5 1

(1)

Příklad 1:

Potápěčský zvon o vnitřním objemu 5 m³ je ponořen do hloubky 20 m. Stanovte objem vody, která vnikne do zvonu. Jaké hmotnostní množství vzduchu je nutno přivést do zvonu, aby se veškerá voda ze zvonu vytlačila? Jaký objem vzduchu musí kompresor při tom nasát a jaká je spotřebovaná práce, pracuje-li kompresor při stálé teplotě? Teplota nad hladinou je 20 °C a tlak 0,1 MPa. Teplota vody je 5 °C. Plynová konstanta vzduchu je

J . kg

= 287

r ^-1 K^-1, hustota vody je 1000 kg m³. Řešení:

Označení veličin: mV₀=5 ³ m

= 20 h

°C 10

1

0 = t

MPa ,

0= 0 p

°C

1= 5 t

J . kg

= 287

r ^-1 K^-1

ρ_v=1000 kg m^-3

Ozn.: „0“

ρ_v

„1“ h „2“

Tlak v hloubce h:

p₁ = p₀+ ρ_v gh= 0,1.10⁶+1000 9,81. 20= 2,962.10⁵ Pa Hmotnost vzduchu ve zvonu:

m₀ =m₁ Odtud:

1 1 1 0

0 0

T V p T

V

p =

Objem vzduchu po stlačení a ochlazení na t1:

1,658

15 , 283

15 , . 278 10 . 962 , 2

10 .

5 1 ₅

5

0 1 1 0 0

1 = = =

T T p V p

V m³

(2)

Hmotnost vzduchu před ponořením:

0 0 0

0 rT

V m = p

Hmotnost vzduchu po vytlačení vody:

1 0 1 2

2 2

2 rT

V p T

r V

m = p =

Nutno doplnit hmotnost vzduchu:

12,4

15 , 283

10 . 1 15

, 278

10 . 962 , 2 287

5 ⁵ ⁵

0 0 1

1 0 1

2 ⎟⎟⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

=

−

=

Δ T

p T p r m V m

m kg

Kompresor nasaje objem vzduchu nad hladinou:

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Δ =

= Δ

0 0 1

1 0 0 0 0

0 0

0 1

1 0 0

0

0 T

p T

p p V T p

T r T p T p r V p

T r V m

⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

= 283,15

10 . 1 15

, 278

10 . 962 , 2 10 . 1 , 0

15 , 5 283

5 5

5 = 10,076 m³

Při izotermickém stlačování je spotřebovaná práce:

p₀ ΔV₀ = pV

= −

∫

=− Δ

∫

¹ = − Δ =

0 0

0 1 0 1

0

0 0

12 ln

p V p p p

V dp p dp V A_t

₅ ⁶

6 5 1,094.10

10 . 1

10 . 962 , ln 2 . 076 , 10 . 10 . 1 ,

0 = −

−

= J

Pozn.: Znaménko „ – “ znamená spotřebovanou práci.

Příklad 2:

Ve válci s pohyblivým pístem je 36 g vodíku o teplotě 30 °C pod tlakem 0,4 MPa. Na jeho stlačení na třetinu původního objemu byla vynaložena práce 150 kJ a současně bylo odebráno teplo Q = 60 kJ. Vypočítejte teplotu a tlak vodíku po stlačení. (M = 2 kg kmol^-1, κ = 1,4)

(3)

Řešení:

Označení veličin: m = 36 g °C

1=30 t

MPa 4 ,

1=0 p

150 kJ

12= A

60 kJ

12= − Q

Z prvního zákona termodynamiky:

Q₁₂ = U ₂ − U₁ + A₁₂ , kde

U₂ −U₁= m.c_v .

(

t₂ −t₁

)

. Měrná tepelná kapacita při stálém objemu:

2

(

1,4 1

)

¹⁰³⁹³

3 , 8314 1

1 1

0 =

= −

κ

κ M

R

c_v r J kg^-1 K^-1

Teplota vodíku po kompresi:

− =

+

− = +

=

v

v m c

A t Q

c m

U t U

t . .

12 12 1 1 2 1 2

( )

₂₇₀_,₅₅

10393 . 036 , 0

10 . 150 10

. 30 60

3

3 − − =

+ −

= °C

Pro stavy před kompresí a po kompresi jsou stavové rovnice:

2.

2 2

1 1

1

T r m V p

=

Odtud:

⁶ ⁶

1 2 2 1 1

2 2,15.10

15 , 273 30

15 , 273 55 , 3 270 . 10 . 4 ,

0 =

+

⋅ +

=

= T

T V p V

p Pa .

p₂ = 2,15 MPa

(4)

Příklad 3:

Kompresor nasává vzduch o teplotě 30 °C a tlaku 95 kPa a stlačuje ho polytropicky na tlak 706 kPa, přičemž jeho teplota vzroste na 370 °C. Vypočítejte polytropický exponent, měrnou polytropickou tepelnou kapacitu, množství tepla, změnu vnitřní energie, změnu entalpie a práci na stlačení 1 kg vzduchu a jeho vtlačení do prostoru o vyšším tlaku.

( κ = 1,4, r = 287 J kg^-1 K^-1)

Řešení:

Označení veličin: t₁=30 °C kPa

1=95 p

kPa

2 =706 p

°C

2=370 t

kg

=1 m

Polytropický exponent vypočteme z rovnice:

.

1

1 2 1

2 n

n

p p T

T

−

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Odtud: 1,60.

10 . 95

10 . lg 706

15 , 303

15 , lg 643 1

1

lg lg 1

1

3 3

1 2 1 2

=

−

=

−

=

p p T n T

Měrná polytropická tepelná kapacita:

717,5

1 4 , 1

287

1 =

= −

= − κ

c_v r J kg^-1 K^-1,

239,17

1 6 , 1

4 , 1 6 , 51 ,

1 717 =

−

= −

−

= − n c n

c_n _v κ

J kg^-1 K^-1.

Množství přivedeného tepla:

Q₁₂ = mc_n

(

t₂−t₁

)

= 1⋅239,17

(

370−30

)

= 81317 J.

Změna vnitřní energie:

U₂−U₁ = m c_v

(

t₂−t₁

)

= 1⋅717,5

(

370−30

)

= 243950 J.

(5)

Změna entalpie:

H₂− H₁ = m c_p

(

t₂−t₁

)

=κ

(

U₂−U₁

)

=1,4.243950 = 341530 J.

Technická práce:

( ) (

30 370

)

260213

1 6 , 1

287 . 6 , 1 1 ² ¹

12 − = −

= −

− −

= t t

n r

A_t n J.

Kontrola: Q₁₂ = H₂− H₁ + A_t₁₂

Q₁₂ = 341530 − 260 213=81317 (souhlasí)

Příklad 4:

Nádoba je rozdělena na dvě části. V první o objemu 1, 5 m³ je CO2 (M1 = 44 kg kmol^-1) pod tlakem 0,5 MPa při teplotě 30,0 °C. V druhé části nádoby o objemu 1,0 m³ je O2

(M2 = 32 kg kmol^-1) pod tlakem 0,2 MPa při teplotě 57 °C. Určete hmotnostní složení směsi, která vznikne propojením obou částí nádoby. Dále vypočtěte plynovou konstantu směsi, teplotu a tlak.

Řešení:

Označení veličin: V₁=1,5 m³ MPa 5 ,

1=0 p

°C

1=30 t

0 m ,

2=1

V ³

MPa 2 ,

2=0 p

°C 7

2=5 t

Hmotnost jednotlivých složek:

13,09

15 , 303 . 314 8

44 . 5 , 1 . 10 . 5 ,

0 ⁶

1 0

1 1 1 1

1 1

1 = 1 = = =

T R

M V p T

r V

m p kg.

2,30

15 , 330 . 314 8

32 . 0 , 1 . 10 . 2 ,

0 ⁶

2 0

2 2 2

2 = = =

T R

M V

m p kg.

(6)

Hmotnostní podíly:

0,849.

33 , 2 09 , 13

09 , 13

2 1

1

1 =

= +

m m σ m

σ₂ = 1 −σ₁ =1− 0,849 = 0,151. Plynová konstanta směsi:

199,65

32 151 , 0 44

849 , 314 0

0 8 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

∑ ∑

i i i

ir R M

r σ σ J kg^-1 K^-1.

Teplota směsi:

=

−

= −

−

= −

=

∑

∑ ∑

1 . 1 . 1 . 1

. 1 .

i i i

i i i i

i i i

i i

vi i

i vi i

M T M r

m m

r T m m c

m T c T m

κ σ

κ κ

307,33

1 4 , 1

1 32

151 , 0 1 3 , 1

1 44 849 , 0

1 4 , 1

15 , 330 32

151 , 0 1 3 , 1

15 , 303 44

849 , 0

= + −

− + −

= − K.

Tlak směsi:

( ) ( )

5

2 1

2

1 3,7846.10

1 5 , 1

33 , 307 . 65 , 199 . 33 , 2 09 ,

13 =

+

= + +

= +

= V V

T r m m V

T r

p m Pa

Příklad 5:

Uzavřená nádoba o objemu 1 m³ je naplněna sytou parou o teplotě 200 °C. Pára je ochlazena na teplotu 20 °C. Stanovte tlak po ochlazení, objem kondenzátu a množství odvedeného tepla.

Řešení:

Označení veličin: V=1 m³ °C

1= 200 t

°C

2=20 t

(7)

Z tabulek termodynamických vlastností vody a páry na mezi sytosti:

Pro teplotu 200 °C: p1 = 1,554880 MPa, v1´´ = 0,127160 m³ kg^-1, h1´´ = 2790,9 kJ kg^-1. Pro teplotu 20 °C: p2 = 0,002337 MPa,

v2´ = 0,0010017 m³ kg^-1, v2´´ = 57,838308 m³ kg^-1, h2´ = 83,86 kJ kg^-1, h2´´ = 2538,2 kJ kg^-1.

Ochlazování bude probíhat při stálém objemu, takže v = v´´.

Tlak po ochlazení: p₂ = 0,002337 MPa Hmotnost páry:

7,8641

127160 ,

0 1

1

=

″ =

= v

m V kg.

Protože: ₂′< ₁″ < ₂″, v v v

bude po ochlazení v nádobě pára mokrá.

Suchost: 0,0021813.

0010017 ,

0 838308 ,

57

0010017 ,

0 127160 ,

0

2 2

2

2 =

−

= −

− ′

″

− ′

=

v v

v x v

Měrná entalpie kondenzátu:

₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ⎟ ⁼ ⁸³^,⁸⁶ ⁺ ⁰^,^0021813

(

²⁵³⁸^,² ⁻⁸³^,⁸⁶

)

⁼⁸⁹^,²¹ kJ kg

⎠⎞

⎜⎝

⎛ ″ − ′

′+

= h x h h

h ^-1

Hmotnost kondenzátu:

₂′= − ₂″ = − ₂ =

(

1−

)

= 7,8641

(

1− 0,0021813

)

= 7,8469 kg.

x m m x m m

m m

Objem kondenzátu:

₂′= ₂′ ₂′= 7,8469.0,0010017 = 7,8603.10⁻³ m v

m

V ³

(8)

Teplo:

Q12 ⁼U2 ⁻U1 ⁼ m

[ (

h2 ⁻h1

)

⁻ v

(

p2 ⁻ p1

) ]

⁼

⁼ ⁷^,⁸⁶⁴¹

[ (

⁸⁹^,²¹⁻ ²⁷⁹⁰^,⁹

)

^.¹⁰³ ⁻ ⁰^,¹²⁷¹⁶⁰

(

⁰^,⁰⁰²³³⁷ ⁻¹^,⁵⁵⁴⁸⁸⁰

)

^.¹⁰⁶

]

⁼

= −19,694.10⁶ J.

Příklad 6:

Stanovte teplotu, měrný objem a měrnou entropii páry před škrticím ventilem, jestliže byl změřen tlak před tímto ventilem 0,2 MPa a veličiny za ventilem 0,1 MPa, 110 °C.

Řešení:

Označení veličin: p₁=0,2 MPa MPa 1 ,

2 =0 p

°C

2=110 t

Z tabulek termodynamických vlastností vody a páry pro teplotu 110 °C a tlak 0,1 MPa (přehřátá pára):

v2 = 1,7442570 m³kg^-1, h2 = 2696,4 kJ kg^-1, s2 = 7,4153 kJ kg^-1.

Pro stav před škrcením a po škrcení platí: i1 = i2.

Interpolací z tabulek pro sytou páru a sytou kapalinu při tlaku p1 = 0,2 MPa dostaneme:

t1 = 120,23 °C

a dále: v1´ = 0,0010608 m³kg^-1,

v1´´ = 0,8854 m³kg^-1, h1´ = 504,70 kJ kg^-1, h1´´ = 2706,3 kJ kg^-1, si´ = 1,5301 kJ kg^-1, si´´ = 7,1268 kJ kg^-1K^-1.

Protože: ₁′< ₂ < ₁″, bude před škrcením pára mokrá o suchosti:

h h h

0,9955.

70 , 504 3

, 2706

70 , 504 4

, 2696

1 1

1

2 =

−

= −

− ′

″

− ′

=

h h

h x h

(9)

Odtud pro měrný objem:

v₁ = v₁′+ x⎜⎝⎛v₁″ −v₁′⎟⎠⎞ =

⁼ ⁰^,^0010608⁺ ⁰^,⁹⁹⁵⁵

(

⁰^,⁸⁸⁵⁴⁻ ⁰^,^0010608

)

⁼ ⁰^,⁸⁸¹⁴ m³kg^-1. Pro měrnou entropii:

⎟ =

⎠⎞

⎜⎝

⎛ ″ − ′

′+

= ₁ ₁ ₁

1 s x s s

s

¹^,⁵³⁰¹⁺ ⁰^,⁹⁹⁵⁵

(

⁷^,¹²⁶⁸⁻¹^,⁵³⁰¹

)

⁼ ⁷^,¹⁰¹⁶^{kJ kg}^-1^K^-1^.

Příklad 7:

Stacionární čtyřdobý Dieselův motor má kompresní poměr 15, počet válců 4, obsah jednoho válce 2000 cm³, otáčky 3000 1/min. Motor spotřebuje 28 dm³ nafty za hodinu o výhřevnosti 42 MJ kg^-1 a nasává vzduch při tlaku 95 kPa a teplotě 25 °C. Určete teoretický výkon motoru a jeho termickou účinnost. (r = 287 J kg^-1K^-1, cp = 1008 J kg^-1K^-1, κ = 1,4, hustota nafty je 866 m³kg^-1).

Řešení:

Označení veličin: ε =15

= 4 m

2000 cm

=

V ³

min

= 3000

n ^-1

dm

= 28

•

Vp ³ hod^-1 MJ kg

= 42

qp ^-1

kPa

1=95 p

°C

1=25 t

Celkový tepelný příkon přivedený motoru:

p p

p m q

Q& = &

3 6

3

10 . 9 , 282 10

. 42 3600 .

10 . .28

866 =

=

= _p _p _p _p _p ⁻

p m q V q

Q& & ρ & W

(10)

Hmotnostní průtok vzduchu:

0,222

60 . 2

3000 15 , 298 . 287

10 . 10 95

2 . 2 4 2 4

4

3 3

1 1

1 = = =

= n ⁻

T r V p V n

m_&_v ρ kg s^-1.

Teplota vzduchu pro kompresi:

₁ ¹ 298,15.15¹^,⁴ ¹ 880,79

1

2 1 1

2 ⎟⎟ = = =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ⁻ ⁻

−

κ κ

ε v T

T v

T K.

Teplota vzduchu po shoření paliva:

2145,0

1008 . 222 , 0

10 . 9 , 79 282

,

880 ³

2

3= + = + =

v v

p

c m T Q

T &

&

K.

Stupeň plnění:

2,435

79 , 880

0 , 2145

2 3 2

3 = = =

= T

T v ϕ v

Teplota výfukových plynů:

1036,6

15 435 , 0 2 , 2145

1 4 , 1 1

2 1

4 3 3

4 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

− κ−

κ

ε T ϕ v

T v

T K

Tepelný průtok výfukem:

₀

(

₁ ₄

) (

298,15 1036,6

)

1,18034 10⁵ 4

, 1 2221008 ,

0 − = − ⋅

=

−

= m c T T

Q& &_v _v W.

Teoretický výkon cyklu:

P =Q&_p − Q&_O = 282,9⋅10³ −118,034⋅10³ =164,87⋅10³ W.

Termická účinnost:

0,583

10 9 , 282

10 87 , 164

3 3 =

⋅

= ⋅

= Qp

P

&

η

(11)

Příklad 8:

Dvoustupňový kompresor nasává vzduch o teplotě 20 °C a tlaku 98 kPa a stlačuje ho na 6 MPa. Vypočtěte výkon motoru, je-li mechanická účinnost 85 % a množství chladicí vody pro chlazení válců kompresoru a pro mezichladič. Teplota chladicí vody se zvýší o 15 K, komprese je v obou stupních polytropická s exponentem 1,3. Sací výkon kompresoru je 0,14 m³s^-1, r = 288 J kg^-1K^-1, κ =1,4, cvoda = 4187 J kg^-1K^-1.

Řešení:

Označení veličin: t₁=20 °C kPa

1=98 p

MPa

2 =6 p

85 ,

= 0 η

=15 Δt °C

3 ,

=1 n

m 14 ,

1=0

V& ³ s^-1

Dělicí tlak:

p_x = p₁ p₂ = 0,098⋅6 = 0,767 MPa.

Teoretický příkon kompresoru:

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

− ⋅

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= −

− −

098 1 , 0

767 , 14 0 , 0 10 198 3 , 1

3 , 2 1 1 1

2 ¹^,³

1 3 , 1 3

1

1 1 1

n n x

K p

V p n p

P n &

= 72,26.10³ W = 72,26 kW.

Výkon motoru na pohon kompresoru:

85

85 , 0

26 , 72 =

=

= &

m K m

P P

η kW.

Teplota za každým stupněm kompresoru:

471,30

098 , 0

767 , 15 0 ,

293 ¹^,³

1 3 , 1 1

1 1

2 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

− − n n x

x p

T p T

T K.

(12)

Množství tepla odváděného stěnami válců:

( ) ( ) (

−

)

=

−

= −

− −

= −

−

= ₂ ₁

1 1 1 1

2 1

1 1 1

2 2 1 1

2 1

2 T T

n n r T r

V T p

n T c n T r

V T p

T c m

Q_v _n _v κ

κ

κ &

&

( ) ( ) ( ) (

−

)

=

−

⋅

= ⋅

− −

−

= − 471,30 293,15

1 3 , 1

4 , 1 3 , 1 1 4 , 1 15 , 293

14 , 0 10 2 98

1

2 1 ₂ ₁ ³

1 1

1 T T

n n T

V

p κ

κ

&

= −13,90⋅10³ W.

Množství tepla odváděného v mezichladiči:

( ) ( ) ( ) (

−

)

=

= −

− −

=

−

= ₁ ₂

1 1 1 2

1 1

1 1 2

1 1 1 T T

T V T p

r T T

r V T p

T c m Q_CH _p

κ κ κ

κ &

&

³

( ) (

293,15 471,3

)

29,18 10³ 1

4 , 1 15 , 293

4 , 1 14 , 0 10

98 − =− ⋅

−

⋅

⋅ W.

Celkové množství odváděného tepla:

Q& =Q&_v + Q&_CH =

(

−13,90− 29,18

)

10³ = − 43,08⋅10³ W.

Množství chladicí vody:

0,686

15 4187

10 08 ,

43 ³ =

⋅

= ⋅

= Δ

t c

Q m

voda voda

&

& kg s^-1.

Příklad 9:

Vzduch o tlaku 1,5 MPa a teplotě 27 °C vytéká Lavalovou dýzou do prostředí o tlaku 0,117 MPa. Nejužší průřez dýzy má průměr 0,04 m. Za jakou dobu vyteče 250 kg vzduchu a jaká bude skutečná výtoková rychlost z dýzy, je-li rychlostní součinitel dýzy ϕ = 0,95?

(r = 288 J kg^-1K^-1, κ = 1,4) Řešení:

Označení veličin: p₁=1,5 MPa MPa 117 ,

2= 0 p

°C

1=27 t

(13)

04 m ,

min=0 d

kg

= 250 m Tlakový poměr:

0,078

5 , 1

117 , 0

1

2 = =

p p

Proudění z dýzy bude nadkritické.

Kritický tlak:

1,5 0,7924

1 4 , 1

2 1

2 ¹^,⁴ ¹

4 , 1

1 1 1

1

2 ⎟⎟ ⋅ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ p ⁻ p ⁻

p p p

k k

κ κ

κ MPa.

Kritická rychlost:

288 300,15 317,57

1 4 , 1

4 , 1 2 1

2

1 ⋅ ⋅ =

+

= ⋅

= + r T

w_k κ

κ m s^-1.

Výtoková rychlost z dýzy:

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⋅

− ⋅

= ⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= −

− −

4 , 1

1 4 , 1 1

1 2 1

2 1,5

117 , 1 0 15 , 300 1 288

4 , 1

4 , 1 1 2

1

2 ^κ

κ

κ κ

p T p

r w

= 559,61 m s^-1.

Skutečná výtoková rychlost z dýzy:

w₂_S = w₂ ⋅ϕ =559,61⋅0,95 =531,63 m s^-1. Nejmenší průřez dýzy:

² ³

2 min

min 1,256 10

4 04 , 0 4

⋅ −

⋅ =

=

= π d π

S m².

Kritický měrný objem:

0,0909

7924 , 0

5 , 1 10

5 , 1

15 , 300

288 ¹^,¹⁴

6 1

1 1

1 1 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

= ⋅

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ^κ ^κ

k k

k p

p p

T r p

v p

v m³ kg^-1.

Hmotností průtok:

(14)

4,388 0909

, 0

57 , 10 317 256 ,

1 ³

min = ⋅ ⋅ =

= ⁻

k k

v S w

m& kg s^-1.

Doba výtoku:

56,98

388 , 4

250 =

=

= m m

&

τ s.

Příklad 10:

Ocelové potrubí d2/d1 = 110/100 mm je pokryto dvěma vrstvami izolace stejné tloušťky 50 mm. Teplota vnitřního povrchu stěny potrubí je 250 °C, vnější povrch izolace má teplotu 50 °C. Určete ztráty tepla na 1 m délky potrubí a teplotu na hranici styku obou vrstev izolace. Vnitřní vrstva izolace má součinitel tepelné vodivosti 0,06 W m^-1 K^-1, vnější 0,12 W m^-1K^-1 a materiál potrubí 50 W m^-1K^-1.

Řešení:

Označení veličin: λ₁=50 W m^-1 K^-1

2 50

1=δ =δ =

δ mm

t_ST₁=250 °C

°C

4=50 tST

06 ,

2=0

λ W m^-1 K^-1 12

,

3= 0

λ W m^-1 K^-1

Tepelný tok 1 m délky potrubí:

( )

3 4 3 2 3 2 1 2 1

4 1

1 ln 1 ln

1 ln 2

d d d

d d

d

t

q_L t^ST ^ST

λ λ

λ

π

+ +

= −

d₃ = d₂ + 2δ =110 + 2⋅50 =210 mm.

d₄ = d₂ + 4δ =110 + 4⋅50 =310 mm.

Po dosazení:

( )

₈₉_,₃

210 ln310 12 , 0

1 110 ln210 06 , 0

1 100 ln110 50

1

50 250

2 =

+ +

= π −

qL Wm^-1.

(15)

Teplota na styku vrstev izolace z předchozího vztahu:

96,1

210 ln310 12 , 0

1 2

3 , 50 89 1 ln

2 ₃

4 3 4

3 = + = + =

π λ

π d

d t q

t_ST _ST ^L °C.

Příklad 11:

Ocelová deska o teplotě 0 °C a tloušťce 100 mm, součiniteli tepelné vodivosti 45 W m^-1K^-1 je ponořena do kapaliny o teplotě 100 °C. Součinitel přestupu tepla 90 W/m²K.

Deska je z oceli o hustotě 7900 kg m^-3 a měrné tepelné kapacitě při stálém tlaku

455,7 J kg^-1 K^-1. Stanovte rozložení teploty v desce po uplynutí 20 s. Desku rozdělte na 10 vrstev tloušťky 1 cm a řešte úlohu numericky.

Řešení:

Označení veličin: λ= 45 W m^-1 K^-1

t_t=100 °C

=90

α W m^-2 K^-1

= 7900

ρ kg m^-3

J kg 7 ,

= 455

cp ^-1 K^-1

= 20

τ s

Součinitel teplotní vodivosti:

1,25 10 ⁵

7 , 455 7900

45 ₋

⋅

⋅ =

=

= cp

a ρ

λ m² s^-1.

Desku rozdělíme na 10 vrstev tloušťky 10 mm.

Pak: Δx = 0,01 m;

Pro numerické řešení: 2 1

2 =

Δ Δ x a τ

Odtud časový krok: 4

10 25 , 1 2

01 , 0

2 ⁵

2

2 =

⋅

= ⋅

= Δ

Δ ₋

a

τ x s.

Počet kroků: 5.

4 20 = Δ =

= τ n τ

(16)

Teplotu na stěně počítíme podle vztahu:

λ αλ α

x x t t

t

t i

S Δ

+ + Δ

= 1 kde ti je teplota mezi první a druhou vrstvou.

0,02

45 01 , 0 90⋅ = Δ =

λ α x

Pak:

02 , 0 1

100 02 , 0 +

⋅

= ⁱ +

S

t t

Tabulka vypočtených hodnot:

τ[s]

20

4,214 2,298 1,094 0,366 0,123 0 0

16

3,865 1,942 0,731 0,245 0 0 0

12

3,393 1,461 0,49 0 0 0 0

8

2,922 0,98 0 0 0 0 0

4

1,961 0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 0

x[m]

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Příklad 12:

Termoska má dvojité postříbřené stěny o emisním součiniteli 0,04. Mezi stěnami je vakuum. Vnitřní stěna má povrch 0,06 m², vnější 0,072 m². Jejich teploty jsou 80 °C, 0 °C.

Mezi stěnami je mezera o šířce 8 mm. Jak změní tepelné ztráty termosku, vnikne-li mezi stěny vzduch?

(17)

Řešení:

Označení veličin: ε₁=ε₂= 0,04 m 06 ,

1= 0

S ²

m 072 ,

2=0

S ²

°C 80

0

1= tS

2= °C tS

mm

=8 l

Únik tepla do okolí vlivem sálání:

0,755

072 , 0

06 , 1 0 04 , 0

1 04

, 0

1

100 15 , 273 100

15 , 353 67

, 5 06 , 0 1 1

1

100 100

4 4

2 1 2

1

4 2 4

1

0 1

12 =

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

S S T T

c S Q_S

ε ε

& W.

Je-li mezi stěnami vzduch, dojde k přestupu tepla v omezeném prostoru:

Kriteriální rovnice: ^ε ⁼ ⁰^,¹⁸

(

^Gr ^Pr

)

⁰^,²⁵

Pro vzduch o teplotě 40 °C je: λ = 0,02672 W m^-1K^-1

6 m 10 96 ,

16 ⋅ ⁻

ν = ²s^-1 .

699 , 0 Pr =

Pak:

( )

(

¹⁶⁹^,⁸¹^,⁹⁶⁰¹⁰^,⁰⁰⁸

)

⁴⁴⁶⁰^,⁹

0 15 80

, 313

1

6 2 3 2

3 =

⋅

− ⋅

= Δ

= β T ^gν^l −

Gr

ε =0,18

(

4460,9⋅0,699

)

⁰^,²⁵ =1,345

80 23,719

008 , 0

345 , 1 02672 , 0 2

072 , 0 06 , 0 2

2

1 + Δ = + ⋅ =

= T

l S

Q_&_P S λ ε

W.

Teplo se přenáší jak sáláním, tak prouděním:

Q& =Q&_S₁₂ +Q&_P =0,755+ 23,719= 24,474 W.

(18)

Příklad 13:

Do parní turbiny vstupuje sytá pára o teplotě 330 °C, o hmotnostnímprůtoku 10 kg s^-1. Teplota v kondenzátu je 40 °C. Stanovte výkon turbiny a termickou účinnost oběhu.

Řešení:

Označení veličin: t₁=330 °C kg s

=10

m& ^-1

°C

2=40 t

Pro t1 = 330 °C t2 = 40 °C

h1 = 2670,2 kJ/kg h2’ = 167,45 kJ kg^-1 s1 = 5,449 kJ/kgK h2’’ = 2574,4 kJ kg^-1 s2‘ = 0,5721 kJ kg^-1K^-1 s2‘‘ = 8,2583 kJ kg^-1K^-1 s2= s^' + x

(

s^'' − s^'

)

0,6345

5721 , 0 2583 , 8

5721 , 0 4490 , 5

' ''

'

2 =

−

= −

−

= − s s

s x s

h₂= h₂^' + x₂

(

h₂^'' − h₂^'

)

=167,45+ 0,6345

(

2574,4−167,45

)

=1694,66 kJ kg^-1 P =m&

(

h₁ − h₂

)

=10

(

2670,2 −1694,66

)

=9,7554⋅10³ W

q_P = h₁ − h₂^' =2670,2 −167,45 =2502,75 kJ kg^-1 q_O =h₂ − h₂^' =1694,66 −167,45 =1527,21 kJ kg^-1

0,3898.

75 , 2502

21 , 1 1527

1− = − =

=

P O

q η q

(19)

Příklad 14:

Pro ideální oběh pístového výbušného motoru stanovte množství přivedeného a odvedeného tepla, vykonanou práci při jednom pracovním cyklu a tepelnou účinnost. Za pracovní látku považujte vzduch, který motor nasává při tlaku 0,1 M Pa a teplotě 20 °C.

Kompresní poměr je roven 5, zvýšení tlaku při převodu tepla je na trojnásobek. Obsah válce je 0,5 dm³.

Řešení:

4 1 2

p 3

v

Označení veličin: p₁=0,1 M Pa ºC

1= 20 t

=5 ε

=3 ψ

dm 5 ,

=0

V ³

T₁ =20 + 273= 293 K p₁ =1b =1⋅10⁵ Pa

293,15 5¹^,⁴ ¹ 558,06

1

2 1 1

2 ⎟⎟⎠ = ⋅ =

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ ⁻

κ−

v T v

T K

⁵ ¹^,⁴ ⁵

2 1 1

2 ⎟⎟ =1⋅10 ⋅5 =9,518⋅10

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

κ

v p v

p Pa

p₃ =3 p₂ =3⋅9,5⋅10⁵ = 28,5⋅10⁵ Pa

558,06 3 1674,18

2 3 2

3 = = ⋅ =

p T p

T K

879,46

5 18 1 , 1674 ₀_,₄

1

4 3 3

4 ⎟⎟⎠ = =

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

κ−

v T v

T K

Při jednom zdvihu se nasaje:

⁵ ⁴ 5,943 10 ⁴

15 , 293 287

10 5 10

1 ⁻ = ⋅ ₋

⋅

= ⋅

= rT V

m p kg

(20)

717,5 1

4 , 1

287

1 =

= −

= − κ

c_v r J kg^-1

Q_P = m c_v

(

T₃ −T₂

)

=5,943⋅10⁻⁴ ⋅717,5

(

1674,18− 558,06

)

= 475,93 J Q_O =m c_v

(

T₄ −T₁

)

=5,943⋅10⁻⁴ ⋅717,5

(

879,46 −293,15

)

= 250,01 J A₁₂ =Q_P −Q_O = 475,93−250,01= 225,92 J

0,475.

93 , 475

92 ,

12 = 225 =

= QP

η A

Příklad 15:

Při izobarickém ohřevu z teploty 40 °C na 750 °C vykonal 1 kg plynu práci 184 500 J kg^-1. Stanovte molekulovou hmotu tohoto plynu, množství přivedeného tepla a změnu vnitřní energie. Plyn je dvouatomový.

Řešení:

Označení veličin: t₁= 40 ºC

2= 750

t ºC kg

=1 m

J kg 184500

=

a ^-1

T₁ = 40+ 273,15= 313,15 K T₂ =750 + 273,15=1023,15 K Pro p = konst je:

^a ⁼ ^p

(

^v₂⁻^v₁

)

⁼ ^r

(

^T₂⁻^T₁

)

Odtud:

259,86

15 , 313 15 , 1023

500 184

1 2

− =

= T T

r a J kg^-1 K^-1

Pak:

32

86 , 259

0 = 8314 =

= r

M R kg kmol^-1

(21)

(

₂ ₁

) (

₂ ₁

) (

750 40

)

6,4575.10⁵ 1

4 , 1

86 , 259 . 4 , 1

1 − =

= −

− −

=

−

= r t t

T T c

q _p

κ

κ J kg^-1

Δu = q − a₁₂=

(

6,4575−1,845

)

10⁵= 4,625.10⁵ J kg^-1

Příklad 16:

Ve spalovacím motoru je 0,032 m³ objem vzduchu před stlačením jeho tlak je 0,09 MPa a teplota 60 °C. Určete exponent polytropy n, kompresní práci, množství tepla, které je odvedeno stěnami válce a změnu vnitřní energie vzduchu. Po stlačení je objem vzduchu roven 0,00213 m³ a jeho tlak je 3,2 M Pa.

Řešení:

Označení veličin: p₁=0,09 M Pa ºC

1= 60 t

032 m ,

1 =0

V ³

M Pa 2 ,

2=3 p

00213 m ,

2 =0

V ³

Exponent polytropy:

1,32

032 , 0

00213 , log0

32 9 , log0 log

log

2 1 2 1

=

= v v p p n

( ) (

0,9.0,032 32.0,00213

)

12300

1 32 , 1

10 1

1 ⁵

2 2 1 1

12 − = −

= −

− −

= p V p V

A n J

Teplo odvedené stěnami válce:

2460

1 4 , 1

32 , 1 4 , 123001

1 = −

−

− −

− =

= − κ κ n A

Q J

Změna vnitřní energie:

ΔU =Q − A = − 2460 + 12300 = 9840 J

(22)

Příklad 17:

Třístupňový kompresor má dodávat množství 250 kg hod^-1 vzduchu při tlaku 8 M Pa. Odvoďte vztahy pro technickou práci jednoho stupně, stanovte příkon kompresoru a množství tepla, které je nutno odebrat v mezichladičích. Stlačení uvažujte adiabatické.

Kompresor nasává vzduch o tlaku 0,095 MPa a teplotě 17 °C. Znázorněte proces v p-v a T- s diagramu. Porovnejte s jednostupňovým stlačením. Poměr výstupního tlaku ke vstupnímu tlaku je ve všech stupních stejný.

Řešení:

Označení veličin: m& =250 kg hod^-1 M Pa

3=8 p

ºC

0=17 t

p₀= 0,095 M Pa

p

v

3

p₂ p₁

p₀

T

s p₀ p₁ p₂ p₃

Tlaky v mezichladičích:

4,38

095 , 0

0 ,

3 8

3 0 3 0

1 = = =

p p p

p

p₁ = 0,095.4,38 =0,416 M Pa p₂ =0,416.4,38=1,825 M Pa

V mezichladičích chladíme na t = 17 °C (⇒ T = 290,15 K).

Práce jednoho stupně:

¹^,⁴ ⁵

1 4 , 1 1

0 1 0

1 287.290,15 1 4,38 1,53.10

1 4 , 1

4 , 1 1

1 = −

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

= −

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

= −

− − κ κ

κ κ

p T p

r

a J kg^-1

(23)

Práce celého kompresoru:

a =3a1=3

(

−1,53.10⁵

)

= −4,59.10⁵ J kg^-1 Výkon:

⁵ 3,188.10⁴

3600 10 250 . 59 , 4

. = − = −

= a m

P & W = −31,88 KW

Množství odvedeného tepla v mezichladičích je rovno vynaložené práci.

Pro jednostupňovou kompresi:

4 5 , 1

1 4 , 1 1

0 3

0 7,429.10

095 , 0

0 , 1 8

15 , 290 . 1287 4 , 1

4 , 1 1

1 = −

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= −

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

−⎛

= −

− − κ κ

κ κ

p T p

r

a J kg^-

1

Příklad 18:

Vypočtěte ztrátu tepla z jednoho metru délky horizontálního parního potrubí o vnějším průměru 0,3 m a povrchové teplotě 450 °C, jestliže okolní vzduch má teplotu 50 °C.

Kriteriální rovnice je: ^Nu =^c

(

^Gr. Pr

)

ⁿ

kde pro 1.10⁻³<Gr.Pr <5.10² je c = 1,18, n = 1/8 5.10²< Gr.Pr <2.10⁷ je c = 0,54, n = 1/4 2.10⁷<Gr .Pr <1.10¹³ je c = 0,135, n = 1/3 Pro střední teplotu vzduchu

( ) (

450 50

)

250

2 1 2

1 + = + =

= _v

s t t

t °C je:

ν =40,61.10⁻⁶ m² s^-1 λ = 4,27.10⁻² W m^-1K^-1 Pr = 0,677

(24)

Řešení:

Označení veličin:

Označení veličin: d = 0,3 m °C

= 450 t

°C

=50 tv

( )

(

⁶

)

² ⁸

3 2

3

10 . 228 , 10 1

. 61 , 40

3 , 0 . 81 , 50 9 15 450

, 273 250

1 − =

= + Δ

= β t ^gν^d −

Gr

Gr.Pr =1,228.10⁸ . 0,677 =8,313.10⁷ Pak c = 0,135, n = 1/3

^Nu ⁼ ^c

(

^Gr^.^Pr

)

ⁿ ⁼⁰^,¹³⁵

(

⁸^,³¹³^.¹⁰⁷

)

³¹ ⁼ ⁵⁸^,⁹²

.58,92 8,386

3 , 0

10 . 27 ,

4 ² =

=

= Nu ⁻

d

α λ W m^-2K^-1

q_l =πd α Δt = π. 0,3.8,386.

(

450−50

)

=3161 W m^-1

Příklad 19:

Určete teplo k ohřátí směsi plynů z teploty 200 °C na 1200 °C při konstantním tlaku 0,15 MPa. Počáteční objem směsi je 5,2 m³ a objemový podíl CO2 je 0,145, objemový podíl O2 je 0,065, zbytek je zastoupen N2.

Střední objemové tepelné kapacity při normálním tlaku jsou:

¹²⁰⁰ 2245

0

2 =

pCO

C J m^-3K^-1 ²⁰⁰ 1795

0

2 =

pCO

C J m^-3K^-1 ¹²⁰⁰ 1500

0

2 =

pO

C J m^-3K^-1 ²⁰⁰ 1325

0

2 =

pO

C J m^-3K^-1 ¹²⁰⁰ 1420

0

2 =

pN

C J m^-3K^-1 ²⁰⁰ 1304

0

2 =

pN

C J m^-3K^-1

(25)

Řešení:

Označení veličin: t₁= 200 ºC ºC

2=1200 t

M Pa 15

,

=0 p

2 m ,

1 =5

V ³

ω_CO₂=0,145

ω_O₂= 0,065

(

2 1

) (

0 2 0 1

)

1 2

2

1 t t V C t C t

C V

Q = _n _S ^t_t − = _n _S ^t − _S ^t

n n

n p

p T V T

V ¹

1

= 1 ω_N₂ =1−ω_CO₂−ω_O₂= 1−0,145−0,065 =0,79

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟ +

⎠⎞

⎜⎝

⎛ −

+

⎟ +

⎠⎞

⎜⎝

⎛ −

=

2 0 1

0 2 2

0 1 0 2

2 0 1

0 2 1

1 ¹

2 2

2 1

2 2

2

1 2 2

2

N t

p t

p O

t p t

p

CO t

p t

p

n n

t C t C t

C t C

t C t C p p T Q T

N N

O O

CO CO

ω ω

ω

( )

^⎥^⎥ ⁼

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− +

+

− +

+

−

=

79 , 0 200 . 1304 1200

. 1420

065 , 0 200 . 1325 1200

. 1500

145 , 0 200 . 1795 1200

. 2245 10

. 101325 ,

0

10 . 15 , 0 15 , 473

15 , . 273 2 ,

5 ₆

6

= 7,0148.10⁶ W = 7,015 MW

Příklad 20:

Jednostupňový kompresor stlačuje polytropicky (n = 1,3) dvouatomový plyn z tlaku 0,1 MPa a teploty 30 °C na tlak 1 MPa. Stanovte teplotu po stlačení a potřebný příkon kompresoru pro nasávané množství 100 m³hod^-1. Určete též příkon pro izotermickou kompresi.

Řešení:

Označení veličin: p₁=0,1 M Pa 30 ºC

1= t

M Pa

2=1 p