se penzijní fond nedohodne

s účastníkem o převedení prostředků do penzijního připojištění u jiného penzijního fondu.

2.3.2 Odbytné

Výše odbytného se stanoví jako úhrn příspěvků zaplacených účastníkem a podílu na výnosech hospodaření penzijního fondu odpovídajícího výši jím zaplacených příspěvků. Částky státního příspěvku je penzijní fond povinen vrátit ministerstvu.

Nárok na odbytné vzniká při zániku penzijního připojištění (výpovědí nebo dohodou), pokud účastník zaplatil příspěvky alespoň na 12 měsíců, není mu vyplácena penze a zároveň nepřevedl své finanční prostředky do jiného penzijního fondu. Dále odbytné náleží fyzickým osobám uvedeným ve smlouvě či dědicům, pokud účastník zemřel a nebylo mu vyplaceno jednorázové vyrovnání či penze. Obdobně jako v případě jednorázového vyrovnání může být odbytného použito k vyrovnání v případě, že dojde ke zrušení penzijního fondu bez právního nástupce a penzijní fond se nedohodne s účastníkem o převedení prostředků do penzijního připojištění u jiného penzijního fondu.

2.3.3 Penze

Výše různých druhů penzí se stanoví podle pojistně-matematických principů a závisí na celkové výši finančních prostředků evidovaných na účtu účastníka a na pohlaví a věku, od kterého se má penze vyplácet. Zákon umožňuje výjimku pro případnou invalidní penzi, jejíž výši lze předem určit nezávisle na výši prostředků evidovaných na účtu účastníka (v tomto případě se jedná o dávkově definovanou penzi).

Příspěvky ve prospěch účastníka fondy rozdělují dále podle typu penze, pro kterou jsou ukládány. Penzijní fondy vedou podúčty každého klienta, kde evidují celkové prostředky vložené na různé typy penzí. Vypočtená výše konkrétní penze závisí na zůstatku daného podúčtu. Často se ovšem invalidní a pozůstalostní penze vyplácejí z prostředků určených na starobní a výsluhovou penzi, a tudíž na invalidní a pozůstalostní penzi se neplatí žádné zvláštní příspěvky. Příkladem může být Penzijní fond České pojišťovny, kde má podle penzijního plánu č. 6 účastník sjednanou starobní, výsluhovou a invalidní penzi, přičemž standardní rozdělení prostředků na starobní a výsluhovou penzi je 1:1. Na invalidní penzi neodvádí účastník žádné zvláštní příspěvky.

Nyní uvedu několik konkrétních příkladů, jakými způsoby můžou být dané typy penzí vypláceny. Nejedná se o výčet všech možných způsobů, neboť penzijní fondy různé druhy penzí často kombinují a variant je mnoho.

Přestože zákon umožňuje dávkově definovanou invalidní penzi, penzijní fondy ji definují jako příspěvkovou. Nárok na ní vzniká současně s přiznáním invalidní penze ze státního důchodového pojištění. Například u Penzijního fondu ČP penzijní plán č. 4 umožňuje výplatu invalidní penze formu doživotního důchodu, doživotního důchodu se zaručenou dobou výplaty po stanovenou dobu, případně formou doživotního invalidního důchodu s prodlouženou dobou výplaty. Doživotní penze je vyplácena účastníkovi pravidelně do konce jeho života. Doživotní penze se zaručenou dobou výplaty po stanovenou dobu je kombinace doživotní a pozůstalostní penze. Pokud

účastník zemře během zaručené doby výplaty, je penze vyplácena pozůstalým do konce zaručené doby. Doživotní penze s prodlouženou dobou výplaty je kombinací doživotní a pozůstalostní penze, kdy je po smrti účastníka vyplácena penze pozůstalým po předem stanovenou dobu.

Starobní penze může být vyplácena formou doživotního důchodu nebo formou důchodu po předem stanovenou dobu, maximálně však do smrti účastníka. U této penze může opět docházet ke kombinacím s pozůstalostní penzí.

Podmínkou pozůstalostní penze je smrt účastníka. Penze je pak vyplácena po určitou dobu v příslušném poměru fyzickým osobám, které účastník určil ve smlouvě.

Nárok na výsluhovou penzi účastníkovi vzniká, pokud platil příspěvky po dobu alespoň 180 kalendářních měsíců a nepobírá invalidní penzi z prostředků určených na výsluhovou penzi. Výsluhová penze může opět nabývat formy doživotního důchodu, doživotního důchodu se zaručenou výplatou po předem stanovenou dobu nebo doživotního důchodu s prodlouženou dobou výplaty.

Konkrétní vzorce užívané pro vyměřování výše penzí uvedu později, neboť je nejprve třeba se věnovat příslušné demografické teorii.

2.4 Situace na trhu penzijního připojištění v ČR

Penzijní připojištění lze u nás sjednat od roku 1994. K 31. 12. 2006 tuto možnost připojištění využívalo 3 610 920 občanů a objem prostředků evidovaných na jejich účtech činil 136,1 miliardy Kč. Míru zapojení obyvatelstva považuji za velmi vysokou, neboť penzijně připojištěno je již více než 60 % práceschopných v ČR. Jak již bylo v této práci zmíněno, fondy musí investovat spíše konzervativně, aby jim svěřené prostředky nebyly ohroženy, avšak přinesly dlouhodobý stabilní vývoj. Že se tomu tak opravdu děje dokládají údaje za rok 2006. Největší část jejich investičního portfolia tvořily dluhopisy (77 %), akcie (6,8 %) a termínované vklady (6,7 %).

V současné době zde působí 10 z původních 46 penzijních fondů, z nichž dva svoji činnost vůbec nezahájily. Rychlé snižování počtu fondů bylo především důsledkem fúzí, několik fondů však skončilo v likvidaci. V likvidaci skončilo dvanáct penzijních fondů. Konkrétní případy, počty postižených klientů a data vyhlášení likvidace dokumentuje následující tabulka.

Tabulka 2.4.1 Penzijní fondy, které skončily v likvidaci

Penzijní fond

Rok vyhlášení likvidace

Počet klientů k okamžiku

likvidace Poznámka Rodinný penzijní fond, a.s. 1997 43 plné finanční

vypořádání Český národní penzijní fond,

a.s. 1998 416 plné finanční

vypořádání

Regionální penzijní fond, a.s. 2000 0 klienti vyvedeni před zahájením likvidace

Penzijní fond

Rok vyhlášení likvidace

Počet klientů k okamžiku

likvidace Poznámka

Nový penzijní fond, a.s. 1999 0 klienti vyvedeni před zahájením likvidace Penzijní fond

Univerzum, a.s. 1998 0 fond nezahájil

činnost

Bankovní penzijní fond, a.s. 1998 687 finanční ztráty účastníků MULTI penzijní fond, a.s. 1998 926 finanční ztráty

účastníků GARANCE – Vzájemný

penzijní fond pro Čechy,

Moravu a Slezsko, a.s. 1999 2 970 finanční ztráty účastníků Penzijní fond

CERTUM-RENTA, a.s. 2000 11 867 finanční ztráty účastníků Penzijní fond Vyšehrad, a.s. 2000 7 300 finanční ztráty

účastníků Penzijní fond VIVA, a.s. 2001 cca 22 000

část účastníků přešla k PF Winterthur, a.s., u ostatních finanční ztráty

Penzijní fond Thalia, a.s. 2001 879 finanční ztráty účastníků Zdroje dat: Obchodní rejstřík, Šulc²

Počet žen v systému je o něco málo vyšší než počet mužů. V roce 2005 ženy tvořily asi 53% účastníků. Věkovou strukturu účastníků ukazuje následující graf.

2 ŠULC, J.: Penzijní připojištění. Havlíčkův Brod: Grada Publishing 2004. ISBN 80-247-0772-1, str.

Graf 2.4.1 Věkové složení účastníků penzijního připojištění v roce 2005

50-59 let 28%

60 let a více 20%

18-29 let

12% 30-39 let 18%

40-49 let 22%

Zdroj: APF ČR

Z grafu 2.4.1 je vidět, že téměř polovinu účastníků tvoří lidé starší padesáti let.

Tento fakt dokládá skutečnost, že lidé začnou na své stáří myslet, až když se neodvratně blíží. Většinou už je ale příliš pozdě na to, aby si na svém účtu naspořili dostatečnou částku a aby mělo penzijní připojištění pro ně smysl.

V roce 2005 činil průměrný příspěvek účastníka 407,9 Kč. Pokud budu abstrahovat od příspěvku zaměstnavatele a pokud si účastník nespoří od svých 18 let, je tato částka naprosto nedostačující na to, aby byl starobní důchod z penzijního připojištění významným doplňkem státního důchodového pojištění. Toto tvrzení dokládá tabulka 2.4.2. Výše důchodu je vypočítána pomocí webové kalkulačky, kterou lze najít na internetových stránkách APF ČR. V příkladu uvažuji předpokládané roční zhodnocení vkladů 4 %, začátek pobírání doživotního důchodu 60 let, účastník vkládá měsíčně 408 Kč. Údaje jsou pouze orientační, ale pro tuto část práce je jejich vypovídající hodnota zcela dostačující.

Tabulka 2.4.2 Výše měsíčního doživotního důchodu pobíraného od 60 let v Kč Vstupní věk Muž Žena

20 3 677 3 343 30 2 192 1 989 40 1 183 1 069

50 490 439

Zdroj: Internetové stránky APF ČR

3. Úmrtnostní tabulky

V první části této kapitoly budu popisovat konstrukci úmrtnostních tabulek podle metodiky Českého statistického úřadu a pokusím se navrhnout možné způsoby zlepšení výpočtů s ohledem na použití tabulek penzijními fondy. V druhé části navrhnu způsob možného začlenění v čase rostoucí střední délky života do úmrtnostních tabulek a vytvořím tzv. „prospektivní úmrtnostní tabulky“.

3.1 Klasické úmrtnostní tabulky

3.1.1 Obecně o úmrtnostních tabulkách

Úmrtnostní tabulky popisují řád vymírání fiktivní tabulkové populace při zachování dané úmrtnosti. Fiktivní populace je zkonstruovaná podle populace reálné (metoda konstrukce bude vysvětlena později). Tabulky vycházejí z pravděpodobností úmrtí podle dokončeného věku v letech. Jednotlivé hodnoty pravděpodobností úmrtí udávají pravděpodobnost, se kterou se osoba v přesném věku x nedožije svých x+1.

narozenin. Na základě těchto pravděpodobností se konstruuje celá řada dalších charakteristik, z nichž nejvýznamnější je střední délka života. Tato charakteristika udává průměrný počet let, které zbývají k prožití osobě v přesném věku x. Vzhledem k rozdílnému úmrtnostnímu chování mužů a žen se konstruují tabulky pro každé pohlaví zvlášť.

Úmrtnostní tabulky u nás každoročně publikuje Český statistický úřad. Tyto tabulky mají široké uplatnění zejména v prognostických výpočtech a v životním pojištění.

3.1.2 Základní pojmy

V této kapitole uvedu základní pojmy a vztahy, které jsou nezbytné pro konstrukci úmrtnostních tabulek. U jednotlivých vzorců a jejich případného odvození, které se pokusím co nejvíce zestručnit, budu vycházet z toho, jak jsou uvedeny v [ 8], příp. v [ 10].

Populace je v demografickém pojetí skupina osob se stejnými kulturními znaky, v jejímž rámci dochází k reprodukci.

Stacionární populace je taková populace, která má neměnnou věkovou strukturu a kde se počet narozených shoduje s počtem zemřelých a tyto počty jsou v čase konstantní. Zároveň u této populace neexistuje vnější migrace. Počátkem 20. století Alfréd Lotka dokázal, že věková struktura takovéto populace konverguje k věkové struktuře, která je nezávislá na výchozí věkové struktuře.

Přesný věk je okamžikovou charakteristikou a udává přesně dobu, která uplynula od narození jedince do současnosti.

Dokončený věk je věk, kterého se jedinec dožil o svých posledních narozeninách.

Počet zemřelých je počet zemřelých členů populace za určitý interval. Délka tohoto intervalu je t1 – t0. Tato charakteristika se značí velkým písmenem M s dolními indexy, kde levý dolní index udává délku intervalu, za který počet úmrtí měříme, a pravý dolní index udává počátek časového intervalu. Pokud je délka intervalu jeden rok, levý dolní index se obvykle vynechává:

1 0 0

t t₋ Mt .

Doba expozice je doba, po kterou jsou členové populace vystaveni riziku úmrtí.

Pokud bychom chtěli tuto dobu přesně vyčíslit, museli bychom znát funkci počtu žijících S(t)³. Funkce S(t) udává počet žijících v každém časovém okamžiku t. Abychom tedy dostali dobu expozice v intervalu t t0;1

)

, museli bychom znát hodnotu následujícího integrálu:

1

0

( )

t

t

S t dt

∫

^.

Prakticky je však nemožné funkci S(t) kvantifikovat, neboť bychom museli znát počet členů populace v každém infinitezimálním časovém okamžiku v intervalu t t0; 1

)

. Proto se doba expozice určuje odhadem. jako součin délky intervalu a středního stavu.

Střední stav S_t je odhad průměrného stavu obyvatelstva za interval t t0;1

)

. Za předpokladu rovnoměrného rozložení úmrtí, narození a migrace v čase ho lze určit jako aritmetický (případně i jiný) průměr ze stavů k t0 a t1 . Další z možností je považovat za střední stav velikost populace k okamžiku poloviny intervalu t t0;1

)

, pokud ji známe.

Specifické míry úmrtnosti kvantifikují úmrtnost podle věku a pohlaví členů populace. Vypočítají se podle následujícího vzorce.

1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0

( )

, ,

( )

, , ( )

, , (1 0)

p t t x x t x p

t t x x t x p

t t x x t x

m M

S t t

− −

− −

− −

= −

Parametr x zde značí věk a parametr p pohlaví. V čitateli je počet zemřelých pohlaví p , kteří zemřeli v časovém intervalu t t0; 1

)

ve věku z intervalu x x0; 1

)

. Ve jmenovateli je doba expozice. Pokud uvažujeme jednoleté věkové a časové intervaly, vzorec se zjednoduší:

, ( )

, ,

t x p

t x t x

m M

= S .

Věk x se obvykle volí jako celé číslo a teoreticky může pak nabývat hodnot {0,1, 2,..., 1}

x∈ ω− , kde ω je nejnižší dokončený věk, kterého se již nikdo nedožije.

3 V souladu s [5] budu v práci charakteristiky, které mají parametr v kulatých závorkách, považovat za okamžikové. Charakteristiky s parametrem v pravém dolním indexu budu považovat za intervalové.

Na demografické síti lze znázornit průběh celého lidského života. Síť vychází z kartézského systému souřadnic. Na horizontální osu se nanáší čas, na vertikální osu se nanáší věk. V diagramu jsou vykresleny pomocné svislé a vodorovné osy, jejichž průsečíky odpovídají celočíselnému věku a začátku kalendářního roku. Život jedince je pak znázorněn jako čára, která vede vzhledem k vodorovné ose pod úhlem 45° a začíná v přesném věku x=0 (tj. bod narození). Na demografické síti lze znázornit některé charakteristiky populace. Na grafu 3.1.1 můžeme znázornit počet dožívajících se přesného věku x. Například úsečka EF znázorňuje počet jedinců, kteří se dožili přesného věku x+2 v roce y+1 a jednalo se o generaci narozenou v roce z. Úsečka DE značí počet jedinců, kteří se dožili začátku roku y+1 v dokončeném věku x+1 a zároveň se narodili v roce z. Dále zde můžeme znázornit počty úmrtí. Jedná se vždy o množinu bodů, které udávají konce čar života daných jedinců. Tyto množiny jsou opět vymezeny z generačního, časového a věkového hlediska. Například trojúhelník BCD značí počet jedinců z generace narozené v roce z+1, kteří zemřeli v roce y v dokončeném věku x.

Graf 3.1.1Demografická síť

Zdroj: Kannisto [ 7]

Empirickou charakteristiku počet dožívajících se přesného věku x budu dále v souladu s [ 8] značit l^°(x). Pokud v čase konstruujeme tuto funkci pro stále stejnou generaci a vyloučíme-li migraci, je tato charakteristika charakteristikou vymírání generace. Střední hodnotu l^°(x) budu značit l(x), tj. l(x)= E l^°(x). Konstrukcí funkce l(x) dostaneme oproti schodovité l^°(x) hladkou funkci, se kterou se lépe pracuje. Funkce l(x) je nerostoucí hladká funkce, která popisuje proces vymírání generace (kohorty).

Intenzita úmrtnosti charakterizuje úmrtnost v přesném věku x, jedná se tedy o bodovou charakteristiku úmrtnosti. Její odvození vychází z generační specifické míry úmrtnosti, která charakterizuje úmrtnost všech jedinců v přesném věku z intervalu ^{x x h, +}

)

^:

Věk

Rok

Generace

( .) ( ) ( ) 2

gen

h x

l x l x h

m h

l x h

− +

= ⎛⎜ + ⎞⎟⋅

⎝ ⎠

.

V čitateli je počet zemřelých ze stejné kohorty v přesném věku ^{x x h, +}

)

^{. Ve}

jmenovateli zlomku je doba expozice vyjádřená jako součin středního stavu členů populace z dané kohorty v přesném věku z intervalu ^{x x h, +}

)

a délky intervalu h.

Pokud nyní budu délku h zkracovat až na hodnotu limitně se blížící nule, dostanu následující výraz:

( )

( .)

0 0

2

1 ( ) ( )

lim_{h x}^gen lim

h h h

l x h l x

m l x h

→ →

− + −

= ⋅

+ .

Výše uvedený výraz je již intenzitou úmrtnosti. Upravíme-li dále tento výraz, dostaneme:

( )

0 2

1 ( ) ( ) ( )

lim ( )

( )

h h

l x h l x dl x

l x h l x dx μ x

→

− + − −

⋅ = =

+ ,

kde ( )μ x značí intenzitu úmrtnosti v přesném věku x. Intenzita úmrtnosti je definována na intervalu ^0;ω

)

^{, kde ω} je nejnižší věk, kterého se již nikdo nedožije.

Problémem při praktickém odhadu intenzity úmrtnosti je to, že neumíme určit počet dožívajících se přesného věku za menší než roční délku intervalu. Tento problém nastává nejenom z technických důvodů při získávání velkého množství údajů, ale i z důvodu nespolehlivosti získaných údajů, neboť pro příliš malé délky intervalů h bychom dostali velmi nízké počty dožívajících se přesného věku, které by byly zatíženy velkou náhodnou chybou. Pro věky od jednoho roku do 85 let lze průběh intenzity úmrtnosti v rámci jednoletých věkových intervalů považovat za lineární a odhaduje se jako

1 , 2 ,

,

( ) ^{t x}

t t x

t x

x m M

μ + = = S .

Výše uvedená specifická míra úmrtnosti určuje jakousi průměrnou úmrtnost v přesném věku ^{x x, +1}

)

^{v čase t t, +1}

)

. Intenzita pravděpodobnosti je bodovou charakteristikou, proto specifická míra úmrtnosti m_{t x,} je odhadem intenzity pravděpodobnosti v přesném věku z poloviny intervalu ^{x x, +1}

)

, je tedy odhadem pro

12

( )

t x

μ + . Pro krajní věkové skupiny není splněn předpoklad o lineárním průběhu úmrtnosti, proto se intenzita úmrtnosti odhaduje jinými způsoby. Pro modelování úmrtnosti během prvního roku života uvedu v kapitole 3.1.4 postup používaný ČSÚ.

Modelování úmrtnosti starších věkových skupin věnuji kapitolu 3.1.3.

Pro následující text je třeba dále vysvětlit pojem pravděpodobnost přežití.

V této práci se bude jednat o pravděpodobnost přežití jednoletého věkového intervalu.

Pravděpodobnost přežití se počítá jako

mx

px e⁻ .

Tento vzorec je používán ČSÚ a jeho odvození lze nalézt např. v [ 11]. Lze ho užít pro celé věkové rozpětí mimo prvního jednoletého intervalu (nerovnoměrné rozložení úmrtí). Vzorec vyjadřuje pravděpodobnost, že jedinec, který se dožil přesného věku x, se dožije přesného věku x+1.

Doplňkem pravděpodobnosti přežití do jednotky je pravděpodobnost úmrtí:

q_x = −1 p_x.

Pravděpodobnost úmrtí bude v této práci vyjadřovat pravděpodobnost, že jedinec, který se dožil přesného věku x, se nedožije přesného věku x+1.

3.1.3 Způsoby modelování intenzity úmrtnosti pro vysoké věky

Pro názornou ilustraci vývoje úmrtnosti v závislosti na věku jsem se rozhodl začít následujícími grafy.

Graf 3.1.2Empirické specifické míry úmrtnosti vs. odhadnutá intenzita úmrtnosti podle věku (0-100 let), muži, ČR, 2005

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Zdroj: ČSÚ, vlastní výpočty, metodika navázání Gompertz-Makehamovy funkce podle[ 11].

Graf 3.1.3Empirické specifické míry úmrtnosti vs. odhadnutá intenzita úmrtnosti podle věku (60-100 let), muži, ČR, 2005

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

60 65 70 75 80 85 90 95 100

Zdroj: ČSÚ, vlastní výpočty, metodika navázání Gompertz-Makehamovy funkce podle[ 11].

Jak již bylo zmíněno dříve, intenzita úmrtnosti se konstruuje pomocí specifických měr úmrtnosti. Specifické míry úmrtnosti jsou však empirické charakteristiky, které vykazují náhodné odchylky, proto je třeba tyto hodnoty vyrovnat (pokusit se odhadnout jejich střední hodnotu). Vyrovnání pro nižší a střední věky popíši později v kapitole 3.1.4 0. V této části se budu zabývat vyrovnáním pro vyšší a nejvyšší věky.

Asi od 60. roku věku není již úmrtnost tolik ovlivňována sociálními vlivy, jako tomu je v nižších věcích, ale projevuje se zde spíše „přírodní“ charakter úmrtnosti.

Tento fakt vyplývá z empirických údajů. Zhruba od 60. roku věku začíná úmrtnost stoupat mnohem rychleji než dříve (viz obr. 3.1.2). Asi od 60. do 85. roku věku vykazují specifické míry úmrtnosti poměrně stabilní exponenciální růst, pak se tento růst zpomaluje. V rozmezí 60 až 85 let věku se proto nabízí možnost proložit empirické specifické míry nějakou křivkou, na základě které bychom odhadovali intenzitu úmrtnosti i pro nejvyšší věky (nad 85 let). Problém nastává s údaji zhruba nad 85 let věku. Z grafu 3.1.3 je patrné, že empirické specifické míry úmrtnosti se začínají systematicky odchylovat od exponenciálního trendu odhadnuté intenzity úmrtnosti.

Jednou z příčin může být to, že se úmrtnost zhruba od věku 85 let začíná chovat jinak (přestává již exponenciálně růst). Další příčinu tohoto odchýlení může být to, že počty dožívajících se podle jednoletých věkových intervalů jsou velmi malé a přestává pro ně platit zákon velkých čísel. Problémem modelování úmrtnosti pro nejvyšší věky se detailně zabývá [ 15].

Nyní uvedu příklady některých možných analytických funkcí, kterými je možno specifické míry úmrtnosti v nejvyšších věcích prokládat. Jednotlivé vzorce převážně vycházejí z [ 15], jsou zde ale zohledněny i případné odlišnosti pro vysoké věky podle [ 8] a [ 11].

Gompertzův zákon úmrtnosti

Model vychází z Gompertzova zákona úmrtnosti. Gompertz v roce 1825 objevil při studiu jemu dostupných úmrtnostních tabulek, že po velkou část věkového rozpětí (s vyloučením raného dětství a nejvyšších věků) intenzita úmrtnosti s přibývajícím věkem stabilně exponenciálně roste. Zákon má tedy následující podobu:

aebx

x)=

μ( .

Zákon je používán v mnoha zemích již asi po 180 let a od počátku byla snaha nalézt vysvětlení, proč tak dobře funguje. Gompertz navrhl možné biologické vysvětlení, že síla vyhnout se smrti se postupně se zvyšujícím se věkem snižuje.

Moderní přístupy vysvětlují zákon jako postupně probíhající degeneraci těla způsobenou nejspíš stále vzrůstajícím množstvím poškozených molekul a buněk.

V publikaci [ 8] můžeme nalézt zákon v následující podobě:

( )x bc^x μ = , za podmínek: c>1; 0< <b 1.

Makehamův zákon

V roce 1860 Makeham doplnil Gompertzovu formulaci o konstantu c, která zohledňuje příčiny úmrtí nesouvisející s věkem. Pro intenzitu úmrtnosti pak platí následující vztah:

aebx

c x)= +

μ( .

Podle publikací [ 8], [ 11] a též podle metodiky ČSÚ je tento zákon vyjádřen jako:

( )x a bc^x μ = + , za podmínek: c>1; 0< <b 1.

Pomocí tohoto modelu, který mj. užívá i ČSÚ, lze velmi dobře popsat průběh intenzity úmrtnosti přibližně pro věky 60 až 85 let.

Logistický model

Model byl vyvinut Perksem (1932), který zjistil, že hodnoty intenzit úmrtnosti z úmrtnostních tabulek mohou být proloženy logistickou křivkou. Model má následující podobu:

bx bx

e c ae

x α

μ = + + ) 1

( .

Ze vzorce je patrné, že zvláštním případem logistického modelu je Makehamův zákon (pro α=0). Pokud je α velmi malé číslo, může logistický model pomoci vysvětlit, proč Makehamův model tak dobře funguje.

Kannistův model

V roce 1992 použil tento model Kannisto, nezávisle na něm pak v roce 1994 Himes, Preston, Condran. Model má následující podobu:

bx bx

ae c ae

x = + + ) 1

μ( .

Weibullův model (1951)

axb

x)= μ( Heligman & Pollard model (1980)

bx bx

x ae

q ae

= + 1

Kvadratický model

Tento kvadratický model navrhli Coale a Kisker v roce 1990. Je použitelný pouze pro věky 85 a výše. Podmínkou je, aby pro parametr c platilo: c < 0.

lnμ_x = a+bx+cx2

Modifikace Makehamovy funkce podle [ 10]

Dalším z možných způsobů modelování intenzity úmrtnosti je použití nějaké modifikaci Makehamovy funkce, jak je uvedeno např. v [ 8] resp. [ 10]. Model má pak následující podobu:

[ ]

0 1ln ( 0) 1

( )x a bc^{x γ γ x x} ,x x0

μ = + ^{+ − +} > .

Model vychází z toho, že pro nejvyšší věky (zhruba nad 85 let) přestává platit Gompertzova hypotéza. Někdy mezi 80. až 85. rokem věku se růst úmrtnosti zpomaluje.

Věk x₀ je věkem navázání této modifikace na původní Makehamovu funkci. Intenzita úmrtnosti podle tohoto modelu pak roste pomaleji, než by rostla podle původní Makehamovy funkce. Výhodou tohoto modelu je, že nepřipouští nesmrtelnost, jako tomu může být za určitých okolností například u Kannistova modelu.

V roce 1998 vznikla monografie [ 15], která se snaží porovnat výše uvedené funkce. Pomocí těchto funkcí je zde modelována úmrtnost mezi věky 80 až 120 let.

Protože v rámci jedné země bývá velmi malý objem dat, a je zde tudíž vysoká pravděpodobnost výskytu náhodných chyb, slučuje studie data z více zemí do jediného souboru. Těmito zeměmi jsou: Rakousko, Dánsko, Anglie a Wales, Finsko, Západní Německo, Francie, Island, Itálie, Japonsko, Nizozemsko, Norsko, Švédsko a Švýcarsko. Data za těchto 13 zemí obsahují údaje o 40 mil. jedinců, kteří dosáhli 80 let věku, a o více jak 120 000 jedinců, kteří dosáhli 100 let, mezi roky 1960-1990.

V datech je obsaženo přes 32 mil. úmrtí ve věcích 80 a více let v tomto období.

Pro jednotlivé modely byly odhadnuty parametry funkcí na základě dat pro věky 80-98 let, dále byla provedena extrapolace a porovnání s empirickými hodnotami pro věky 99 let a výše. Jako ilustraci uvádím, jak výsledné funkce vypadají, pokud jsou odhadnuty na základě stejných dat.

Graf 3.1.4 Intenzita úmrtnosti odhadnutá na základě šesti modelů pro sloučená data třinácti zemí z věků 80-98 let, ženy, perioda 1980-1990

Zdroj: THATCHER [ 15]

Z grafu 3.1.4 je patrné, že různé modely mají podobný průběh asi do věku 95 let a pak se začnou rozcházet. Tato vzájemná divergence nezávisí na konkrétních datech, ale vyplývá ze samotné konstrukce modelů. Pro takto vysoké věky je počet úmrtí nesouvisejících s věkem téměř zanedbatelný, konstanta a u Makehamova modelu se blíží nule. Na grafu 3.1.4 je proto uvedena pouze Gompertzova křivka, Makehamova křivka by měla téměř totožný průběh.

Následující graf (3.1.5) ukazuje poměry empirických a teoretických pravděpodobností úmrtí pro muže při užití výše uvedených modelů.

Graf 3.1.5 Poměr empirických (q) a teoretických (q*) pravděpodobností úmrtí, pro muže

Gompertz Weibull

Heligman & Pollard Quadratic

Logistic Kannisto

Zdroj: THATCHER [ 15]

Z grafů je patrné, že nejlépe popisuje směr vývoje úmrtnosti ve vyšších věcích logistický model, neboť se poměr q/q* nevychyluje nikde systematicky od čísla 1.

Naopak nejhůře dopadl Gompertzův model, kde se poměr q/q* systematicky odchyluje od jedné. Je to dáno právě modelem nadhodnocenou teoretickou úmrtností. Toto potvrzují i číselné výsledky v [ 15]. Logistický model je tedy pro jednotlivé země nejvhodnější, odchylky od empirických hodnot jsou minimální a lze ho i dobře interpretovat. Kannistův model, který je speciálním případem logistického modelu pro a=α, dává též uspokojivé výsledky, i když o něco horší. Jeho přednost je ovšem v jednoduchosti (má pouze dva parametry) a dává konzistentnější předpovědi pro data za různá po sobě jdoucí období. Posledním z modelů, které poskytují uspokojivé vyrovnání, je kvadratický model. Jeho nevýhoda je ovšem v tom, že intenzita úmrtnosti by mohla za jistých okolností dosáhnout hodnoty nula a tím bychom připustili nesmrtelnost. Odhady parametrů kvadratického modelu jsou též velmi citlivé na výběr věkového rozpětí, ze kterého je počítáme. Extrapolované hodnoty jsou pak velmi nespolehlivé.

Na závěr této subkapitoly uvádím graf 3.1.6, kde jsou porovnány odhadnuté pravděpodobnosti úmrtí pomocí jednotlivých modelů a empirické pravděpodobnosti úmrtí (silná čára).

Graf 3.1.6 Pravděpodobnosti úmrtí, perioda 1980-1990

Muži Ženy

Zdroj: THATCHER [ 15]

Grafy opět ukazují, že relativně uspokojivé výsledky lze dosáhnout pouze modely logistickým, Kannistovým a kvadratickým.

3.1.4 Konstrukce klasických úmrtnostních tabulek podle ČSÚ

Po zavedení některých pojmů již nyní mohu upřesnit svá úvodní slova k úmrtnostním tabulkám. Úmrtnostní tabulky zachycují úmrtnostní chování fiktivní tabulkové stacionární populace. Úmrtnostní tabulky se člení podle délky jednotlivých věkových intervalů na úplné (v podrobnosti podle jednoletých věkových intervalů) a na zkrácené (nejčastěji pro pětileté či desetileté věkové skupiny). Podle toho, zda se počítají zkrácené či úplné úmrtnostní tabulky, se liší i vzorce pro výpočty. V diplomové práci se budu zabývat pouze úplnými úmrtnostními tabulkami a budu uvádět příslušné vzorce pouze pro tento typ úmrtnostních tabulek. Nyní uvedu základní charakteristiky, které úmrtnostní tabulky obsahují, a jak je počítá ČSÚ podle [ 11]. Ve vzorcích nebudu z důvodu vyšší přehlednosti uvádět symbol t pro kalendářní rok, neboť hodnota této proměnné by byla ve všech zde uvedených vzorcích stejná.

Specifické míry úmrtnosti

, 1, 2,...86

x

x x

m M x

= S =

0

0 Ž

m M

= N

Mx značí počet zemřelých v dokončeném věku x. S_x je počet žijících v dokončeném věku x k 1.7. daného roku. Specifická míra úmrtnosti pro nulaleté je z důvodu nerovnoměrného rozložení úmrtí v prvním roce života nahrazena poměrem zemřelých v dokončeném věku nula k počtu živě narozených.

Pravděpodobnosti úmrtí, pravděpodobnosti přežití

Ze specifických měr úmrtnosti se vypočítají pravděpodobnosti úmrtí pomocí následujícího vzorce⁴.

. 1 ^mx , 0,1,...,86

nev

qx = −e⁻ x=

Pravděpodobnosti úmrtí se mezi věky 4 až 83 let vyrovnají klouzavými průměry řádu 7. Vyrovnání se provádí z důvodu odstranění náhodných výkyvů, ke kterým dochází použitím vstupních empirických dat. Vyrovnané hodnoty mají pak následující podobu:

( ) ( ) ( )

(

^{1 1 2 2 3 3}

)

. 1 . . . . . . .

105 90 45 30

315 ^{x x x x x x}

vyr nev nev nev nev nev nev nev

x x

q = q + q₋ +q₊ + q₋ +q₊ − q₋ +q₊ .

Pravděpodobnosti přežití jednoletého věkového intervalu se vypočtou z hodnot

. vyr

qx podle následujícího vzorce⁵.

4 V dalším textu budu nevyrovnané hodnoty q_x označovat horním indexem „nev.“, vyrovnané hodnoty pomocí klouzavých průměrů horním indexem „vyr.“ a konečné hodnoty q_x ponechám bez horního

. 1 ., 4,5,...,86

vyr vyr

x x

p = −q x=

S rostoucím věkem klesá počet žijících jedinců, pro nejvyšší věky je jejich počet velmi malý, dochází ke stále větším náhodným chybám, a proto je třeba modelovat úmrtnost pomocí nějaké matematické křivky. ČSÚ využívá pro modelování pravděpodobností úmrtí Makehamův model podle metodiky uvedené v [ 11].

lnp_x^vyr.= +a bc^x

Parametry a, b, c jsou odhadovány intervalovou metodou z údajů za věky 60 až 83 let. Délka každého ze tří intervalů je osm let. Pro odhadnuté parametry se pak pravděpodobnost dožití vypočítá jako

, 71,72,...,103

GM a bcx

px =e ⁺ x= .

Dále je třeba vyřešit problém, v jakém věku navázat hodnoty p_x^GM na hodnoty

. vyr

px . Tento problém řeší [ 11] tak, že se mezi věky 75 až 85 let vypočítají absolutní rozdíly p^GM_x −p^vyr_x ^. a věk s nejnižší hodnotou absolutního rozdílu je věkem navázání pravděpodobností přežití podle Makehamovy funkce na pravděpodobnosti přežití vyrovnané klouzavými průměry.

Při ostrém navázání může dojít ke skoku, proto je v [ 11] použit vážený přechod.

Váhami jsou hodnoty α∈

{

0,1;0, 2;0,3;...;0,9

}

. Konečné hodnoty p_x se pak vypočtou jako:

(1 ) .

GM vyr

x x x

p =αp + −α p .

Postupně se tedy do vzorce dosazují váhy α a věky x takovým způsobem, že pro věk navázání x₀ je α =0,5.

Konečné hodnoty p_x pro jednotlivá věková rozpětí se pak vypočtou takto:

. .

0 .

0 0 0 0

0 0

1 , 0,1, 2,3

1 , 4,5,..., 5

(1 ) , 4, 3,..., 3, 4

, 5, 6,...,103

x

nev

x x

vyr

x x

GM vyr

x x x

a bc x

p q x

p q x x

p p p x x x x x

p e x x x

α α

+

= − =

= − = −

= + − = − − + +

= = + +

.

Následně se dopočítají konečné hodnoty pravděpodobností úmrtí jako doplněk do jednotky.

1 , 0,1,...,103

x x

q = − p x=

5 Dále budu pravděpodobnosti přežití vypočtené z q^vyr_x ^. značit jako p^vyr_x ^., pravděpodobnosti přežití vypočtené pomocí Makehamovy funkce jako p^GM_x a konečné pravděpodobnosti přežití ponechám bez horního indexu.

Počet dožívajících

Počet dožívajících se přesného věku x budu označovat l(x). Velikost kořene tabulky l(0) se volí, ČSÚ volí velikost l(0)=100 000. Úmrtnostní tabulka pak popisuje vymírání tohoto souboru jedinců v čase za předpokladu stacionární populace. Počet dožívajících lze vypočíst pomocí následujícího vzorce:

( ) _x 1. ( 1) , 1, 2,...,103 l x = p₋ l x− x=

Tabulkový počet zemřelých

Tato charakteristika bývá označována d_x a vyjadřuje počet zemřelých v dokončeném věku x ze stacionární tabulkové populace. Její výpočet je triviální:

( ) ( 1) dx=l x −l x+ . Počet prožitých let

Počet prožitých let L_x lze interpretovat jako průměrný počet žijících v dokončeném věku x let dané stacionární populace.

(0) 0,92 , 0

( ) ( 1)

, 1, 2,...,103 2

x x

x

L l d x

l x l x

L x

= − =

+ +

= =

Počet zbývajících let

Charakteristika T(x) označuje počet zbývajících let k prožití souboru l(x) jedinců.

( ) 1 _z , 0,1,..., 1

z x

T x ^ω− L x ω

=

=

∑

= −

Střední délka života

Střední délka života ( )e x^° je nejdůležitějším výstupem úmrtnostních tabulek a udává průměrný počet zbývajících let jedince v přesném věku x. Její výpočet je následující:

( ) ( ) ( ) e x T x

l x

° = .

V předchozím textu jsem záměrně opomenul zdůraznit, že při konstrukci úmrtnostních tabulek „mícháme“ vždy úmrtnost více kohort. Pokud chceme například zjistit p₁ za rok 2005, do výpočtu vstoupí jak část jedinců narozených v roce 2004, tak i část jedinců narozených o rok dříve. Tato nepřesnost však na konečné výsledky nemá

podstatný vliv, neboť úmrtnostní chování sousedních kohort je velmi podobné.

Výjimkou jsou pouze dvě sousední kohorty narozených v období 1918/1919 a 1919/1920⁶, kde u druhé z kohort je úmrtnost podstatně vyšší. Tento ojedinělý jev lze v menší míře pozorovat i u kohort 1914/1915 a 1915/1916. O něco podrobněji se tímto jevem zabývá [ 10].

3.1.5 Navrhovaná alternativní konstrukce klasických

úmrtnostních tabulek se zaměřením na vyšší a nejvyšší věky

Z předchozích kapitol plyne, že modelování úmrtnosti Makehamovou funkcí v nejvyšších věcích není korektní. Právě Makehamovu funkci však využívá při tvorbě úmrtnostních tabulek ČSÚ. Tato funkce se někdy od věku 85 let začíná systematicky odchylovat od empirických hodnot směrem nahoru a následkem jsou vyšší odhadnuté specifické pravděpodobnosti úmrtí. Jinými slovy to znamená, že jedincům jsou přisouzeny vyšší pravděpodobnosti úmrtí, a odhadovaná střední délka života je nižší, než by se z empirických dat mohlo zdát. Pokud se na toto podíváme nyní z pohledu penzijních fondů, střední délka života jedince je odhad průměrné zbývající doby, po kterou bude účastníkovi v přesném věku x vyplácena penze. Využitím úmrtnostních tabulek ČSÚ penzijní fond tuto dobu podhodnocuje nejméně ze dvou důvodů. Prvním důvodem je již zmíněné nevhodné použití Makehamovy funkce pro nejvyšší věky, druhým důvodem je v čase rostoucí střední délka života. Úmrtnostní tabulky mají tu nevýhodu, že jsou konstruovány na základě úrovně úmrtnosti pro daný rok. Průměrná zbývající délka života jedince v přesném věku x bude zřejmě o něco vyšší než střední délka života získaná z aktuálních úmrtnostních tabulek, neboť lze předpokládat, že se úmrtnost během zbývajícího života jedince bude snižovat. Aspekt rostoucí délky života bude hlouběji analyzován v kapitole 3.2.

Otázkou nyní je, jak problém modelování úmrtnosti v nejvyšších věcích odstranit. V kapitole 3.1.3 byly porovnány různé modely úmrtnosti, přičemž parametry modelů byly odhadnuty na základě hodnot mezi věky 80 až 98 let. Tento postup však nelze využít pro Českou republiku, neboť počty žijících v nejvyšších věcích jsou velmi nízké, jak dokládá mj. tabulka 3.1.1, a parametry modelů by byly odhadnuty na základě nespolehlivých dat. Z kapitoly 3.1.3 tedy přijímám pouze doporučení, který model je nejvhodnější, ale jeho parametry musím odhadnout na základě dat z nižších věků.

Rozhodl jsem se porovnat dva modely.

Prvním z modelů je Kannistův model, který sice dává o něco málo horší výsledky než logistický, ale je jednodušší a odhady jeho parametrů pro různé roky jsou konzistentnější. Kannistův model s neznámými parametry a, b, c má tedy následující podobu (viz také kapitola 3.1.3):

bx bx

ae c ae

x = + + ) 1

μ(

6 Kohorta 1918/19 označuje směs narozených v letech 1918 a 1919, přičemž nejvyšší váhu zde mají narození na přelomu mezi roky 1918 a 1919, podobně pro kohortu 1919/1920.