SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 1 JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB–TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala

JIŘÍ BOUCHALA

Katedra aplikované matematiky, VŠB–TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz

www.am.vsb.cz/bouchala

1

Předmluva

Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné příklady k přemýšlení a k pro- cvičování látky obsažené ve skriptech „Matematická analýza 1ÿ.

Tento text není ukončen. Průběžně ho měním a doplňuji. Prosím proto čtenáře o shovívavost a sdělení všech připomínek.

2. prosince 1999 Jiří Bouchala

Příklad 1.

Dokažte matematickou indukcí:

a)∀n∈N: 1²+ 3²+ 5²+· · ·+ (2n−1)²=¹₃n(2n+ 1)(2n−1);

b)∀n∈N: _1·2·3¹ +_2·3·4¹ +· · ·+n·(n+1)·(n+2)¹ = 4·(n+1)·(n+2)^n·(n+3) ; c) (∀n∈N) (∃k∈N) :n³+ 3n²+ 2n= 6k;

d) (∀n∈N) (∀q∈R\ {1}) : 1 +q+q²+q³+· · ·+qⁿ= ^1−q_1−qⁿ⁺¹; e) (∀x∈ h−1,+∞)) (∀n∈N) : (1 +x)ⁿ≥1 +nx;

f)∀n∈N:n >4⇒2ⁿ > n².

Příklad 2.

Určete (existují-li) minM, maxM, supM a infM, je-li:

a)M ={^p_q : p∈N ∧ q∈N ∧ p≤q};

b)M ={_5−1999n^5−1999n2 : n∈N};

c)M ={0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, 0,99999, . . .};

d)M ={x∈R: cos¡₁

x

¢= ¹₂}.

Příklad 3.

BuďA, B⊂R^∗. Dokažte platnost následujících tvrzení:

a)A=∅ ⇐⇒+∞= infA >supA=−∞;

b)A6=∅ ⇐⇒infA≤supA;

c)A má alespoň dva prvky⇐⇒infA <supA;

d)Amá nejvýše jedno supremum a nejvýše jedno infimum;

e) sup(A∪B) = max{supA,supB};

f) inf(A∪B) = min{infA,infB};

g)A⊂B =⇒supA≤supB.

Příklad 4.

Určete definiční obor funkcef dané předpisem:

a)f(x)^def.= p

ln(x²− |x|);

b)f(x)^def.= arcsin³

2−x 2x+1

´

; c)f(x)^def.= _arccos(lnx¹ 3);

d)f(x)^def.= ln(2− |2x²+ 10x+ 12|);

e)f(x)^def.= ln|ln(−lnx)|.

Příklad 5.

Načrtněte graf funkcef dané předpisem:

a)f(x)^def.= |x| −2|x+ 1| −x;

b)f(x)^def.= −√

16−x²; c)f(x)^def.= arctg(sgnx);

d)f(x)^def.= arcsin(sinx);

e)f(x)^def.= sin(arcsinx);

f)f(x)^def.= cos(arcsinx);

g)f(x)^def.= arcsin(cosx).

Příklad 6.

Sestrojte graf funkcef, víte-li:

•Df =R,

•f je lichá,

•f(0) = 0 =f¡₃

2

¢,

•f je periodická s periodou 3,

• ∀x∈¡ 0,³₂¢

: f(x) = 1−x². Vypočtětef(1000), f(π), f(−√

2).

Příklad 7.

Najděte (existuje-li) inverzní funkci k funkcif, je-li:

a)f(x)^def.= 4x+ 2;

b)f(x)^def.= ^1−x_1+x; c)f(x)^def.= √

9−x², Df =h−3,0i;

d)f(x)^def.= √

9−x², Df=h0,3i;

e)f(x)^def.= sin²x−sinx−2, Df = (0, π);

f)f(x)^def.= cosx, Df =h11π,12πi.

Příklad 8.

Určete, zda je funkcef ◦g rostoucí (případně klesající), víte-li, že:

a)f a gjsou rostoucí funkce;

b)f ag jsou klesající funkce;

c)f je rostoucí funkce ag je klesající funkce;

d)f je klesající funkce agje rostoucí funkce.

Příklad 9.

Najděte všechnax∈R, pro která platí:

a) 2 sin²x−5 cosx+ 1 = 0;

b) cosx+ sin(2x)≥0;

c) ^1−tg_1+tg^x_x = 2 cos(2x);

d) 2 sinx=√ 3 tgx;

e) tg³x+ tg²x= 1 + tgx;

f) tgx+_1+sin^cosx_x = 2.

Příklad 10.

Vypočtěte:

a) lim¡

n⁴+ 5n³+ 1¢

; b) lim¡

n⁴−5n³+ 1¢

; c) lim3n²+ 6n−1

2n²−7n+ 3; d) lim 5−3n

n²+ 16; e) lim

3√

n²+ 1−16n

3√

n⁴+ 18n ; f) lim³p

4n²−n−2n´

; g) lim

µ 3n 3n−1

¶_n

; h) lim

µ 2n 3n−1

¶_n

; i) lim

µ 3n 2n−1

¶_n

; j) lim ³ⁿ√

n;

k) lim ⁿp

n⁴−2n²+ 13n; l) lim6ⁿ+ 4ⁿ−2ⁿ

6ⁿ⁺¹−3ⁿ ; m) lim(n+ 1)!−2·n!

3(n+ 1)! + 1 ; n) limn·sin(n!)

n²+ 1 ; o) limn³+ 2n²−3

−3n²+ 51 ; p) lim2ⁿ+ (−2)ⁿ

2·4ⁿ ; q) lim

µq n+√

n−√ n

¶

; r) lim

µ 1 + 1

5n

¶_n

; s) lim

µ 1 + 1

n

¶n+5

; t) lim

µ 1 + 1

n

¶5n

; u) lim 1 +¹₃+¹₉+· · ·+₃¹n

1 +¹₄+₁₆¹ +· · ·+₄¹n

; v) lim1 + 2 +· · ·+n

3√

8n⁶−n ;

w) lim (sin(lnn)−n) ; x) lim 2n²+ 2n+nsin(2n)

ncos(3n) + (2n+ sin(4n))²; y) dalších (alespoň) 26 limit z libovolné sbírky příkladů.

Příklad 11.

Najděte geometrickou posloupnost (an), pro kterou platí:a2−a1= 3, a4−a3= 12.

Příklad 12.

Dokažte ekvivalenci: _a¹

n →0⇐⇒ |a_n| →+∞.

Příklad 13.

Nechťa∈R^∗ a nechť (an), (bn) a (cn) jsou takové posloupnosti, že:

∀n∈N: bn=a2n ∧ cn =a2n−1.

Dokažte, že potom platí ekvivalence:an→a⇐⇒(bn →a ∧cn→a).

Příklad 14.

Definujme posloupnost (an) rekurentně rovnostmi: a1 = √

2, an+1 = √ 2 +an. Vypočtěte liman.

Příklad 15.

Určete, zda daná limita existuje, a pokud ano, vypočtěte ji:

a) lim

x→−1

¡x³+ 2x−1¢

; b) lim

x→−3

√4 +x−1 x+ 3 ; c) lim

x→+∞

px+√ x−1

3√ x−√

x ; d) lim

x→0

tg(2x) sin(5x); e) lim

x→0

1−cos(3x)

x² ; f) lim

x→−∞

µ 1 + 1

x

¶_x

; g) lim

x→∞

µx+ 2 x−2

¶_x

; h) lim

x→∞

µ 1 + k

x

¶_x

, k∈R;

i) lim

x→0

1

sinx

x −1; j) lim

x→+∞(p

(x+a)(x+b)−x), a, b∈R;

k) lim

x→+∞

sin(3x)

x ; l) lim

x→0

sinx x³ ; m) lim

x→+∞ln

¯¯

¯¯sinx x

¯¯

¯¯; n) lim

x→−∞

p(1−x)³ x³√

x²+ 3; o) lim

x→0

√1 + tgx−√

1−tgx

sin(2x) ; p) lim

x→1

³

(1−x) tg(π 2x)

´

; q) lim

x→0

sin(3x) + sin(5x)

sin(2x) ; r) lim

x→−∞

e^sin2x−cosx x² ; s) lim

x→0

tg(x²)

xsin(3x); t) lim

x→0

cosx+ 1 cosx−1; u) lim

x→0

sinx+ 1

sinx ; v) lim

x→0

µ1 x²

µ sin1

x+ 2

¶¶

; w) lim

x→2arccotg 1

x−2; x) lim

x→−∞arccos x 1 +x².

Příklad 16.

Rozhodněte, zda je funkcef spojitá vR, je-li:

f(x)^def.=













x²+3x+2

x³+2x²−x−2, prox∈R\ {1,−1,−2},

−¹₂, je-lix=−1,

−¹₃, je-lix=−2,

−¹₄, je-lix= 1.

Příklad 17.

Vypočtětef⁰(x) a určeteDf⁰, je-li funkcef daná předpisem:

a)f(x)^def.= p x√

x;

b)f(x)^def.= 3^x−x²; c)f(x)^def.= |x−3|;

d)f(x)^def.= |x³|;

e)f(x)^def.= ^1−x_1+x;

f)f(x)^def.= ^x−1₃ +^√_2x+1² ; g)f(x)^def.=

³1+x 1−x

´^1−x

1+x;

h)f(x)^def.= _ax(1−ln^ex a), a∈R⁺\ {e};

i)f(x)^def.= 2(√

e^x−1−arctg√

e^x−1);

j)f(x)^def.= x^lnx; k)f(x)^def.= (sinx)^cosx; l)f(x)^def.= x^1x;

m)f(x)^def.= ln arcsinx;

n)f(x)^def.= ln³(ln²x);

o)f(x)^def.= arcsin³¡_x−1

2

¢; p)f(x)^def.= p

sin(cos²(tgx));

q)f(x)^def.= ^ax+b_cx+d, a, b, c, d∈R, ad−bc6= 0;

r)f(x)^def.= ln^xx_x⁻¹x ; s)f(x)^def.= xarcsinq

x

x+1 + arctg√ x−√

x;

t)f(x)^def.= ln cos arctg^ex−e₂^−x; u)f(x)^def.= ^arccos_x ^x+¹₂ln¹⁻₁₊^√√1−x_1−x²₂.

Příklad 18.

Určete – teď, když znáte l’Hospitalovo pravidlo –, zda daná limita existuje, a pokud ano, vypočtěte ji:

a) lim

x→∞

lnx

xⁿ , n∈R⁺; b) lim

x→2

x⁴−2x³−x²−3x+ 10 3x³−5x²−2x ; c) lim

x→−1

x³+ 2x²−x−2

2x⁴−x²−1 ; d) lim

x→−1

x³+ 2x²−x+ 2 2x⁴−x²−1 ; e) lim

x→0

cos(sinx) sin(5x)(1 +x⁵)

cos(4x)(5 + 6x−5x²) tg(3x); f) lim

x→0+xⁿlnx, n∈R⁺; g) lim

x→0

µ 1 sinx− 1

x²

¶

; h) lim

x→−∞

√x²+ 1 x ; i) lim

x→0(cos 3x)^x12; j) lim

x→−∞

2x+ 6 cos(2x)

−8x ; k) lim

x→0

ln(sinx)

lnx ; l) lim

x→1

xⁿ−x

xⁿ−1, n∈R\ {0};

m) lim

x→0x^sinx; n) lim

x→−∞

µ 1 + 1

x

¶_x

; o) lim

x→1

µ 1

x−1 − 1 lnx

¶

; p) lim

x→0

³ x²e^x12

´

; q) lim

x→+∞

e^x

xⁿ, n∈R⁺; r) lim

x→^π₂

µ

tgx+ 1 x−^π₂

¶ .

Příklad 19.

Najděte (nějakou) funkcif : R→R, pro niž platí:

•f je spojitá na intervaluh0,1i,

•f(0) =f(1) = 2,

•neexistujex∈(0,1) takové, žef⁰(x) = 0.

Příklad 20.

Najděte intervaly ryzí monotonie funkcef dané předpisem:

a)f(x)^def.= 2x³+ 3x²−36x+ 1999; b)f(x)^def.= 2 sinx+ cos(2x);

c) f(x)^def.= x²e^1x; d)f(x)^def.= x² lnx; e) f(x)^def.= p

8x−x²; f)f(x)^def.= arccos 2x 1 +x²; g)f(x)^def.= x³+ 12|x|; h)f(x)^def.= e^x3−12x; i)f(x)^def.= 2x+ 3³p

(2−x)²; j)f(x)^def.= arctgx−x.

Příklad 21.

Najděte všechny lokální extrémy funkcef dané předpisem:

a)f(x)^def.= 6x³−3x²+ 13x+ 1999; b)f(x)^def.= sinx+ cosx;

c)f(x)^def.= xarctgx; d)f(x)^def.= x−1 x;

e)f(x)^def.= |x+ 3| −3|x|+ 2|x−2|; f)f(x)^def.= sin³x+ cos³x;

g)f(x)^def.= x(x+ 1)²(x−3)³; h)f(x)^def.= x+√ 1−x;

i)f(x)^def.= 4x−3 tgx; j)f(x)^def.= ³√

x²− ³p x²−1;

k)f(x)^def.= arctg(ln(1−x²)); l)f(x)^def.= lnx

√x.

Příklad 22.

Najděte všechny globální extrémy funkcef na intervaluJ, je-li:

a) f(x)^def.= sin(2x) +x, J =h0, πi; b)f(x)^def.= tgx−4x, J = (−π 2,π

2);

c) f(x)^def.= x²+ 4

x , J= (0,3); d)f(x)^def.= x^x, J= (0,+∞);

e) f(x)^def.= arctg(ln(1−x²)), J =Df; f) f(x)^def.= x³−4x²+ 10x, J = (0,8).

Příklad 23.

Najděte obdélník daného obvodus(s∈R⁺), jehož úhlopříčka má:

a) maximální velikost;

b) minimální velikost.

Příklad 24.

Do rotačního kužele o poloměru podstavyra výšceh(r, h∈R⁺) je vepsán rotační válec s maximálním objemem. Určete poloměr podstavy a výšku tohoto válce.

Příklad 25.

Dvě chodby široké 3m a 7m se křižují v pravém úhlu. Zjistěte maximální délku žebříku, který je možno přenést ve vodorovné poloze z jedné chodby do druhé.

(Výsledek zaokrouhlete na centimetry.)

Příklad 26.

Najděte – co největší – intervaly, na nichž je funkce f ryze konvexní (resp. ryze konkávní), a určete všechny inflexní body funkcef, je-li:

a) f(x)^def.= 5x²+ 20x+π; b) f(x)^def.= 3x⁵−5x⁴+ 13;

c) f(x)^def.= x(1−x)²; d) f(x)^def.= 2− |x²−2|;

e) f(x)^def.= x²−1 + ³√

x²; f)f(x)^def.= x⁴+ 2x³−12x²−5x+ 17;

g) f(x)^def.= e^|x|; h) f(x)^def.= x−cosx;

i)f(x)^def.= x³

x²+ 27; j) f(x)^def.= 3−(x+ 2)⁷⁵; k)f(x)^def.= arctg

µ1 x

¶

; l)f(x)^def.= xlnx.

Příklad 27.

Najděte všechny asymptoty (grafu) funkcef dané předpisem:

a)f(x)^def.= x

x−1; b)f(x)^def.= x√ x²−1 2x²−1 ; c)f(x)^def.= x

sinx; j)f(x)^def.= 4x⁴−6x³+ 2x²−x+ 5 2x³+x²−2x+ 1 . Příklad 28.

Vyšetřete průběh funkcef dané předpisem:

a) f(x)^def.= 4−x²

2x+ 5; b)f(x)^def.= x

3√ x²−1; c) f(x)^def.= x²e^x1; d)f(x)^def.= ln(x²)

x² ; e) f(x)^def.= cosx

2 + sinx; f)f(x)^def.= arcsin(sinx);

g) f(x)^def.= arcsin(cosx); h)f(x)^def.= xarccotgx;

i)f(x)^def.= arcsinx²−1

x²+ 1; j)f(x)^def.= ln(x²+ 3x−4);

k)f(x)^def.= e^2x+1x−2; l)f(x)^def.= arcsin(1−ln²x);

m) f(x)^def.= sinx+ cos²x; n)f(x)^def.= ln(3 + 2x−x²);

o) f(x)^def.= e^2x+1x−2; p)f(x)^def.= x⁴ x³−2; q)f(x)^def.= |x|e^−|x−1|; r)f(x)^def.= ³√

x²− ³p x²−1;

s)f(x)^def.= x^x; t)f(x)^def.= ln(x+p x²+ 1.

Příklad 29.

Vyšetřete průběh funkcef dané předpisem:

a)f(x)^def.= x³

6 +x²; A)f(x)^def.= ³√ x²e^−x; b)f(x)^def.= x³−3x+ 2; B) f(x)^def.= arcsin1 +x

1−x; c)f(x)^def.= x⁴−6x²+ 5; C)f(x)^def.= x+ arccotg(2x);

d)f(x)^def.= x³(x−3)²; D) f(x)^def.= sinx−ln(sinx);

e)f(x)^def.= x⁵−5x⁴+ 5x³; E)f(x)^def.= arccosx+p 1−x²; f)f(x)^def.= x²+ 1

x²; F)f(x)^def.= e^tgx; g)f(x)^def.= 1

x+ 4x²; G)f(x)^def.= x+ ln(cosx);

h)f(x)^def.= 1

x−2 + 1

x+ 2; H)f(x)^def.= ln|x|

x ; i)f(x)^def.= x³

2−x; I) f(x)^def.= lnx

√x; j)f(x)^def.= 2x+ 3

(x+ 1)²; J) f(x)^def.= x² lnx; k)f(x)^def.= 2−x²

x+ 3 ; K) f(x)^def.= sinx 2−cosx; l)f(x)^def.= x⁴

(x−1)³; L)f(x)^def.= 2x−tgx;

m)f(x)^def.= x³

2(x+ 1)²; M)f(x)^def.= e^x x; n)f(x)^def.= x·√

1−x; N)f(x)^def.= e^x2−x; o)f(x)^def.= p

x²−x⁴; O) f(x)^def.= e^1x −x;

p)f(x)^def.= ³p

x³−8; P)f(x)^def.= x·lnx;

q)f(x)^def.= ³ q

(x+ 1)²− ³ q

(x−1)²; Q) f(x)^def.= x+ sinx;

r)f(x)^def.= e^−x2; R)f(x)^def.= ln(cosx);

s)f(x)^def.= p

x⁴−x²; S)f(x)^def.= ln(x²+ 1);

t)f(x)^def.= x+e^−x; T)f(x)^def.= ln|4−x²|;

u)f(x)^def.= x−2·lnx; U)f(x)^def.= √ xe^−x; v)f(x)^def.= lnx+ 2

x−2; V)f(x)^def.= 1− ³ q

(x−2)²; x)f(x)^def.= x³

3−x²; X)f(x)^def.= e^1+x1−x.

Příklad 30.

Určete Maclaurinův polynomn– tého řádu funkcef dané předpisem:

a)f(x)^def.= (1 +x)^s (s∈R);

b)f(x)^def.= coshx;

c)f(x)^def.= ln(1 + 7x).

Příklad 31.

Určete Taylorův polynomn– tého řádu funkcef v boděx0, je-li:

a)f(x)^def.= ³√

x², x0= 1, n= 3;

b)f(x)^def.= x^x−1, x0= 1, n= 3;

c)f(x)^def.= ^1+x+x_1−x+x²2, x0= 0, n= 3;

d)f(x)^def.= tgx, x0= 0, n= 5;

e)f(x)^def.= ln cosx, x0= 0, n= 6.

Příklad 32.

Pomocí Taylorovy věty vypočtěte přibližně (s chybou menší než 10⁻⁴):

a) ¹⁰√ 1010;

b)√ π;

c) arctg 1,7;

d) 3√¹ e; e) (1,1)^1,2. Příklad 33.

Rozviňte funkcif podle mocnin (x−c), je-li:

a)f(x)^def.= x⁴−3x²−10x+ 11, c= 2;

b)f(x)^def.= x³−2x+ 5, c= 100;

c)f(x)^def.= x⁷+x⁵+x³+ 2000, c=−1.

Příklad 34.

Vypočtěte:

a) Z

πx²⁰⁰⁰ dx; b) Z √

x³ dx; c)

Z µ 1 x⁴√

x−3

√x x³√

x

¶ dx;

d)

Z 2x+ 3

x³ dx; e)

Z x(³√

x−x²√ x)

5√

x dx; f) Z √

x⁴+x⁻⁴+ 2 x³ dx.

Příklad 35.

Vypočtěte integrací per partes:

a) Z

(x²+x)e^x dx; b) Z

(x²−6) cosxdx; c) Z

sin³xdx;

d) Z

ln²xdx; e) Z

xarctgxdx; f) Z √

xln²xdx.

Příklad 36.

Najděte rekurentní vzorce pro výpočet integrálů:R

sinⁿxdx,R

cosⁿxdx(n∈N).

Příklad 37.

Vypočtěte pomocí první substituční metody:

a) Z

(1−πx)²⁰⁰⁰dx; b) Z

sin(√

5x) cos(√

5x) dx; c)

Z 7x²

√1 +x³dx;

d) Z

xp

3x²+ 1 dx; e)

Z x⁹

(1 +x⁵)³dx; f)

Z dx

√1−x²arccos³xdx.

Příklad 38.

Vypočtěte pomocí uvedené substituce:

a) Z

x³√

1−xdx, ³√

1−x=t; b)

Z dx

√3 + 2x−x², x−1 2 =t;

c)

Z dx 1 + ³√

x, ³√

x=t; d)

Z

e^√xdx, √ x=t;

e) Z

(ln³x+ lnx) dx, lnx=t; f)

Z r1 +x 1−xdx,

r1 +x 1−x=t.

Příklad 39.

Vypočtěte:

a)

Z 3x

(x+ 1)(x−6) dx; b)

Z dx

x(x+ 1)(x+ 2); c)

Z x⁴+ 1

x²(x−1)(x+ 1)² dx; d)

Z 3x−4

(x−2)(x−1)³ dx;

e)

Z 5x³−15x²+ 15x−3

x³−8x²+ 17x−10 dx; f)

Z x²+ 2x−3

(x²+ 2x+ 3)(x+ 1)² dx;

g)

Z x²−3x+ 2

x(x²+ 2x+ 1) dx; h)

Z 3x²−2x+ 7 (x²+ 3)(1−x)² dx;

i)

Z x⁴−x³+ 3x²+ 5x

2x⁴−2x³−6x²+ 10x−4 dx; j)

Z dx x⁴(x²+ 1); k)

Z dx

1 +x⁴; l)

Z x 1 +x⁴ dx;

m)

Z x²

1 +x⁴ dx; n)

Z x³ 1 +x⁴ dx;

o)

Z dx

x³+x²+x; p)

Z 4x²−16x+ 12

(x−2)²(x²−2x+ 2)² dx;

q)

Z 3x−1

x²+ 2x+ 5 dx; r)

Z 5x+ 1 x²−4x+ 7 dx;

s)

Z x+ 2

(x²+ 3x+ 3)² dx; t)

Z x⁴−x+ 1 x³−1 dx;

u)

Z 6x²+x−14

x³+x²−4x−4 dx; v)

Z x²+ 1

x³−4x²+ 8x−5 dx;

w)

Z x²−4

x³+ 6x²+ 12x+ 7 dx; x)

Z x²−2

x³+ 4x²+ 7x+ 4 dx;

y)

Z x²+ 3

x³−6x²+ 13x−8 dx; z)

Z dx x⁶−1. Příklad 40.

Vypočtěte:

a) Z

cos⁵xdx; b)

Z

sin³x·cos²xdx;

c) Z

sin⁴xdx; d)

Z

cos³x·sin(2x) dx;

e) Z

sin⁵x

2 ·cos³x

2 dx; f)

Z

sin⁴x·cos⁴xdx;

g)

Z dx

4 sinx−7 cosx−7; h)

Z 2 + cosx 1 + 2 cosx dx;

i)

Z cos⁵x

sin⁴x dx; j)

Z cos⁴x sin³x dx.

Příklad 41.

Vypočtěte:

a) Z

x·√

2x−8 dx; b)

Z √ 1−x

x dx;

c)

Z r2−x

2 +x dx; d)

Z s1−√ x 1 +√

x dx;

e)

Z dx

3p

(x+ 1)²(x−1)⁴; f)

Z dx

(1 + ⁴√ x)³·√

x; g)

Z dx

(x²+x−2)· ⁴ qx+2

x−1

; h)

Z ₆√ x+ 1

6√

x⁷+ ⁴√ x⁵ dx.

Příklad 42.

Vypočtěte:

a)

Z dx

1 +√

x²+ 2x+ 2; b)

Z dx

x·√

2 +x−x²; c)

Z √ 1 +x²

2 +x² dx; d)

Z dx

x³·√ x²+ 9; e) Z p

3 + 4x+x²dx; f)

Z x²

√x²−1 dx;

g)

Z dx

√x²−4x+ 3; h)

Z dx

(x−2)·√

4x−x²−3; i)

Z x+ 8

√2x²+ 12x+ 18 dx; j)

Z x

(1 +x)·√

1−x−x² dx.

Příklad 43.

Vypočtěte:

a) Z ₋₁

−8

dx

3√

x; b)

Z ₁

−√ 3

4 1 +x² dx;

c) Z _3π

0

xsinxdx; d)

Z _{ln 2}

0

xe^−x dx;

e) Z ^π

2

0

sin³xcos²xdx; f) Z ¹

2

0

arccosxdx;

g) Z _e

1 e

|lnx|dx; h) Z ₉

1

x· ³√

1−xdx;

i) Z ₁

0

r x

4−x dx; j)

Z ₂

1

√x²−1 x dx;

k) Z ₁₀

4

√ x

x²−9 dx; l)

Z ^5√₂

0

x⁹ (1 +x⁵)³ dx;

m) Z ₂

1

√ dx

3 + 2x−x²; n)

Z ^π

2

0

dx 3 + 2 sinx; o)

Z ^√_e

e²

√2 + lnx

x dx; p)

Z ₃

1

dx x·√

x²+ 5x+ 1; q)

Z √¹ 3

0

dx (2x²+ 1)·√

x²+ 1; r) Z ₋^π

4

−^π₂

3 cos³x

3√

sinx dx.

Příklad 44.

Vypočtěte obsah plochy ohraničené křivkami:

a)y=x⁵, x= 2, y=−3x;

b)x= 2y², y= 3x−3;

c)y=−1, y=−1−p

1−(x−2)²; d)y= arcsinx, y=^π₂, x=−1;

e) 3|x|+|y|= 2;

f)x=y², xy = 1, y= 2.

Příklad 45.

Vypočtěte délku křivky:

a){(x, y)∈R²: y=x² ∧ 0≤x≤3};

b){(x, y)∈R²: y= lnx ∧ √

3≤x≤√ 8};

c){(x, y)∈R²: y= arcsinx+√

1−x² ∧ −¹₂≤x≤¹₂};

d){(x, y)∈R²: y=√

x³ ∧ 0≤x≤4};

e){(x, y)∈R²: y= 3−2x−5x² ∧ −1≤x≤3};

f){(x, y)∈R²: y=√

1−x²}.

Příklad 46.

Vypočtěte:

a) Z ¹

e

0

dx

x·ln²x; b) Z _∞

1

dx x³+x; c)

Z ₃

1

p dx

(x−1)³; d)

Z ₋₁

−∞

x²+ 1 x·√

1−x dx;

e) Z _∞

0

dx

1 +x³; f)

Z ₁

−1

dx (2−x)·√

1−x².

Příklad 47.

Rozhodněte o konvergenci integrálu:

a) Z ₁

−1

e^x

3√

1−x² dx; b)

Z _∞

−∞

e^−x2 dx;

c) Z _∞

0

arctgx

4√

x²+ 2000 dx; d)

Z _∞

2

√ x

x⁴+ 1 dx.

Literatura

[1] J. Bouchala,Matematická analýza 1, VŠB–TU, Ostrava, 1998.

[2] J. Charvát, M. Hála, Z. Šibrava,Příklady k Matematice I, ČVUT, Praha, 1992.

[3] J. Eliaš, J. Horváth, J. Kajan,Zbierka úloh z vyššej matematiky (2. časť), Alfa, Bratislava, 1969.

[4] L. Zajíček,Vybrané úlohy z matematické analýzy pro 1. a 2. ročník, Matfyzpress, Praha, 1998.

[5] J. Veselý,Matematická analýza pro učitele (první díl), Matfyzpress, Praha, 1997.

[6] J. Veselý,Matematická analýza pro učitele (druhý díl), Matfyzpress, Praha, 1997.

[7] K. Rektorys a spol.,Přehled užité matematiky I a II, Prometheus, Praha, 1995.