1 Matice
Definice 1 MaticeAtypu(m, n)je zobrazen´ı z kart´ezsk´eho souˇcinu{1,2, . . . , m}×{1,2, . . . , n}
do mnoˇziny R. MaticiA obvykle zapisujeme takto:
A=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . .. ... am1 am2 · · · amn
,
kde aij ∈Rjsou jej´ı prvky. Zkr´acenˇe zapisujeme tak´eA= (aij). Pokudm=n, pak naz´yv´ame A ˇctvercovou.
Definice 2 Necht’ A = (aij) a B = (bij) jsou matice typu (m, n). Pak souˇcet A+B a α- n´asobek α·A jsou matice typu(m, n) definov´any jako pro zobrazen´ı, tj.A+B= (aij+bij) a α·A= (α aij).
Sˇc´ıt´an´ı matic a skal´arn´ı n´asobek tedy splˇnuj´ı vˇsechny vlastnosti, kter´e jsme uvedli pro zobrazen´ı. Operaci n´asoben´ı u matic budeme definovat jin´ym zp˚usobem.
D˚usledek 1 Mnoˇzina vˇsech matic typu (m, n) tvoˇr´ı se sˇc´ıt´an´ım matic a n´asoben´ım matice re´aln´ym ˇc´ıslem line´arn´ı prostor. Nulov´y vektor v tomto prostoru je tzv. nulov´a matice, tj.
matice sam´ych nul.
Definice 3 Symbolem A ∼B vyjadˇrujeme fakt, ˇze matice B vznikla z matice A koneˇcn´ym poˇctem krok˚u Gaussovy eliminaˇcn´ı metody.
Vˇeta 1 Relace ∼ je symetrick´a, tj.A∼B p.t.k. B∼A.
D˚ukaz: Uk´aˇzeme, ˇze kaˇzd´a element´arn´ı ´uprava z Gaussovy eliminaˇcn´ı metody je invertova- teln´a:
1. Pˇrehozen´ı dvou ˇr´adk˚u. Staˇc´ı pˇrehodit ˇradky jeˇstˇe jednou.
2. Vyn´asoben´ıi-t´eho ˇr´adku re´aln´ym ˇc´ıslem α6= 0. Staˇc´ıi-t´y ˇr´adek vyn´asobit α1.
3. Pˇriˇcten´ıα-n´asobkui-t´eho ˇr´adku kj-t´emu. Staˇc´ı pˇriˇc´ıst−α-n´asobek k j-t´emu ˇr´adku.
R´adky matice typu (m, n) m˚ˇ uˇzeme ch´apat, jako vektory z lin. prostoru Rn. Takˇze m´a smysl mluvit o jejich lin. z´avislosti, nez´avislosti, line´arn´ım obalu atd. Podobnˇe sloupce tvoˇr´ı vektory z lin. prostoru Rm.
Definice 4 Necht’A= (aij)je matice typu(m, n)aa1, . . . ,am∈Rnjsou jej´ı ˇr´adky. Line´arn´ı obal mnoˇziny r:A={a1, . . . ,am} znaˇc´ıme hr :Ai.
Vˇeta 2 Jeli A∼B, pak hr:Ai=hr:Bi.
D˚ukaz: Vˇeta staˇc´ı uk´azat pro maticiBvzniklou zAjen jednou element´arn´ı ´upravou. Zˇrejmˇe vˇsechny ˇr´adky maticeBlze zapsat jako line´arn´ı kombinaci ˇr´adk˚u zA. Plat´ı tedy, ˇze vˇsechny ˇr´adkyB patˇr´ı do hr :Ai. Tedyhr :Bi ⊆ hhr :Aii=hr :Ai. Protoˇze relace ∼je symetrick´a
m´ame i hr:Ai ⊆ hr :Bi.
Definice 5 Hodnost maticeA znaˇc´ıme hodA a definujemehodA= dimhr :Ai.
Hodnost matice A je tedy poˇcet prvk˚u v libovoln´e nejvˇetˇs´ı line´arnˇe nez´avisl´e podmnoˇzinˇe ˇr´adk˚u maticeA.
D˚usledek 2 Je-li A∼B, pak hodA= hodB.
Definice 6 Necht’ matice m´a Aˇr´adky a1, . . . ,am ∈Rn. Necht’ pro kaˇzd´e dva po sobˇe jdouc´ı ˇr´adky ai,ai+1 plat´ı: m´a-li ˇr´adek ai prvn´ıch k sloˇzek nulov´ych, pak m´a ˇr´adek ai+1 alespoˇn k+ 1 sloˇzek nulov´ych nebo ai+1 =o. Pak A naz´yv´ame horn´ı troj´uheln´ıkovou matic´ı.
Vˇeta 3 Pro kaˇzdou matici A existuje horn´ı troj´uheln´ıkov´a matice B t.ˇz. A∼B.
Vˇeta 4 Necht’ A je horn´ı troj´uheln´ıkov´a matice typu (m, n) a a1, . . . ,ak jsou jej´ı nenulov´e ˇr´adky. Pak koneˇcn´a posloupnost a1, . . . ,ak je LN.
D˚ukaz: Vyˇreˇsme pro nezn´am´eα1, . . . , αk ∈Rrovnici α1a1+· · ·+αkak =o.
Matice odpov´ıdaj´ıc´ı soustavy line´arn´ıch rovnic bude m´ıt vektory a1, . . . ,ak jako sloupce.
Necht’ai = (ai1, ai2, . . . , ain). Pak bude matice t´eto soustavy vypadat napˇr. nˇejak takto:
a11 0 0 · · · 0 0
a12 0 0 · · · 0 0
a13 a23 0 · · · 0 0
a14 a24 a34 · · · 0 0 ... ... ... ... ... a1n a2n a3n · · · akn 0
Takˇze α1 =α2=· · ·=αk= 0.
D˚usledek 3 Necht’ A je matice typu (m, n), B je horn´ı troj´uheln´ıkov´a matice t.ˇz. A ∼ B a b1, . . . ,bk jsou nenulov´e ˇr´adky B. Pak hr : Ai = hb1, . . . ,bki, b1, . . . ,bk je jeho b´aze a dimhr:Ai=k.
Pˇr´ıklad Najdˇete b´azi a dimenzi lin. podprostoruhr:Ai.
A=
1 2 3 4 5
2 3 4 4 7
1 1 1 3 4
3 5 7 8 12
∼
1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 1 2 1 1 0 1 2 3 4
∼
1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 0 0 3 2
Tedy dimhr:Ai= hodA= 3.
Definice 7 Necht’ A = (aij) je matice typu (m, n). Matici AT = (aji), kter´a je typu (n, m) nazveme transponovanou matic´ı k maticiA.
Pˇr´ıklad
A=
1 2 3 4 5 6
, AT =
1 4 2 5 3 6
.
Pozorov´an´ı 1 Pro matice A, B typu (m, n) plat´ı: (AT)T =A a (A+B)T =AT +BT. Vˇeta 5 Pro kaˇzdou matici A plat´ı: hodAT = hodA.
D˚usledek 4 Necht’ A je matice typu (m, n). Pak hodA≤min{m, n}.
Definice 8 Necht’ A = (aij) je matice typu (m, n) a B = (bjk) je matice typu (n, p). Pak souˇcin A·B= (cik) je matice typu (m, p), kde
cik =
n
X
j=1
aijbjk.
Pˇr´ıklad
1 2 3 0 −1 1
·
1 3 1 2 1 1
=
6 10 0 −1
1 1 1 1
·
1 1
−1 −1
= 0 0
0 0
,
1 1
−1 −1
· 1 1
1 1
=
2 2
−2 −2
Vid´ıme, ˇzeA·B=B·A obecnˇe neplat´ı (dokonce ani pro ˇctvercov´e matice).
Vˇeta 6 Necht’α∈Ra A,B,Cjsou matice odpov´ıdaj´ıc´ıch typ˚u, aby n´ıˇze uveden´e v´yrazy byly definov´any. Pak
1. (A·B)·C=A·(B·C), 2. (A+B)·C=A·C+B·C, 3. C·(A+B) =C·A+C·B, 4. α(A·B) = (αA)·B=A·(αB).
5. (A·B)T =BT ·AT. D˚ukaz:
1. Oznaˇcme gil prvek matice (A·B)·C na pozici (i, l) a hil prvek matice A·(B·C) na t´eˇze pozici. Pak
gil =
p
X
k=1
n
X
j=1
aijbjk
ckl=
p
X
k=1 n
X
j=1
aijbjkckl=
n
X
j=1 p
X
k=1
aijbjkckl=
n
X
j=1
aij
p
X
k=1
bjkckl
!
=hil.
2. Oznaˇcme gik prvek matice (A+B)·Cna pozici (i, k) ahik prvek maticeA·C+B·C na t´eˇze pozici. Pak
gik=
n
X
j=1
(aij +bij)cjk =
n
X
j=1
(aijcjk+bijcjk) =
n
X
j=1
aijcjk +
n
X
j=1
bijcjk =hik.
3. Obdobnˇe jako pˇredchoz´ı bod.
4. Pro prvek na pozici (i, k) m´ame:
α
n
X
j=1
aijbjk
=
n
X
j=1
(αaij)bjk =
n
X
j=1
aij(αbjk)
5. Oznaˇcme gik prvek matice A·B na pozici (i, k) a hik prvek matice BT ·AT na t´eˇze pozici. Chceme tedy uk´azat, ˇze gki=hik.
gki =
n
X
j=1
akjbji =
n
X
j=1
bjiakj =
n
X
j=1
b′ija′jk =hik,
kde b′ij je prvek BT na pozici (i, j) a a′jk je prvek AT na pozici (j, k).
Definice 9 Ctvercovou maticiˇ E typu (n, n) nazveme jednotkovou matic´ı, pokud
E=
1 0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 ... ... ... . .. 0 0 0 0 · · · 1
.
Pozorov´an´ı 2 Necht’ A je matice typu (m, n) a B typu (n, p). Pak 1. A·E=A.
2. E·B=B.
2 Inverzn´ ı matice
Definice 10 Necht’Aje ˇctvercov´a matice typu(n, n)aE je jednotkov´a matice stejn´eho typu.
Matici B typu(n, n), kter´a splˇnujeA·B=B·A=E naz´yv´ame inverzn´ı matic´ı k maticiA. Matici B oznaˇcujeme A−1.
Vˇeta 7 Pokud k matici A existujeA−1, pak A−1 je urˇcena jednoznaˇcnˇe.
D˚ukaz: Sporem: pˇredpokl´ad´ame, ˇzeB,Cjsou dvˇe r˚uzn´e inverzn´ı matice k matici A. Pak B=B·E=B·(A·C) = (B·A)·C=E·C=C.
Definice 11 Ctvercov´ˇ a maticeAse naz´yv´a regul´arn´ı, pokudA−1existuje. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ji naz´yv´ame singul´arn´ı.
Vˇeta 8 Necht’ A a B jsou regul´arn´ı matice. Pak A·B je tak´e regul´arn´ı matice.
D˚ukaz: Uk´aˇzeme, ˇze B−1·A−1 je inverzn´ı matice k A·B.
(B−1·A−1)·(A·B) =B−1·(A−1·A)·B=B−1·E·B=B−1·B=E (A·B)·(B−1·A−1) =A·(B·B−1)·A−1=A·E·A−1=A·A−1 =E
Dˇr´ıve neˇz si uk´aˇzeme, za jak´ych podm´ınek inverzn´ı matice existuje a jak ji poˇc´ıtat, uk´aˇzeme si, ˇze jednotliv´e kroky Gaussovy eliminaˇcn´ı metody lze ch´apat jako n´asoben´ı vhodn´ymi maticemi zleva.
Definice 12 Necht’ PU je ˇctvercov´a matice, kter´a vznikla z jednotkov´e matice E jednou ele- ment´arn´ı ´upravou U. Takov´e matice budeme naz´yvat element´arn´ı.
Vˇeta 9 Necht’ Aje matice typu(m, n). PakPU·A je matice, kter´a vznikne zA el. ´upravou U.
D˚ukaz:
0 0 1 0 1 0 1 0 0
·
a11 a12
a21 a22
a31 a32
=
a31 a32
a21 a22
a11 a12
1 0 0 0 1 0 0 0 α
·
a11 a12
a21 a22
a31 a32
=
a11 a12
a21 a22
αa31 αa32
1 0 α 0 1 0 0 0 1
·
a11 a12
a21 a22
a31 a32
=
a11+αa31 a12+αa32
a21 a22
a31 a32
D˚usledek 5 Pokud A∼B, pak B=C·A, kde C je souˇcin element´arn´ıch matic.
D˚ukaz: Jednotliv´e kroky Gaussovy el. metody m˚uˇzeme vyj´adˇrit pomoc´ı el. matic, tj.
B=Cn·(Cn
−1· · ·(C2·(C1·A))· · ·) = (Cn·Cn
−1· · ·C2·C1)·A.
Kaˇzd´a matice Alze tedy ps´at ve tvaruC·T, kdeCje souˇcin element´arn´ıch matic a Tje horn´ı troj´uheln´ıkov´a.
