A PROPOS D U MI~M01RE: ,RECHERCHES S U R LA MI~THODE DE GRAEFFE . . . ETC., P A R A L E X A N D R E 0STROWSKI, A B/~LE.
PAIL
R. S A N J U A N
~t ,~ADRID.
La concision avec laquelle sont r6dig6es les ,,Le?ons d'Alg6bre, de M. Rey P a s t o r (on ponrrait y remplacer, k la page 96, ligne 24, pour plus de clart6, i par j et x, par xj) a conduit M. A. Ostrowski g penser que les consid6rations th6oriques faites par M. Rey P a s t o r dans l'ouvrage cit6 s'appuient sur une pro- position fausse.
Reprenons le raisonnement de M. Rey Pastor.
Au d6but de la page ioo, on d6montre que chacune des m plus grandes racines X, (i > m) de chaque transform6e:
A o X" + "-" + A~ X "-'~ + -" + A . = o v6rifie une 6quation:
A 0 Xm A 1 X m _ l A ~ - I
f ( X ) = A , ~ + A,~ + . ' . + ~ X + I = ~
dans laquelle on a: ~ <era lorsque l'ordre de la transform6e devient infini- ment grand.
I1 r6sulte de 1E et en vertu du th6or&me d6montr6 par M. Rey Pastor E la page 96, th6or~me d'ailleurs si 6vident que Runge et KSnig, dans leur ouvrage
>>Numerisches R e c h n e n , (Berlin I924 page I69) l'appliquent sans m~me l'4noncer explicitement comme proposition ind6pendante, que l'6quation:
Ao X ~ A,~-I X + I = o f ( X ) = a , + " " + -A~
188 R. San Juan.
a au moins une racine X~ qui vdrifie la condition:
I X , - X;I <
Ix l
e'est&-dire que ehaeQne des m plus grandes raeines de l'6quation eompl6te est exprim~e par une des racines du premier fragment de degr~ m, avee une erreur relative infdrieure s ~.1
C'est 1~, nous semble4-il le dfitail du raisonnement que M. Rey P a s t o r n'a pas cru devoir exprimer, laissant au lecteur le soin de le faire.
Nous avons proe~d6 de la mgme manibre duns notre m~moire: ~)Complementos al m~todo de Graeffe para la resoluci6n de ecuaciones algdbricas.~ (Revista Matematica Hispano-Americana, serie 2, I, I939)2; on pourrait y intercaler le mgme detail de raisonnement que nous venons de signaler.
La p o t t l e de ces th~orbmes (que M. Ostrowski qualifie de restreints t o u t en les reconnaissant comme certaines dans sa critique) est cependant suffisante pour calculer, dans t o u s l e s cas, les modules des racines avec une erreur fix~e d'avance;
elle est ~galement suffisante pour d~terminer )>a priori>> le hombre de fransfor- redes p e r m e t t a n t de parvenir au calcul pr6c6dent, et en particulier, pour r~soudre le problbme A abord~ dans le m6moire de M. Ostrowski, sans utiliser le dia- gramme de Newton; l'on peut d'ailleurs d~montrer sans difficult6 que, sauf dans le cas off les fragments sont au plus du second degr~ (le seul cas dont M.
Ostrowski donne des exemples) nos bornes sont sfirement plus serr6es que celles indiqu~es par M. Ostrowski. s
Oh l'on peut arriver s des bornes plus serr~es que les nbtres au moyen du diagramme de Newton comme le fair remarquer, bien s propos, hi. Ostrowski, dans >)L'Addition . . . etc.~, c'est dans le cas de racines dquimodulaires; en effet, ainsi que nous l'avons montr~ duns une note de notre m6moire (au bas de la page I3), nous choisissons une borne moins prdcise mais inddpendante de la nature des coefficients afiu de pouvoir l'appliquer au probl~me r~ciproque.
Pour terminer, on nous permettra de faire remarquer, au sujet de la coinci- dence de la condition, n6cessaire et suffisante que nous avons ~nonc6e pour
z On n o t e r a que ce r a i s o n n e m e n t n ' e x i g e n u l l e m e n t la correspondance b i u n i v o q u e que M.
O s t r o w s k i a t t r i b u e i n u t i l e m e n t a u thdor~me p o u r signaler e n s u i t e que cette correspondance n ' e s t p o i n t vdrifi4e.
U n rdsumd de ce Mdmoire a p a r u a u ,,Bulletin des Sciences Mathdmatiques~. LIX, avril I935.
s Une dtude approfondie de cette c o m p a r a i s o n a dtd faite p a r notre dlbve M. A u g e d a n s sa T h b s e initiale de doctorat (en preparation).
A p r o p o s du m6moire: >)Recherches sur la M~thode de Graeffe . . . etc.~ 189 l'in6galitg des r a c i n e s en v a l e u r absolu, avec u n r e s u l t a t o b t e n u p a r M. V a l i r o n e~ 61uder, p a r ce fair, n o t r e d 6 m o n s t r a t i o n d i r e c t e ( d 6 m o n s t r a t i o n d i r e c t e avan- t a g e u s e c e p e n d a n t p a r le fair qu'elle d o n n e dans le eas off il n ' y a pas de racine, u n e c o u r o n n e , au lieu de la c i r c o n f d r e n e e s 6 p a r a t r i c e qui r6sulte de l ' a p p l i c a t i o n du th6or~me de M. Valiron~), l ' e x i s t e n c e de la n6cessit~ de la c o n d i t i o n n ' a pas 6t6 t r a i t 6 e p a r M. V a l i r o n et c'est s e u l e m e n t plusieurs ann6es apr~s la publica- t i o n de n o t r e m 6 m o i r e que M. Ostrowski 6nonce, sans d d m o n s t r a t i o n , e e t t e condi- t i o n n6eessaire dans le pr6faee de son m6moire.
S e m i n a r i o M a t e m a t i c o de la U n i v e r s i d a d de Madrid.
M a d r i d I Avril de 1942.
E x L , a i t d u l i v r e d e M. R e y P a s t o r . U b e r s e t z u n g .
W i r b e t r a c h t e n zwei G l e i c h u n g e n f ( x ) ---- 0 u n d f ( x ) ~ • die sich n u r d u r c h das K o n s t a n t e Glied u n t e r s c h e i d e n . D e r Satz yon d e r S t e t i g k e i t d e r W u r z e l n sagt n u n aus, dass fiir g e n i i g e n d kleine W e r t e ~ die W u r z e l n e i n e r G l e i c h u n g sich y o n d e n e n d e r a n d e r n u m w e n i g e r als eine beliebige v o r h e r f e s t g e s e t z t e Zahl u n t e r s c h e i d e n . W i r g e h e n y o n f e s t s t e h e n d e n ~ aus u n d wollen n u n diesen F e h l e r b e s c h r e n k e n . W i r b e z e i c h n e n die W u r z e l n d e r e r s t e n G l e i c h u n g m i t x 1, x ~ , . . . , x~ u n d die d e r z w e i t e n m i t xl, x2 . . . . , xa. Aus der G l e i c h u n g
a 0 ( x ; - x l ) ( x ; - - x , ) =
e r s i e h t man, dass m i n d e s t e n s eine d e r D i f f e r e n z e n (z. B. die der Stelle i ) d i e n-re W u r z e l des P r o d u k t e s n i c h t i i b e r s c h r e i t e n d a r f ; d e m n a c h :
Ix;_ x,I-< v I l:laol.
D a m a n dieselbe U b e r l e g u n g a u c h bei u m g e k e h r t e r R e i h e n f o l g e der b e i d e n G l e i c h u n g e n w i e d e r h o l e n k a n n , e r g i b t sich, dass jede W u r z e l der einen Gleichung von einer (gewissen) ~Vurzel de," anderen um we,alger als 1 / ] ~ ] : l ao[ versehieden ist.
Mit a n d e r e n W o r t e n : Der absolute Fehler jeder W u r z e l ist uicht grSsser als die n-~e W u r z e l des Fehlers der Fuuktion, wenn wir den Koejfizienten a o gleich z setzen.
1 Des th6or~mes tr~s int6ressants de ce type sont contenus dans le M6moire de M. Ostrowski, pages ]73 et suivantes.
190 R. San Juan.
W e n n wir durch I x~ x ~ . . . x,, I : ] a-2~] dividieren, erhalten wir analog:
Vl l:l l.
I x~ I
Der relative Fehler jeder Wurzel ist nicht grSsser als die n-te Wurzel des Funktionsfehlers, w e , n man das Konsta,te Glied der Funktion gleich z ~immt.
