-1 1

(1)

Pracovní list byl vytvořen v rámci projektu

"Nová cesta za poznáním", reg. č.

CZ.1.07/1.5.00/34.0034, za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu ČR.

Uvedená práce (dílo) podléhá licenci Creative Commons

Uveďte autora-Nevyužívejte dílo komerčně-Zachovejte licenci 3.0 Česko

Výsledky

Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a)

( ) ( ) ( )

Stacionární body:

Funkce je rostoucí v intervalech ( ) ( ).

Funkce je klesající v intervalech ( ) ( ) V bodě je lokální minimum s hodnotou V bodě je lokální maximum s hodnotou V bodě je lokální minimum s hodnotou

b)

( ) ( ) ( )

Stacionární body:

Funkce je rostoucí v intervalu ( ).

Funkce je klesající v intervalech ( ) ( ) V bodě je lokální minimum s hodnotou V bodě je lokální maximum s hodnotou

c)

⁽ ⁾

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Stacionární body:

-2 0 3

𝑦 < 𝑦 > 𝑦 < 𝑦 >

-1 1

𝑦 < 𝑦 > 𝑦 <

-1 1

𝑦 < 𝑦 > 𝑦 <

(2)

Př.2. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( )

Nejprve upravíme funkci:

[ ( )] ( )

( ) ( )

Stacionární body:

b) ( )

Stacionární bod:

Funkce je klesající v intervalu ( )

V bodě je lokální minimum s hodnotou

<

>

^𝜋 ^𝜋 ^𝜋 ^𝜋

1

-1

^𝜋 ^𝜋 ^𝜋 ^𝜋

1

-1

𝑥

^𝜋 ^𝜋 ^𝜋 ^𝜋

+ + -

^𝜋 ^𝜋 ^𝜋 ^𝜋

+ + -

^𝜋 ^𝜋 ^𝜋 ^𝜋 <

0 1

𝑦 >

𝑦 <

1

-1

𝑥

(3)

c)

( ) ( )

( ) ( ) (√ ) (

√ ) Stacionární body:

√

Funkce je rostoucí v intervalu (

√ √ ).

Funkce je klesající v intervalu (

√ ) (

√ ) V bodě

√ je lokální minimum s hodnotou

√

V bodě

√ je lokální maximum s hodnotou

√

d)

( )

Stacionární bod:

Funkce je klesající v intervalech ( )

V bodě je lokální maximum s hodnotou

√

√ 𝑦 >

𝑦 < 𝑦 <

+

<

>

^𝜋 ^𝜋

1

-1

^𝜋 ^𝜋

1

-1

^𝜋 ^𝜋

- -

^𝜋 ^𝜋

+ -

(4)

Př.3. Najděte globální a lokální extrémy funkcí v daných intervalech a) 〈 〉

( ) Stacionární bod:

Lokální extrémy funkce:

pro bod dostáváme ( ) > … lokální minimum, s hodnotou Hodnota v krajích bodech intervalu:

pro bod dostáváme hodnotu pro bod dostáváme hodnotu Globální extrémy funkce:

v bodě … globální maximum v bodě … globální minimum

b) ⟨ )

Stacionární bod:

pro bod dostáváme ( ) > … lokální minimum, s hodnotou Hodnota v krajích bodech intervalu:

pro bod dostáváme hodnotu Globální extrémy funkce:

v bodě … globální minimum

v bodě … neexistuje globální maximum ( protože ( ) )

c) ( ) Stacionární bod:

( )

pro bod dostáváme ( ) < … lokální maximum, s hodnotou Hodnota v krajích bodech intervalu:

pro bod dostáváme hodnotu ( ) pro bod dostáváme hodnotu ( ) Globální extrémy funkce:

v bodě … globální maximum

neexistuje globální minimum ( protože: ( ) ( ) )

(5)

Př.4. Určete intervaly, ve kterých je daná funkce konvexní, konkávní, a určete inflexní body, pokud existují:

a)

( )

……inflexní bod Funkce je konvexní v intervalu ( ).

Funkce je konkávní v intervalu ( )

b)

( ) ( ) ( )

( )

Neexistuje inflexní bod Funkce je konkávní v intervalu ( ).

Funkce je konvexní v intervalu ( )

c)

⁽₍^{) ( )}₎ ₍₎ ⁽₍ ₎⁾

⁽ ⁾ ⁽₍ ₎^{) (} ⁾ ⁽ ^{) [ (}₍ ^{) (}₎ ^{) ]} ⁽₍ ₎ ⁾ ⁽ ⁾

( )

Protože ( ) > , pak:

( )

√ √ ……inflexní body

Funkce je konvexní v intervalech ( √ ) ( √ ).

Funkce je konkávní v intervalu ( √ ) (√ )

> <

< >

<

> √ > √ <

(6)

Př.5. Vyšetřete průběh funkce : a)

1. ( ) { } , není ani lichá ani sudá 2.

( )

,

( )

,

3.Průsečíky s osou y : y = 0

Průsečíky s osou x : x = 0

4. _{( )} ….stacionární body ? 5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti:

V bodě x = 0 … lokální maximum y = 0 V bodě x = 2 … lokální minimum y = 4 6.

( ) ….neexistuje inflexní bod

7. Intervaly konvexnosti, konkávnosti:

V intervalu ( ) … konkávní V intervalu ( ) … konvexní 8.Asymptoty: - se směrnicí…

( )

nebo

( )

[ ( ) ]

[

]

nebo

Asymptota se směrnicí .

- bez směrnice: protože

a

existuje asymptota bez směrnice

9. ( ) ( 〉 〈 ) 10. Graf:

𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥) >

0 1

( ) > ( ) < ( ) >

0 1 2

( ) <

𝑓 (𝑥) < 𝑓 (𝑥) >

1

4

0 1 2

(7)

b)

1. ( ) , není ani lichá ani sudá 2.

,

3.Průsečíky s osou y : neexistuje Průsečíky s osou x : x = 1

4. ….stacionární bod ? 5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti:

V bodě … lokální maximum

6. ….inflexní bod ?

v ( ) … konkávní v ( ) … konvexní Bod ….inflexní bod

8. Asymptoty: - se směrnicí…

( )

[ ( ) ]

[] … Asymptota se směrnicí . - bez směrnice: protože

… existuje asymptota bez směrnice

9. ( ) ( 〉 10. Graf:

𝑓 (𝑥) >

0 e

𝑓 (𝑥) <

0 1

𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥) >

( ) < ( ) >

0

0 1 e

(8)

c)

1. ( ) , není ani lichá ani sudá 2.

,

, 3.Průsečíky s osou y : y = 0

Průsečíky s osou x : x = 0

4.

( ) ….stacionární body ?

5. Lokální extrémy, intervaly monotónnosti:

V bodě x = 0 … lokální minimum V bodě x = 2 … lokální maximum

6. ( )

( ) √ √ … …inflexní bod ?

v ( √ ) … konvexní v ( √ √ ) … konkávní v ( √ ) … konvexní

Body √ a √ ….inflexní body 8. Asymptoty: - se směrnicí…

( )

[ ( ) ]

… Asymptota se směrnicí . - bez směrnice: neexistuje asymptota bez směrnice

9. ( ) 10. Graf:

( ) < ( ) >

√ √

0

( ) > ( ) >

𝑓 (𝑥) >

0 2

𝑓 (𝑥) <

( ) >

0 2 ^√

𝑒

√