3.6 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

3.6 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC

Mgr. Petra Toboříková

jsou dvě rovnice, které lze zapsat ve tvaru ve tvaru:

1 1

1

x b y c

a  

Soustava dvou lineárních rovnic o dvou neznámých

Kde x, y jsou proměnné a

a₁,a₂,b₁,b₂,c₁,c₂ jsou koeficienty z množiny R.

2 2

2

x b y c

a  

Řešením je uspořádaná dvojice

K    x ; y

(nejvýhodnější je vyjadřovat neznámou s koeficientem 1)

• tu dosadíme do druhé rovnice:

12 y

6 x

3  

24 y

2

x  

• z jedné rovnice vyjádříme libovolnou neznámou:

I. DOSAZOVACÍ METODA

24 y

2

x  

12 y

6 x

3  

x  3

y 2 24 

 24  2 y   6 y  12

• vyřešíme rovnici:

72  6 y  6 y  12 60 y

12  



5 y 

• vrátíme se k vyjádřené neznámé a dopočítáme ji:

y 2 24

x  

5 2 24

x    14

x 

• napíšeme výsledek

(množinu kořenů):

^{K }  ^{14 ; 5} 

x

12 y

6 x

3  

24 y

2

x  

• z obou rovnic vyjádříme tutéž neznámou:

II. POROVNÁVACÍ METODA

24

y 2

x  

12 y

6 x

3  

x  24  2 y

• vyřešíme rovnici:

4 y  20

5 y 

• vrátíme se ke druhé vyjádřené neznámé a dopočítáme ji:

y 2 4

x  

5 2 4

x    14

x 

x  4  2 y

• obě neznámé porovnáme:

4  2 y  24  2 y

 72

 12 y

6 x

3  

• rovnice vynásobíme tak, aby u jedné neznámé vznikly opačné koeficienty:

12 y

6 x

3  

24 y

2

x  

III. SČÍTACÍ METODA

24 y

2

x  

12 y

6 x

3  

např.: u druhé rovnice chceme u x koeficient -3

-3

/     3 x

 3

• vynásobené rovnice sečteme:

 y

 12   60

• vyřešíme rovnici:

y  5

• vypočítanou hodnotu

dosadíme do jedné z rovnic a dopočítáme druhou

neznámou:

24 y

2

x  

24 5

2

x   

14 x 

• napíšeme výsledek

(množinu kořenů):

^{K }  ^{14 ; 5} 

y

 6

27 v

6 u

5 7 u   3 v   15 27

v 6 u

5  

3 27 15 u

6 7 u

5  



 



 

 14 u  6 v  30

15 v

3 u

7  

II. SČÍTACÍ METODA

27

v 6 u

5  

2 / 



 



I. DOSAZOVACÍ METODA

15

v 3 u

7  

3 15 u

v  7 

2

 7 u 15  27 2

u

5   

27 30

u 14 u

5   

57 u

19  3 u 

15 2 3

7 15

u

v  7     

27 v

6 u

5  

57 u

19  3 u 

15 v

3 u

7  

15 v

3 3

7    2 v 

klikáním na danou metodu

6 y

5

x x   y   7 6

y 5

x  

6 y

5 y

7     5 x  5 y   35 7

y x  

II. SČÍTACÍ METODA

6

y 5

x  

  5 /  



 

 

 4

; 1 4 K 29

I. DOSAZOVACÍ METODA

7

y

x   x  7  y

1 y

4  



4 y  1

4 29 4

7 1 y

7

x     

 

 

 4

; 1 4 K 29

6 y

5

x  

29 x

4  



4 x  29

7 4 y

29  

4

y  1

13 y

3 x

2 x  6 y   18 15   

 13

y 3 x

2   

18 y

2 6

y 3

15 13    



 



  

  15 x  6 y   18

 x  4  y  2    x  2  y  13 

Řeš soustavu rovnic:

II. SČÍTACÍ METODA

 x  1  y  3    x  2  y  5 

2 / 



  ^{4 ; 7}

K 

I. DOSAZOVACÍ METODA

18

y 6 x

15   



2 y 3 x  13

7 y  13

7 3 x

2    

  ^{4 ; 7}

K 

26 y

6 x

4    44 x

11  



4 x 

13 y

3 4

2     7 y 

18 y

6 x

15   



13 y

3 x

2   

4

x 

Tři metody řešení soustav lineárních rovnic:

• Dosazovací (vyjádříme neznámou a dosadíme)

• Srovnávací (vyjádříme z obou rovnic tutéž neznámou a porovnáme)

• Sčítací (vynásobíme rovnice a sečteme)

Shrnutí:

Pracovní sešit

• str. 60-62/př. 9-13

• str. 63-64/př. 17-18

• str. 66-67/př. 22-24