1 Line´arn´ı prostory

1 Line´ arn´ı prostory

Definice 1 Line´arn´ım prostorem naz´yv´ame kaˇzdou nepr´azdnou mnoˇzinuL, na kter´e je defi- nov´ano sˇc´ıt´an´ı+ :L×L→La n´asoben´ı re´aln´ym ˇc´ıslem·:R×L→L a tyto operace splˇnuj´ı pro kaˇzd´ex,y,z∈L, α, β∈Rvlastnosti:

1. x+y=y+x komutativita +

2. (x+y) +z=x+ (y+z) asociativita +

3. α·(β·x) = (αβ)·x asociativita · 4. α·(x+y) =α·x+α·y distributivita 5. (α+β)·x=α·x+β·x distributivita

6. 1·x=x neutr´aln´ı prvek pro ·

7. existujeo∈L, ˇze pro kaˇzd´ex∈L je0·x=o existence nulov´eho prvku.

Prvk˚um z mnoˇziny Lˇr´ık´ame vektory. Prvekose naz´yv´a nulov´y vektor. Re´aln´emu ˇc´ıslu ve v´yrazu α·xˇr´ık´ame skal´ar.

Pˇr´ıklad “Stˇredoˇskolsk´e vektory v rovinˇe” tj. mnoˇzina ˇsipek vedouc´ıch z poˇc´atku do libo- voln´eho bodu roviny tvoˇr´ı line´arn´ı prostor, kdyˇz definujeme operaci sˇc´ıt´an´ı pˇres doplnˇen´ı na rovnobˇeˇzn´ık a n´asoben´ı skal´aremαjako odpov´ıdaj´ıc´ı prodlouˇzen´ı (zkr´acen´ı) ˇsipky a v pˇr´ıpadˇe ˇzeα <0 jeˇstˇe nav´ıc otoˇcen´ı ˇsipky o 180 stupˇn˚u.

Pˇr´ıklad Necht’ F_X je mnoˇzina vˇsech zobrazen´ı z mnoˇziny X do mnoˇziny re´aln´ych ˇc´ısel R. Pak F_X tvoˇr´ı line´arn´ı prostor s operacemi + : F_X ×F_X → F_X a n´asoben´ı re´aln´ym ˇc´ıslem

· : R×F_X → F_X. Z prvn´ı pˇredn´aˇsky v´ıme, ˇze vˇsechny vlastnosti 1–6 z definice line´arn´ıho prostoru to splˇnuje. Konstatn´ı zobrazen´ı ¯0 : X → R funguje jako nulov´y vektor, protoˇze 0·f = ¯0.

Rozmysleme si, ˇze uspoˇr´adan´e n-tice re´aln´ych ˇc´ısel m˚uˇzeme ch´apat, jako zobrazen´ı z mnoˇziny {1,2, . . . , n} do mnoˇziny re´aln´ych ˇc´ısel. Napˇr. uspoˇr´adanou pˇetici (3,1,2,−1,7) m˚uˇzeme ch´apat jako zobrazen´ıf :{1,2,3,4,5} →Rtakov´e, ˇze f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) =−1 af(5) = 7.

Pˇr´ıklad Mnoˇzina uspoˇr´adan´ychn-tic re´aln´ych ˇc´ısel Rⁿ =R× · · · ×Rtvoˇr´ı line´arn´ı prostor, pokud definujeme operace +,·takto:

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1+b1, . . . , an+bn), α·(a1, . . . , an) = (αa1, . . . , αan).

Fakt, ˇze to je line´arn´ı prostor plyne ze skuteˇcnosti, ˇze toto je vlastnˇe jen speci´aln´ı pˇr´ıpad pˇredchoz´ıho lin. prostoru F_X, kde X = {1,2, . . . , n}. Nulov´y vektor je v tomto pˇr´ıpadˇe uspoˇr´adan´an-tice (0, . . . ,0).

Vˇeta 1 V kaˇzd´em line´arn´ım prostoru L plat´ı:

1. x+o=x ∀x∈L 2. α·o=o ∀α∈R

3. Je-liα·x=0 a α6= 0, pak x=o.

D˚ukaz:

1

1. x+o

7.

=x+ 0·x

6.

= 1·x+ 0·x

5.

= (1 + 0)·x= 1·x

6.

=x.

2. α·o

7.

=α·(0·x)= (α^3. ·0)·x= 0·x

7.

=0. 3. x= 1·x= _α¹α

·x

3.

= _α¹ ·(α·x) = _α¹ ·o=o.

Definice 2 Nepr´azdn´a podmnoˇzina M line´arn´ıho prostoruLse naz´yv´a line´arn´ım podprosto- rem prostoruL, pokud pro vˇsechna x,y∈M a α ∈R plat´ı:

1. x+y∈M, 2. α·x∈M.

Pˇr´ıklad Mnoˇzina P_R je lin. podprostor lin. prostoru F_R, protoˇze souˇcet dvou polynom˚u je opˇet polynom aα-n´asobek polynomu je tak´e polynom.

Pˇr´ıklad Mnoˇzina re´aln´ych polynom˚u stupnˇe nejv´yˇse n je lin. podprostor lin. prostoru P_R, protoˇze st (f+g)≤max{stf,stg} ≤n a st (α·f)≤stf ≤n.

Pˇr´ıklad Mnoˇzina re´aln´ych polynom˚u stupnˇe pr´avˇe 3 nen´ı lin. podprostor lin. prostoru P_R, protoˇze napˇr. st (0·f) = st ¯0 =−16= 3.

Pˇr´ıklad Mnoˇzina M ={(x, y, z) ∈R³ |2x+y−z = 0} je lin. podprostor lin. prostoru R³. Necht’ (x1, y1, z1),(x2, y2, z2) ∈ M a α ∈ R. Uk´aˇzeme, ˇze (x1+x2, y1 +y2, z1+z2) ∈ M a (αx1, αy1, αz1)∈M.

2(x1+x2) + (y1+y2)−(z1+z2) = (2x1+y1−z1) + (2x2+y2−z2) = 0 + 0 = 0. 2(αx1) + (αy1)−(αz1) =α(2x1+y1−z1) =α0 = 0.

Pˇr´ıkladMnoˇzinaM ={(x, y, z)∈R³ |2x+y−z= 3}nen´ı lin. podprostor lin. prostoruR³. Napˇr. 0·(x, y, z) = (0,0,0), ale (0,0,0)6∈M, protoˇze 2·0 + 0−0 = 06= 3.

Vˇeta 2 Necht’ M, N ⊆L jsou lin. podprostory lin. prostoruL. Pak 1. M ∩N je line´arn´ı podprostor L,

2. M ∪N nemus´ı b´yt line´arn´ı podprostor L.

D˚ukaz:

1. Necht’x,y∈M∩N aα∈R. Z vlastnosti pr˚uniku m´amex,y∈M ax,y∈N. Protoˇze M, N jsou lin. podprostory,x+y∈M ax+y∈N. To ale znamen´a, ˇzex+y∈M∩N.

Podobnˇeα·x∈M a α·x∈N. Tud´ıˇzα·x∈M∩N.

2. Necht’ M ={(a,0)∈R² |a∈R} a N ={(0, b)∈R² |b∈R}. PakM iN jsou zˇrejmˇe podprostory R². Nicm´enˇe M ∪N nen´ı podprostor R², protoˇze napˇr. (1,0) + (0,1) = (1,1)6∈M∪N.

2

2 Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost

Definice 3 Necht’Lje line´arn´ı prostor ax1, . . . ,x_n∈L. Line´arn´ı kombinac´ı vektor˚ux1, . . . ,x_n rozum´ıme vektor:

α1x1+· · ·+αnxn,

kde α1, . . . , α_n∈R. ˇC´ısla α1, . . . , α_n se naz´yvaj´ı koeficienty line´arn´ı kombinace.

Pokud α1 = · · · = α_n = 0 naz´yv´ame line´arn´ı kombinaci trivi´aln´ı. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe netrivi´aln´ı.

Pozorov´an´ı 1 Trivi´aln´ı line´arn´ı kombinace je vˇzdy rovna nulov´emu vektoru.

Definice 4 Koneˇcnou posloupnost (skupinu) vektor˚u x1, . . . ,xn naz´yv´ame line´arnˇe z´avislou (LZ), pokud existuje netrivi´aln´ı line´arn´ı kombinace vektor˚u x1, . . . ,x_n, kter´a je rovna nu- lov´emu vektoru. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ji naz´yv´ame line´arnˇe nez´avislou (LN).

Koneˇcn´a posloupnost vektor˚ux1, . . . ,x_nje tedy LZ, pokud existuj´ıα1, . . . , α_n∈Ralespoˇn jednoαi 6= 0 a plat´ı:

α1x1+· · ·+α_nx_n=o. (1)

Naopakx1, . . . ,x_nje LN, pokud jedin´a moˇznost jak splnit rovnici (1) je α1 =· · ·α_n= 0.

Pˇr´ıklad Vektory (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) z lin. prostoru R³ jsou LN, protoˇze α1(1,0,0) +α2(0,1,0) +α3(0,0,1) =o

(α1,0,0) + (0, α2,0) + (0,0, α3) = (0,0,0) (α1, α2, α3) = (0,0,0)

Pˇr´ıklad Vektory (1,2,3), (1,0,2), (−1,4,0) z lin. prostoru R³ jsou LZ, protoˇze α1(1,2,3) +α2(1,0,2) +α3(−1,4,0) = (0,0,0)

(α1+α2−α3,2α1+ 4α3,3α1+ 2α2) = (0,0,0)

α1 + α2 − α3 = 0

2α1 + 4α3 = 0

3α1 + 2α2 = 0

Soustava m´a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı. Vyj´adˇreno s parametremp∈Rm´ameα3=p,α2= 3p a α1 = −2p. Existuje tedy i jin´e ˇreˇsen´ı neˇz jen sam´e nuly napˇr. pro p = 1 m´ame α3 = 1, α2 = 3 aα1=−2 tj.

−2(1,2,3) + 3(1,0,2) + 1(−1,4,0) = (0,0,0).

Vˇeta 3 Necht’ x1, . . . ,x_n je koneˇcn´a posloupnost vektor˚u lin. prostoru L. Pak

1. Line´arn´ı z´avislost ˇci nez´avislost se nezmˇen´ı pˇri zmˇenˇe poˇrad´ı vektor˚u x1, . . . ,x_n. 2. Jestliˇze xi=opro nˇejak´e i∈ {1, . . . , n}, pak je x1, . . . ,xn LZ.

3. Jestliˇze x_i=x_j proi6=j, pak jex1, . . . ,x_n LZ.

3

4. Jestliˇze jex1, . . . ,x_n LZ ax_n+1∈L, pak jex1, . . . ,x_n,x_n+1 LZ.

5. Jestliˇze jex1, . . . ,x_n LN, pak je x1, . . . ,xn−1 LN.

6. Koneˇcn´a posloupnost x1 je LN p.t.k. x1 6=o.

D˚ukaz:

1. Plyne z komutativity sˇc´ıt´an´ı vektor˚u.

2. Vzhledem k pˇredchoz´ı vlastnosti m˚uˇzeme pˇredpokl´adat bez ´ujmy na obecnosti, ˇzex1= o. Pak

1·o+ 0·x2+· · ·+x_n=o 3. Opˇet m˚uˇzeme pˇredpokl´adat, ˇze x1 =x2. Pak

1·x1+ (−1)·x2+ 0·x3+· · ·+ 0·x_n= (1−1)·x1 =o

4. Pokud α1, . . . , α_n jsou koeficienty netrivi´aln´ı lin. kombinace vektor˚u x1, . . . ,x_n, pak α1x1+· · ·+αnxn+ 0·xn+1=o+o=o

5. Sporem: pˇredpokl´adejme, ˇze x1, . . . ,xn−1 je LZ. Pak podle pˇredchoz´ıho tvrzen´ı mus´ı b´yt i x1, . . . ,x_n LZ, coˇz je spor s pˇredpokladem tvrzen´ı.

6. Obˇe implikace dok´aˇzeme nepˇr´ımo. (⇒) Pokud x1 = opak x1 je LZ podle 2. tvrzen´ı.

(⇐) Pokud x1 je LZ, pak α·x1 = o pro nˇejak´e α 6= 0. Takˇze podle Vˇety 1 m´ame x1 =o.

Vˇeta 4 Necht’ n≥2. Koneˇcn´a posloupnost vektor˚u x1, . . . ,x_n je LZ p.t.k. ∃ r ∈ {1, . . . , n}

t.ˇz. xr je roven line´arn´ı kombinaci ostatn´ıch vektor˚u.

D˚ukaz: (⇒) Pokudx1, . . . ,x_n je LZ, pak existuj´ıα1, . . . , α_n∈R alespoˇn jednoα_r6= 0 t.ˇz.

α1x1+· · ·+αrxr+· · ·+αnxn=o.

α1x1+· · ·+α_rx_r+ (−αr)xr+· · ·+α_nx_n=−αrx_r.

n

X

i=1, i6=r

α_ix_i =−αrx_r.

n

X

i=1, i6=r

α_i

−αr

x_i =x_r. (⇐) Pˇredpokl´ad´ame tedy, ˇze

x_r=

n

X

i=1, i6=r

β_ix_i.

n

X

i=1, i6=r

β_ix_i+ (−1)x_r =o.

Coˇz je netrivi´aln´ı line´arn´ı kominace, protoˇze koeficient u x_r je−1.

4